【文档说明】高二数学人教A版2019选择性必修第一册同步备课试题 1.1.1空间向量及其线性运算 Word版含解析.docx，共(18)页，1.237 MB，由小赞的店铺上传

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1.1.1空间向量及其线性运算（分层作业）【夯实基础】题型1空间向量的有关概念1．下列关于空间向量的说法中正确的是（）A．方向相反的两个向量是相反向量B．空间中任意两个单位向量必相等C．若向量,ABCD满足ABCD，则ABCDD．相等

向量其方向必相同【答案】D【详解】相反向量指的是长度相等，方向相反的向量，故A错误；单位向量指的是模为1的向量，方向未定，故B错误；向量不能比较大小，故C错误；相等向量其方向必相同，故D正确；故选：D.2.下列关于空间向量的说法中错误的是（）A．零向量与任意向

量平行B．任意两个空间向量一定共面C．零向量是任意向量的方向向量D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量【答案】C【详解】由已知，选项A，零向量方向是任意的，所以零向量任意向量平行，该选项正确；选项B，平面由两个不平行的向量确

定，任意两个向量可通过平移形成相交，故一定可以确定一个平面，该选项正确；选项C，在直线l上取非零向量a，把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量，该选项错误；选项D，方向相同且模相等的两个向量是相等向量，该选项正确.故选：C.题型2空间向量的加减运算3.如图，在

三棱锥OABC−中，设,,OAaOBbOCc===，若,2ANNBBMMC==，则MN=（）A．112263abc+−B．112263abc−+C．111263abc−−D．111263abc++【答案】A【分析】利用空间向量的

加法、减法和数乘运算求解.【详解】解：MNBNBM=−1223BABC=−()()1223OAOBOCOB=−−−112263OAOBOC=+−112263abc=+−，故选：A4.如图，在ABCD中，点,MN分别是棱,ADCD的中点，则()()1122BDBABDB

C+−+化简的结果是（）A．CAB．ACC．NMD．MN【答案】C【详解】如图所示，连接,BMBN，因为,MN分别是棱,ADCD的中点，所以()()1122BDBABDBCBMBNNM+−+=−=.故选：C.

题型3空间向量加减运算的几何表示5.在如图所示的正四面体OABC中，E，F，G，H分别是OA，AB，BC，OC的中点．设OAa=，OBb=，OCc=，则下列说法不正确的是（）．A．2bEF=B．2caFG−=C．2caEH−=D．2acbFH+−=【答案】D【分析】根据

空间向量加法、减法的几何意义，结合三角形中位线的性质、平行四边形的性质进行逐一判断即可.【详解】因为E，F分别是OA，AB的中点，所以122bEFOB==，故A正确；因为F，G分别是AB，BC的中点，所以1112222caFGACOCOA−==−=，故B正确；因为四边形EFGH

为平行四边形，所以2caEHFG−==，故C正确；因为222bcacabFHFEEH−−−=+=−+=，所以D不正确．故选：D题型4空间向量共线的判定6.向量(),0,1ax=，()4,,2by=，若//ab，则xy+的值为（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【分析

】根据向量平行，得到方程组，求出,xy的值，得到答案.【详解】由题意得：ab=，即4012xy===，解得：2012xy===，故2xy+=.故选：C题型5由空间向量共线求参数或值7.已知向量()0,1,1a=，()1,2,2b=−

．若ab+与向量()1,2,3cm=−−平行，则实数m=（）A．2B．2−C．12−D．12【答案】D【分析】先算出ab+，在利用空间向量平行的性质求解【详解】因为向量()0,1,1a=，()1,2,2b=−，所以(1,1,3)ab+=−又ab+与向量()1,2,3cm=−−平行

，所以123113m−−==−所以12m=，故选：D.题型6空间共线向量定理的推理及其应用8.在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若PA=a，PB=b，PC=c，则BE=_____．【答案】131222abc−+【解析】根据底面ABCD是正方形，E为PD中点，向量

加法的平行四边形法则得到)1(2BEBPBD=+，而()()BDBABCPAPBPCPB=+=−+−，即可求得BE的结果.【详解】解：)1(2BEBPBD=+=12(b−+BABC+)=12b−+1(2PAPBPCPB−+−)=12b−+12(2)acb+−=13

