【文档说明】高二数学人教A版2019选择性必修第一册同步备课试题 1.1.2 空间向量的数量积 Word版含解析.docx，共(22)页，2.200 MB，由小赞的店铺上传

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1.1.2空间向量的数量积运算（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】题型1空间向量数量积的概念1.在正四面体ABCD中，BC与CD的夹角等于（）A．30°B．60°C．150°D．120°【答案】D【分析】根据正三角内角为60求解.【详解】由正四面体每个面都是正三角形可知，,180,1

8060120BCCDCBCD=−=−=故选：D2．如图，各棱长都为2的四面体ABCD中CE=ED，AF2=FD，则向量BECF=（）A．-13B．13C．-12D．12【答案】A【分析】由向量的运算可得1()2BEBCBD=+，1233

CFBABCBD=−+，由向量数量积的定义即可得到答案.【详解】由题得,BABC夹角，,BDBC夹角，,BDBA夹角均为π3，,2CEEDAFFD==，12(),23BEBCBDAFAD=+=，CFBF

BCBAAFBC=−=+−2212()3333BAADBCBABDBABCBABCBD=+−=+−−=−+，112()233BECFBCBDBABCBD=+−+221111162663BABCBCBCBD

BABDBD=−−++2211111111122222222622626233=−−++=−故选：A.3.已知()()()1,1,0,0,1,1,1,0,1,,2abcpabqabc====−=+−，则pq=（）A．1−B．1C．0D．2【答案】A【分析】根据空间向

量的坐标运算与数量积的运算法则，求解即可.【详解】因为()()()1,1,0,0,1,1,1,0,1abc===，所以pab=−()()()=1,1,00,1,11,0,1−=−，2qabc=+−()()()()1,1,020,1,11,0,10

,3,1=+−=，则pq=1003111+−=−.故选：A.4．已知a，b均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么3ab+等于（）A．7B．10C．13D．4【答案】C【分析】根据23(3)aba

b+=+，展开后根据空间向量的数量积公式计算即可得到结果.【详解】由题意可得11cos601122abab===，2223(3)9619313abababab+=+=++=++=.故选：C5．对于任意空间向量a，b，c，下列说法

正确的是（）A．若//ab且//bc，则//acB．()abcabac+=+C．若abac=，且0arr，则bc=D．()()aacbbc=【答案】B【分析】根据空间向量共线的定义判断A，由数量积的运算律判断BCD．【详解】若0b=，则由//ab且//bc，

不能得出//ac，A错；由数量积对向量加法的分配律知B正确；若abac=，则()0−=abc，当()abc⊥−时就成立，不一定有bc=，C错；()abcrrr是与c平行的向量，()abcrrr是与a平行的向量，它们一般不相等，D错．故选：B．6．已知长方体1111ABCDABCD

−中，M是对角线1AC中点，化简下列表达式：(1)11111ABBCCD++；(2)1111222ADABAA+−.【答案】(1)1AD；(2)AM【分析】根据向量加法法则求解即可；【详解】（1）111111111ABBCCDACCDAD++=+=（2）()111111

11112222222ADABAAADABAAACAA+−=+−=−1111111122222ACAAACCCACAM=+=+==题型2求空间向量的数量积7.给出下列四个命题，其中正确的有（1）若空间向量a，b满足ab=，则ab=；（2）空间任意两个单位向量必相等；（3）

对于非零向量c，由acbc=，则ab=；（4）在向量的数量积运算中()()abcabc=rrrrrr．A．0个B．1个C．2个D．4个【答案】A【分析】根据向量相等的定义，单位向量的定义，以及向量的模的定义，逐个选项进行判断即可.【详解】对于（1），取(1,0

,0)a=，(1,0,0)b=−，此时，||||ab=，但是ab，故（1）为假命题；对于（2），取单位向量1(1,0,0)e=和2(1,0,0)e=−，此时12ee，故（2）为假命题；对于（3），若空间向量,,abc取(1,0,0)a=，(1,0,0)b

=−，取c为零向量，此时，满足acbc=，但是ab，故（3）为假命题；对于（4），取(1,0,0)a=，(1,2,0)b=−，()1,1,1c=，则()()1,1,1abc=−−−，()()1,

