【文档说明】高二数学人教A版2019选择性必修第一册同步备课试题 2.3.1两条直线的交点坐标 Word版含解析.docx，共(15)页，1.382 MB，由小赞的店铺上传

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2.3.1两条直线的交点坐标（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】题型1两直线的交点问题1.已知直线12:0,:20lxylxy−=+−=，则1l与2l的交点坐标是（）．A．(1,1)B．(1,3)C．(2,6)D．(2,2)−【答案】

A【分析】联立两直线方程，解方程即可得出交点的坐标.【详解】由题意知，01201xyxxyy−==+−==，所以两直线的交点为(11)，，故选：A2.直线1xy+=与直线3xy−=的交点坐标为

（）A．()1,3B．()1,1−C．()1,2-D．()2,1−【答案】D【分析】直线的交点即方程组y=1x-y=3x+的解集；解得方程组的解即交点坐标.【详解】根据课本概念可得到直线的交点即方程组y=1x-y=3x+的解集；解得方

程组的解为()2,1−.故答案为D.【点睛】在同一平面内，两条直线有三种位置关系，即相交、平行、重合．相应地由直线的方程组成的二元一次方程组的解有三种情况，即有唯一解、无解、有无数解．当1112220,0AxByCAxByC++=++=的解只有一组时，这两条直线1l和

2l有一个公共点，它们的位置关系为相交．当1112220,0AxByCAxByC++=++=的解有无数组时，这两条直线1l和2l有无数个公共点，它们的位置关系为重合．当1112220,0AxByCAxByC++=++=无解时，这两条直线1l和2l没有公共点，它们的

位置关系为平行．3.过直线30xy+−=和20xy−=的交点，且与直线250xy+−=垂直的直线方程是（）A．4230xy+−=B．4230xy−+=C．230xy+−=D．230xy−+=【答案】D【分析】首先求出两条直线的交点，根据垂直求

出直线斜率，再用点斜式即可求出直线方程.【详解】由题意得：3020xyxy+−=−=，解得12xy==，直线250xy+−=的斜率是2−，故其垂线的斜率是：12，∴所求方程是：()1212

yx−=−，即230xy−+=，故选：D【点睛】本题主要考查两条直线的交点坐标，以及两直线垂直的应用，属于简单题.4.直线5xy+=与直线3xy−=交点坐标是（）A．()1,2B．()4,1C．()3,2

D．()2,1【答案】B【解析】联立两直线方程得到方程组，解方程组即交点坐标.【详解】解：由53xyxy+=−=得41xy==，因此，所求交点坐标为()4,1．故选：B【点睛】本题考查两直线的交点坐标的求解，

属于基础题.5.直线1l:230xy+−=与2l:60xy−+=交点的坐标为（）A．()1,5−B．()1,1C．()2,4−D．()2,1-【答案】A【分析】联立直线方程得到方程组，解得即可；【详解】解：联立方程得230,60,xyxy+−=−+=解得1,5.xy=−

=，所以直线1l:230xy+−=与2l:60xy−+=交点的坐标为()1,5−故选：A题型2两点间的距离6.已知点(),2Pa，()2,3Q−−，()1,1M，且PQPM=，则a的值是（）A．2−B．2C．92−D．92【答案

】C【分析】根据平面直角坐标系上任意两点间的距离公式计算可得；【详解】解：因为点(),2Pa，()2,3Q−−，()1,1M，且PQPM=，所以()()()()2222223121aa−−+−−=−+−.解得92a=−.故选：C.【点睛】本题考查平面直角坐标系上

两点间的距离公式的应用，属于基础题.7.已知点(x，y)到原点的距离等于1，则实数x，y满足的条件是（）A．x2－y2＝1B．x2＋y2＝0C．22xy+＝1D．22xy+＝0【答案】C【分析】由两点间的距离公式即可求结果.【详解】由两

点间的距离公式得：221xy+=故选：C8.已知过点(0，2)的圆C的圆心在直线20xy+=上，则圆C的面积最小时圆C的方程是（）A．22484555xy++−=B．2248165525xy++−=C．22484555xy−++=

