【文档说明】高二数学人教A版2019选择性必修第一册同步备课试题 1.2 空间向量基本定理 Word版含解析.docx，共(20)页，2.383 MB，由小赞的店铺上传

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1.2空间向量基本定理（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】题型1空间向量基底概念及辨析1.下列关于空间向量的说法中错误的是（）A．平行于同一个平面的向量叫做共面向量B．直线可以由其上一点和它的方向向量确定C．空间任意三个向量都可以构成

空间的一个基底D．任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量【答案】C【分析】根据空间向量、基底的性质，以及共面向量、直线方向向量性质和概念判断各选项的正误.【详解】A：平行于平面m的向量，均可平移至一个平行于m的平面，故它们为共面向量，正确；B：直线的方

向向量是直线任取一点，向其两个方向的任意方向作出一个向量即可得，故一点和方向向量确定直线，正确；C：空间任意三个向量都共面时，则不能构成空间的基底，错误；D：由向量的位置的任意性，将空间两个向量某一端点移至重合位置，它们即可构成一个平面，即可为同一平面的向量，

正确.故选：C2．已知三棱锥OABC−，点P为平面ABC上的一点，且12OPOAmOBnOC=++（m，n∈R）则m，n的值可能为（）A．11,2mn==−B．,112mn==C．1,12mn=−=−D．1,12mn==−【答案】A【分析】

根据给定条件，利用点位于平面内的充要条件，建立关系即可判断作答.【详解】因为点P为平面ABC上的一点，12OPOAmOBnOC=++，则12OPmnOAmABnAC=++++，于是112mn++=，即12mn+=，显然选项BCD都不满

足，A选项满足.故选：A3.已知1,,BABCBB为三条不共面的线段，若1123ACxAByBCzCC=++，那么xyz++=（）A．1B．76C．56D．116【答案】B【分析】直接利用共面向量的基本定理求出结果.【详解】根据向量加法法则可得：11ACABBCCC=++，即11

ACABBCCC=+−，因为1123ACxAByBCzCC=++，所以1x=，21y=，31z=−，所以1x=，12y=，13z=−，所以1171236xyz++=+−=.故选：B.4.正方体1111ABCDABCD−中，M为11AC与11BD的交点，若1,

,ABaADbAAc===，则DM=（）A．1122abc−+B．1122abc++C．1122abc−−+D．1122−++abc【答案】A【分析】利用空间向量的运算及基底表示进行求解.【详解】因为在正方体1111

ABCDABCD−中，M为11AC与11BD的交点，所以M为11BD的中点；()111111112DMDDDMDDDADC=+=++，由正方体的性质可知111111,,DCABaDAADbDDAAc===−=−==,所以()111222DMc

ababc=+−=−+.故选：A.5.如图，在平行六面体ABCDABCD−中，点E，F分别是棱AA和CD的中点，以,,ABADAA为基底表示EF．【答案】1122AAADAB++uuuruuuruuur【详

解】利用空间向量基本定理以及平行六面体的图形性质得出结果.【分析】利用平行六面体的性质，空间向量的线性运算即得.在平行六面体ABCDABCD−中，,ADADDCAB==uuuuruuuruuuruuur，又点E，F分别是棱AA和CD

的中点，∴111222EAAADFDCBA===，，∴EFEAADDF=++1122AAADAB++=.题型2用空间基底表示向量6.已知,,abc是空间的一个基底，则下列说法错误的是（）A．若xyz++=0abc，则0xy

z===B．,,abc两两共面，但,,abc不共面C．一定存在x，y，使得axbyc=+D．,,2abbcca+−+一定能构成空间的一个基底【答案】C【分析】利用向量的线性关系、向量的基底的定义和空间向量基本定理，即可求解．

