【文档说明】高二数学人教A版2019选择性必修第一册同步备课试题 1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（第1课时） Word版含解析.docx，共(37)页，5.568 MB，由小赞的店铺上传

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1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（第1课时）（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】题型1点到直线的距离1.已知四面体ABCD中，AB，BC，BD两两垂直，2BCBD==，AB与平面ACD所成角的正切值

为12，则点B到平面ACD的距离为（）A．32B．233C．55D．255【答案】D【分析】首先以B为原点，BC，BD，BA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，BAt=，根据AB与平面ACD所成角的正切值为12得到2t=，再求B

到平面ACD的距离即可.【详解】以B为原点，BC，BD，BA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示：设BAt=，0t，()0,0,0B，()2,0,0C，()0,2,0D，()0,0,At.()0,0,ABt=-，()2,0,CAt=-，()2,2,0CD=

-.设平面ACD的法向量(),,nxyz=，则20220nCAxtznCDxy=−+==−+=，令1x=，得1y=，2zt=，故21,1,nt=.因为直线AB与平面ACD所成角的正切值为12，所以直线AB与平面ACD所成角的正弦值为

55.即2255211ABnABntt==++，解得2t=.所以平面ACD的法向量21,1,2n=，故B到平面ACD的距离为22551112ABndn===++.故选：D【点睛】本题主要考查向量法求点到面的距离，同时考查线面成角问题，属于中档

题.2.已知空间直角坐标系中的三点(2,0,2)A，(0,0,1)B，(2,2,2)C，则点A到直线BC的距离为（）A．53B．23C．253D．5【答案】C【分析】由点A到直线BC的距离,向量在向量上的投影及勾股定理即可求.【详解】已知(2,0,2

)A，(0,0,1)B，(2,2,2)C，所以(2,0,1)AB=−−，(2,2,1)BC=，||3,BC=点A到直线BC的距离为()222225|5|53||3ABBCABBC−−=−=

.故选：C.3.已知空间内三点()1,1,2A，()1,2,0B−，()0,3,1C，则点A到直线BC的距离是（）．A．6B．1C．463D．233【答案】A【分析】根据空间向量数量积的坐标表示求出cosABC，利用同角三角函数的关系

求出sinABC，结合sindABABC=计算即可求解.【详解】空间内三点(1,1,2)A，(1,2,0)B−，(0,3,1)C，所以=3AB，3BC=，(1,1,1)BC=uuur，(2,1,2)BA=−uur，由cos3|333

|||3BABCABCBABC===uuruuuruuruuur，所以26sin1cos3ABCABC=−=，所以点A到直线BC的距离636sin3dABABC===.故选：A.4.（多选题）如图，在棱长为1的正方体1111

ABCDABCD−中，O为面11AABB的中心，E、F分别为BC和11DC的中点，则（）A．1BD⊥平面1AEFB．平面1ACD与平面1AEF相交C．点О到直线1AE的距离为26D．点O到平面1AEF的距离为24【答案】BC【分析】建系，利用空间向量处理线、面关系以及距离问题.【详解】如图，以

D为坐标原点建立空间直角坐标系，则有：()()()()()()11111111,0,0,0,1,0,0,0,0,,1,0,0,,1,1,,,1,0,1,1,1,1,0,0,12222ACDEFOABD

，设平面1AEF的法向量为(),,nxyz=，由11111,,0,,1,122AFAE=−=−−uuuruuur，则11102102nAFxynAExyz=−+==−+−=，令2x=，则4,3yz==，则()

2,4,3n=，设平面1ACD的法向量为(),,mabc=，由()()11,1,0,0,1,1ACCD=−=−uuuruuur，则100mACabmCDbc=−+==−+=，令1a=，则1bc==，则()1,1,1m=，对A：∵()11,1,1DB=，则243111

，即1DB与n不共线，∴1BD不与平面1AEF垂直，A错误；对B：∵243111，则m与n不共线，∴平面1ACD与平面1AEF相交，B正确；对C：∵1110,,22AO=−uuur，则11111122cos,03AOAEAOA

EAOAE==uuuruuuruuuruuuruuuruuur，即11,AOAEuuuruuur为锐角，∴211111sin,1cos,3AOAEAOAE=−=uuuruuuruuuruuur，故点О到直线1AE的距离为1112sin,6AOAOA

E=uuuruuuruuur，C正确；对D：点O到平面1AEF的距离为12958AOnn=rruuur，D错误.故选：BC.题型2点到平面的距离5.在空间直角坐标系Oxyz−中，已知()3,4,1P−，且平面OAB的法向量为()2

,2,3n=−，则P到平面OAB的距离等于（）A．23B．4C．17D．32【答案】C【分析】根据向量法计算可得.【详解】依题意()3,4,1OP=−，平面OAB的法向量为()2,2,3n=−，所以点P到平面OAB的距离()(

)()22232421317223OPndn+−−+===+−+.故选：C6.如图，在正方体1111ABCDABCD−中，棱长为2，点,EF分别为棱BC､11CD中点，则点1A到平面DEF的距离为（）A．2B．1

02121C．72323D．217【答案】B【分析】如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【详解】如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，则()()()()10,0,0,1,2,0,0,1

,2,2,0,2DEFA，则()()()12,0,2,1,2,0,0,1,2DADEDF===，设平面DEF的法向量(),,nxyz=，则有2020nDExynDFyz=+==+=，令4x=，则2,1yz=−=，所以

