【文档说明】2023-2024学年高二数学苏教版2019选择性必修第二册同步试题 6.1.1 空间向量的线性运算 Word版含解析.docx，共(22)页，1.739 MB，由管理员店铺上传

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6.1.1空间向量的线性运算一、单选题1．下列说法正确的是（）A．任一空间向量与它的相反向量都不相等B．不相等的两个空间向量的模必不相等C．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小D．将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆【答案】C【分析】取零向量可判

断A选项；利用任意一个非零向量与其相反向量可判断B选项；利用向量不能比大小可判断C选项；利用单位向量的概念可判断D选项.【解析】对于A选项，零向量与它的相反向量相等，A错；对于B选项，任意一个非零向量与其相反向量不相等，但它们的模相等，B错；对于C选项，同平面向量一样

，任意两个空间向量都不能比较大小，C对；对于D选项，将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个球，D错.故选：C.2．在长方体1111ABCDABCD−中，1ABADBB++等于（）A．АCB．1АCC．1BCD．1BD【答案】B【分析】根据长方体1111ABCDABCD−，得

到相等的向量，再利用空间向量的加法法则进行计算.【解析】如图，可得ADBC=，11BBCC=，所以111ABADBBABBCCCAC++=++=.故选：B3．在平行六面体1111ABCDABCD−中，下列四对向量：①AB与11CD；②1ACuuur与1BD；③AD与1CB；④1AD与1BC.

其中互为相反向量的有n对，则n等于()A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】根据平行六面体的几何特征和相反向量的定义即可判断.【解析】对于①AB与11CD，长度相等，方向相反，互为相反向量；对于②1ACuuur与1BD长度相等，但两向量不共线，∴两向量不是

相反向量；对于③1AD与1CB，易知11ABCD是平行四边形，则两向量方向相反，大小相等，互为相反向量；对于④1AD与1BC，易知11ADCB是平行四边形，∴这两向量长度相等，方向相同．故互为相反向量的是①③，共有2对，n＝2．故选：B.4．已知三棱柱111ABCABC-

，点P为线段11BC的中点，则AP=（）A．11122ABACAA++B．11122ABACAA++C．11122ABACAA+−D．11122ABACAA++【答案】D【解析】根据空间向量的线性运算求解即可【解析】解：在三棱柱111ABCA

BC-，点P为线段11BC的中点，则111111111,,2ABABBCBCBPPCBC====，所以111111112APAAAPAAABBC=+=++11()2AAABBAAC=+++11122ABACAA=++，故选：D5．三棱锥OABC−中，点D在棱BC上，且2BDDC=，则ADuuuv为

A．2133ADOAOBOC=+−B．2133ADOAOBOC=−++C．1233ADOAOBOC=−−D．1233ADOAOBOC=−++【答案】D【分析】利用向量加减运算及数乘运算求解即可．【解析】由题得：AD=AOODAOOBBD+=++=()2233AOOBBCOAOBOCOB++=−++

−=1233OAOBOC−++故选D【点睛】本题主要考查了空间向量的加减运算，数乘运算，属于基础题．6．已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，设ABa=，BCb=，ACc=，则||abc++=（）.A．0B．3C．22

+D．22【答案】D【分析】利用向量加法的平行四边形法则，结合正方形的性质可得结果.【解析】利用向量加法的平行四边形法则，结合正方形的性质，可得||||222abcABBCACACACAC++=++=+=

=.故选：D【点睛】本题主要考查了向量的线性运算和向量的模长的求法，属于基础题.7．已知空间向量a，b，且2ABab=+，56BCab=−+，72CDab=−，则一定共线的三点是（）A．、、ABCB．BCD、、C．ABD、、D．ACD、、【答案】C【分析】根据向量共线判断三

点共线即可．【解析】解：567224BDBCCDababab=+=−++−=+2(2)2abAB=+=，又AB与BD过同一点B，∴A、B、D三点共线．故选：C．8．如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，P，Q

分别是A1A，AB，BC，CC1，C1D1，D1A1的中点，则（）A．0EFGHPQ→→→→++=B．0EFGHPQ→→→→−−=C．0EFGHPQ→→→→+−=D．0EFGHPQ→→→→−+=【答案】A【分析】通过相等向量进行平移，将,,EFGHPQ→→→平移后可以首尾相接

，最后得出结果即可.【解析】由题图观察，,,EFGHPQ→→→平移后可以首尾相接，故有0EFGHPQ→→→→++=.故选：A.9．设,ab→→是不共线的两个向量，且0ab→→→+=，,R，则（）A．0==B．0ab→→→==C．0

