【文档说明】高二数学人教A版2019选择性必修第一册同步备课试题 1.3.2空间向量运算的坐标表示 Word版含解析.docx，共(16)页，2.191 MB，由小赞的店铺上传

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1.3.2空间向量运算的坐标表示（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】题型1利用空间向量的坐标运算1.若向量()2,,4ma=−，()1,2,nb=，且//mnurr，则2ab−的值为（）A．1−B．0C．6D．8【答案

】D【分析】根据向量平行列方程，求得,ab，进而求得2ab−.【详解】依题意，向量()2,,4ma=−，()1,2,nb=，且//mnurr，通过观察横坐标可知2mn=，所以224,42,2abb==−==−，所以2448ab−=+=.故选：D2.已知()1,1

,0A，()0,3,0B，()2,2,2C，则向量AB在AC上的投影向量的坐标是（）A．111,,663−B．111,,663−−C．111,,663−−−D．111,,663

【答案】D【分析】先求,ABAC，再由投影向量的定义，结合数量积的坐标运算，模的坐标运算公式求解.【详解】因为()1,1,0A，()0,3,0B，()2,2,2C，所以()()1,2,0,1,1,2ABAC=−=，所以()22212

05AB=−++=，2221126AC=++=，()1121021ABAC=−++=，所以向量AB在AC上的投影向量是11111,,666366ABACACACABACABACAC===，所以向量AB在AC上的投影向量的坐标是111,

,663，故选：D.3.向量()()()2,3,1,2,0,4,4,6,2abc=−−==−−，则下列结论中正确的是（）A．,abbc⊥∥B．,acab⊥∥C．,abac⊥∥D．,bcab⊥∥【答案】B【分析】利用空间向量垂直或平行的坐标表示，

即可判断选项.【详解】因为12ac=，所以//ac，2230140ab=−−+=，所以ab⊥.故选：B4.(多选题）已知向量()()()1,1,0,1,0,1,2,3,1abc=−=−=−，则（）A．6ab−=B．()()27abbc++=C．()5abc+⊥D．()

abc−∥【答案】CD【分析】根据空间向量的模长、数量积的坐标运算，以及平行、垂直的坐标表示即可求解.【详解】对于A,()()()1,1,0,1,0,1,2,1,1abab=−=−−=−−，2222(1)(1

)6ab−=+−+−=，故A错误；对于B，()()21,1,2,1,3,2abbc+=−−+=−，则()()()()()21113226abbc++=−+−−+=，故B错误；对于C,()54,1,5ab+=−−，

则()()()54213510abc+=−+−−+=，则()5abc+⊥，故C正确；对于D，()()()3,3,0,1,1,0,3,bcabcaabc−=−=−−=−−∥，故D正确.故选:CD.题型2坐标形式下向量的平行与垂直问题5.已知两个空间向量(),

4,2am=−，()1,2,1b=−，且//ab，则实数m的值为__________．【答案】2−【分析】依题意可得ab=，根据空间向量基本定理计算可得.【详解】因为(),4,2am=−，()1,2,1b=−，且//ab，所以ab=，即()(),4,21,2,1m−

=−，即422m=−==−，解得2m==−.故答案为：2−6.()()1,2,1,2,,2abx=−=−，若//ab，则x=_____________．【答案】-4【分析】由空间向量共线定理求解.【详解】解：因为(

)()1,2,1,2,,2abx=−=−，且//ab，所以12122x−==−，解得4x=−，故答案为：-47.已知向量(2,1,3),(1,1,)abx=−=−，若a与b垂直，则|3|ab+=___________

.【答案】41【分析】由a与b垂直，解得1x=，从而()31,2,6ab+=−，由此能求出|3|ab+.【详解】∵a与b垂直，∴0ab=，则2(1)(1)130abx=−+−+=，解得1x=，∴(1,1,1)b=−，则3(2,1,3)(3,3,3)(1,2,6)ab+=−+−=

−，∴()222|3|12641ab+=−++=，故答案为：41.8.已知空间向量(1,2,3)a=，(2,2,0)b=−，(1,1,)c=，若(2)cab⊥+，则=______．【答案】1−【详解】()()()221,2,32,2,04,2,6ab+=+−