()4,2,1n=−，则点1A到平面DEF的距离为111111101021cos,2121DAnDAnDADAnDADAnn====.故选：B.7.如图，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，则（）A．1BCAC^B．三棱锥11BACD−

体积为13C．点1B到平面1ACD的距离为233D．1AB与平面1ACD所成角的正弦值为63【答案】BCD【分析】建立空间直角坐标系，用坐标法解空间几何体相关问题【详解】以D为坐标原点，分别以1,,DADCDD所在直线为,,xyz轴建立如图所示空间直角坐标系，则()()()()()()

1111,0,01,1,01,01,,0,,,0,1,11,1,,0,10,.ABCBCD对选项A，()()11,0,11,1,,0BCAC==−−，()()1111+0101+=BCAC=−−，所以1BC与AC不垂直.选项A不正确；对选项B，设平面1A

CD的一个法向量为(),,nxyz=，()()11,0,1,1,1,0ADAC=−=−.则100nADxznACxy=−+==−+=，令1x=，则1,1yz==，即法向量()1,1,1n=.()10,1,1AB=，1AB在法

向量n上投影的绝对值即为点1B到平面1ACD的距离，点1B到平面1ACD的距离为122210111111123.3nABhn++===++11,,ACCDAD是正方体的面对角线，1ACD是边长为2的正三角形，则1111

1123122sin.332333BACDACDVSh−===选项B正确；对选项C，由选项B的解析过程知，选项C正确；对选项D，1AB与平面1ACD所成角的正弦值等于1AB与法向量n所成角余弦值的绝对值.则112222221101111011116os,.31c

ABnBnAABn===++++++选项D正确.故选:BCD8.（多选题）在四棱锥PABCD−中，PA⊥平面,//,,2,2ABCDADBCABADADBCPA⊥==，直线PC与平面ABCD和平面PAB所成的角分别为45和30，则（）A．PAA

B=B．3PDPA=C．直线PD与平面PAC所成角的余弦值为33D．若AD的中点为E，则三棱锥PECD−的外接球的表面积为20π【答案】BD【分析】设,ABaBCb==，易得PCA即为直线PC与平面ABCD所成角的平面角，BPC即为直线PC与

平面PAB所成角的平面角，从而可求得,ABBC，即可判断AB；以点A为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可判断C；易得CDE为等腰直角三角形，则CDE外接圆的圆心1O为CD的中点，设三棱锥PECD−的外接球的球心

为O，半径为R，则1OO⊥平面ECD，设232,,22Oc，再根据OPODR==求得半径，即可判断D.【详解】设,ABaBCb==，则22ACab=+，因为PA⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以PABC⊥，则PCA即为直线PC与平面ABCD所成角的平面角，所以45PCA=

，所以ACPA=，即222ab+=，22=PC，因为,,,ABBCABPAAABPA⊥=平面PAB，所以BC⊥平面PAB，则BPC即为直线PC与平面PAB所成角的平面角，所以30BPC=，所以122

BCPC==，即2b=，所以2a=，即2AB=，故A错误；222ADBC==，则4823PD=+=，所以3PDPA=，故B正确；对于C，如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，则()()()()0,0,2,0,0,0,2,2,0,0,22,0PACD，故()()()2,2,0,0,

0,2,0,22,2ACAPPD===−，设平面PAC的法向量为(),,nxyz=，则有20220nAPznACxy===+=，可取()1,1,0n=−，则223cos,3223nPDnPDnPD

−===−，所以直线PD与平面PAC所成角的正弦值为33，余弦值为236133−=，故C错误；因为AD的中点为E，所以//AEBC且AEBC=，又ABAD⊥，所以四边形ABCE为矩形，所以,2CEADCEABDE⊥===，所以CDE为等腰直角三角

形，2CD=，则CDE外接圆的圆心1O为CD的中点，半径1r=，如图，设三棱锥PECD−的外接球的球心为O，半径为R，则1OO⊥平面ECD，设232,,22Oc，则OPODR==，即()22191122222cc++−=++，解得2c

=，所以114522R=++=，所以三棱锥PECD−的外接球的表面积为24π20πR=，故D正确.故选：BD.【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：（1）

定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的

半径的方程，并求解.题型3.异面直线间的距离9.（多选题）如图，在棱长为1正方体1111ABCDABCD−中，M为11BC的中点，E为11AC与1DM的交点，F为BM与1CB的交点，则下列说法正确的是（）A．11AC与1DB垂直B．EF是异面

直线11AC与1BC的公垂线段，C．异面直线11AC与1BC所成的角为π2D．异面直线11AC与1BC间的距离为33【答案】ABD【分析】建立空间直角坐标系，运用空间向量逐项分析.【详解】以D为原点，DA为x轴

，DC为y轴，1DD为z轴，建立如下图所示坐标系：则：()()()()()()()11110,0,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0,1,0,1,1,1,1,0,1,1,,1,12DABCABCM，()()()11111110,0,1,,1,0,1,1,0,1,

0,02DDMACDA==−=，设()()0001111011101,,,,,,,ExyzFxyzAEACDEDM==，则有：()10101111011011111,2DEDMDCDAAEACDCDA==+==−

，又()11110111111011111,2DEDAAEDCDADADCDA=++=+−，解得0023==，()()100021,,11,1,03AExyz=−−=−，00013231xyz===，12,,133E，同理可得22,