【详解】对于A，若,,xyz不全为0，则,,abc共面，与题意矛盾，故A正确；对于B，,,abc是空间的一个基底,则,,abc两两共面，但,,abc不共面，故B正确；对于C，,,abc不共面，则不存在实数,xy，使得axbyc=+，故C错误；对于D，若,,2

abbcca+−+共面，()(2)abkbcca+=−++，121kk===无解，故,,2abbcca+−+不共面，一定能构成空间的一个基底，故D正确故选∶C．7.已知正方体1111ABCDABCD−，点E是上底面11AC的

中心，若1AEAAxAByAD=++，则2xy−等于（）A．2B．1−C．12−D．13【答案】C【分析】利用空间向量基本定理，结合正方体的结构特征求解作答.【详解】正方体1111ABCDABCD−，点E是上底面11AC的中心，如图，则11111

1111111111()2222AEAAAEAAACAAABADAAABAD=+=+=++=++，1,,AAABAD不共面，又1AEAAxAByAD=++，于是得12xy==，所以122xy−=−.故选：C8

.在平行六面体1111ABCDABCD−中，11AOADD=，记向量DAa=，DCb=，1DDc=，则向量CO=（）A．1122abc++B．12abc++C．1122abc−+D．1122abc++【答案】C【分析】先得到O是1AD的中点，利用空间向量基本定理求出答案.【详解】因为平行六面体1

111ABCDABCD−钟，11AOADD=，所以O是1AD的中点，故111112222COCDDODCDADDabc=+=−++=−+.故选：C9.如图，在正方体1111ABCDABCD−中，,EF分别为1,ABDD的中点，若1EFxDAyDCzDD=+

+，则xyz++=__________.【答案】1−【分析】根据向量的分解和基底的定义求解.【详解】因为11122EFEAADDFDADCDD=++=−−+，所以111,,,22xyz=−=−=所以111

122xyz++=−−+=−.故答案为:1−.10.如图所示，在平行六面体1111ABCDABCD−中，O为AC的中点.（1）化简：11122AOABAD−−；（2）设E是棱1DD上的点，且123DEDD=，若1EOxAByADzAA=++，试求实数x，y，z的值.【答案】（1）1AA；

（2）12x=、12y=−、23z=−.【分析】（1）根据空间向量的线性运算求解；（2）用基底1,,ABADAA表示出EO后可得,,xyz的值．【详解】（1）11111()2AOABADAOAOOAOAAA−+=−=−+=（2）112()23EOAOAEABADADAA=−=+−−1112223A

BADAA=−−，12x=、12y=−、23z=−.题型3空间向量基本定理及应用11．在三棱锥−PABC中，M是平面ABC上一点，且324PMPAtPBMC=++，则t=（）A．1B．3C．17D．12【答案】A【分析】根据空间向量的基本定理24777tPMPAP

BPC=++，进而得出方程241777t++=，解之即可.【详解】因为()32424PMPAtPBMCPAtPBPCPM=++=++−，所以724PMPAtPBPC=++，即24777tPMPAPBPC=++．因为M是平面ABC上一点，所以241777t++=，所以1t=．故选：A.12.在平

行六面体1111ABCDABCD−中，1AAa=，ABb=，ADc=，点P在1AC上，且1:2:3APPC=，则DP=___________．（用a，b，c表示）【答案】323555abc+−【分析】利用空间向量的基本定理可得出DP关于,,abc的表达式.【详解】由平面六面体法则可知1

11111ACABADAAbca=++=+−，()()11112232355555DPAPADACADAAbcacaabc=−=−−=+−−+=+−.故答案为：323555abc+−.13．已知矩形,ABCDP为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，,MN分别为,P

CPD上的点，2,,PMMCPNNDNMxAByADzAP===++，则xyz++=（）A．23−B．23C．1D．56【答案】B【分析】根据空间向量基本定理求出211,,366xyz===−，求出答案.【详解】因为2,PMMCPNND==，所以121122232233PMDPPCAPN

ADACAMNPP+=+=−+−=12112212112362336366ADACAPADABADAPABADAP=−+−=−++−=+−，故211,,366xyz===−，故23xyz++=.故选：B14．如图，在平行六面体1111ABCDAB