0,0abc=，所以()()abcabc，故（4）为假命题.故选：A.8.如图，已知四面体ABCD的所有棱长都等于2，,,EFG分别是,,ABADDC的中点，则（）A．2ABAC=B．2GFAC=C．1B

CEF=D．0GFEF=【答案】ACD【分析】利用空间数量积运算法则计算出ABC三个选项中的结果；作出辅助线，证明出EF⊥FG，得到0GFEF=.【详解】由题意得：四面体ABCD为正四面体，故60BACCBD==，故1cos602222ABACABAC===，A正确；因为

,,EFG分别是,,ABADDC的中点，所以//FGAC，//EFBD，且112FGAC==，112EFBD==，故cos1802GFACGFAC==−，B错误；111122122c22os60BCE

FBBDBDCBC====，C正确；取BD的中点H，连接,AHCH，因为,ABDBCD均为等边三角形，所以AH⊥BD，且CH⊥BD，因为AHCHH=，且,AHCH平面ACH，所以BD⊥平面ACH，因为AC平面ACH，所以BD⊥AC，E

F⊥FG，故0GFEF=，D正确.故选：ACD9.设a，b为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（）A．22aa=B．abbaaa=C．()222abab=D．()2222abaabb−=−+【答案】AD【分析】根据空间向量数量积的定义与运算律一一判断即可；【详解】

解：对于A：22cos0aaaaaa===，故A正确；对于B：因为向量不能做除法，即ba无意义，故B错误；对于C：()()22222o,cos,csababababab==，故C错误；对于D：()()()2222abababaabb−=−−=−+，故D正确；故选：AD10.判

断下列结论正确的是（）A．空间中任意两个非零向量a，b共面．B．在三个向量的数量积运算中()()abcabc=．C．对于非零向量b，由数量积abbc=，则ac=．D．若A，B，C，D是空间任意四点，则有ABBCCDDA+=−−．【答案】AD【分析】由向量共面的条件判断A

，由数量积的性质判断B，由向量垂直判断C，由向量的加法法则判断D【详解】对于A：空间中任意两个非零向量a，b可以构成一个平面，故A正确；对于B：向量的数量积不满足结合律，故B错误；对于C：当abc，，互相垂直时，C错误；对于D：根据向量的加法法则可知

：0ABBCCDDA+++=uuuruuuruuuruuurr，故ABBCCDDA+=−−,故D正确；故选：AD题型3空间向量数量积的应用11．已知()()13211abm=−−=−，，，，，，且2ab→→=−，则m=（）A．-1B．1C．-2D．2【答案】A【分析】

由向量坐标的乘法运算即可求得.【详解】因为()()13211abm=−−=−，，，，，且2ab→→=−所以()()()()()13211113122abmm→→=−−−=−+−+−=−，，，，解得1m=−.故选：A12．已知空间中非零

向量a，b，且2=a，3b=，120ab=，，则23ab−的值为（）A．133B．133C．61D．61【答案】A【分析】利用空间向量的数量积运算、把空间向量的模转化为向量的数量积运算求解问题即可．【详解】因为2a=，3b=

，,120ab=，所以()22223234129ababaabb−=−=−+221429312231332=+−−=故选：A．13.在长方体1111ABCDABCD−中，13AD

AA==，2AB=，则1BDAD=（）A．3B．13C．4D．9【答案】D【分析】根据向量加法运算，向量的数量积运算性质求解即可.【详解】如图，因为11BDBABCBB=++，所以()21110309BDADBABCBBADBAADBCADBBAD=++=++=++=．故选：D

14.已知空间向量a，b，1a=，2b=，且ab−与a垂直，则a与b的夹角为（）A．60B．30C．135D．45【答案】D【分析】根据已知可得()0aab−=，根据数量积的运算律即可求出2cos,2

ab=，进而求出结果.【详解】因为ab−与a垂直，所以()0aab−=，即22cos,12cos,0aabaababab−=−=−=rrrrrrrrrr，所以2cos,2ab=.又0,180ab，所以,45ab=orr.故选：D.1