1222abc−+．故答案为：131222abc−+.【点睛】本题考查向量在几何中的应用以及向量共线定理和空间向量基本定理，要用已知向量表示未知向量，把要求向量放在封闭图形中求解，体现了数形结合的思想，是基础题型.题型7判定空间

向量共面9.下列命题中正确的是（）A．空间任意两个向量共面B．向量a、b、c共面即它们所在直线共面C．若//ab，//bc，则a与c所在直线平行D．若//ab，则存在唯一的实数，使ab=【答案】A【分析】根据共面向量，共线向量的定义判断．【详解】空间任意两个向量都能平移到同一平面内，因

此它们共面，A正确；空间三个向量指能平移到同一平面内，而不是指表示它们的直线在同一平面内，B错；若//ab，//bc，但当0b=时，a与c不一定平行，因此它们所在直线也不一定平行，即使两个向量平行，它们所在的

直线也可能是同一直线，不一定平行，C错；若//ab，当0b=时，不存在唯一的实数，使ab=，D错．故选：A．10.在下列条件中，能使M与A，B，C一定共面的是（）A．2OMOAOBOC=−−B．111532OMOAOBOC=++C．0MAMBMC++=D．0

OMOAOBOC+++=【答案】C【分析】根据四点共面的条件逐项判断即可求得结论．【详解】解：空间向量共面定理，OMxOAyOBzOC=++，若A，B，C不共线，且A，B，C，M共面，则其充要条件是1xyz++=；对于A，因为21101−−=，所以不能

得出A，B，C，M四点共面；对于B，因为11131153230++=，所以不能得出A，B，C，M四点共面；对于C，MAMBMC=−−，则MA，MB，MC为共面向量，所以M与A，B，C一定共面；对于D，因为0OMOAOBOC+++=，所以OMOAOBOC=−−−

，因为11131−−−=−，所以不能得出A，B，C，M四点共面．故选：C．题型8空间向量共面求参数11.已知空间中三点()0,1,2A−，()2,3,4B，()1,0,1C−.(1)求ABC的面积；(2)若点(),3,4Dx在A，B，C三点确定的平面内，求x的值.【分析】（1）根据

题意，得到(2,4,2),(1,1,1)ABAC==−−，求得0ABAC=，得到ABC为直角三角形，结合1||||2SABAC=，即可求解；（2）由点D在,,ABC三点确定的平面内，所以存在实数,使得ADABAC=+，列出方程组，即可求解.（

(1)由题意三点()0,1,2A−，()2,3,4B，()1,0,1C−.可得(2,4,2),(1,1,1)ABAC==−−，可得2420ABAC=−+−=，所以ABAC⊥，即ABAC⊥，所以ABC为直角三角形，又由222||24226,|

|3ABAC=++==，所以ABC的面积11||||2633222SABAC===.（2）由(,3,4)Dx，可得(,4,2)ADx=，因为点D在,,ABC三点确定的平面内，所以存在实数,使

得ADABAC=+，即24422x−=+=+=,解得1,0,2x===12.在四面体OABC中，空间的一点OM满足1126OMOAOBOC=++，若MA，MB，MC共面，则=（）A．12B．13C．512D．712【答案】B【

分析】根据向量共面定理求解．【详解】由题意1126MAOAOMOAOBOC=−=−−，1526MBOBOMOAOBOC=−=−+−，11(1)26MCOCOMOAOBOC=−=−−+−，∵MA，MB，MC共面，∴存在实数

唯一实数对(,)mn，使得MAmMBnMC=+，1126OAOBOC−−1511(1)2626mOAOBOCnOAOBOC=−+−+−−+−，∴111222511666(1)mnmnmn−

−=−=−−+−=−，解得132313mn=−=−=．故选：B．【点睛】结论点睛：本题考查空间向量共面定理．空间上任意三个不共面的向量都可以作为一个基底，其他向量都可用基底表示，且表示方法唯一．,,OAOBOC是

不共面的向量，OMxOAyOBzOC=++，则,,,MABC共面1xyz++=．题型9空间共面向量定理的推理及其应用13.已知A，B，C三点不共线，对于平面ABC外的任意一点O，分别根据下列条件，判断点M是否与点A，B，C共面：(1)111236OMOAOBOC=++；(2)3OMO

