【文档说明】高二数学人教A版2019选择性必修第一册同步备课试题 1.3.1空间直角坐标系 Word版含解析 .docx，共(13)页，1.920 MB，由小赞的店铺上传

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1.3空间向量及其运算的坐标表示1.3.1空间直角坐标系（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】题型1空间向量的坐标表示1．已知()4,1,3A，()2,4,3B−，则线段AB中点的坐标是（）A．5

1,,32B．5132,,−−−C．330,2,−D．330,2,−【答案】A【分析】利用中点坐标公式直接计算即可.【详解】由中点坐标公式得线段AB中点的坐标为4(2)1433,,222+−++

，即51,,32.故选：A2．在空间直角坐标系中，点(1,2,3)P−−关于xOy平面的对称点P的坐标为（）A．(1,2,)3−B．1,2)3(,−−−C．(1,2,3)−D．1,23(,)−−【答案】C【分析】根据空间直角坐标系

的对称性可解.【详解】在空间直角坐标系中，点(1,2,3)P−−关于xOy平面的对称点的横坐标和纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数，即(1,2,3)P−．故选：C.3.已知点B是点()1,2,2A在坐标平面Oxy内的射影，则点B的坐标和AB的模长分别为（）A．()1

,0,2;2B．()1,0,2;3C．()1,2,0;2D．()1,2,0;3【答案】C【分析】直接求出点B的坐标和AB的模长.【详解】因为点B是点()1,2,2A在坐标平面Oxy内的射影，所以()1,2,0B.所以()0,0,2AB=−，所以2AB=.故选：C4.在空间直角坐标系Oxyz−中，

点()1,1,3M−关于原点O对称点的坐标为（）A．()1,1,3−B．()1,1,3−−C．()1,1,3−D．()1,1,3【答案】B【分析】根据空间的点关于原点的对称点公式即可得出答案.【详解】根据

空间的点关于原点的对称点公式可得，点()1,1,3M−关于原点O对称点的坐标为()1,1,3−−.故选：B.题型2空间向量线性运算的坐标表示5.已知(1,2,1)a=，(2,4,1)b=−，则2ab+等于（）A．(4,2,0)−B．(4,0,3)C．(4,0,3)−D．(4,0,3)−【答案】B【

分析】根据向量坐标运算即可.【详解】22(1,2,1)(2,4,1)(4,0,3)ab+=+−=.故选：B.6.已知向量()3,4,2a=−，()2,3,1b=−，则2ab−=（）A．()7,10,4−B．()5,7,3−C．()1,1,1

−D．()1,2,0−【答案】D【分析】根据向量线性运算的坐标表示得出答案.【详解】()()()2322,423,2211,2,0ab−=−−−−−=−，故选：D.题型3空间向量数量积的坐标表示7

.已知(2,1,3)AB=−，(4,1,1)BC=−，则ABBC=（）A．7−B．6−C．5−D．4−【答案】B【分析】根据空间向量数量积的坐标表示计算可得.【详解】因为(2,1,3)AB=−，(4,1,1)BC=−，所以()()2411316ABBC=−+−+=−.故选：B8.已知向量

(1,1,)ax=，(2,2,3)b=−，若(2)1abb−=，则x=（）A．3−B．3C．1−D．6【答案】B【分析】根据空间向量的坐标运算可得2(4,0,23)abx−=−，结合空间向量数量积的坐标表示计算即可求解

.【详解】由题意知，2(4,0,23)abx−=−由(2)1abb−=，得4(2)02(23)31x−++−=，解得3x=.故选：B.9.已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则（）A．点1C的坐标为（2，0，2）B．()12

,2,2CA=−−C．1BD的中点坐标为（1，1，1）D．点1B关于y轴的对称点为（－2，2，－2）【答案】BCD【分析】根据空间直角坐标系，可求点1C的坐标，由此判断A;求出1CA的坐标，可判断B;利用中点坐标公式求得1BD的中点坐标，可判断C;根据空间点关于坐标轴的对称点的特

点可判断D.【详解】根据题意可知点1C的坐标为(0,2,2)，故A错误；由空间直角坐标系可知：1(2,0,0),(2,2,2)ACA=−−,故B正确；由空间直角坐标系可知：1(2,2,0),(0,0,

2)BD,故1BD的中点坐标为（1，1，1），故C正确；点1B坐标为(2,2,2)，关于于y轴的对称点为（－2，2，－2），故D正确，故选：BCD10.已知()1,3,2a=−−，()1,2,0b=，则=ab（）A．-5B．-7C．3D．13【答案】B【分析】利用向量空间向量

