【文档说明】2023-2024学年高二数学苏教版2019选择性必修第二册同步试题 9.1.2线性回归方程 Word版含解析.docx，共(14)页，1.006 MB，由小赞的店铺上传

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9.1.2线性回归方程一、单选题1．下列说法错误的是（）A．线性回归直线ybxa=+$$$一定过样本点中心(),xyB．在回归分析中，2R为0.91的模型比2R为0.88的模型拟合的效果好C．在残差图中，残差点分布的带状区域

的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D．在线性回归分析中，相关系数r的值越大，变量间的相关性越强【答案】D【分析】根据回归方程相关知识逐项判断即可.【解析】回归直线必过样本点中心，故A正确；拟合系数越大拟合效果越好，故B正确；残差点分布区域越窄，拟合精度越高，故C正确；相

关系数r越接近于1，相关性越强，故当(1,0)r−时，r的值越大，变量间的相关性越弱，故D错误.故选：D2．下列说法错误的是（）A．相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强B．若()2~2,XN，且()130.5PX=，则()30.25PX=C．相关指数20.64R=，

表示解释变量对于预报变量变化的贡献率为64%D．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高【答案】A【分析】根据相关系数的概念，可判定A不正确；C、D正确，根据正态分布曲线的对称性，

可判定B正确.【解析】对于A中，根据相关系数的定义知：相关系数r越大且1r，两个变量的线性相关性越强，所以A不正确；对于B中，若()2~2,XN，且()130.5PX=，可得()()11330.252PXPX−==，所以B正确；对于C中，根据相关系数的概念，当相关指数20.6

4R=，表示解释变量对于预报变量变化的贡献率为64%，所以C正确；对于D中，根据数据的残差的定义，在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，所以D正确.故选：A.3．对四组数据进行统计后，获得了如下图所示的散点图，对于其

相关系数的比较，下列说法正确的是（）A．32140rrrrB．41230rrrrC．23410rrrrD．14320rrrr【答案】C【分析】根据正相关、负相关以及线性相关关系的强弱可得出结果.【解析】由题意可知，第一、四组数据正相关，第二、三组负相关，当相关系数的

绝对值越大，数据的线性相关性越强，且第一组数据的线性相关性较第四组强，则140rr，第二组数据的线性相关性较第三组强，则23rr且20r，30r，则230rr.因此，23410rrrr.故选：C.4．据一组样本数据()()()1122,,,,,,

nnxyxyxy，求得经验回归方程为1.20.4yx=+，且3x=．现发现这组样本数据中有两个样本点()1.2,0.5和()4.8,7.5误差较大，去除后重新求得的经验回归直线l的斜率为1.1，则（）A．去除两个误差较大的样本点后，y的估计

值增加速度变快B．去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程对应直线一定过点()3,5C．去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程为1.10.7yx=+D．去除两个误差较大的样本点后，相应于样本点()2,2.7的残

差为0.1【答案】C【分析】根据直线l的斜率大小判断A；求出y判断B；再求出经验回归方程判断C；计算残差判断D作答.【解析】对于A，因为去除两个误差较大的样本点后，经验回归直线l的斜率变小，则y的估计值增加速度变慢，A错误；对于B，由1.20.4yx=+及3x=得：4y

=，因为去除的两个样本点()1.2,0.5和()4.8,7.5，并且1.24.80.57.53,422++==，因此去除两个样本点后，样本的中心点仍为(3,4)，因此重新求得的回归方程对应直线一定过点(3,4)，B

错误；对于C，设去除后重新求得的经验回归直线l的方程为ˆ1.1yxa=+，由选项B知，ˆ41.13a=+，解得ˆ0.7a=，所以重新求得的回归方程为1.10.7yx=+，C正确；对于D，由选项C知，1.10.7

yx=+，当2x=时，1.120.72.9y=+=，则2.72.90.2−=−，因此去除两个误差较大的样本点后，相应于样本点()2,2.7的残差为0.2−，D错误.故选：C5．相关变量x，y的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析．方案一：根

据图中所有数据，得到回归直线方程11ybxa=+，相关系数为1r；方案二：剔除点()10,32，根据剩下的数据得到回归直线方程22ybxa=+，相关系数为2r．则（）A．1201rrB．2101rrC．1210rr−D．2110

rr−【答案】D【分析】根据相关系数的意义：其绝对值越接近1，说明两个变量越具有线性相关，以及负相关的意义作判断即可.【解析】由散点图可知这两个变量为负相关，所以120,0rr．因为剔除点()10

,32后，剩下点的数据更具有线性相关性，2r更接近1，所以2110rr−．故选：D．6．下表提供了某厂进行技术改造后生产产品过程中记录的产量x（单位：t）与相应的生产能耗y（单位：t标准煤）的几组对应数据：/tx3456/ty标准煤2.5344.