D．2248165525xy−++=【答案】A【分析】利用点到直线的距离求出半径的最小值，由两直线的交点坐标求出圆心坐标，从而得到圆的方程；【详解】解:据题设分析知，圆C半径

r的最小值min22|20120|2521r++==+，此时圆C的圆心为直线20xy+=与直线()1202yx−=−（直线240xy−+=)的交点．联立方程20240xyxy+=−+=，解得4585

xy=−=，所以所求圆C的方程是22484555xy++−=故选：A【点睛】本题考查点到直线的距离公式的应用，直线的交点坐标以及圆的标准方程的计算，属于中档题.9.（多

选题）对于225xx++，下列说法正确的是（）A．可看作点(),0x与点()1,2的距离B．可看作点(),0x与点()1,2−−的距离C．可看作点(),0x与点()1,2-的距离D．可看作点(),1x−与点()1,1−的距离【答案】BCD【分析】化简225xx++=()(

)()()2222102111xx++=++−−，结合两点间的距离公式，即可求解.【详解】由题意，可得()222514xxx++=++=()()()()2222102111xx++=++−−，可看作点(),0x与点()1,2−−的距离，可看作点(),0x与点()1,2-的距离，可看作点(),1

x−与点()1,1−的距离，故选项A不正确，故答案为：BCD.【点睛】本题主要考查平面上两点间的距离公式及其应用，其中解答中熟记平面上两点间的距离公式是解答的关键，属于基础题.10.已知点()Pxy，在直线10xy＝++上运动，则()()2211xy+－

－取得最小值时点P的坐标为_______．【答案】11,22−−【分析】将所求目标()()2211xy−+−转化为直线上的点(),xy到点()1,1的距离，可得点()1,1与直线垂直时两点间的距离最小，从

而得到过点()1,1且与直线垂直的直线，然后联立得到点P的坐标.【详解】()()2211xy+－－转化为直线10xy++＝上的点(),xy到点()1,1的距离的平方，又点()1,1到直线10xy++＝的距离最小，过点()1,1且与直线10xy++＝垂直的直线为yx=因此两直线联立，10xyy

x++==，解得1212xy=−=−故点P的坐标为11,22−−【点睛】本题考查定点到直线上点的距离的最小值，直线交点问题，属于简单题.题型3直线过定点问题11.已知,

ab满足21ab+=，则直线30axyb++=必过定点（）A．1,23−B．11,26C．11,26−D．12,3−【答案】D【分析】本题先代换得12ba=−，

再化简直线方程为(2)310axy−++=，最后建立方程组求所过定点.【详解】由21ab+=，得12ba=−，代入直线方程30axyb++=中，得3120axya++−=，即(2)310axy−++=.令

20,310,xy−=+=解得2,1,3xy==−该直线必过定点12,3−.故选：D.【点睛】本题考查直线所过定点问题，是基础题.12.若直线1:1lykxk=−+与直线2l关于点(3,3)对称，则直线2l一定过定点（）A．(3,

1)B．()2,1C．()5,5D．(0,1)【答案】C【解析】求出直线l1过定点，结合点的对称性进行求解即可．【详解】∵1ykxk=−+＝k（x﹣1）+1，∴l1：y＝kx﹣k+1过定点（1，1），设定点（1，1）关于点（3，3）对称的点的坐标为（x，y），则132132xy+=

+=，得55xy==，即直线l2恒过定点()5,5故选：C【点睛】本题主要考查直线过定点问题，利用点的对称性是解决本题的关键．13.动点P在直线10xy+−=上运动，()1,1Q为定点，当PQ最小时，点P的坐标为．【答案】11,22【分析】当PQ与直

线10xy+−=垂直时，PQ最小，利用直线垂直的条件和点斜式方程求得过点Q与直线10xy+−=垂直的直线方程，然后联立方程组求解即得.【详解】当PQ与直线10xy+−=垂直时，PQ最小，直线10xy+−=的斜率为1−，∴其垂线的斜率为1，∴过点Q与直线10xy+−=垂直的直线方程为1

1yx−=−,即0xy−=,由100xyxy+−=−=解得12xy==,∴当PQ最小时，点P的坐标为11,22，故答案为：11,22.【点睛】本题考查直线上动点到定点的距离最小问