坐标运算法则求解．【详解】()1,3,2a=−−，()1,2,0b=，∴1607ab=−−+=−．故选：B【能力提升】一、单选题1.已知向量(2,1,3),(1,1,2)ab=−=−，则2ab+=（）

A．(16,0,4)B．(4,1,1)−C．(5,1,4)−D．(8,16,4)【答案】B【分析】利用平面向量的坐标计算可得答案．【详解】2(2,1,3)(2,2,4)(4,1,1)ab+=−+−=−故选：B2.在空间直角坐标系中，已知点

(1,3,5)P，则点P关于x轴的对称点的坐标是（）A．(1,3,5)−−B．(1,3,5)−−C．()1,3,5−−D．()1,3,5−−−【答案】C【分析】直接根据空间点关于x轴对称的结论即可得到答案.【详解】根据空间点关于x轴对称，则x轴上坐标不变，,yz轴

上坐标取相反数，故点P关于x轴的对称点的坐标是()1,3,5−−.故选：C.3.已知向量()3,2,4a=−，()1,2,2b=−，则ab−=rr（）A．210B．40C．6D．36【答案】C【分析】利用向量线性关系的坐标运算求ab−，再利用向量模长的坐标公式

求模长.【详解】由题意，∵()3,2,4a=−，()1,2,2b=−，∴(4,4,2)ab−=−，∴222(4)426ab−=−++=.故选：C.4.已知向量()()12,3,4,4,3,2,22abbca=−=−−−=−,则c=（）A．()0,3,

6−B．()0,6,20−C．()0,6,6−D．()6,6,6−【答案】B【分析】推导出42cab=+,利用向量坐标运算法则直接求解.【详解】∵向量()()12,3,4,4,3,2,22abbca=−=−−−=−,∴()()()428,12,168

,6,40,6,20cab=+=−+−−−=−.故选:B.5.若(2,4,1)A−−，(1,5,1)B−，(3,4,1)C−，则CACB=（）A．-11B．3C．4D．15【答案】C【分析】先求出CACB，

的坐标表示，再利用向量数量积的坐标表示计算即可【详解】由已知，(23,4(4),11)(1,0,2)CA=−−−−−−=−−，(13,5(4),11)(4,9,0)CB=−−−−−=−，∴4004CACB=++=

.故选：C．6.下列各组空间向量不能构成空间的一组基底的是（）A．()()()1,1,00,1,11,0,1，，B．()()()3,0,01,1,22,2,4，，C．()()()1,2,31,3,22,3,1，，D．()()()1,0,00,0,20,3,0，，【答案】B【分析】根据空

间向量共面定理依次判断各选项即可.【详解】对于A，设()()()1,1,00,1,11,0,1=+，无解，即向量不共面，故可以作为空间向量一个基底，故A错误；对于B，设()()21,1,22,2,4=，所以三个向量共面，故不可以作为空间向量一个基底，故B正确.对于C，设()()(

)1,2,31,3,22,3,1=+，无解，即向量不共面，故可以作为空间向量一个基底，故C错误；对于D，设()()()1,0,00,0,20,3,0=+，无解,即向量不共面，故可以作为空间向量一个基底，故D错误.故选：B.7.如图，正方体1111OA

BCOABC−的棱长为2，1EBB，且12EBEB=，则OE=（）A．(2,2,1)B．(2,2,2)C．22,2,3D．42,2,3【答案】D【分析】根据已知条件求得OE.【详解】依题意，12EBEB=，所以24

233EB==，所以OE=42,2,3.故选：D8.已知向量,,abc是空间的一个基底，向量,,ababc+−是空间的另一个基底，一向量p在基底,,abc下的坐标为()1,2,3−，则向量p在基底,,ababc+−下的坐标为（）A．13,,322

−B．31,,322−C．133,,22−D．13,,322−−【答案】A【分析】根据空间向量的基本定理和坐标表示即得结果．【详解】向量p在基底,,abc下的坐标为()1,2,3−，则23pabc=−+，设p在基底,,abab

c+−下的坐标为(),,xyz，则()()()()23pxabyabzcxyaxybzcabc=++−+=++−+=−+，所以123xyxyz+=−=−=，解得12323xyz=−=

=，故p在基底,,ababc+−下的坐标为13,,322−．故选：A．二、多选题9.下列关于空间向量的命题中，正确的有（）A．若向量,,abc是空间的一个基底，则2,,ababc+−也是空间的一个基底B．若0ab，则,ab的夹角是钝角C．已知()1,1,2a

=−，()0,2,3b=，若kab+与2ab−垂直，则34k=−D．已知A、B、C是空间中不共线的三个点，若点O满足230OAOBOC++=，则点O是唯一的，且一定与A、B、C共面【答案】ACD【分析】由空间向量的基底