=，(2)cab⊥+，(2)0cab+=，4260++=，解得1=−，故答案为：1−.题型3利用空间向量求夹角和距离(长度)9.已知向量(1,2,0)a=，(0,2,1)b=，且a，b的夹角为，则sin=（）A．

35B．45C．35-D．45−【答案】A【分析】根据向量的夹角公式求得向量夹角的余弦值，即可求得夹角的正弦值，可得答案.【详解】由题意向量(1,2,0)a=，(0,2,1)b=，且a，b的夹角为，[0,π]，可得|||44cos|555abab===，故243sin1()55=−

=，故选：A10.已知()2,2,3a=−，()32,6,0b=，则a与b夹角的余弦值等于_____.【答案】69【分析】利用向量夹角公式直接求解即可.【详解】61206cos,9336ababab−++===.故答案为：69.11.已知()1,1,2a=，2b=，2ab

−=，则ab=________.【答案】2【分析】根据2222abaabb−=−+rrrrrr即可求解.【详解】因为()1,1,2a=，所以1122a=++=,因为2ab−=，所以22224abaabb−=−+=,即

4244ab−+=，解得2ab=.故答案为:2.12.已知(1,0,1),(1,1,0)ab=−=−，单位向量n满足,nanb⊥⊥，则n=_________．【答案】333,,333或333,,333

−−−【分析】设向量(,,)nxyz=，其中2221xyz++=，由,nanb⊥⊥，得到方程组00xzxy−=−=，进而求得,,xyz的值，即可求解.【详解】设向量(,,)nxyz=，其中2221xyz++=，因为(1,0,1),(1,

1,0)ab=−=−且,nanb⊥⊥，可得00xzxy−=−=，即,zxyz==，将,zxyz==代入2221xyz++=，可得333,,333xyz===或333,,333xyz=−=−=−，所以向量n的坐标为333,,333

或333,,333−−−.故答案为：333,,333或333,,333−−−.【能力提升】一、单选题1.已知向量()1,2,0a=，()2,,1by=−，若

ab⊥，则y=（）A．2−B．1−C．1D．2【答案】B【分析】由向量垂直坐标表示直接构造方程求解即可.【详解】ab⊥，2200aby=++=，解得：1y=−.故选：B.2.与向量()3,0,4a=−共线的

单位向量可以为（）A．34,0,55−−B．43,,055−C．43,0,55−D．34,0,55−【答案】D【分析】计算出9165a=+=，从而得到与向量()3,0,4a=−共线的单位向量.【详解】因为9165a=+

=，所以与向量()3,0,4a=−共线的单位向量可以是34,0,55aa=−或34,0,55aa−=−.故选：D3.已知向量()()()2,1,2,2,,1,4,3,2abxc==−=，若()bac⊥+，则x的值为（）A．2−B．1−C．1D．2【答案】D【分析】根

据题中条件，求出ac+的坐标，再由向量垂直的坐标表示列出方程求解，即可得出结果.【详解】因为()()()2,1,2,2,,1,4,3,2abxc==−=，所以()6,4,4ac+=，又()bac⊥+，所以12440x−++=，解

得2x=.故选：D.4.已知()2,1,3a=−，()4,2,bx=−，且ab∥，则x的值为（）A．34B．55C．6D．－6【答案】D【分析】空间中两向量平行，其对应坐标成比例，故可求之.【详解】因为ab∥，所以21342x−==−，解得6x=−.故选：D.5.已知向量()0,1

,1a=−，()1,2,by=，3ab=−，则a与b的夹角为（）A．30B．60C．120D．150【答案】D【分析】根据题意，先得到b的坐标，然后根据空间向量数量积的坐标运算即可得到结果.