AOBOC=−−．【分析】（1）利用空间向量的线性运算以及空间共面向量定理的即可判断；（2）利用空间向量的线性运算以及空间共面向量定理的即可判断.【详解】（1）因为111236OMOAOBOC=++，所以1110236OMOAOBOC−−−=，所以1111110223366O

MOAOMOBOMOC−+−+−=，可得1110236AMBMCM++=，所以32CMAMBM=−−，所以点M与点A，B，C共面.（2）由3OMOAOBOC=−−可得30OMOAOBOC−++=，所以0OMO

AOBOAOCOA−+−+−=，所以0AMABAC++=，所以MAABAC=+，所以点M与点A，B，C共面.题型10空间向量的数乘运算14．在正四面体ABCD中，F是AC的中点，E是DF的中点，若DAa=，DBb=，DCc=，则BE=（）．A．1144abc−+B．1122abc−+C．1144

abc++D．1122abc++【答案】A【分析】由三角形法则和平行四边形法则、数乘运算求解即可.【详解】()1111122244BEBDDEDBDFDBDADCabc=+=−+=−++=−+故选：A题型11空间向量数乘运算的几何

表示15.如图，在正方体1111ABCDABCD−中，ABa=，ADb=，1AAc=，若E为1DD的中点，F在BD上，且2BFFD=，则EF等于（）A．111222abc−−B．111332abc−−C．111332a

bc−−+D．111233abc−+【答案】B【分析】利用空间向量的加减法、数乘运算推导即可.【详解】()1111111113232332EFDFDEDBDDABADAAabc=−=−=−−=−−.故选

：B.【能力提升】一、单选题1．下列命题中是假命题的是（）A．任意向量与它的相反向量不相等B．和平面向量类似，任意两个空间向量都不能比较大小C．如果0a=，则0a=D．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同【答案】A【分析】由

零向量的定义可判断AC，由向量的性质可判断BD.【详解】对于A，零向量0的相反向量是它本身，A错误；对于B，空间向量是有向线段，不能比较大小，B正确；对于C，如果0a=，则0a=，C正确；对于D，两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同，D正确.故选：A

.2．已知向量()1,,2am=−，向量()3,1,bn=，满足//abrr，则mn+=（）A．196B．196−C．193D．193−【答案】D【解析】根据题意，设akb=，有132kmkkn−===，求出m、n的值，计算可得答案．【详解】解：向量(1a=−

，m，2)，向量(3b=，1，)n，若//ab，设akb=则有132kmkkn−===，则13k=−，则有13m=−，6n=−，则119633mn+=−−=−，故选：D．3．已知()1,2,am=−，(),4,6bn=，a与b共线

，则2mn−=（）A．1B．1−C．2D．3【答案】A【分析】利用空间向量共线性质求参数的值.【详解】因为a，b共线，则1246nabm==−==，∴1232mn=−=−=−，∴()23221mn−=−−

−=，故选：A．4．如图，在三棱柱111ABCABC-中，E、F分别是BC、1CC的中点，G为ABC的重心，则GF=（）A．1121332ABACAA−++B．1121332ABACAA++C．1211332ABACAA−+−D．1121332ABACAA−+【答案】A【详解】解：由题意可得：

GFGEEF=+uuuruuuruuur11213AEBC=+uuuruuuur11)()11(322ABACBCBB=+++uuuruuuruuuruuur1111()662ABACACABBB=++−+uuuruuuruuuruuuruu

ur1121332ABACBB=−++uuuruuuruuur1121332ABACAA=−++uuuruuuruuur.故选：A.5．下列命题中正确的是（）A．若A，B，C，D是空间任意四点，则有0ABBCCDDA+++=B．abab−=+是a，b共线

的充要条件C．若AB，CD共线，则//ABCDD．对空间任意一点O不共线的三点A，B，C，若OPxOAyOBzOC=++（其中x，y，zR），则P，A，B，C四点共面【答案】A【分析】根据向量加法三角形法则可判断A