5已知该厂技术改造前100t产品的生产能耗为90t标准煤，试根据以上数据求出的线性回归方程，预测该厂技术改造后100t产品的生产能耗比技术改造前降低了（）附：在线性回归方程ˆˆˆyabx=+中，1221ˆˆˆ,niiiniixynxybaybxxnx==−==−−

，其中,xy为样本平均值.A．19.65t标准煤B．29.65t标准煤C．70.35t标准煤D．90t标准煤【答案】A【分析】根据表中数据和回归方程公式，代入求解得回归方程，并利用方程对数据进行估计即可.【解析】34564.54x++

+==，2.5344.53.54y+++==，232.5435464.544.53.5ˆ0.791625364(4.5)b+++−==+++−，3.50.74.5.3ˆ05=−=a，所以线性回归方程为ˆ0.7

0.35yx=+，当100x=，ˆ70.35y=，9070.3519.65−=.故选：A.二、多选题7．对经验回归方程，下列正确的有（）A．决定系数2R越小，模型的拟合效果越好B．经验回归方程只适用于所研究的样本的总体C．不能期望经验回归方程得到的预报值就是响

应变量的精确值D．残差平方和越小，模型的拟合效果越好【答案】BCD【分析】利用相关系数与模型的拟合效果可判断A选项；利用经验回归方程的特点可判断BC选项；利用残差平方和与模型的拟合效果可判断D选项.【解析】对于A选项，决定系数2R越小，模型的拟合效果越差，A错；对于B选项，经验回归方程只适

用于所研究的样本的总体，B对；对于C选项，经验回归方程得到的是响应变量的预报值，不是响应变量的精确值，C对；对于D选项，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，D对.故选：BCD.8．已知由样本数据()(),1,2,3,,10iixyi=组成的一个样本，得到经验回

归方程为ˆ20.4yx=−，且2x=，去除两个样本点()2,1−和()2,1-后，得到新的经验回归方程为ˆˆ3yxb=+．在余下的8个样本数据和新的经验回归方程中（）．A．相关变量x，y具有正相关关系B．新的经验回归方程为ˆ33yx=−C．随着自变量x值增加，因变量y值增加

速度变小D．样本()4,8.9的残差为0.1−【答案】ABD【分析】根据线性回归方程的求法、意义可判断ABC，再由残差的概念判断D.【解析】10120iix==，x新平均数1202.58=，220.43.6y=−=．y新平均数1103.64.58=，∴ˆ4.532.5b=

+，∴ˆ3b=−．新的线性回归方程ˆˆ3yxb=+，x，y具有正相关关系，A对．新的线性回归方程：ˆ33yx=−，B对．由线性回归方程知，随着自变量x值增加，因变量y值增加速度恒定，C错；4x=，ˆ9y=，8.990.1−=−，D对．故选：ABD．9．某中学课外活动小组为了

研究经济走势，根据该市1999—2021年的GDP（国内生产总值）数据绘制出下面的散点图：该小组选择了如下2个模型来拟合GDP值y随年份x的变化情况，模型一：()0,0ykxbkx=+；模型二：()e0,

0xykbkx=+，下列说法正确的有（）A．变量y与x正相关B．根据散点图的特征，模型一能更好地拟合GDP值随年份的变化情况C．若选择模型二，exykb=+的图象一定经过点(),xyD．当13x=时，通过模型计算得GD

P值为70，实际GDP值为71，则残差为1【答案】AD【分析】根据散点图和变量关系依次判断即可.【解析】对A，根据散点图易得变量y与x正相关，故A正确；对B，由散点图可得y与x的变化趋向于一条曲线，所以模型二能更好地拟合GDP值随年