5.已知,ab均为空间单位向量，且它们的夹角为60，则2ab+=rr______．【答案】7【分析】根据条件可求出ab，然后根据()222abab+=+进行数量积的运算即可求解.【详解】因为1ab==，,60ab=，所以1cos,2ababab

==，()22222441247ababaabb+=+=++=++=，故答案为：716.已知()1,2,3a=，()3,2,1b=，则()aab+=___________.【答案】24【分析】利用向量的数量积直接求解.【详解】因

为()1,2,3a=，()3,2,1b=，所以()4,4,4ab+=.所以()14243424aab+=++=.故答案为：2417.如图，在三棱锥−PABC中，PA⊥平面ABC，CBAB⊥，ABBCa==，

PAb=．(1)确定PC在平面ABC上的投影向量，并求PCAB；(2)确定PC在AB上的投影向量，并求PCAB．【答案】(1)PC在平面ABC上的投影向量为AC，2PCABa=；(2)PC在AB上的投影向量为AB，2PCABa=.【分析】（1）根据PA⊥平面ABC可得PC在平面ABC上的投

影向量，由空间向量的线性运算以及数量积的定义计算()ABPCABBPBCAA=++的值即可求解；（2）由投影向量的定义可得PC在AB上的投影向量，由数量积的几何意义可得PCAB的值.【详解】（1）因为PA⊥平

面ABC，所以PC在平面ABC上的投影向量为AC，因为PA⊥平面ABC，AB面ABC，可得PAAB⊥，所以0PAAB=，因为CBAB⊥，所以0BCAB=，所以()PCABPAABPAABABBCABBCABAB=++=++2200aa=++

=.（2）由（1）知：2PCABa=，ABa=uuur，所以PC在AB上的投影向量为：2cos,ABPCABABPCABABaABPCPCABPCABaaABPCABABABAB====，由数量积的几何意义可得：2

PCABABaAB==.18.棱长为2的正方体中，E，F分别是1DD，DB的中点，G在棱CD上，且13CGCD=，H是1CG的中点．(1)求1cos,EFCG．(2)求FH的长．【答案】(1)3015(2)223【分析】（1）将1,EFCG分别用1,,

DADCDD表示，再根据数量积的运算律分别求出11,,EFCGEFCG，再根据111cos,EFCGEFCGEFCG=即可得解；（2）将FH用1,,DADCDD表示，再根据数量积的运算律即可得解.

【详解】（1）由题意，()11122EFEDDFDDDADC=+=−++，11113CGCCCGDDDC=+=−−，则()211122EFDDDADC=−++22211112222DDDAD

CDDDADDDCDCDA=++−−+144432=++=，22211111112103933CGDDDCDDDCDDDC=−−=++=，()111111223EFCGDDDADCDDDC=−++−−2211111

1111142626263DDDDDCDDDADADCDDDCDC=+−−−−=，所以1114303cos,1521033EFCGEFCGEFCG===；（2）()11111122FHFBBCCCCHDADCDADDCG=+++=+

−++()11111223DADCDADDDDDC=+−++−−1111232DADCDD=−++，所以21111232FHDADCDD=−++222111111111494323DADCDDDADCDADDDCDD=++

−−+4221193=++=，所以FH的长为223.19.如图，在直三棱柱111—ABCABC中，EFG，，，分别为11AB，1CC，1BB的中点，分别记AB，AC，1AA为a，b，c.(1)用a，b，c表示EF，EG；(2)若12ABACA

A===，ABAC⊥，求2EFEG+.【答案】(1)1122EFabc−=−+；1()2EGac−=.(2)14.【分析】（1）用空间向量的加减运算分别表示EF，EG，111111EFEAAFEAACCF+=+=+，11EGEBBG=+，再转化为a，b，c表示即可；（2）先把2EF

EG+用a，b，c表示，然后平方，把向量的模和数量积分别代入，计算出结果后再进行开方运算求得2EFEG+.【详解】（1）连结1AF.在直三棱柱111—ABCABC中，11ABABa==，11ACACb==，111AABBCCc===，则11111