；根据向量模的定义可判断B；根据向量共线可判断C；通过政教与1的关系可判断D．【详解】根据向量加法三角形法则可知A对；若a、b同向共线则不满足abab−=+，可知B错；若AB，CD共线，则//ABCD或重合，可知C错；对空间任意一点P与不共线的三点A、B、C，若(,,R)OPxOAyOBzOCxy

z=++，当1xyz++=时P、A、B、C四点共面，可知D错．6．如图，设O为平行四边形ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若12OEODxOAyOB=++，则xy+的值是（）A．2−B．0C．1−D．32【答案】B【分析】根据向量的线性运算的几何表示，得出111222OEO

DOBOA=+−，结合条件即可得出答案.【详解】E为OC的中点，()1122OEOCODDC==+，四边形ABCD为平行四边形，DCAB=，()()1111122222OEODABODOBOAODOBOA=+=+−=+−.12OEODxOAyOB=++，12x=，12y=−，0x

y+=，故选：B.7．空间四边形OABC中，OAa=，OBb=，OCc=，点M在OA上，23OMOA=，点N为BC的中点，则MN=（）A．121232abc−+B．211322abc−++C．111222abc+−D．221332abc+−rrr【答案】B【分析】

利用向量的加减法，将MN分解用,,abc表示即可.【详解】由图可知：1111()3232MNMAABBNOAOBOABCOAOBOAOCOB=++=+−+=+−+−，即211322MNabc=−++，故选：B8．给出下列命题：①若空间向量,ab满足ab=，则ab=；②空间任意

两个单位向量必相等；③对于非零向量c，由acbc=，则ab=；④在向量的数量积运算中()()abcabc=rrrrrr.其中假．命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】结合向量的性质，对四个命题逐个分析，可选出答案.【详解】

对于①，空间向量,ab的方向不一定相同，即ab=不一定成立，故①错误；对于②，单位向量的方向不一定相同，故②错误；对于③，取()0,0,0a=，()1,0,0b=，()0,1,0c=，满足0acbc==，且0c，但是ab，故③错误；对于④，因为ab和bcrr都是常数，所以(

)abcrrr和()abcrrr表示两个向量，若a和c方向不同，则()abcrrr和()abcrrr不相等，故④错误.故选：D.【点睛】本题考查向量的概念与性质，考查向量的数量积，考查学生的推理论证能力，属于基础题.二、多选题9．(多选)下列说法中正

确的是（）A．abab−=+是,ab共线的充要条件B．若AB，CD共线，则AB∥CDC．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若311488OPOAOBOC=++，则P，A，B，C四点共面D．若P，A，B，C为空间四

点，且有PAPBPC=+(PB，PC不共线)，则λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件【答案】CD【分析】根据共线向量的定义、共面和共线的性质进行逐一判断即可.【详解】由abab−=+，可得向量,ab的方向相反，此时向量,

ab共线，反之，当向量,ab同向时，不能得到abab−=+，所以A不正确；若AB，CD共线，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，所以B不正确；由A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若311488OPOAOBOC=++，因为31

11488++=，可得P，A，B，C四点共面，所以C正确；若P，A，B，C为空间四点，且有PAPBPC=+(PB，PC不共线)，当λ＋μ＝1时，即μ＝1－λ，可得()PAPCPBCP−=+，即CACB=，所以A，B，C三点共线，反之也成立，即λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件，

所以D正确.故选：CD10.在长方体1111ABCDABCD−中，则1BD=（）A．111ADAAAB−−B．111BCBBDC+−C．1ADABDD−−D．1111BDAADD−+【答案】AB【分析】根据空间向量的加减运算即可得到答案.【详解】如图：对A，11111ADAAABADA

BBD→→→→→→−−=−=，正确；对B，1111111111BCBBDCBCDCBCCDBD→→→→→→→→==+=+−−，正确；对C，1111ADABDDBDDDBDBBBD→→→→→→→→===−−−−，错误；对D，1111111

1111111BDAADDBDDDAABDBBAABDAA→→→→→→→→→→→−++−+−−===，错误.故选：AB.11．下列说法正确的是（）A．若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；B．已知空间任意两向量a，b

，则向量a，b共面；C．已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p，总存在实数x，y，z，使得pxaybzc=++；D．若A，B，C，D是空间任意四点，则有0ABBCCDDA+++=.【答案】BD【分析】由共线向量的定义可知，向量a，b所在的直线可以重合，可判断A

；空间中任意两个向量都是共面的，可判断B；若空间中的三个向量a，b，c共面，并不存在实数x，y，z，使得pxaybzc=++，所以C并不成立；根据向量运算法则可判断D.【详解】对于A，若向量a，b共线，则