份的变化情况，故B错误；对C，若选择模型二，exykb=+，令ext=，则图象经过点(),ty，故C错误；对D，当13x=时，通过模型计算得GDP值为70，实际GDP值为71，则残差为1，故D正确.故选：AD.10．已知关于变量

x，y的4组数据如表所示：x681012ya1064根据表中数据计算得到x，y之间的线性回归方程为ˆ1.420.6yx=−+，x，y之间的相关系数为r（参考公式：()()()()12211niiinniiiixxyyrxxyy===−−=−−），则（）A．12a

=B．变量x，y正相关C．7210r=−D．223r=−【答案】AC【分析】根据回归直线必过点(),xy解得12a=，所以选项A正确；由回归方程和表格可知选项B错误；利用相关系数求出7210r=−，所以选项C正确，选项D

错误.【解析】回归直线必过点(),xy，9x=，10641.420.684ayx+++=−+==，解得12a=，所以选项A正确；由回归方程和表格可知，变量x，y负相关，所以选项B错误；()()()()()()()()4144221134121

23472109119164416iiiiiiixxyyrxxyy===−−−+−+−+−===−++++++−−，所以选项C正确，选项D错误.故选：AC三、填空题11．以下两个变量成负相关的是__

___．①学生的学籍号与学生的数学成绩；②坚持每天吃早餐的人数与患胃病的人数；③气温与冷饮销售量；④电瓶车的重量和行驶每千米的耗电量．【答案】②【分析】根据相关关系的知识确定正确答案.【解析】①无相关关系；②负相关；③④正相关.故答案为：②12．已知某种商品的广告费支出x（单

位：万元）与销售额y（单位：万元）之间具有线性相关关系，利用下表中的五组数据可求得回归直线方程为ˆˆˆyaxb=+，根据该回归方程，预测当8x=时，ˆ84.8y=，则ˆa=___________.广告费支出x（万元）

23456销售额y（万元）2537505664【答案】9.6【分析】根据预测值以及样本中心点求得ˆa.【解析】2345625375056644,46.455xy++++++++====，所以84.8846.ˆˆˆ44ˆabab=+

=+，解得ˆ9.6a=.故答案为：9.613．某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”.某种机械设备的使用年限

x（单位：年）与失效费y（单位：万元）的统计数据如下表所示：使用年限x（单位：年）1234567失效费y（单位：万元）2.903.303.604.404.805.205.90由上表数据可知，y与x的相关系数为_____

_.（精确到0.01，参考公式和数据：()()()()12211niiinniiiixxyyrxxyy===−−=−−，()()7114.00iiixxyy=−−=，()7217.08iiyy=

−=，198.2414.10）【答案】0.99【分析】分别求出x，y，()721iixx=−，再利用参考公式和数据计算即可.【解析】由题意，知123456747++++++==x，2.903.303.604.404.805.205.904.307y+++

+++==，()()()()()()()()72222222211424344454647428iixx=−=−+−+−+−+−+−+−=.所以14.0014.0014.000.9914.10287.08198.24r==.所以y与x的相关系数近似为0.99.故答案为：0.99.四

、解答题14．已知某绿豆新品种发芽的适宜温度在6℃~22℃之间，一农学实验室研究人员为研究温度x（℃）与绿豆新品种发芽数y（颗）之间的关系，每组选取了成熟种子50颗，分别在对应的8℃~14℃的温度环境下进行实验，得到如下散点图：(1)由折线统计图

看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y关于x的回归方程，并预测在19℃的温度下，种子发芽的颗数.参考数据：24y=，()()7170iiixxyy=−−=，()721176iiyy=−=，778.77.参考公式：相关系数()()()()1

2211niiinniiiixxyyrxxyy===−−=−−，回归直线方程ybxa=+$$$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121niiiniixxyybxx==−−=−，aybx=−$$.【答案】(1)答案见解析；(2)44.【

分析】（1）直接套公式求出系数r，即可判断；（2）套公式求出回归方程，把19x=代入，即可求解.【解析】（1）由题意可知：()1891011121314117x=++++++=.()()()()()()()()2722222