题，涉及直线的垂直的条件，直线方程的求法，两直线的交点坐标的求法，属中档题，难度一般.14.（多选题）两直线(2)0mxym+−+=，0xy+=与x轴相交且能构成三角形，则m不能取到的值有A．3−B．2−C．1−D．0【答案】ABD【解析】求出直线()20mxym+−+

=经过的定点，利用三条直线不能构成三角形求得m的值，即可得到结论.【详解】由题知，三条直线相交于同一个点时，此时0m=，此时不能构成三角形；直线()20mxym+−+=整理得：()()120mxxy++−=，由1020xxy+=−=，解得12xy=−=−，即直线()

20mxym+−+=经过定点()1,2−−，当直线()20mxym+−+=的斜率20km=+=，即2m=−时，此时直线=2y−，0xy+=与x轴不能构成三角形；当直线()20mxym+−+=与直线0x

y+=平行时，即3m=−时，三条直线不能构成三角形；综上：两直线()20mxym+−+=，0xy+=与x轴相交不能构成三角形的m的取值为：0m=或2m=−或3m=−.故选：ABD.【点睛】本题考查了三点共线，两条直线平行与倾斜角、斜率的关系，训练了线系方程过定点的求法．15.（多选

题）下列说法正确的是（）A．直线()24Ryaxaa=−+必过定点()2,4B．直线310xy−−=在y轴上的截距为1C．过点()2,3−且垂直于直线230xy−+=的直线方程为210xy++=D．直线310xy++=的倾斜角为120°【答案】AC【分析】对于A，

整理直线方程，合并出参数的系数，令其等于零，建立方程，可得答案；对于B，将0x=代入直线方程，结合截距的定义，可得答案；对于C，根据直线之间的垂直关系，设未知直线方程，代入点，可得答案；对于D，根据直线的

一般式方程，明确直线的斜率，可得答案.【详解】对于A，由直线方程24yaxa=−+，整理可得()24yax=−+，当2x=时，4y=，故A正确；对于B，将0x=代入直线方程310xy−−=，可得10y−−=，解得1y=−，故B错误；对于C

，由直线方程230xy−+=，则其垂线的方程可设为20xyC++=，将点()2,3−代入上式，可得()2230C−++=，解得1=C，则方程为210xy++=，故C正确；对于D，由直线方程310xy++=，可得其斜率为33−，设其倾斜角为，

则3tan3=−，解得150=，故D错误.故选：AC.【能力提升】一、单选题1.直线x-y+2＝0与x+y-2＝0的交点坐标是（）A．（0，2）B．（2，0）C．（1，1）D．（-1，1）【答案】A【分析】联立方程组进行求解即可求出直线的交点坐标．【详解】由2020xyxy−

+=+−=，得02xy==，即交点坐标为(0，2).故选：A．2.若直线l1：y＝kx＋1与l2：x－y－1＝0的交点在第一象限内，则k的取值范围是（）A．(1，＋∞)B．(－1，1)C．(－∞

，－1)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)【答案】B【分析】联立直线方程求出焦点坐标，根据交点在第一象限列出不等式可求出.【详解】联立直线方程110ykxxy=+−−=，解得2111xkkyk=−+=−，∵直线的交点在第一象限，

201101kkk−+−，∴解不等式组可得11k−.故选：B．3.经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0平行的直线l的方程为A．3x－4y＋8＝0B．3x－4y＋6＝0C．4x＋3y－6＝0D．4x＋

3y＋6＝0【答案】A【分析】联立l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0，求出交点P，代入3x－4y＋c＝0中即可求出.【详解】设所求直线方程为3x－4y＋c＝0，联立24020xyxy−+=+−=解得(0,2)P，代入3x－4y＋c

＝0，解得8c=，故所求直线为：3x－4y＋8＝0故选A.【点睛】本题主要考查了两直线的交点，直线的平行，属于中档题.4.直线210kxyk−++=与240xy+−=的交点在第四象限，则k的取值范围为（）A．()6,2−−B．1,