,0b→→==D．0,0a→→==【答案】A【分析】根据共线向量的定义即可判断答案.【解析】若a→或b→为零向量，则,ab→→共线，不合题意；若0，则ba→→=−，则,ab→→共线，不合题意，故0=，同理0=，A正确.故选：A.10．在正四面体A

BCD中，F是AC的中点，E是DF的中点，若,,DAaDBbDCc===，则BE=（）A．1144abc−+B．1122abc−+C．1144abc++D．1122abc−+【答案】A【分析】利用空间向量

加减法的运算法则即可得解.【解析】依题意，结合图形可得，111()222BEBDDEDBDFDBDADC=+=−+=−++11114444DADBDCabc=−+=−+．故选：A.11．如图，在四面体ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，AC的中点，则()12ABBCCD++化

简的结果为（）A．BFB．EHC．HGuuurD．FG【答案】C【分析】根据向量的加法和数乘的几何意义，即可得到答案；【解析】()()111122222ABBCCDACCDADHGHG++=+===．故选：C．12．如图，在正方形网格中，已知A，B，C三点不

共线，P为平面ABC内一定点，点O为平面ABC外任意一点，则下列向量能表示向量OP的为（）A．22OAABAC++B．32OAABAC−−C．32OAABAC+−D．23OAABAC+−【答案】C【分析】根据A，B，C，P四点共面，可知存在唯一的实数对(),xy，使APxAByAC=+

，结合图形可得,xy的值，即可得到答案；【解析】根据A，B，C，P四点共面，可知存在唯一的实数对(),xy，使APxAByAC=+．由图知3x=，=2y−，故32OPOAAPOAABAC=+=+−，故选：C.二、多选题13．下列说法错误的是（）A．在平面内共线的向量在空间不一定共线B．在空间共线

的向量在平面内不一定共线C．在平面内共线的向量在空间一定不共线D．在空间共线的向量在平面内一定共线【答案】ABC【分析】由在平面内共线的向量在空间一定共线判断AC，由在空间共线的向量在平面内一定共线判断BD.【解析】A.在平面

内共线的向量在空间一定共线，故错误；B.在空间共线的向量，平移到同一平面内一定共线，故错误；C.在平面内共线的向量在空间一定共线，故错误；D.在空间共线的向量，平移到同一平面内一定共线，故正确.故选：ABC14．在正方体

1111ABCDABCD−中，下列各式运算结果为向量1BD的是（）A．()111ADAAAB−−；B．()111BCBBDC+−；C．()12ADABDD−−；D．()1111BDAADD−+【答案】AB【分析】按照空间向量的加法法

则和减法法则去逐个判断即可【解析】如图正方体1111ABCDABCD−中：选项A:()11111ADAAABADABBD−−=−=，正确；选项B：()1111111=BCBBDCBCDCBD+−=−，正确；选项C：()11111233ADABDDBDDDDDBDDD

=+=−−−−，错误；选项D：()()1111111111=BDAADDBDDDBDDDBB=−+−++，错误.故选：AB15．(多选)如图所示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且AP＝3PN，2

3ONOM=，设=OAa，=OBb，=cOC，则下列等式成立的是（）A．11=22OMbc−B．11=33ANbca+−C．113444=APbca−−D．111+44=4OPabc+【答案】BD【分析】利用空间向量基本定理结合空间向量的加减法以及数乘运算求解即可【解析】根据向量的加减法及数乘运

算法则:()111222OMOBOCbc=+=+，A选项错误；22111()33233ANAOONAOOMAOOBOCbca=+=+=++=+−，故B选项正确；33332311311()()44443422444APANAOONaOMabcabc==

+=−+=−++=−++，故C选项错误；311111()444444OPOAAPaabcabc=+=+−++=++，故D选项正确．故选：BD16．已知三棱锥OABCEF−，，分别是OABC，的中点，P为线段EF上一点，且2P

FEP=，设OAaOBbOCc===，，，则下列等式成立的是（）A．1122OFbc=+B．111666EPabc=−++C．111333FPabc=−++D．111366OPabc=++【答案】AB

D【分析】根据三角形内中点的结论及向量加法、减法的三角形法则逐个分析选项即可得出答案.【解析】如图，因为F为BC的中点，所以11112222OFOBOCbc=+=+，故选项A正确；()111111111111333332232666EPEFOFOEOFOEbcO