【详解】根据题意可得，0231abyy=−+=−=−，即()1,2,1b=−则33cos,226ababab−===−，且,0,πabrr，所以a与b的夹角为150故选:D6.已知空间向量(2,1,1)a=−−，(3,4,

5)b=，则下列结论不正确的是（）A．(2)//aba+B．53ab=C．()56aab⊥+D．a与b夹角的余弦值为36−【答案】A【分析】类比平面向量的计算办法，判断两向量是否平行可得，127211−−−，故A错；以及53ab=，故B正确；向量乘积为0即垂直，故C对；用cos,abab

ab=可判断D对.【详解】因为2(1,2,7)ab+=−，(2,1,1)a=−−，而127211−−−，故A不正确；因为6a=，52b=，所以53ab=，故B正确；因为2(56)560aabaab+=+=，故C正确；又53c

os,6652ab−==−，故D正确.故选：A7.已知向量()()1,2,3,2,4,6,14abc==−−−=，若()7abc+=，则a与c的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°【答案】C【分析】求

得()1,2,3aba+=−−−=−，可得向量ab+与a为相反向量，再根据()7abc+=求出向量ab+与c的夹角，即可得解.【详解】由()()1,2,3,2,4,6,14abc==−−−=，得()1,2

,3ab+=−−−，则14ab+=，设向量ab+与c的夹角为，则()1cos2abcabc+==+，又0180，所以60=，因为()1,2,3aba+=−−−=−，所以向量ab+与a为相反向量，所以a与c的夹角为

120.故选：C.8.已知平面向量()0,1,0a=，130,,22b=−，则a与ab+的夹角为（）A．π3B．2π3C．π6D．5π6【答案】A【分析】由题意可得13(0,,)22ab+=，设a与ab+的夹角为，由()cos

||||aabaab+=+求解即可.【详解】解：因为()0,1,0a=，130,,22b=−，所以13(0,,)22ab+=，设a与ab+的夹角为，则1()12cos112||

||aabaab+===+，又因为[0,π]，所以π3=.故选：A二、多选题9.已知空间向量()()()1,2,1,3,2,1,4,4,1abc==−=−−，则（）A．6a=B．,,abc是共面向量C．ab⊥D．()10abc+=【答案】ABC【分析】根据向量的坐标进

行运算，求向量的模长，判断关系.【详解】2221216a=++=，A项正确；设ambnc=+，即1342241mnmnmn=−=−+=−，解得3m=，2n=，即32abc=+，所以a，b，c共面，B项正确；3410a

b=−+=，所以ab⊥，C项正确；()()()4,0,24,4,118abc+=−−=−，D项错误.故选：ABC.10.已知空间向量(2,1,1)a=−−，(3,4,5)b=，则下列结论正确的是（）A．(2)//aba+B．5||3||ab=C．(56)⊥+aab）D．a与b夹角的

余弦值为36−【答案】BCD【分析】对于A，结合向量平行的性质，即可求解，对于B，结合向量模公式，即可求解，对于C，结合向量垂直的性质，即可求解，对于D，结合向量的夹角公式，即可求解．【详解】因为2(1,2,7),(2,1,1)aba+=−=−−，且1221−−−，故A不正确；因为||4116

a=++=，222||34552b=++=，则5||3||ab=，故B正确；因为56(8,19,35)ab+=，()()()5628119135056aabaab+=−−+=⊥+，，故C正确；由于(2,1,1)a=−−，

(3,4,5)b=，所以53cos,6||||652ababab−===−，所以D正确.故选:BCD.11.如图，已知长方体1111ABCDABCD−的底面是边长为1的正方形，高为2，E是1DD的中点，则下列结论错误的是（）A．11BEAB⊥B．三棱锥11CBCE

−的体积为13C．三棱锥11CBCD−的外接球的表面积为8πD．平面1//BCE平面1ABD【答案】ACD【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求得11BEAB、位置关系判断选项A；求得平面1BCE与平面1ABD位置关系判断选项D；求得三棱锥11CBCE−的体积判断选

项B；求得三棱锥11CBCD−的外接球的表面积判断选项D.【详解】以A为原点分别以AB、AD、1AA所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系：则(0,0,0)A,(1,0,0)B,(1,1,0)C,(0,1,0)

D,(0,1,1)E,1(0,0,2)A,1(1,0,2)B,选项A：由11(1,1,1),(1,0,2)BEAB=−−=−.可得11(1,1,1)(1,0,2)1210BEAB=−−−=−+=，则两向量1BE、1ABuuur不互相垂直，则1BE与1AB不互相垂直.判断错误；选项B：三棱锥1