06−C．11,26−−D．11,62−−【答案】C【解析】联立方程可直接求出交点坐标，令交点的横坐标大于零，纵坐标小于零，解不等式组即可.【详解】解：直线210kxyk−++=与240xy+−=的交点在第四象限，210

k+，联立方程：210240kxykxy−++=+−=，解得24216121kxkkyk−=++=+，即2402161021kxkkyk−=++=+，解得：1126k−−.故选：C.5.点()01

−，到直线(2)1ykx=−+距离的最大值为（）A．1B．22C．2D．3【答案】B【分析】首先求直线恒过的定点，将点到直线的距离的最大值转化为两点间距离.【详解】直线()21ykx=−+恒过点()2,1A，()0,1B−,点()01−，到

直线(2)1ykx=−+距离22dAB=，即点()01−，到直线(2)1ykx=−+距离的最大值为22.故选：B6.已知点()1,2A−，()2,7B，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P，则PA的值为（）A．1B．2C．2D．22【答案】D【分析】首先求出AB的垂直平分线方程，从而

得到()1,0P，再用两点之间距离公式计算即可.【详解】线段AB的中点坐标为127,22+，线段AB所在直线的斜率()7272213ABk−−==−−．线段AB的垂直平分线方程为27312272yx+−=−−．令0y=

，得27312272x+−=−−−．解得1x=，因此，()1,0P．()2211222PA=++=.故选：D【点睛】本题主要考查直线方程，同时考查两点之间距离公式，属于简单题.7.直线:

l(1)230mxmym−−−+=（mR）过定点A，则点A的坐标为（）A．(3,1)−B．(3,1)C．(3,1)−D．(3,1)−−【答案】B【分析】先将直线方程转化为直线系方程()230mxyx−−−+=，再求解直线20xy

−−=和30x−+=的交点即可得答案.【详解】解：根据直线(1)230mxmym−−−+=得()230mxyx−−−+=，故直线过定点为直线20xy−−=和30x−+=的交点，联立方程得2030xyx−−=−+=，解得31xy==，

所以定点A的坐标为()3,1A.故选：B.【点睛】本题考查直线过定点问题，两直线的交点坐标，考查运算能力，是基础题.8.一条光线沿直线220xy−+=照射到y轴后反射，则反射光线所在的直线方程为（）．A．220xy

+−=B．220xy++=C．220xy++=D．220xy+−=【答案】A【分析】先求出直线220xy−+=与x，y轴的交点,PQ，点P关于y轴的对称点P，反射光线所在的直线即为PQ所在的直线，由截距式方程即可求出答案.【详解】直线22

0xy−+=与x，y轴分别相交于点(1,0)P−，(0,2)Q，点P关于y轴的对称点(1,0)P．∴光线沿直线220xy−+=照射到y轴后反射，则反射光线所在的直线即为PQ所在的直线，直线方程为112xy+=，即220xy+−=.故选：A．二、多选题9.已知直线l：10x

mym−+−=，则下列说法正确的是（）．A．直线l的斜率可以等于0B．直线l恒过点()1,1C．若直线l与y轴的夹角为30，则33m=或33m=−D．若直线l在两坐标轴上的截距相等，则1m=−【答案】BC【分析】根据题意由直线的相关知识，逐个分析即可．【详解】当0m=时，直线l的斜率不存在，当0

m时，直线l的斜率为1m，不可能等于0，故A选项错误；直线l与y轴的夹角为30，直线l的倾斜角为60或120，又直线l的斜率为1m，1tan603m==或1tan1203m==−33m=或33m

=−，故C选项正确；直线l的方程可化为(1)(1)0xmy−−−=，所以直线l过定点(1,1)，故B选项正确；当0m=时，直线l在y轴上的截距不存在，当0m时，令0x=，得1mym−=，令0y=，得1xm=−，令11mmm−=−，得1m=，故D选项错误，故选：BC．10

.已知直线:10lxmym−+−=，则下列说法正确的是（）A．直线l恒过点（1，1）B．若直线l与y轴的夹角为30°，则33m=或33m=−C．直线l的斜率可以等于0D．若直线l在两坐标轴上的截距相等，则1m=或1m=−【答

案】ABD【分析】将方程化为()()110xmy−−−=判断直线过定点，判断A的正误；利用倾斜角和斜率的关系判断B的正误；讨论0m=和0m时直线的斜率和截距情况，判断CD的正误；.【详解】直线l的方程可化为