11111111112222EFEAAFEAACCFABACCCabc===−+−=+++−+−.11111111()222EGEBBGABBBac=+=−−=.（2）如图，在直三棱柱111—ABCABC中，1AAABC⊥底面，ABABC

底面，ACABC底面，所以1AAAB⊥，1AAAC⊥，又ABAC⊥，所以10BAAAca==，10CAAAcb==，0AABaCb==.1113()22222abcacFGbEaEc−+−++=−=

+−，()2222213193314912422442abcabcabacEFEGbc=+−=+++−−=++=+，所以214EFEG+=.【能力提升】一、单选题1.如图，在四面体PAB

C中，E是AC的中点，3BFFP=，设,,PAaPBbPCc===，则FE=（）A．111232abc−+B．111242abc−+C．111243abc++D．212343abc−+【答案】B【分析】由空间向量的线性运算求解

.【详解】()1111124242FEPEPFPAPCPBabc=−=+−=−+故选：B2．如图，在三棱锥SABC−中，点E，F分别是SA，BC的中点，点G满足13EGEF=，若,,SAaSBbSCc===，则BG=（）A．151366abc++B．151366abc−+C．1

11362abc−−+D．111362abc−+【答案】B【分析】利用空间向量的线性运算求解即可.【详解】在三棱锥SABC−中，点E，F分别是SA，BC的中点，点G满足13EGEF=，若,,SAaSBbSCc===，则BGBFFG=+()()12122323BCFESCSBFCCSS

E=+=−+++()11212212232332SCSBBCSCSA=−++−+()11116233SCSBSCSBSA=−−+−+151366SASBSC=−+151366abc=−+，故选：B3．已知四面

体A-BCD的所有棱长都是2,点E,F分别是AD,DC的中点,则EFBA=A．1B．-1C．3D．3−【答案】B【分析】在四面体中，由题意可得任意两条棱的夹角为60°，又12EFAC=，再根据数量积的定义求解．【详解】由题意可得1

2EFAC=，所以1122cos120122EFBAACBA===−．故选B．【点睛】在利用定义求向量的数量积时，要注意两向量夹角的确定，如在本题中,ACBA的夹角为120°而不是60°，这是在解题中容易出现的错误，考虑问题时一定要抓住夹角的定义．4．已知空间

四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是BC、AD的中点，则AEAF的值为（）A．2aB．212aC．214aD．234a【答案】C【分析】根据向量的线性运算运算律可得1()4AEAFABADACAD

=+，在根据数量积的定义求其值.【详解】由题意，,ABAD和,ACAD之间夹角均为60，结合平面向量线性运算有11()22AEAFABACAD=+1()4ABADACAD=+22211(cos60cos60)44aaa=+=故选

：C5．空间有一四面体A-BCD，满足ADAB⊥，ADAC⊥，则所有正确的选项为（）①2DBDCDAABAC=−；②若∠BAC是直角，则∠BDC是锐角；③若∠BAC是钝角，则∠BDC是钝角；④若ABDA且ACDA，则∠BDC是锐角A．②B．①③C．②④D．②③④【答案】C【分析

】由题意知0ADAB=，0ADAC=，()()2DBDCDAABDAACDAABAC=++=+可判断①；若∠BAC是直角，则0ABAC=，20DBDCDA=可判断②；设120BAC=，1ABADAC===，由余弦定理可判断③；若ABDA且ACDA，则2cosABACB

ACDA，可得0DBDC可判断④.【详解】对于①，因为ADAB⊥，ADAC⊥，所以0ADAB=，0ADAC=，则()()2DBDCDAABDAACDAABAC=++=+，故①不正确；对于②，若∠BAC是

直角，则0ABAC=，()()220DBDCDAABDAACDAABACDA=++=+=所以∠BDC是锐角，故②正确；对于③，若∠BAC是钝角，设120BAC=，1ABADAC===，在ABC中，由余弦定理可得：211211cos12

03BC=+−=，而2DBDC==，所以在DBC△中，222223cos02222BDDCBCBDCBDDC+−+−==，所以∠BDC为锐角，所以③不正确；对于④，()()2cosDBDCDAABDAACDAABACBAC=++=+，