1,33F；对于A，()111,1,0=−AC，()11,1,1DB=−−，1110ACDB=，正确；对于B，111,,333EF=−，()11111111,0,1,0,0,,BCEFBCEFACEF

BCEFAC=−−==⊥⊥，即111,EFBCEFAC⊥⊥，又111,EFACEEFBCF==,故EF是异面直线11AC与1BC的公垂线段，正确；对于C，设11AC与1BC所成的角为，则1111111cos2ACBCACBC==，0,2，π3=，错误

；对于D，由B知EF是11AC与1BC的公垂线段，13393EF==，正确；故选：ABD.10.（多选题）在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，E为线段1DD的中点，F为线段1BB的中点，则（）A．点1A到直线1BE的距离为23B．直

线1FC到直线AE的距离为305C．点1A到平面1ABE的距离为23D．直线1FC到平面1ABE的距离为13【答案】BD【分析】建立坐标系，求出向量11AB在单位向量11||BEuBE=上的投影，结合勾股定理可得点1A到直线

1BE的距离，判断A；先证明1//,AEFC再转化为点F到直线AE的距离求解，判断B；求解平面的法向量，利用点到平面的距离公式进行求解，判断C；把直线1FC到平面1ABE的距离转化为1C到平面1ABE的距离，利用法向量进行求解，判断D.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则

11111(1,0,1),(1,1,1),(0,0,),(1,1,),(0,1,1),(1,0,0).22ABEFCA因为1111111221(1,1,),(,,),(0,1,0)2333||BEBEuABBE=−−−==−−−=，所以11123ABu=−.所以点1A到直线1BE的距离

为221111145()193ABABu−=−=，故A错误；因为111(1,0,),(1,0,),22AEFC=−=−所以1//AEFC，即1//,AEFC所以点F到直线AE的距离即为直线1FC到直线AE的

距离，22551(,0,),(0,1,)552||AEuAFAE→==−=，2255,,410AFAFu→==所以直线1FC到直线AE的距离为25530()4105−=，故B正确；设平面1ABE的一个法向量为(),,nxyz=，11

(0,1,1),(1,0,),2ABAE==−1(0,0,1)AA=.由10,10,2nAByznAExz=+==−+=令2z=，则2,1yx=−=，即(1,2,2)n=−.设点1A到平面1ABE的距离为d，则

123AAndn==，即点1A到平面1ABE的距离为23，故C错误；因为1//,AEFC1FC平面1ABE，AE平面1ABE，所以1//FC平面1ABE，所以直线1FC到平面1ABE的距离等于1C到平面1ABE的距离.()111,0,0CB=，由（3）得

平面1ABE的一个法向量为(1,2,2)n=−，所以1C到平面1ABE的距离为1113CBnn=，所以直线1FC到平面1ABE的距离为13，故D正确.故选：BD11.正四棱锥SABCD−的高2SO=，底边长2AB=，则

异面直线BD和SC之间的距离A．155B．55C．255D．510【答案】C【分析】利用坐标法，利用异面直线距离的向量公式即求.【详解】建立如图所示的直角坐标系，则22(,,0)22A−，22(,,0)22B，22(,,0)22C−，22(,,0)22D−−，(0,0,2)S．(2,2

,0)DB=，22(,,2)22CS=−．令向量(,,1)nxy=，且,nDBnCS⊥⊥，则0{0nDBnCS==，(,,1)(2,2,0)0{22(,,1)(,,2)022xyxy=−=，0{220xyxy+=−+=，2{2xy=−=，(2,2,1)n=−．异面直线B

D和SC之间的距离为：OCndn=22(,,0)(2,2,1)22(2,2,1)−−=−222110255(2)(2)1++==−++．故选：C.12.（多选题）如图，1111-ABCDABCD为正方体，边长为1，下

列说法正确的是（）A．1AC⊥平面11CBDB．A到面11CBD的距离为233C．异面直线BD与1CD的距离为33D．异面直线BD与1CB的夹角为π6【答案】ABC【分析】先建立空间直角坐标系，然后利用向量法分别判断4个选项即可.【详

解】选项A：如图建立空间直角坐标系，由题意，()0,0,0D，()100A，，，()10,1,1C，()0,1,0C，()11,1,1B，()10,0,1D，()11,1,1AC=−，()11,0,1BC=−−，()111,1,0BD=−−，110ACBC=，1110

ACBD=，所以111BDAC⊥，11BCAC⊥又因11BD平面11CBD，1BC平面11CBD，1111=BDBCB，所以1AC⊥平面11CBD，A正确；B选项：由A知()11,1,1AC=−为平面11C

BD的法向量，()10,1,1AB=，所以A到面11CBD的距离为111223==33ACABAC，故B正确，C选项：()1,1,0B，()1,1,0DB=，()10,1,1CD=−，设异面直线BD与1CD的公共法向量为(),,nxyz=r，则0DBnxy=+=，10nCDyz

=−+=，令1x=，则1y=−，1z=−，()1,1,1n=−−()1,0,0BC=−,则异面直线BD与1CD的距离为1333BCnn==，故C正确，D选项：()1,1,0DB=，()11,0,1BC=−−，111

11cos,222DBBCDBBCDBBC−===−，所以异面直线BD与1CB的夹角的余弦值为12，夹角为π3故D错误，故选：ABC题型4.平面与平面间的距离13.在边长为1的正方体1111ABCDABCD−中．平面1ABC与平面11ADC之间的距离为（）A．33B．1C．22D．233

【答案】A【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】解：建立如图所示的直角坐标系，则1(1,0,0)A，1(0,1,0)C，(0,0,1)D，(1,0,1)A，所以1(1,0,1)DA=−，1(0,1,1)DC=−，(1,0,0)AD=−，设平面11A