即可判断A，由空间向量的夹角范围即可判断B，由空间向量垂直的坐标运算即可判断C，由四点共面定理即可判断D.【详解】因为向量,,abc是空间的一个基底，则,,abc不共面，所以2,,ababc+−也不共面，所以2,,ababc+−也可以作为空间的一个基底，

故A正确；当a与b的夹角为180时，也可得0ab，所以B错误；因为()1,1,2a=−，()0,2,3b=，则(),2,23kabkkk+=−++，()22,0,1ab−=−，且kab+与2ab−垂直，所以()()20abkab+=−，解

得34k=−，故C正确；因为230OAOBOC++=，所以23OAOBOC=−−uuuruuuruuur，所以,,OAOBOC共面，所以,,,OABC四点共面，如图，取AC中点为D，取BC中点为E，则2,2OAOCODOBOCOE+=+=，又因为2

30OAOBOC++=，故()222OAOCOBOCOBOC+=−−=−+，所以24ODOE=−，即2ODOE=−，则O在DE上且靠近E的三等分点处，即满足此关系的点O只有一个，所以点O唯一，且与,,ABC

共面，故D正确；故选:ACD10.已知()()4,2,4,6,3,2ab=−−=−，则下列结论正确的是（）A．()10,5,2ab+=−−B．()2,1,6ab−=−C．·22ab=D．6a=【答案】ACD【分析】直接进行向量的坐标运算，即可得到答案.【详解】因为()()4,2,4,6,3

,2ab=−−=−，所以()10,5,2ab+=−−，()2,1,6ab−=−−，246822ab=+−=，164166a=++=.故A、C、D正确，B错误.故选：ACD11.设几何体1111ABCDABCD−是棱长为a

的正方体，1AC与1BD相交于点O，则下列结论正确的是（）A．211ABACa=B．212ABACa=C．21CDABa=−D．2112ABAOa=【答案】ACD【解析】建立空间直角坐标系，找出各坐标，根据向量数量积的坐标求法逐项判断即可．【详解】如图，建

立空间直角坐标系，则(,0,0)Aa，(,,0)Baa，(0,,0)Ca，(0,0,0)D，1(,0,)Aaa，1(,,)Baaa，,,222aaaO，∴11(0,,0)ABa=，(,,0

)ACaa=−，(0,,0)ABa=uuur，1(,,)ACaaa=−−，()0,,0CDa=−，1(0,,)ABaa=，1,,222aaaAO=−−．∴211ABACa=，A对；21ACABa=，B错；12CDAaB=−，C对；2112ABAOa

=，对．故选：ACD.【点睛】本题主要考查了空间向量的数量积的坐标运算的应用，其中解答中根据几何体的结构特征建立恰当的空间直角坐标系，利用空间向量的数量积的坐标运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12.已知空间直角坐标系中，点A的坐标为(3,1,4)−−，坐标原点为

O，且OA与(),,OBxyz=方向相反，则（）A．x+y+z=0B．x=3yC．x+z=0D．4y+z=0【答案】ABD【分析】先由向量反向得到3x=−，y=−，4z=，再验证每个选项即可求解.【详解】由题意，得：(),,OBxyz=，且()=3,,4OBOA=−−，其中0

，则3x=−，y=−，4z=，则：0xyz++=，即选项A正确；3xy=，即选项B正确；0xz+=，即选项C错误；4440yz+=−+=，即选项D正确.故选：ABD.三、填空题13.已知点(0,1,0)A

，(232)B,,，向量12ACAB=−，则点C的坐标为______．【答案】()1,0,1−−【分析】由向量的坐标运算计算即可.【详解】设(),,Cabc，则()()()()1,1,,2,2,21,1,1,1,2ACabcABABabc=−=−=−

−−=−，即1,0,1abc=−==−，故()1,0,1C−−.故答案为：()1,0,1−−14.已知2,1,3)OA=(−，1,2,4)OB=(−，则AB=______．【答案】3,3,1)(−【分析】利用空间向量的坐标运算求解

作答.【详解】因为2,1,3)OA=(−，1,2,4)OB=(−，所以3,3,1)ABOBOA=−=(−.故答案为：3,3,1)(−15.在空间直角坐标系中，已知点A的坐标为()1,2,1−，()2,1,3AB=，则点B的坐标

是______________.【答案】()1,3,4【分析】设(),,Bxyz，根据空间向量的运算计算得到答案.【详解】设(),,Bxyz，则()()()(),,1,2,11,2,12,1,3ABxyzxyz=−−=+−−=，则122113xyz+=−=−=，1x=，3y=，4z