1CBCE−的体积11111111111211=3323=CBCEBCCECCEVVSBC−−==△.判断正确；选项C：三棱锥11CBCD−的外接球即长方体1111ABCDABCD−的外接球，长方体1111ABCDABCD−的外接球直径为2221

+1+2=6则三棱锥11CBCD−的外接球的表面积为264π=6π2.判断错误；选项D：11(0,1,2),(1,1,1),BCBE=−=−−设111(,,)nxyz=为平面1BCE的一个法向量，则11111200yzxyz−=−+−=，令11z=，则

12y=，11x=，则(1,2,1)n=11(1,0,2),(0,1,2),ABAD=−=−设222(,,)mxyz=为平面1ABD的一个法向量，则22222020xzyz−=−=，令21z=，则22y=，22

x=，则(2,2,1)m=由121221=，可得向量m与向量n不互相平行，则平面1BCE与平面1ABD不互相平行.判断错误.故选：ACD12.如图，正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，点O为底面ABCD的中

心，点P为侧面11BBCC内（不含边界）的动点，则（）A．1DOAC⊥B．存在一点P，使得11//DOBPC．三棱锥1ADDP−的体积为43D．若1DOPO⊥，则11CDP面积的最小值为455【答案】ACD【分析】以点D为坐标原点，DA、DC、1DD所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设

点(),2,Pxz，利用空间向量数量积可判断A选项；利用空间向量共线的坐标表示可判断B选项；利用锥体体积公式可判断C选项；求出点P的坐标满足的关系式，利用二次函数的基本性质可求得11CDP面积的最小值，可判断D选项的正误.【详解

】以点D为坐标原点，DA、DC、1DD所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()2,0,0A、()0,2,0C、()0,0,0D、()10,0,2D、()12,2,2B、()10,2,2C、()1,1,0O，设点(),2,Pxz，其中

02x，02z.对于A选项，()2,2,0AC=−，()11,1,2DO=−，则1220ACDO=−+=，所以，1DOAC⊥，A对；对于B选项，()12,0,2BPxz=−−，若11//BPDO，则20211

2xz−−==−，解得2xz==，不合乎题意，所以，不存在点P，使得11//BPDO，B错；对于C选项，121222ADDS==△，点P到平面1ADD的距离为2，所以，11142233ADDPPADDVV−−===，C对；对于D选项，()1,1,OPxz=−，若1DOPO⊥

，则111220DOOPxzxz=−+−=−=，可得2xz=，由02022zz可得01z，()()222221216452225445555CPxzzzz=+−+−=−+=−+，当且仅当25z=时，等号成立，因为11CD⊥平面11BBCC，

1CP平面11BBCC，111CDCP⊥，11111114525CDPSCDCPCP==△，D对.故选：ACD.三、填空题13.在空间直角坐标系中，()224,,4axx=−−，()1,4,1b=−−，若//ab，则实数x=__________.【答

案】4【分析】由题意可得ab=，即可得到方程组，进而解出方程组即可.【详解】由题意得，ab=，即()()2124,,41,4,xx=−−−−，所以22444xx−=−=−−=，解得44x=−=.故

答案为：414.已知空间向量()2,2,5an=+，()21,2,1bn=+−，若ab⊥，则n=______.【答案】32−/1.5−【分析】根据给定条件，利用空间向量垂直的坐标表示求解作答.【详解】空间向量()2,2,5an

=+，()21,2,1bn=+−，由ab⊥，得2(21)(2)(2)510abnn=+++−+=，解得32n=−，所以32n=−.故答案为：32−15.已知()2,5,1A−、()2,2,4B−、()1,4,1C−，则向量AB与A

C的夹角大小为______．【答案】π3【分析】求出AB，AC的坐标，利用向量夹角公式即可求出.【详解】由题意得(0,3,3)AB=，(1,1,0)AC=−，1cos,2||||3232ABACABACABAC===，0π,,ABAC，AB与AC的夹角为π3

．故答案为：π3.16.已知O为坐标原点，()1,0,0A，()0,1,1B−，若OAOB+uuruuur与OB的夹角为120°，则实数=______．【答案】66−【分析】求出(1OAOB+=，−，)，(0OB=，1−，1)，再由OAOB+uur

uuur与OB的夹角为120，能求出的值．【详解】(0O，0，0)，(1A，0，0)，(0B，1−，1)，(1OAOB+=，−，)，(0OB=，1−，1)，OAOB+uuruuur与OB的夹角为120，22(1,,)(0,1,1)21cos1202122122