Aabc==−=−=+−=−++，故选项B正确；11111122666333FPEPabcabc=−=−−++=−−，故选项C错误；11111112666366OPOEEPOAabcabc=+=+−++=++，故选项D正确.故选：ABD.三、

填空题17．共线向量（1）定义：表示空间向量的有向线段所在的直线____________，则这些向量叫做________或平行向量.（2）共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是

存在实数λ使________.【答案】互相平行或重合共线向量a＝λb【分析】根据共线向量的定义，即可知各空的应填内容.【解析】由定义，共线向量空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，即为共线向量或平行向量，而其充要条件为存在实数

λ使a＝λb.故答案为：互相平行或重合，共线向量，a＝λb.18．下列向量中，真命题是______．（填序号）①若A、B、C、D在一条直线上，则AB与CD是共线向量；②若A、B、C、D不在一条直线上，则AB与CD不是共线向量；③向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点

必在一条直线上；④向量AB与CD是共线向量，则A、B、C三点必在一条直线上．【答案】①【分析】由向量平行共线的定义，依次对四个命题判断即可.【解析】对于①，若A、B、C、D在一条直线上，则AB与CD是共线向量，故①正确；对于

②，若A、B、C、D构成平行四边形时，A、B、C、D不在一条直线上，但是AB与CD是共线向量，故②不正确；对于③，若A、B、C、D构成平行四边形时，A、B、C、D不在一条直线上，但是AB与CD是共线向量，故③不正确；对于④，若A、B、C、D构成平行四边形时，A、B、C不在

一条直线上，但是AB与CD是共线向量，故④不正确；故答案为：①19．如图所示，在平行六面体ABCDABCD−的棱中，与向量AA模相等的向量有______个.【答案】7【分析】根据向量模长相等

即可结合几何体特征求解.【解析】与AA模长相等的向量有：,,,,,,AABBBBCCCCDDDD共有7个.故答案为：720．如图，在长方体1111ABCDABCD−中，P是AD的中点，点,MQ分别在111,DCCC上，且1

11111,33DMDCCQCC==．若1PQPMaABbADcAA+=++，则abc+−=_____．【答案】1【分析】根据向量的加法与减法的三角形法则转化即可.【解析】因为1111112323PQPDDCCQADABCCABADAA=++=++=++，111

11111112332PMPDDDDMADAADCABADAA=++=++=++，所以14433PQPMABADAA+=++，所以43a=，1b=，43c=，所以441133abc+−=+−=．故答案为：1四、解答

题21．如图所示，在正方体1111ABCDABCD−中，化简向量表达式：(1)ABCDBCDA+++；(2)1111AABCDD++；(3)1111AABCDDCB+++.【答案】(1)0(2)AD(3)0【分析

】（1）（2）（3）结合图形，根据空间向量的线性运算直接化简可得.【解析】（1）0ABCDBCDAABBCCDDAACCDDAADAD+++=+++=++=−=（2）由图知，1111BCAD=所以111111111

1AABCDDAAADDDADDDAD++=++=+=（3）由图知，CBDA=所以由（2）可得11110AABCDDCBADDAADAD+++=+=−=22．如图，已知M，N分别为四面体ABCD−的面BCD与面ACD的重心，G为AM上一点，且:1:3GMGA=.求证：B，G，N三点共线.【答

案】证明见解析.【分析】设ABa=，ACb=，ADc=uuurr，结合已知条件可得43BNBG=，再由,BGBN有公共端点，即可得结论【解析】证明：取CD的中点E，连接,AEBE，因为M，N分别为四面体ABCD−的面BCD与面ACD的重心，所以M在BE上，N

在AE上，设ABa=，ACb=，ADc=uuurr，因为M为BCD△的重心，所以()2132AMABBMABBCBD=+=++()13ABBCBD=++()13ABACABADAB=+−+−()()1133ABACADca

b=++=++，因为:1:3GMGA=，所以34AGAM=,所以()3131144444BGBAAGBAAMaabcabc=+=+=−+++=−++，因为N为ACD的重心，所以()11143333BNBAANBAACAbDcGaB=+=++=−++=，∴BNBG∥.又BNBGB=，∴B，G，N三

点共线.23．如图，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简：(1)ABCBDC−−；(2)ABGDEC++，并在图中标出化简结果的向量.【答案】(1)AD(2)AF，答案见解析【分析】根据向量的线

性运算直接分别化简.（1）ABCBDCABBCCDAD−−=++=；（2）如图所示，连接GF，因为E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，所以GDBG=，GFEC=，所以ABGDECABBGGFAF++=++=.24．如图所示，在平行六面体1