=，故()1,3,4B.故答案为：()1,3,416.若(2,1,4),(1,,2)abt=−=−−，若a与b的夹角是锐角，则t的值的取值范围为__________.【答案】(),10−−【分析】根据空间向量a与b的夹角是锐角可得0ab且a与b不同向

共线，结合数量积的坐标表示计算即可求解.【详解】因为a与b的夹角是锐角，所以0ab，即280t−−−，解得10t−，若a与b的夹角为0，则存在，使ab=，即(2,1,4)(1,,2)t−=−−，所以2142t=−−==−，解得12t=.故t的取值范围是

(,10)−−.故答案为：(,10)−−.四、解答题17.如图，在正方体1111ABCDABCD−中，E，F分别是1BB，11DB的中点，棱长为1.试建立适当的空间直角坐标系，写出点E，F的坐标.【答案】坐标系如图，E11

,1,2，11,,122F【分析】以D为坐标原点，以1,,DADCDD所在直线分别为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，根据空间中点的坐标的概念求解.【详解】以D为坐标原点，以1,,DADC

DD所在直线分别为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，点E在xDy平面上的投影为点B，点B坐标为(1,1,0)，点E的竖坐标为12，所以E11,1,2.点F在xDy平面上的投影为BD的中点G，点G的坐标为11,,0

22，点F的竖坐标为1，所以11,,122F.18.如图，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，ADBC∥，3,4,ABADACPABC=====M为线段AD上一点，2AMMD=，N为PC的中点．请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标【答案】答案见解析【分析】根据

空间直角坐标系的定义和空间坐标的表示方法求解.【详解】取BC中点为E，连接AE，因为ABAC=，所以AEBC⊥，且ADBC∥，所以AEAD⊥，所以以A为坐标原点，,,AEADAP的方向为,,xyz轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.因为13,22ACECBC===,所以225AEACE

C=−=,所以5(0,0,4),(0,2,0),(5,2,0),(,1,2),2PMCN(0,0,0),(0,3,0),(5,2,0)ADB−.19.如图，在空间直角坐标系Oxyz−中有一长方体OABCOABC

−，且6OA=，8OC=，5OO=(1)写出点B的坐标，并将OB用标准正交基,,ijk表示；(2)求OC的坐标．【答案】(1)点B的坐标为(6,8,5)，685OBijk=++．(2)(0,8,5)OC=【分析】（1）直接利用空间向量的坐标表示即可得到B

点坐标，由向量加法的坐标表示即可将OB用标准正交基,,ijk表示；（2）直接利用空间向量的坐标表示即可得到OC坐标.（1）因为6OA=，8OC=，5OO=，所以点B的坐标为(6,8,5)，从而(6,8,5)685OBijk==++．（2）同理因为6OA=，8OC=

，5OO=，易得点C的坐标为(0,8,5)，所以(0,8,5)OC=．20.如图，在等腰梯形ABCD中，//ABCD，1===ADDCCB，60ABC=，CF⊥平面ABCD，且1CF=，建立适当的空间直角坐标系并确定点,,,,ABCDF的坐标．【答案】答案见解析【分析】方法一：利用余弦

定理可求得,ACAB，并证得ACBC⊥，以C为坐标原点，,,CACBCFuuruuruuur正方向为,,xyz轴可建立空间直角坐标系，根据长度关系可得各点坐标；方法二：作CMAB⊥，利用余弦定理可求得,ACAB的长，以C为坐标原点，,,CDCMCF正方向为,,xyz轴可建立空间直角坐标系，根

据长度关系可得各点坐标.【详解】方法一：连接AC，//ABCDQ，60ABC=，ADCB=，120BCDADC==，在ADC△中，2222cos3ACADDCADDCADC=+−=，3AC=，由3AC=，1BC=，60ABC=得：2

AB=，90ACB=，即ACBC⊥，以C为坐标原点，,,CACBCFuuruuruuur正方向为,,xyz轴可建立如图所示空间直角坐标系，则()0,0,0C，()0,1,0B，()3,0,0A，31,,022D−，()0,0,

1F.方法二：过C作CMAB⊥，垂足为M，连接AC，//ABCDQ，60ABC=，ADCB=，120BCDADC==，在ADC△中，2222cos3ACADDCADDCADC=+−=，3AC=，由3AC=，1BC=，60ABC=得：2AB=，1CB=，60

ABC=，32CM=，12BM=，以C为坐标原点，,,CDCMCF正方向为,,xyz轴可建立如图所示空间直角坐标系，则33,,022A，13,,022B−，()0,0,0C，()1,0,0D，()0,0,

1F.