()()110xmy−−−=，所以直线l过定点()1,1，故A选项正确；∵直线l与y轴的夹角为30°，∴直线l的倾斜角为60°或120°，而直线l的斜率为1m，∴1tan603m==或1tan1203m==−，∴33m=或33m=−，故B选项正确；当0m=时，直线:1lx=，斜率

不存在，当0m时，直线l的斜率为1m，不可能等于0，故C选项错误；当0m=时，直线:1lx=，在y轴上的截距不存在，当0m时，令=0x，得1mym−=，令0y=，得1xm=−，令11mmm−=−，得1m=，故D选项正确．故选：ABD．11.（多选）过点(

)1,2A的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线的一般式方程为（）．A．10xy++=B．30xy+−=C．20xy−=D．10xy−+=【答案】CD【分析】考虑直线过原点和不过原点两种情况，进而通过斜截式和截距式求出答案.【详解】当直线过原点时，斜率20210k−==−，所

以直线方程为2yx=，即20xy−=；当直线不过原点时，设直线方程为1xyaa+=−，代入点()1,2得121aa−=，解得1a=−，所以直线方程为10xy−+=．综上所述，所求直线方程为20xy−=或10xy−+=．故选：CD.12.已知平面上三条直线1:210

lxy−+=，2:10−=lx，3:0+=lxky不能构成三角形，则实数k的值可以为（）A．2−B．1−C．0D．1【答案】ABC【分析】即找三直线其中两条平行或三线交于一点时实数k的值,【详解】依题：三条直线交于一点或其中两条平行且与第三条直线相交，①当直线0xky+

=经过直线210xy−+=与直线10x−=的交点()1,1时，10k+=，解得1k=−.②当直线0xky+=与直线210xy−+=平行时，10121k=−，解得2k=−；当直线0xky+=与直线10x−=平行时，可得0k=，综上：2k=−或0k=或1k=−.

故选:ABC.三、填空题13.已知直线l过两直线x+2y+4＝0和2x﹣3y+8＝0的交点，且过点（0，1），则直线l的方程为．【答案】440xy−+=【分析】求出两直线x+2y+4＝0和2x﹣3y+8＝0的交点，则

直线l过点（4−，0），（0，1），由此能求出直线l的方程．【详解】解：直线l过两直线x+2y+4＝0和2x﹣3y+8＝0的交点，且过点（0，1），联立2402380xyxy++=−+=，得4,0xy=−=，∴直线l过

点（4−，0），（0，1），∴直线l的方程为10140yx−−=−−，即440xy−+=．故答案为：440xy−+=．14.ABC中，()1,1,A，()5,5B−，()0,1C−，则AB边上的中线所在的直线与AC边上的高所在的直线的交点坐标为【答案】(9,2)−【解析】利用中点坐标公

式可得：线段AB的中点为(3,2)−，再利用点斜式可得AB边上的中线所在直线方程为2(1)130yx−−−+=−．利用斜率计算公式可得11201ACk−−==−，即可得出AC边上的高所在直线的方程为15(5)2yx+=−−，联立解出即可．【详解】线段AB的中点为(3,2)−，

AB边上的中线所在直线方程为2(1)130yx−−−+=−，化为330xy++=．11201ACk−−==−，AC边上的高所在直线的方程为15(5)2yx+=−−，化为250xy++=，联立330250xyxy++=

++=，解得92xy=−=．AB边上的中线所在直线与AC边上的高所在直线的交点坐标为(9,2)−．故答案为：(9,2)−．【点睛】本题考查中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、点斜式、直线的交点，考查计算能力，属于基础题．15.两直线2x-3y-12=0和x+y-1=0的交点为

，经过此交点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为或．【答案】（3，-2）2x+3y=0x+y-1=0【分析】联立两直线方程即可求得交点坐标；分类讨论直线过原点与不过原点的情况,求解直线方程即可【详解】解：联立2312010xyxy−−=+−=,解得32x

y==−,∴两直线23120xy−−=和10xy+−=的交点为()3,2−；当直线l过原点时,直线方程为23y=−,即230xy+=,当直线l不过原点时,设直线方程为xya+=,则32a−=,即1a=,∴直线