CD的一个法向量(,,)mxyz=，则1100mDAxzmDCyz=−==−=，令1z=得11xy==，故(1,1,1)m=，显然平面1//ABC平面11ADC，所以平面1ABC与平面11ADC之

间的距离1333ADmdm===．故选：A14.已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为a，则平面11ABD与平面1BDC的距离为（）A．2aB．3aC．23aD．33a【答案】D【分析】建立空间直角坐标系，用空间向量求解【

详解】由正方体的性质，1AB∥1DC,11DB∥DB，1111ABDBB=，1DCDBD=，易得平面11ABD∥平面1BDC，则两平面间的距离可转化为点B到平面11ABD的距离．以D为坐标原点，DA，DC，1DD所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建

立空间直角坐标系，则(),0,0Aa，(),,0Baa，()1,0,Aaa，()0,,0Ca，()1,,Baaa，()10,0,Da所以()1,,CAaaa=−，()0,,0BAa=−，()10,,ABaa=，()11,,0aDBa=−−．连接1AC，由()()11,,0,,0ABAaaaaCa

==−，()()111,,00,,CADBaaaaa=−−=−，且1111ABBDB=I，可知1AC⊥平面11ABD，得平面11ABD的一个法向量为()1,1,1n=−，则两平面间的距离333BAnadan

===．故选：D15.在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，则平面1ABC与平面11ACD之间的距离为A．36B．33C．233D．32【答案】B【分析】建立如图所示的直角坐标系，求得(1,0,0)AD=−和平面11ACD的一个法

向量(1,1,1)=m，利用向量的距离公式，即可求解．【详解】建立如图所示的直角坐标系，则1(1,0,0)A，1(0,1,0)C，(0,0,1)D，(1,0,1)A，所以1(1,0,1)DA=−，1(0,1

,1)DC=−，(1,0,0)AD=−，设平面11ACD的一个法向量(,,1)xy=m，则11mDAmDC⊥⊥，即111010mDAxmDCy=−==−=，解得11xy==，故(1,1,1)=m，显然平面1ABC∥平面11AC

D，所以平面1ABC与平面11ACD之间的距离||13||33ADd===mm．【点睛】本题主要考查了空间向量在求解距离中的应用，对于利用空间向量求解点到平面的距离的步骤通常为：①求平面的法向量；②求斜线段对应的向量在法向量上的投影的绝对值，即为点到

平面的距离．空间中其他距离问题一般都可转化为点到平面的距离求解．着重考查了推理与运算能力，属于基础题.16．两平行平面，分别经过坐标原点O和点()2,1,1A，且两平面的一个法向量()1,0,1n=−，则两平面间的距离是()A．32B．22C．3D．32【答案】B【详解】两平行平面

，分别经过坐标原点O和点()2,1,1A，()2,1,1OA=，且两平面的一个法向量()1,0,1,n=−两平面间的距离201222nOAn−++===，故选B.【能力提升】一、单选题1.在空间直角坐标系中，已知()()()1,1,0,4,3,0,5,4,

1ABC−−，则A到BC的距离为（）A．3B．583C．2173D．783【答案】D【分析】根据题意，由点的坐标即可得到空间向量的坐标，然后由坐标运算公式即可得到结果.【详解】由已知，()()3,4,0,1,1,1,5,3,7BABCBABCBABC=−

−=−===−所以A到BC的距离为22492678||25333BABCBABC−=−==，故选:D．2.如图是一棱长为1的正方体，则异面直线1AB与11BD之间的距离为（）A．3B．33C．12D．22【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，

求出与11DB和1ABuuur垂直的向量坐标，求出异面直线间的距离.【详解】以D为原点，DA，DC，1DD分别为x，y，z轴，建立如图空间直角坐标系，则11(1,1,0)DB=，1(0,1,1)AB=−，设(,,)nxyz=与11

DB和1ABuuur都垂直，则11100DBnABn==，即00xyyz+=−=，取(1,1,1)n=−−r，又因为11(1,0,0)DA=，所以异面直线11DB和1AB间的距离为111333DAnn==.故选：B.3.已知平面的一个法向量(2,2,1)n=−−，

点(1,3,0)A−在内，则(2,1,4)P−到的距离为（）A．10B．3C．83D．103【答案】D【分析】根据题意，利用空间向量法计算空间点到平面的距离，即可求解.【详解】由题意得，(1,2,4)AP=−−，则(2,1,4)P−到平面的距离为(1,2,4

)(2,2,1)1033APndn−−−−===.故选：D.4.如图，已知111ABCABC-是侧棱长和底面边长均等于a的直三棱柱，D是侧棱1CC的中点.则点C到平面1ABD的距离为（）A．24aB．28aC．324

aD．22a【答案】A【分析】取AB的中点O，连接CO，以点O为坐标原点，OB、OC、1BB的方向分别为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点C到平面1ABD的距离.【详解】取AB的中点O，连接CO，因为ABC为等边三角形，O为AB的中点，则COAB⊥，

以点O为坐标原点，OB、OC、1BB的方向分别为x、y、z轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则30,,02Ca、,0,02aA−、1,0,2aBa、30,,22aDa

，设平面1ABD的法向量为(),,nxyz=，()1,0,ABaa=，3,,222aaADa=，由1030222nABaxazaanADxayz=+==++=，取1x=，可得()1,0,1n=−，3,