CD−中，AC与BD交于O点，且1160BADBAADAA===，4ABAD==，15AA=.则下列结论正确的有（）A．1ACBD⊥B．119BCAC=C．185BD=D．111122OBABADAA=−−【答案】AB【分析】由向量的分解和向量数量积公式、向量的求模公

式即可判断.【详解】如图，由题意得，2216ABAD==，2125AA=cos44cos608ABADABADBAD===，111cos45cos6010ABAAABAABAA===，111cos45cos6010AD

AAADAADAA===，对于选项A，()()11ACBDABBCCCADAB=++−11ABADABABBCADBCABCCADCCAB=−+−+−2211ABADADAABABAADAAADAB=−+−+−22

11161610100AAADAAABADAB=−++−=−++−=所以1ACBD⊥，即1ACBD⊥.故选项A正确.对于选项B，()()1111BCACBCCCACAA=+−()()()()()11111ADAAABADAAADAAABADA

AADAA=++−=+++−2211ADABAAABADAA=++−81016259=++−=故选项B正确.对于选项C，()()222111BAADABADADAB=−=+−222111222ADABADAAADABAAAAAB=+++−

−16251620162041=+++−−=所以141BD=即141BD=故选项C错误.对于选项D，()1111111112222OBOBBBDBAAABADAAABADAA=+=+=−+=−+故

选项D错误.故选：AB15.如图，设P是平行四边形ABCD所在平面外一点，O是平行四边形对角线AC和BD的交点，Q是CD的中点，求下列各式中x，y的值．(1)OQPQxPCyPA=++；(2)PAxPOyPQPD=++．【答案】(1)12xy==−(2)2x=，=2

y−．【分析】（1）利用向量的三角形法则及其向量相等即可得出．（2）利用向量的三角形法则及其向量相等即可得出．【详解】（1）解：OQPQPO=−1()2PQPAPC=−+1122PQPAPC=−−．12xy=

=−．（2）解：2PAPCPO+=，2PAPOPC=−．又2PCPDPQ+=，2PCPQPD=−．从而有2(2)22PAPOPQPDPOPQPD=−−=−+．2x=，=2y−．【能力提升】一、单选题1.已知{,,}abc为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是（）

A．,,abbcac++−B．2,,abbac+−C．,2,abbcabc++++D．,2,2acbabc++−【答案】B【分析】分别判断每组向量是否共面即可.【详解】因为()()acabbc−=+−+，11(

2)(2)22abcabbc++=+++，11(2)(2)22acbabc+=+−−，所以选项ACD中的向量共面，不能作为空间的基底，对于选项B，假设2,,abbac+−共面，则存在,，使得2()abbac+=+−，120==−=，无解，2,

,abbac+−不共面，可以作为空间的一组基底.故选：B.2．在平行六面体1111ABCDABCD−中，M为11AC与11BD的交点，若ABa=，ADb=，1AAc=，则下列向量中与BM相等的向量是（）A．1122abc++B．

1122abc−++C．1122abc−−+D．1122abc−+【答案】B【分析】根据给定条件，利用空间向量基本定理结合空间向量运算求解作答.【详解】在平行六面体1111ABCDABCD−中，M为11AC与11BD的交点，111111111111()22222BMB

AAAAMABAAABADacababc=++=−+++=−+++=−++.故选：B3．四棱锥PABCD−中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若AExAByADzAP=++，则xyz++等于（）A．32B．1C．52D．2【答案】A【分析

】运用向量的线性运用表示向量111222AEABADAP=++，对照系数，求得,,xyz，代入可得选项.【详解】因为()AEABBCCEABADEPABADAPAE=++=++=++−，所以2AEABADAP=++，所以111222AEABADAP=++，所以111,,22

2xyz===，所以1113++2222xyz++==，故选：A.4．如图，三棱锥OABC−中，M，N分别是OA，BC的中点，G为线段MN上一点，且2MGGN=，记OAa=，OBb=，OCc=，则OG=（）A．111663abc++B．11