若ABDA且ACDA，则2ABACDA，因为()()20,π,cos1,1,cosBACBACABACBACDA−，0DBDC，所以∠BDC是锐角，故④正确；故选：C.6．如图，在棱长为6的正四面体ABCD中，点M在线段AB上，且满足2AMM

B=，点N在线段CD上，且满足2CNND=，则MN=（）A．25B．21C．26D．32【答案】A【分析】根据空间向量线性运算的性质，结合空间向量数量积的运算性质进行求解即可.【详解】因为2AMMB=，2CNND=，所以1222()3333MNMBBCCNABACABCDACABAD

AC=++=+−+=−+−，即122333MNACABAD=−+，2222122144448333999999MNACABADACABADACABACADABAD=−+=++−+−因为AB

CD是棱长为6的正四面体，所以222144414181666666666=25999929292MN=++−+−，故选：A7．四面体ABCD中，22ACADAB===，60BAD=，2ABCD=，则BAC=

（）A．60B．90C．120D．150【答案】C【分析】根据题意得()ABCDABADAC=−，由数量积公式计算即可.【详解】由题知，22ACADAB===，60BAD=所以()ABCDABADACABADABAC=−=−coscos2ABADBADAB

ACBAC=−=，所以12cos6012cos2BAC−=，解得120BAC=，故选：C8．已知在平行六面体1111ABCDABCD−中，向量AB，AD，1AA两两的夹角均为60，

且1AB=，2AD=，13AA=，则1AC=（）A．5B．6C．4D．8【答案】A【分析】利用向量的数量积公式即可求解.【详解】如图，平行六面体1111ABCDABCD−中，向量AB、AD、1AA两两的夹角均为60，且1AB=，2AD=，13AA=，11ACABBCCC=++()

2211ACABBCCC=++222111222ABBCCCABBCABCCBCCC=+++++149212cos60213cos60223cos60=+++++25=.15AC=，故选：A.二、多选题9．

下列说法正确的是（）A．终边相同的角的同一三角函数值一定相同B．π0,2，则1tantan+的最小值为22C．已知2a=，1b=，,135ab=，则a在b上的投影数量为2−D．非零向量a，b，c，若abbc=rrrr，则a

c=【答案】AC【分析】对于A，写出所有终边相同角，再利用诱导公式即可判断；对于B，利用基本不等式可判断；对于C，根据投影数量的定义代入公式求解判断；对于D，举一个反例说明a与c不相等的即可.【详解】对于A，与角终边相同的角：2π,kkZ=+，根据

诱导公式一即可得出三角函数值一定相同，A正确；对于B，π0,2，tan011tan2tan2tantan+=当且仅当1tantan=即π4=时，等号成立，此时最小值为2，B错误；对于C，a在b上的投影数量为,2cos13co2s5aab=

=−，C正确；对于D，因为()()·0abbcbcabca=−=⊥−，所以D错误.故选：AC.10．正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，体对角线1AC与1BD，相交于点О，则（）A．111ABAC=B．12ABAC=C．12ABAO=D．11BCDA=【答案】AC【分析

】根据向量的线性运算的几何表示，向量数量积的定义及运算律结合正方体的性质即得.【详解】方法一：()2111ABACABABADAB=+==，故A正确；()2111ABACABABADAAAB=++=

=，故B错误；11122ABAOABAC==，故C正确；()2111BCDABCBBCBBC=+=−=−，故D错误；方法二：111111111111112cos,1212ABACABACABACABAC====，故A正确；由正方体的性质可知，13AC=

，12BC=，111111cos,1313ABABACABACABACABACAC====，故B错误；11122ABAOABAC==，故C正确；1121212BCDAADDA==−=−，故D错误.故选：AC．三、填空题11．化简：()()22aba

ab−+−=________.【答案】2b【分析】利用向量的数量积运算律可得解.【详解】()()22222222abaababaaabbb−+−=−+−+=rrrrrrrrrrrrr故答案为：2b12．如图，

在直三棱柱111ABCABC-中，13BB=，E、F分别为棱AB、11AC的中点，则1EFBB=______.【答案】9【分析】分析可知1BBAB⊥，111BBAC⊥，利用空间向量数量积的运算性质可求得1EFBB的值.【详解】因为1BB⊥平面ABC，AB平面A