,022aACa=，所以，点C到平面1ABD的距离为2242aACnadn===.故选：A.5.已知()1,1,1a=为平面的一个法向量，()1,0,0A为内的一点，则点()1,1,2D到平面的距离为（）A．3B．3C．355D．153【答案

】B【分析】根据给定条件，利用空间向量点到平面的距离公式计算作答.【详解】依题意，(0,1,2)AD=，所以点D到平面的距离222|||101112|3||111aADda++===++.故选：B6.在棱长为2的正方体1111A

BCDABCD−中，分别取棱1AA，11AD的中点E，F，点G为EF上一个动点，则点G到平面1ACD的距离为（）A．32B．22C．1D．33【答案】D【分析】将点G到平面1ACD的距离转化为点F到平面1ACD的距离，建立

空间直角坐标系求解.【详解】如图所示，因为点E，F分别是1AA，11AD的中点，所以1//EFAD，又因为1AD平面1ACD，EF平面1ACD，所以//EF平面1ACD，点G到平面1ACD的距离即为点E或F到平面1ACD的距离.

设F到平面1ACD的距离为d，建立如图所示的空间直角坐标系，()2,0,0A，()0,2,0C，()10,0,2D，()2,2,0AC=−，()12,0,2AD=−，设平面1ACD的法向量为(),,nxy

z=r，则有100ACnADn==，得220220xyxz−+=−+=，可求得平面1ACD的法向量为()1,1,1n=，()1,0,2AF=−，所以33nAFdn==.故选：D.7.正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，则平面11ABD与

平面1BDC的距离为（）A．2B．3C．23D．33【答案】D【分析】将平面11ABD与平面1BDC的距离转化为点B到平面11ABD的距离，建立空间直角坐标系，，然后用空间向量求解【详解】由正方体的性质：1AB∥1DC,11DB∥DB，1111ABDBB=，1DCDBD=，且1AB

平面11ABD，11DB平面11ABD，1DC平面1BDC，DB平面1BDC，所以平面11ABD∥平面1BDC，则两平面间的距离可转化为点B到平面11ABD的距离．以D为坐标原点，1,,DADCDD所在的直线分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系，如图所

示：由正方体的棱长为1，所以()1,0,0A，()1,1,0B，()11,0,1A，()0,1,0C，()11,1,1B，()10,0,1D所以()11,1,1CA=−，()0,1,0BA=−，()10,1,1AB=，()111,

1,0BD=−−．连接1AC，由()()()1101,1,10,1,1101111CAAB==−+−+=，()()()()()11111,1,011111001,,1CADB−−=−+−−+==

−，所以1111111111,CABABBACACABDCAD⊥⊥⊥⊥，且1111ABBDB=I，可知1CA⊥平面11ABD，得平面11ABD的一个法向量为()11,1,1CnA==−，则两平面间的距离

：()()()2221133131110110BAndn+−−==+−+==+．故选：D.8.在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，下列说法不正确的是（）A．直线BC与平面11ABCD所成的角为π3B．11ACAD⊥C．三棱锥11BABD−外接球的表面积为

12πD．平面1ABD与平面11BDC的距离为233【答案】A【分析】根据线面角的定义即可判断A，建立空间直角坐标系，通过空间向量的坐标运算即可判断BD，由三棱锥11BABD−外接球与正方体的外接球相同即可判断C.【详解】连接1BC，与1BC相交于O点，因为11

DC⊥平面11BBCC，且11BC平面11BBCC，所以111DCBC⊥，又因为11BCBC⊥，1111BCDCC=，所以1BC⊥平面11BBCC，即直线BC与平面11ABCD所成的角为1CBC，且1π4CBC=，故A错误；连接111

,,,ACADBDAB，以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则()()()()()112,0,0,0,2,2,2,0,2,0,0,0,2,2,0ACADB，则()()()112,2,2,2,2,0,2,0,2ACDBDA=−==设平面1DAB的法向量为(),,nxyz=，

则1220220nDBxynDAxz=+==+=，解得yxxz=−=−，取1x=，则1,1yz=−=−所以()1,1,1n=−−，则12ACn=−，所以1AC⊥平面1DAB，且1AD平面1DAB，则1AC⊥1AD，故

B正确；因为三棱锥11BABD−外接球就是正方体1111ABCDABCD−的外接球，设其外接球的半径为R，则2222222R=++，即3R=，所以24π12πSR==，故C正确；因为11,BDBDBD//平面111,ABDBD平面1,ABD所以11//BD平面1,

ABD同理1//BC平面1,ABD又1111111,,BDBCBBDBC=平面11BDC,所以平面1//ABD平面11BDC，由B选项可知，平面1DAB的法向量为()1,1,1n=−−，且()112,0,0DA=，则两平面间的距

离1122333DAndn===，故D正确.故选:A二、多选题9.已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，H为棱1AA（包含端点）上的动点，下列命题正确的是（）A．CHBD⊥B．二面角11DABC−−的大小为3C．点

H到平面11BCD距离的取值范围是323,33D．若CH⊥平面，则直线CD与平面所成角的正弦值的取值范围为32,32【答案】ACD【分析】根据几何体为正方体可建立如图所示的空

间直角坐标系，求出,CHDB的坐标后利用数量积可判断A的正误，求出平面1ABC的法向量和平面11ABD的法向量可利用数量积计算夹角的余弦值后可判断B的正误，利用点到平面的距离的公式计算后可判断C的正误，最后利用直线CD和平面的法向量计算线面角的正弦值后