1333abc++C．111366abc++D．111633abc++【答案】C【分析】利用给定的空间向量的基底，结合空间向量的线性运算求解作答.【详解】因为M，N分别是OA，BC的中点，则11111,()22

222OMOAaONOBOCbc===+=+，又G为线段MN上一点，且2MGGN=，即2MGGN=，于是2()OGOMONOG−=−，所以2121111()3332322111366cOGOMONabcab=+=++=++.故选：C5．已知,,abc是空

间的一个基底，则可以与向量2mbc=−，2nbc=+构成空间另一个基底的向量是（）A．aB．bC．cD．bc+【答案】A【分析】根据空间向量基底的定义依次判断各选项即可.【详解】对于A选项，不存在,Rxy使得()()22axmynxbcybc=+=−++成立，

故能构成空间的另一个基底；对于B选项，()()1112212222mnbcbbc+=−+=+，故不能构成空间的另一个基底；对于C选项，()()1114412244cmnbcbc=+=−−+−+，故不能构成空间

的另一个基底；对于D选项，()()1134432424mnbcbcbc=+=−+++，故不能构成空间的另一个基底.故选：A.6．已知三棱锥OABC−中，13AMAB=，13CNCO=，且OAa=，OBb=，OCc=，则NM=（）A．22133

3abc+−B．212333abc+−C．122333abc−++D．221333abc−+【答案】B【分析】连接OM，结合空间向量的基本定理求解即可.【详解】连接OM，由13AMAB=，13CNCO=，所以221333NMNOOMOC

OAAMOCOAAB=+=−++=−++()2122121233333333OCOAOBOAOCOAOBabc=−++−=−++=+−．故选：B．7．在以下命题中：①三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c

共面；②若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线；③对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若222OPOAOBOC=−−uuuruuruuuuruuuur，则P，A，B，C四点共面④若a，b是两个不共线的向量，且(),,,0cabR=+

，则,,abc构成空间的一个基底⑤若,,abc为空间的一个基底，则,2,abbcaca++++构成空间的另一个基底；其中真命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】D【分析】直接利用空间基底，共面向量，共线向量的基

础知识的应用求出结果．【详解】空间任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底.①根据空间基底的定义，三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面；故命题①正确．②由空间基底的定义，若两个非零

向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线，若a，b不共线，则a，b共面，一定有向量与a，b不共面；故命题②正确．③对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，当222OPOAOBOC=−−uuuruuruuuuruuuur时，若P，A，B，C四点共面，则APA

BAC=+，()()OPOAOBOAOCOA−=−+−，()1OPOAOBOC=−−++，1222−−==−=−，方程组无解，故P，A，B，C四点不共面；故命题③错误．④若a，b是两

个不共线的向量，且(,,,0)cabR=+，则向量c与a，b构成共面向量，{,,}abc不能构成空间的一个基底；故命题④错误．⑤利用反证法：若{,,}abbcca+++不能构成空间的一个基底，则这三

个向量共面，设()()(,R)abxbcycaxy+=+++，当0xy+=，a与b共线，当0xy+，得11yxcabxyxy−−=+++，都有,,abc共面，由于{,,}abc为空间的一个基底，得出矛盾，所以

{,,}abbcca+++能够成空间的一个基底，故命题⑤正确．真命题有3个.故选：D8．设,,abc是空间一个基底，则下列选项中正确的是（）A．若,abbc⊥⊥rrrr，则ac⊥B．,,abc两两共面，但,,abc不可能共面C．对空间任一向量p，总存在有序实数组(,,)xyz，使pxayb

zc=++D．,,abbcca+++一定能构成空间的一个基底【答案】BCD【分析】对于A选项，垂直关系不传递判断；对于B选项，由基底的概念判断；对于C选项，由空间向量的基本定理判断；对于D选项，易知,,abc不共面．假设,,abbcac+++共面，利用反证法判断.【详解】对于A选项，b与,a

c都垂直，,ac夹角不一定是π2，A选项错误．对于B选项，根据基底的概念可知,,abc两两共面，但,,abc不可能共面，B选项正确．对于C选项，根据空间向量的基本定理可知，C选项正确．对于D选项，由于,,abc是空间一