BC，则1BBAB⊥，同理可知111BBAC⊥，所以，()111111111122EFBBEAAAAFBBBABBACBB=++=++2211111111922BABBBBACBBBB=++==.故

答案为：9.四、解答题13．如图，在空间四边形OABC中，2BDDC=，点E为AD的中点，设OAa,OBb,OCc===.(1)试用向量,,abc表示向量OE；(2)若4,3,60OAOCOBAOCBOCAOB==

====，求OEAC的值.【答案】(1)111236OEabc=++；(2)83−.【分析】（1）由点E为AD的中点，可得1()2OEOAOD=+，而11()33ODOBBCOBOCOB=+=+−，代入前面的式子化简可得结果；（2）由（1）可知111236

OEabc=++，由于ACOCOAca=−=−，再利用数量积的运算律结合已知条件可求得结果.【详解】（1）因为点E为AD的中点，所以111()222OEOAODOAOD=+=+，因为2BDDC=，所以

13BDBC=，所以1121()3333ODOBBCOBOCOBOBOC=+=+−=+，所以11211111112233236236OEOAOBOCOAOBOCabc=++=++=++；（2）由（1）得111236OEabc=

++，因为4,3,60OAOCOBAOCBOCAOB======，ACOCOAca=−=−，所以()111236OEACabcca=++−22111111223366acabcabcac=−+−+−2211111323

36acabcabc=−+−+221111144cos60434cos6034cos60432336=−+−+11144816326=−+83=−.14．已知二面角l−−为60，

A，B是棱l上的两点，AC，BD分别在半平面,内，,AClBDl⊥⊥，且2,4ABACBD===，设：,,BDaABbACc===．(1)试用,,abc表示CD，并求线段CD的长；(2)求：异面直线CD与B

A所夹角的余弦值．【答案】(1)CDabc=+−；4CD=；(2)3.【分析】（1）由已知结合空间向量加法可得CD，再根据向量模长和数量积的关系可求得CD的长；（2）利用空间向量加法表示BA，再利用数量积公式求得向量夹角.【详解

】（1）,,BDaABbACc===，利用空间向量加法可得CDCAABBDabc=++=+−；由已知二面角l−−为60，A，B是棱l上的两点，,AClBDl⊥⊥，所以,60ACBD=，0ACBA=，0ABBD=，()2222222CDCAABBDCAABBDCAABABBD

CABD=++=+++++2222CAABBDCABD=+++222224224cos120=+++441684=++−=，所以线段CD的长为4.（2）CDCAABBD=++，BAAB=−，()()cos,42CAABBDABCDBACDBACDBA++−==2

221882CAABABBDAB−−−−===−，又异面直线夹角范围是0,2，所以异面直线CD与BA所夹角的余弦值3.15．已知正四面体OABC的棱长为2，点G是OBC△的重心，点M是线段AG的中点.(1)用OA，OB，OC表示OM，并求出OM；

(2)求OMAB.【答案】(1)111266OMOAOBOC=++uuuruuruuuruuur，2OM=(2)23−【分析】（1）首先根据空间向量的线性运算得到111266OMOAOBOC=++uuuruuruuuruuur，再求其模长即可.（2）根据

111()266OMABOAOBOCOBOA=++−uuuruuuruuruuuruuuruuuruur展开求解即可.【详解】（1）因为点M是线段AG的中点，点G是OBC△的重心，所以1111211111222232226

6OMOAOGOAOBOCOAOBOC=+=++=++uuuruuruuuruuruuuruuuruuruuuruuur，因为22cos602OAOBOBOCOAOC====uuruuuru

uuruuuruuruuur，所以22222111111436366618OMOMOAOBOCOAOBOAOCOBOC==+++++uuuuruuuruuuruuruuuruuruuuruuruuuruu

uruuur1111114442222436366618=+++++=，∴2OM=.（2）111()266OMABOAOBOCOBOA=++−uuuruuuruuruuuruuuruuuruur221111132666OAOBOAOBOBOCOA

OC=−++−uuruuuruuruuuruuuruuuruuruuur11111224422326663=−++−=−.