可判断D的正误.【详解】由正方体可建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()()()()1110,0,0,1,1,0,0,1,0,1,0,0,0,0,1,0,1,1,1,1,1DBCADCB，设()1,0,Hh，其中01h，对于A：()()

1,1,,1,1,0CHhDB=−=，故0CHDB=即CHBD⊥，故A正确.对于B：()10,1,1AB=，()()11,0,1,1,1,0ADAC=−=−，设平面11ABD的法向量为(),,mxyz=，则11

00mABmAD==，即00yzxz+=−+=，取1z=，则1,1xy==−，故()1,1,1m=−.设平面1ABC的法向量为(),,nabc=，则100nABnAC==，即00bcab+=−

+=，取1b=，则1,1ac==−，故()1,1,1n=−.故11cos,333mn−==−，而二面角11DABC−−为锐二面角，故其余弦值为13，不为12，故二面角11DABC−−的平面角不是π3，故B错误.对于C：()

111,1,0DB=，()10,1,1DC=−，设平面11CBD的法向量为(),,kpqr=，则11100kDBkDC==，即00pqqr+=−=，取1q=，则1,1pr=−=，故()1,1,1k=−.而()10,1,1

BHh=−−，故H到平面11CBD的距离为22323,3333hBHkhBHBHk−−==，故C正确.对于D：设直线CD与平面所成的角为.因为CH⊥平面，故()1,1,CHh=−为平面的法向量，而()0,1,0DC=，故2211sincos,22DCCHhh

===++，而21320,1,,322hh+，故D正确.故选：ACD.【点睛】思路点睛：空间中位置关系的判断、角的计算或范围的判断，可结合几何体的规则性建立合适空间直角坐标系，通过向量的共线、向量的数量积等来判断位置关系，通过平面的法向量、直线的法向量等来处

理相关角的计算或范围问题.10.在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，P，Q分别是棱BC，1CC的中点，点M满足BMtBA=，[0,1]t，下列结论正确的是（）A．若1t=，则11//AB平面MPQB．若1t=，则过点M，P，Q的截面面积是92C．若12t=，则点1

A到平面MPQ的距离是36D．若12t=，则AB与平面MPQ所成角的正切值为22【答案】BD【分析】1t=时有M与A重合，对于A选项，可以利用反证法判定；对于B选项，根据平面的性质计算即可；12t=时，M为AB中点，对于CD选项，建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量处理即可.【

详解】如图所示，1t=时有M与A重合，对于A选项，延长PQ交BB1于L，连接AL，易得平面1AB平面MPQ=AL，若11//AB平面MPQ，则11ABAL∥，显然11∥ABAB，且B、L不重合，矛盾，故A错误；对于B项，连接AD1、D1Q

，易知平面APQD1即该截面，显然该截面为等腰梯形，易得111252PQADDQAP====，，()21292225222S=+−=，故B正确；如图所示，12t=时，M为AB中点，以D为中心建立空间直角坐标系，则()()()(

)()()12101200212,0,22,0,02,2,0MPQAAB,,、,,、,,、、、，()()()()11,1,0,2,1,10,1,2,0,1,0MPMQMAMB=−=−=−=,，设平面MPQ的法向量为(),,nxyz=，则00200nMPx

yxyznMQ=−+=−++==，令1x=，则1yz==，故()1,1,1n=对于C项，设点1A到平面MPQ的距离为d，则133MAndn==，即C错误；对于D项，设AB与平面MPQ所成角为，则3sincos,3nMBnMBnMB===，所以62cos,t

an32==，即D正确.故选：BD11.在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，下列结论正确的是（）A．异面直线AC与1BC所成的角为3B．1DA是平面11ABCD的一个法向量C．直线11AB到平面11ABCD的距离为32D．平面1ABC与平面111

ACD间的距离为33【答案】ABD【分析】对A，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量关系可求出；对B，说明1DA⊥平面11ABCD即可；对C，等价于点1B到直线1BC的距离；对D，根据向量关系可求出.【详解】如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz

−，则11(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)DACBAC，所以(1,1,0)AC=−，1(1,0,1)BC=−，设异面直线AC与1BC所成的角为，则111cos2ACBCACBC==

，因为0,2，所以3=，故A正确；在正方体1111ABCDABCD−中，AB⊥平面11ADDA，1DA平面11ADDA，所以1DAAB⊥，又11DAAD⊥，1ADABA=，1AD，11ABABCD平面，所以1DA⊥平面11ABCD，所以1DA是

平面11ABCD的一个法向量，故B正确；因为1111//,ABABAB平面11ABCD，所以直线11//AB平面11ABCD，则直线11AB到平面11ABCD的距离等于点1B到平面11ABCD的距离，等于点1B到直线1BC的距离，为22，故C错误；设平面11ACD的一个法向量(,,1)xn

y=，则1100nDAnDC==，即101101xxyy+==−+==−，所以(1,1,1)n=−−，则平面1ABC与平面11ACD间的距离222(1,0,0)(1,1,1)33(1)(1)1ADndn−

−−===−+−+，故D正确．故选：ABD．12.已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为，点E，O分别是11AB，11AC的中点，P在正方体内部且满足1132243APABADAA=++，则下列说法正确的是（）A．BE与平面11ABC

D所成角的正弦值是105B．点O到平面11ABCD的距离是22C．平面1ABD与平面11BCD间的距离为33D．点P到直线AD的距离为56【答案】ACD【分析】以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，求出所需直

线的方向向量以及平面的法向量，然后利用向量法求解直线与平面所成的角、点到直线的距离、点到平面的距离，即可求解．【详解】解：以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，所以(0A，0，0)，(1B，0，0