个基底，所以,,abc不共面．假设,,abbcac+++共面，不妨设()()abxbcyca+=+++rrrrrr，化简得()()()110yaxbxyc−+−−+=rrrr，因为,,abc不共面，则10100yxxy−=−=+=，而方程无解，所以,

,abbcac+++不共面，可以作为空间的一个基底，D选项正确．故选：BCD．二、多选题9．下列关于空间向量的命题中，正确的有（）A．若向量a，b与空间任意向量都不能构成基底，则//abrrB．若非零向量a，b，c满

足ab⊥，ac⊥，则//acrrC．若向量ab+，bc+，ca+是空间一组基底，则a，b，c也是一组基底D．若OA，OB，OC是空间向量的一组基底，111236ODOAOBOC=++，则A，B，C，D四点共面【答案】ACD【分析】根

据空间向量共线、垂直、基底、共面等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】对于A，∵a，b与任何向量都不构成空间向量的基底，∴a，b只能为共线向量∴//abrr，A对；对于B，取()1,0,1a=，()1,1,1b=−，()1,2,1c=−，显然满足ab⊥，ac⊥，但b

与c不平行，B不对；对于C：∵ab+，bc+，ca+为一组基底，∴对于空间任意向量d，存在实数m，n，t，使()()()()()()dmabnbctcamtamnbntc=+++++=+++++，∴a，b，c也是一组基底，C对；对于D

：∵111236ODOAOBOC=++，∴()()11113636ODOAOBOAOCOAABAC−=−+−=+，即：1136ADABAC=+，∴A，B，C，D四点共面，∴D对.故选：ACD10．关于空间向量，以下说法不正确的是（）A．向量a，b，

若0ab=，则ab⊥B．若对空间中任意一点O，有111632OPOAOBOC=++，则P，A，B，C四点共面C．设,,abc是空间中的一组基底，则,,abbcac−++也是空间的一组基底D．若空间四个点P，A，B，C，1344PCPAPB

=+，则A，B，C三点共线【答案】AC【分析】根据向量垂直的性质可判断选项A；由共面向量定理可判断选项B；由向量的加法法则可判断选项C；由共线向量定理可判断选项D.【详解】对于A，向量a，b，若0ab=，若向量a，b均为非零向量，则由向量垂直的性质可得ab⊥；若向量a，b其中一个为

零向量，则a与b不垂直，故A错误；对于B，若对空间中任意一点O，有111632OPOAOBOC=++，因为111++=1632，所以P，A，B，C四点共面，故B正确；对于C，设,,abc是空间中的一组基底，由向量的加法法则可知：()()abbca

c−=−+++，所以,,abbcac−++不能构成空间的一组基底，故C错误；对于D，若空间四个点P，A，B，C，1344PCPAPB=+，由共线向量定理可知：A，B，C三点共线，故D正确，故选：AC.三、填空题11．若,,abc为空间的一个基

底，则下列各组向量中一定能构成空间的一个基底的是______．（填序号）①a，ab+，ab−；②b，ab+，ab−；③c，ab+，ab−；④ab+，ab−，2ab+．【答案】③【分析】根据空间向量基本定理判断可得；【详解】解：由空间向量基本定理得：对于①，()()1122aaba

b=++−，所以a，ab+，ab−三个向量共面；对于②，()()1122babab=+−−，所以b，ab+，ab−三个向量共面；对于③，因为,,abc为空间的一个基底，所以a与b不共线，所以ab+，ab−也不共线，且ab+与a、b共面，ab−

与a、b共面，又c、a、b三个向量不共面，所以c，ab+，ab−不共面，故c，ab+，ab−可以作为一组基底；对于④，()()31222ababab+=+−−，所以ab+，ab−，2ab+三个向量共面，故答案为：③．12