−−===−++，解得66=−．故答案为：66−四、解答题17.已知向量()1,0,1a=，()1,2,0b=.(1)求a与ab−的夹角余弦值；(2)若()()2abatb+⊥−，求t的值.【答案】(1

)1010(2)57t=【分析】（1）利用向量坐标夹角公式计算可得答案；（2）利用向量垂直的坐标运算可得答案.【详解】（1）因为()1,0,1a=，()1,2,0b=，所以()0,2,1ab−=−，2a=，5ab−=

，所以()110cos,1025aabaabaab−−===−；（2）()()()221,0,11,2,03,2,2ab+=+=，()()()1,0,11,2,01,2,1atbttt−=−=−−因为()()2abatb+⊥−，所以()()()231420aba

tbtt+−=−−+=，解得57t=.18.已知向量()()()2,1,2,1,1,2,,2,2abcx=−−=−=．(1)求2ab−；(2)当22c=时，若向量kab+与c垂直，求实数x和k的值；(3)若向量c与向量,ab共面向量，求x的值．【答案】(1)13(2

)0x=，3k=−(3)12x=−【分析】（1）根据空间向量的模长公式求解即可.（2）根据空间向量的加法和数乘运算，可得坐标表示，根据空间向量垂直的坐标计算公式，求解即可.（3）根据向量共面定理，建立向量c与向量,ab之间的表示，可得方程组，求解即可

.【详解】（1）()2,1,2a=−−，()1,1,2b=−，()()()2,1,221,1,20,3,22ab−−−−==−−−，29413ab−=+=．（2）因为||22c=，所以2222222x++=，解得0x=，因为kab

=+(21,1,22)kkk−−−+，且向量kab+与c垂直，所以()0kabc=+，(0,2,2)c=即2244260kkk−++=+=，3k=−．所以实数x和k的值分别为0和3−；（3）解：设cab=+rrr(),R，则(,2,2)(2,1,2)(1,1,

2)x=−−+−解得，113,,222x=−=−=即1322cab=−+，所以向量c与向量a，b共面．19.如图，在四棱锥SABCD−中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E，F，G分别为AB，SC，SD的中点．若ABa=，SDb=．(1)求EF；

(2)求cos,BAGC．【答案】(1)2242ab+(2)2224aab+【分析】（1）构建空间直角坐标系并确定相关点的坐标，求得EF的坐标，应用向量模长的坐标运算求EF；（2）由（1）得AG、BC的坐标，利用向量夹角的坐标表示求cos,BAGC；【详解

】（1）以D为原点，分别以射线DA､DC､DS为x轴､y轴､z轴的正半轴，建立空间直角坐标系.则(),0,0Aa，(),,0Baa，()0,,0Ca，,,02aEa，0,,22abF，0,0,2bG，所以,0,2

bEFa=−，则()222224042babEFa+=−++=.（2）由（1）知,0,2bAGa=−，(),0,0BCa=−，所以222222cos,44AGBCaaAGBCAGBCbabaa===++；20.如图，在直三棱柱1

11ABCABC-中，1CACB==，90BCA=，12AA=，,MN分别是11BC，1AA的中点．(1)求,MN的距离；(2)求11cos,BACB的值．【答案】(1)32；(2)3010.【分析】（1）以

点C作为坐标原点，1,,CACBCC所在直线分别为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，利用向量的模长公式计算即可；（2）利用向量夹角运算公式计算11cos,BACB的值；【详解】（1）如图，以C为原点，分别以1,,CACBCC为,,xyz轴，建立空间直角坐标系Cx

yz−，依题意得()0,1,0B，()1,0,1N，()10,1,2B，()10,0,2C．1(0,,2)2M，∴11,,12MN=−−∴222131(1)22MN=+−+−=．

所以,MN的距离为32.（2）依题意得()11,0,2A，()0,1,0B，()0,0,0C，()10,1,2B，∴()11,1,2BA=−，()10,1,2CB=，113BACB=，16BA=，15CB=，∴11111130cos,10B

ACBBACBBACB==．