)，(0D，1，0)，1(0A，0，1)，111(1,1,1),(0,1,1),(,0,1)2CDE，则1(1,0,0),(,0,1)2BABE=−=−，而平面11ABCD的一个法向量为1(0,1,1)DA=−，设BE与平

面11ABCD所成角为，则()122122110sin511112BEDABEDA===−+−+，所以BE与平面11ABCD所成角的正弦值是105，故选项A正确；因为111111(,,

0)222COCA==−−，而平面11ABCD的一个法向量为1(0,1,1)DA=−，则点O到平面11ABCD的距离11211||224||2DACOdDA===，故选项B错误；因为1111(1,0,1),(0,1,1),(0,1,0)ABA

DAD=−=−=，设平面1ABD的法向量为(,,)nxyz=，则1100nABnAD==，即00xzyz−=−=，令1z=，则1y=，1x=，故(1,1,1)n=，所以点1D到平面1ABD的距离113||133||3ADndn===，因为平面1//

ABD平面11BCD，则平面1ABD与平面11BCD间的距离等于点1D到平面1ABD的距离，故平面1ABD与平面11BCD间的距离为33，故选项C正确；因为1312423APABADAA=++，则312(,,)423AP=，

又(1,0,0)AB=，则34||APABAB=，所以点P到AB的距离22||18195||()144166||APABdAPAB=−=−=，故选项D正确．故选：ACD．三、填空题13.如图，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，（1）点A

到直线1BD的距离等于____________；（2）直线AC到平面11ABC的距离等于____________．【答案】6333.【分析】利用坐标法，根据点到直线的距离的向量求法可得点A到直线1BD的距离，利用点到平面的距离公式可得点A到平面11ABC的距离，进而可得直线AC到平面11A

BC的距离.【详解】如图建立空间直角坐标系，则()()()11,0,0,1,1,0,0,0,1ABD，所以()()10,1,0,1,1,1ABBD==−−，所以点A到直线1BD的距离等于2221116133ABB

DABBD−=−=；由题可知()()()111,0,1,0,1,1,0,1,0ACC，所以()()()1111,1,0,1,0,1,1,1,0ACBCAC=−=−=−，设平面11A

BC的法向量为(),,nxyz=r，则11100nACxynBCxz=−+==−+=，令1x=，可得()1,1,1n=，所以点A平面11ABC的距离为1333ABnn==，又0ACn=，所以ACn⊥，AC平面11ABC，所以//AC平面11ABC，所以点A到平面11A

BC的距离等于直线AC到平面11ABC的距离为33.故答案为：63；33.14.已知平面α的一个法向量(2,2,1)n=−−，点(1,3,0)A−在α内，则(2,1,4)P−到α的距离为【答案】103【分析】由向量的坐标运算得AP，再由P平面的距离APndn=

即可求解.【详解】由题意，得()1,2,4AP=−−，又知平面的一个法向量(2,2,1)n=−−，则P到平面的距离222244103(2)(2)1APndn++===−+−+.15.直线l的方向向量为(1,1,0)m=，且l过点(1,1,1)A，则点(2,

2,1)P−到直线l的距离为A．2B．3C．2D．3【答案】2【分析】利用向量投影和勾股定理即可计算.【详解】∵()1,1,1A，()2,2,1P−，∴()1,1,2AP=−，又()1,1,0m=，∴AP在m方向上的投影cos222APmAPAPmm===，

∴P到l距离22||(2)622dAP=−=−=.16.如图，在棱长为1的正方体ABCDABCD−中，M为BC的中点，则AM与DB所成角的余弦值为___________；C到平面DAC的距离为___________.【答案】101033【分

析】第一空根据向量法即可求得异面直线之间的夹角.第二空利用等体积法即可求得.【详解】由已知连接BD，如图所示建立空间直角坐标系,则()0,0,1A，1,1,12M，()0,1,0B，()1,0,0D1,1,02AM=()1,1,0DB

=−10cos,10AMDBAMDBAMDB==AM与DB所成角的余弦值为1010如图所示设C到平面DAC的距离为d因为CADCADCCVV−−=1111322sin6011132323dd==故答案为：1010，33四、解答题17.在正四棱柱1

111ABCDABCD−中，2AB=，14AA=，E在线段1CC上，且114CECC=.(1)求证：1AC⊥平面DBE；(2)求直线1BE与平面DBE所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)47839.【分析】（1）根据给

定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置的向量证明推理作答.（2）利用空间向量求出线面角的正弦值作答.【详解】（1）在正四棱柱1111ABCDABCD−中，1,,DADCDD两两垂直，以1,,DADCDD的方向为,,xyz轴的正方向建立空间直角坐标系Dxyz

−，如图，则()0,0,0D，()2,2,0B，()0,2,0C，()12,0,4A，()12,2,4B，()0,2,1E，()0,2,1DE=，()2,2,0DB=，()12,2,4AC=−−，于是1440

ACDE=−=，1440ACDB=−+=，即1ACDE⊥且1ACDB⊥，而,,DEDBBDEDB=平面DBE，所以1AC⊥平面DBE.（2）由（1）得()12,0,3BE=−−，1AC为平面DBE的一个法向量，因此111111412478cos,39||||132

4BEACBEACBEAC+===，所以直线1BE与平面DBE所成角的正弦值为47839.18.如图，在正三棱柱111ABCABC-中，E是线段1BC上靠近点B的一个三等分点，D是1AC的中点．(1)证明：1AD