．已知123,,eee不共面，1232aeee=+−，12332beee=−++，123ceee=−−，若12323deeexaybzc=−+=++，则xyz+−=______．【答案】2【分析】根据题意，化简得到123(3)

(2)(2)xaybzcxyzexyzexyze++=−+++−+−+−，再由12323deeexaybzc=−+=++，得出关于,,xyz的方程组，求得,,xyz的值，即可求解.【详解】由题意，向量123,,eee

不共面，1232aeee=+−，12332beee=−++，123ceee=−−，则123123123(2)(32)()xaybzcxeeeyeeezeee++=+−+−+++−−123(3)(2)(2)xyzexyzexyze=−+++−+−+−

因为12323deeexaybzc=−+=++，则322123xyzxyzxyz−+=+−=−−+−=，解得3,5,10xyz=−=−=−，所以35102xyz+−=−−+=.故答案为：2.四、解答题13．如图，在平行六面体1111AB

CDABCD−中，E，F分别为棱11AD，CD的中点，记BCa=，BAb=，1BBc=，满足11π3BBCBBA==，π2CBA=，2ABBC==，13BB=.(1)用a，b，c表示FE；(2)计算BCFE.【答案】(1)

1122FEbca=+−(2)1【分析】（1）根据空间向量对应线段的位置关系，用1,,BABBBC表示出FE；（2）应用向量数量积的运算律得BCFE11122BCBABCBBBCBC=+−，结合已知即可求数量积.【详解】（1）11FEFDDDDE=++11122B

ABBBC=+−1122bca=+−；（2）11122BCFEBCBABBBC=+−11122BCBABCBBBCBC=+−11πcos22BCBABCBB=+2π1cos32BC−0321=+−=.14．如图所示，平行六面体OABCOABC−中，

OAa=，OCb=，OOc=，用,,abc示如下向量：(1)OB，OB，AC；(2)GH（,GH分别是BC和OB的中点）．【答案】(1)OBabc=++，OBabc=+−，ACbac=−+(2)1122GHcb=−【分析】（1）（2）根据向量线性运算直接求解即可.【详解

】（1）OBOOOBOOOBOOOAOCabc=+=+=++=++；OBOBOOOAOCOOabc=−=+−=+−；ACACCCOCOAOObac=+=−+=−+.（2）,GHQ分别为BC和OB的中点，1111

122222GHCOOOOCcb==−=−.15．如图，在三棱柱111ABCABC-中，D是棱11BC的中点，2AEED=，设1,,ABaACbAAc===.(1)试用向量,,abc表示向量BE；(2)若1113,60ABACAABACAABAAC=

=====，求BE.【答案】(1)212333BEabc=−++(2)5【分析】（1）连接11,ABAC，根据向量关系直接可表示出；（2）根据（1）中的结果平方即可求出.【详解】（1）连接11,ABAC，则111111,A

BABBBacACACAAbc=+=+=+=+.因为D是棱11BC的中点，所以()11111222ADABACabc=+=++.因为2AEED=，所以21123333AEADabc==++，则212333BEAEABabc=−=−++.（2）由（1）可知212333BEabc=−++，则22222

212414484333999999BEabcabcabacbc=−++=++−−+，因为1113,60ABACAABACAABAAC======，所以22299,2abcabacbc=====

=，则24142425BE=++−−+=，故5BE=.16．如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于60°，M是PC的中点，设ABa=，ADb

=，cAP=.(1)试用,,abc表示向量BM；(2)求BM的长.【答案】(1)111222bac−+(2)62【分析】利用空间向量基本定理用基底表示BM；（2）在第一问的基础上运用空间向量数量积运算法则进行运算.【详解】（1）()1122BMBCCMADCPADCBBAAP=+=+

=+++111111222222ADADABAPbac=−−+=−+（2）22222111111111222444222BMbacbacabcbac=−+=++−+−11111131021214

422222=++−+−=，所以62BM=，则BM的长为62.