方程为10xy+−=∴经过此交点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为230xy+=或10xy+−=故答案为()3,2−；230xy+=；10xy+−=【点睛】本题考查两直线的交点坐标,考查直线的斜截式方程,考查分类讨论思

想16.直线()1230qxyq+++=必经过定点___________.【答案】11,26−【分析】根据直线方程可得(21)(3)0xqxy+++=，进而得出21030xxy+=+=，解方程组即可.【

详解】由(12)30qxyq+++=，得(21)(3)0xqxy+++=，所以21030xxy+=+=，解得1216xy=−=，即直线过定点1126−，.故答案为：1126−，四、解答题17.已知直线1l：250xy−+=，2l：2

0xy+=．（1）求直线1l与2l交点P的坐标；（2）若直线l经过点P且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的一般方程.【答案】（1）(2,1)−（2）20xy+=或10xy++=【分析】（1）直接联立直线方程组成方程组，求出交

点坐标即可．（2）利用（1）所求点P且直线经过原点或直线的斜率为1−，求出所求直线方程即可．【详解】（1）由题意，联立方程得25020xyxy−+=+=解得21xy=−=，所以P点坐标为(2,1)−（2

）由截距相等可得直线l过原点或斜率为1−①过原点，斜率为101(2)02k−==−−−，直线方程为12yx=−②斜率为1−时，直线方程为1(2)yx−=−+综上l的一般方程为20xy+=或10xy++=【点睛】本题考查直线方程的求法，直线的截距相等不可以遗漏过

原点的情况，属于基础题．18.已知两条直线分别为3x－2y＋1＝0和x＋3y＋4＝0（1）求两条直线的交点（2）求过两条直线交点且垂直于直线x＋3y＋4＝0的直线方程【答案】（1）()1,1−−；（2）320xy−+=【分析】（1）

根据两条直线方程,联立即可求得两条直线的交点坐标.（2）根据两条直线垂直的斜率关系可求得直线斜率,由点斜式即可求得直线方程.【详解】（1）两条直线分别为3210xy−+=和340xy++=则两条直线的交点为3210340xyxy−+=++=的解解方程组可得

11xy=−=−所以两条直线的交点坐标为()1,1−−（2）与直线340xy++=垂直则两条直线的斜率之积为1−即113k−=−解得3k=又因为过()1,1−−由点斜式方程可知()(

)131yx−−=−−化简得320xy−+=即过两条直线交点且垂直于直线340xy++=的直线方程为320xy−+=【点睛】本题考查了直线交点坐标的求法,两条直线垂直的斜率关系,点斜式方程的应用,属于基础题.19.已知直线1:20lxy−+=和2:0lxy+=相交

于点P.(1)若直线l经过点P且与3:220lxy+−=垂直，求直线l的方程；(2)若直线l经过点P且与4:2310lxy−−=平行，求直线l的方程.【答案】(1)230xy−+=(2)2350xy−+=【分析】

（1）联立两直线方程，求出交点坐标，设l的方程为20xym−+=，将()1,1P−代入方程，求出参数m的值，即可得解；（2）依题意设l的方程为230xyn−+=，将()1,1P−代入方程，求出参数n的值

，即可得解；【详解】（1）解：由200xyxy−+=+=，解得11xy=−=，所以1:20lxy−+=与2:0lxy+=的交点P为()1,1−设与3:220lxy+−=垂直的直线l的方程为20xym−+=，将()

1,1P−代入20xym−+=，即()2110m−−+=解得3m=，则l的方程为230xy−+=；（2）解：依题意设l的方程为230xyn−+=，将()1,1P−代入230xyn−+=，即()21310n−−+=解得5n=，∴l的方程为2350xy

−+=.20.求证：无论a取何值，方程)(12310axaya+−+−=总表示一条直线，且恒过一定点．【答案】详见解析.【分析】将方程变为()2310xyay−++−=求解.【详解】方程)(12310axaya+−+−=可变为()2310xyay−++−=，由2

3010xyy−+=−=，解得11xy=−=，又a与1-2a不可能同时为0，所以方程)(12310axaya+−+−=总表示一条直线，且恒过一定点()1,1−.