//平面1ABE；(2)若16AAAB==，求点1A到平面1ABE的距离．【答案】(1)证明见解析(2)655【分析】（1）取线段1CE的中点G，连接11,,AGDGAB，记11ABABF=，连接EF，证

明//DGAE，1//EFAG，从而可证得平面1ADG//平面1ABE，再根据面面平行的性质即可得证；（2）取棱BC的中点O，以O为原点，分别以OB，AO的方向为x，y轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【详解】（1）取线段1CE的中点G，连接11,,AGD

GAB，记11ABABF=，连接EF，因为D，G分别是1AC，1EC的中点，所以//DGAE，因为AE平面1ABE，DG平面1ABE，所以DG//平面1ABE，由题意可知四边形11ABBA是矩形，则F是1AB的中点，因为E是BG的

中点，所以1//EFAG，因为EF平面1ABE，1AG平面1ABE，所以1AG//平面1ABE，因为1,DGAG平面1ADG，且1DGAGG=，所以平面1ADG//平面1ABE，因为1AD平面1ADG，所以1AD//平面1ABE；（2）取棱BC的中点O，以O为原点，

分别以OB，AO的方向为x，y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，因为16AAAB==，所以1(0,33,6)A−，(0,33,0)A−，1(3,0,6)B，(1,0,2)E，则1(0,0,6)

AA=−，1(3,33,6)AB=，1(2,0,4)BE=−−，设平面1ABE的法向量为(,,)nxyz=，则1133360240nABxyznBExz=++==−−=，令2x=，则0,1yz==−，所以(2,0,1)n=−，故点1A到平面1AB

E的距离166555AAndn===．19.如图，在四棱锥QABCD−中，底面ABCD是矩形，若2ADQDQA===，15CDQC==，．(1)证明：平面QAD⊥平面ABCD；(2)若EF，分别是QCQD，的中点，动点P在线段EF上

移动，设为直线BP与平面ABCD所成角，求sin的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)339,413【分析】（1）由222QCQDCD=+，得到CDQD⊥，再由CDAD⊥，利用线面垂直的判定定理，证得CD⊥平面QAD，进而证得平面QAD⊥平面ABCD；（2）

根据题意得到直线OQOTOD，，两两互相垂直，建立空间直角坐标系，求出对应点的坐标，结合题意设(01)EPEF=，分别求出直线BP的方向向量和平面ABCD的法向量，利用向量的夹角公式得到2sin1)123=(++，然后利用二次函数的图象和性质即

可求解.【详解】（1）在QCD中，512QCCDQD===，，，222QCQDCD=+，QCD为直角三角形且CDQD⊥，又底面ABCD是矩形，则CDAD⊥，DQDAD=，且均含于面QAD内CD\^平面QAD，又CD平面ABCD，平面QAD⊥

平面ABCD；（2）在平面ABCD内，取AD中点为O，过点O作OTCD∥，交BC于点T，CDAD⊥，OTAD⊥，由题意可得QO⊥平面ABCD，且OTAD，平面ABCD，则OQADOQOT⊥⊥，，直线OQOTOD，，两两互相垂直，以O为坐标原点，OTOD

OQ，，所在直线分别为xyz，，轴建如图所示的空间直角坐标系，则(0,1,0)D，(0,0,3)Q，(1,1,0)B−，(1,1,0)C，113(,,)222E，()100CD,,=−，133,,)222BE=(−，设(01)EPEF=，则,0,0)22EP

CD==(−，133,,)2222BPBEEP=+=(−−，又(0,0,3)OQ=，则2sin||||1)12||3OQBPOQBP==(++，[0,1]，339sin413，BP与

平面ABCD所成角的正弦值的取值范围为339[,]413．20.如图，ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，10AB=，6BC=，8CD=，E为AD的中点，且平面BCE⊥平面ACD．(1)证明：BC⊥平面ACD；(2)若82AD=，求二面角ABDC−−的正弦值．【答案】(1)证明见解析(

2)53434【分析】（1）通过面面垂直的性质，找到CEAD⊥后证明线面垂直，从而证明线线垂直，通过两组线线垂直即可得证；（2）通过已知条件以,,CACBCD为正交基底建立空间直角坐标系，通过二面角向量方法计

算公式求解即可.【详解】（1）因为AB是⊙O的直径，所以ACBC⊥，因为10AB=，6BC=，所以228ACABBC=−=，又因为8CD=，E为AD的中点，所以CEAD⊥，因为平面BCE⊥平面ACD，平面BCE平面ACDCE=，AD平面A

CD，所以AD⊥平面BCE，因为BC平面BCE，所以ADBC⊥，又因为,ACAD平面ACD，ADACA＝，所以BC⊥平面ACD（2）因为8AC=，8CD=，82AD=，所以222ACCDAD+=，所以CDC

A⊥，因为BC⊥平面ACD，CA,CD平面ACD，所以,BCCABCCD⊥⊥，以,,CACBCD为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，则()8,0,0A，()0,6,0B，()0,0,8D，()4,0,4E．显然，()11,0,0n=ur是平面BDC的一个法向量，设()2,,

nxyz=uur是平面ABD的一个法向量，则22860880nABxynADxz=−+==−+=令3x=，则()23,4,3n=，所以1212123334cos,34134nnnnnn===，设二面角ABDC−−所成角为，0,π，则221212334534sin

sin,1cos,13434nnnn==−=−=，所以二面角ABDC−−的正弦值为53434