向量a，b所在的直线可以重合，并不一定平行，所以A错误；对于B，根据共面向量的定义可知，空间中的任意两个向量都是共面的，所以B正确；对于C，只有当空间的三个向量a，b，c不共面时，对于空间的任意一个向量p，总存在实数x，y，z，使得pxay

bzc=++成立；若空间中的三个向量共面，此说法并不成立，所以C错误；对于D，根据向量的加法法则即可判断D正确.三、填空题12．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外一点O，给出下列表达式：123OMxOAyOBOC=++，其中x，

y是实数，若点M与A，B，C四点共面，则xy+=___________.【答案】53【分析】根据空间共面向量定理的推论计算．【详解】解：123OMxOAyOBOC=++，111226OMxOAyOBOC=++，点M，A，B，

C四点共面，1111226xy++=，53xy+=.故答案为：53.13．下列向量中，真命题是______．（填序号）①若A、B、C、D在一条直线上，则AB与CD是共线向量；②若A、B、C、D不在一条直线上，则AB与CD不是共线向量；③向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一条直

线上；④向量AB与CD是共线向量，则A、B、C三点必在一条直线上．【答案】①【分析】由向量平行共线的定义，依次对四个命题判断即可.【详解】对于①，若A、B、C、D在一条直线上，则AB与CD是共线向量，故①正确；对于②，若A、B、C、D构成平行四

边形时，A、B、C、D不在一条直线上，但是AB与CD是共线向量，故②不正确；对于③，若A、B、C、D构成平行四边形时，A、B、C、D不在一条直线上，但是AB与CD是共线向量，故③不正确；对于④，若A、B、C、D构成平行四边形时，A、B、C不在一

条直线上，但是AB与CD是共线向量，故④不正确；故答案为：①四、解答题14.已知,,,,,,,,OABCDEFGH为空间9个点(如图)，并且,OEkOAOFkOB==，OHkOD=，ACADmAB=+．EGEHmEF=+

，求证：(1),,,ABCD四点共面；(2)//ACEG；(3)OGkOC=．【分析】（1）根据向量的共面定理，即可求解；（2）根据空间向量的运算法则，准确运算，即可求解；（3）根据空间向量的运算法则，准确运算，即

可求解.【详解】（1）解：因为ACADmAB=+，由共面向量的基本定理，可得,,ACADAB是共面向量又因为,,ACADAB有公共点A，所以,,,ABCD四点共面.（2）解：因为,,OEkOAOFkOBOHkOD===，则()()()EGEHmEFOHOEmOFOE

kADOAkmOBOA=+=−+−=−+−()kADABADkmkmkABAC+=+==，所以//ACEG.（3）解：由（1）及,,OEkOAOFkOBOHkOD===，可得,EGkACEOkAO==−，所以()OGEGEOkACkAOkACAOkOC=−=−=−=，即OGkOC=.15．如图

，正方体1111ABCDABCD−中，点E，F分别是上底面1111DCBA和侧面11CCDD的中心，分别求满足下列各式的x，y，z的值．(1)1AExADyABzAA=++；(2)1AFxADyABzAA=++；(3)1EFxADyABzAA=++．【分析】（1）由向

量加法的三角形法则和四边形法则得11AEAAAE=+和()112ABEADA=+，由此即可求出结果；（2）由向量加法的三角形法则和四边形法则得AFADDF=+和()112DFABAA=+，由此即可求出结果；（3）因为EFAFAE=−，由（1），（2）可知，11122ADA

EFA−=，由此即可求出结果.【详解】（1）解：由向量加法的三角形法则得，11AEAAAE=+，由平行四边形法则和向量相等得，()()111111122ABADAADAEB=+=+；所以()1111111222AEAAAEAAABADADABAA=+=+=+++，

所以1,12xyz===；（2）解：由向量加法的三角形法则得，AFADDF=+，由四边形法则和向量相等得，()()111122DFDCDDABAA=+=+；所以()11111222AFADDFADABAAADABAA=+=++=

++，所以11,2xyz===．（3）解：由（1），（2）可知，1111112222EFAFAEADABAAADABAA=−=++−++11122ADAA=−，所以11,0,22xyz===−.