2218119111011111112111311141128iixx=−=−+−+−+−+−+−+−=.又()721176iiyy=−=，所以相关系数()()()()12211700.99717628niiinniiiixxyy

rxxyy===−−==−−.因为相关系数0.998r，所以y与x的线性相关性较高，可以利用线性回归模型拟合y与x的关系.（2）由（1）知11x=，24y=，()27128iixx=−=，()()7170iiixxyy=−−=.所以()()()12

1702.528niiiniixxyybxx==−−===−,所以242.5113.5aybx=−=−=−$$.所以y与x的回归直线为2.53.5yx=−.当19x=时，2.5193.544y=−=.即在

19℃的温度下，种子发芽的颗数为44.15．某医疗机构承担了某城镇的新冠疫苗接种任务，现统计了前8天每天（用1,2,,8t=表示）的接种人数y（单位：百人）的相关数据，并制作成如图所示的散点图．(1)由散点图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，求y关于t的线性回归方程；（系数用分数表示

）(2)预测哪一天的接种人数会首次突破2500人．（结果保留整数）参考数据：92t=，494y=，()82142iitt=−=，()()8170iiittyy=−−=．参考公式：对于一组数据()11,ty，()22,ty，…，(),nnty，其线性回归方程ˆˆˆybta=+的

斜率和截距的最小二乘法估计分别为()()()121ˆniiiniittyybtt==−−=−，ˆˆaybt=−．【答案】(1)519ˆ34yt=+(2)第13天【分析】（1）根据已知条件及参考数据，求出ˆ,ba，进而即可求出回归方程；（2）利

用（1）的回归方程及已知条件，结合不等式的解法即可求解.【解析】（1）∵()82142iitt=−=，()()8170iiittyy=−−=，∴()()()81821705ˆ423iiiiittyybtt==−−===−，又92t=，494y=，∴495919ˆˆ43

24aybt=−=−=，∴y关于t的线性回归方程为519ˆ34yt=+．（2）令519ˆ2534yt=+，得24312.1520t=，∴预测第13天的接种人数会首次突破2500人．16．秋天的第一杯奶茶是一个网络词汇，最早出自四川达州一位当地民警之口，民警用“秋天的第一杯奶茶”顺利救

下一名女孩，由此而火爆全网.后来很多人开始在秋天里买一杯奶茶送给自己在意的人.某奶茶店主记录了入秋后前7天每天售出的奶茶数量（单位：杯）如下：日期第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天日期代码x1234567杯数y4152226293132(1)请根据以上数据，绘制散点图，并根据散点图

判断，yabx=+与lnycdx=+哪一个更适宜作为y关于x的回归方程模型（给出判断即可，不必说明理由）；(2)建立y关于x的回归方程（结果保留1位小数），并根据建立的回归方程，试预测要到哪一天售出的奶

茶才能超过35杯？(3)若每天售出至少25杯即可盈利，则从第一天至第七天中任选三天，记随机变量X表示盈利的天数，求随机变量X的分布列.参考公式和数据：其中711ln,7iiiiuxuu===回归直线方程ˆˆˆybxa=+中，

111221ˆˆˆ,niniixynxybaybxxnx==−==−−yu711iixy=711iiuy=721iiu=2.1e22.71.2759235.113.28.2【答案】(1)图见解析，lnycdx=+更适宜作为y关于x的回归方程模型；(2)ˆ

5.714.2lnyx=+，到第9天才能超过35杯；(3)分布列见解析.【分析】(1)根据散点图趋势即可判断；(2)利用非线性回归方程转化为线性回归方程的方法求解；(3)根据超几何分布求分布列.【解析】（1）根据散点图，知l

nycdx=+更适宜作为y关于x的回归方程模型；（2）令lnux=，则ycdu=+，由已知数据得71117221235.1722.71.2ˆ14.213.271.21.2iiixynxydxnx==−−==−−，ˆˆ2

2.714.21.25.7cydu=−=−，所以ˆ5.714.2yu=+，故y关于x的回归方程为ˆ5.714.2lnyx=+，进而由题意知，令5.714.2ln35x+，整理得ln2.1x，即2.1e8.2x，故当9x=时，即到第9天才能超过35杯

；（3）由题意知，这7天中销售超过25杯的有4天，则随机变量X的可能取值为0,1,2,3()034337CC10C35PX===，()124337CC121C35PX===，()214337CC182C35PX===，()304337CC43C35PX===，则随机变量X的分

布列为X0123P13512351835435