111ABCDABCD−中，M、N分别是1AA、BC的中点．设1AAa=，ABb=，ADc=uuurr．(1)已知P是11CD的中点，用a、b、c表示AP、1AN、1MPNC+；(2)已知P在线段11CD上，且1112CPPD=，用a

、b、c表示AP．【答案】(1)12=++APacb，112=−++ANabc，1313222+=++MPNCabc(2)23=++APacb【分析】由空间向量的线性运算可得.【解析】（1）因为M、N、P分别是1AA、BC、1

1CD的中点所以，()11112APADDPAAADAB=+=++12acb=++；11ANAAAN=+112AAABAD=−++12abc=−++；1MPNC+()()11111MAADDPNCCC=+

+++11111222AAADABADAA=++++1331222AAADAB=++313222abc=++；（2）因为1112CPPD=，所以11123DPDC=所以1112233APADDPAAADABacb=+=++=++．25．如图

，正方体1111ABCDABCD−中，点E，F分别是上底面1111DCBA和侧面11CCDD的中心，分别求满足下列各式的x，y，z的值．(1)1AExADyABzAA=++；(2)1AFxADyABzAA=++；(3)1EFxADyABzAA

=++．【答案】(1)1,12xyz===(2)11,2xyz===(3)11,0,22xyz===−【分析】（1）由向量加法的三角形法则和四边形法则得11AEAAAE=+和()112ABEADA=+，由此即可求出结果；（2）由向量加法的三

角形法则和四边形法则得AFADDF=+和()112DFABAA=+，由此即可求出结果；（3）因为EFAFAE=−，由（1），（2）可知，11122ADAEFA−=，由此即可求出结果.【解析】（1）解：由向量加法的三角形法则得，11AEAAAE=+，由平行四边形法则和向

量相等得，()()111111122ABADAADAEB=+=+；所以()1111111222AEAAAEAAABADADABAA=+=+=+++，所以1,12xyz===；（2）解：由向量加法的三角形法则得，AFADDF=+，由四边形法则和向量相等得，()()

111122DFDCDDABAA=+=+；所以()11111222AFADDFADABAAADABAA=+=++=++，所以11,2xyz===．（3）解：由（1），（2）可知，1111112222EFAFAEADABAAADABAA=−=++−++11122ADAA

=−，所以11,0,22xyz===−.26．如图，在长方体ABCDABCD−中，点M，N分别是AA，BB的中点，点O为BD的中点．设ABa=，ADb=，AAc=，用a，b，c表示下列向量：(

1)AC，AB，AD，DB；(2)DN，OM．【答案】(1)ACab=+；ABac=+；ADbc=−；DBabc=−−；(2)12DNabc=−−；OM=1122ab−−.【分析】根据图形和空间向量的线性运算依次求解即可.(1)ACABBCab=+=

+；ABABAAac=+=+；ADADAAbc=−=−；()()DBABADABADAAabcabc=−=−+=−+=−−；(2)111222DNDBBNDBBBABADAAabc=+=−=−−=−−；1111()()2222OMAMAOAAADABAAAD

AAAB=−=−+=−++11112222ABADab=−−=−−.27．如图，在空间四边形ABCD中，已知G为BCD△的重心，,,EFH分别为边,CDAD和BC的中点，化简下列各式：(1)1132

AGBEAC→→→+−；(2)12ABACAD→→→+−；(3)111333ABACAD→→→++．【答案】(1)AF→(2)FH→(3)→AG【分析】（1）根据向量共线，加法与减法运算求解即可；（2）根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则求解即可；（3）

根据1113311333ABACADABACABADAB→→→→→→→→++=+−+−化简求值即可.(1)解：因为G为BCD△的重心，,EF为边,CDAD的中点，所以11112113232332AGBEACABBGBEACABBEBEAC→

→→→→→→→→→→+−=++−=++−12ABBEAC→→→=+−12AEACAEFEAEEFAF→→→→→→→=−=−=+=，所以1132AGBEACAF→→→→+−=(2)解：因为,,EFH分别为边,CDAD和BC的中点，所以1112222ABA

CADAHADAHADAHAFFH→→→→→→→→→→+−=−=−=−=(3)解：111111333333ABACADABACADABACABADAB→→→→→→→→→→→

++=++=+−+−13ABBCBD→→→=++12233ABBEABBEABBGAG→→→→→→→=+=+=+=28．如图，在正方体1111ABCDABC

D−中，E在11AD上，且112AEED=，F在对角线A1C上，且12.3AFFC=若1,,ABAbcaDAA===.（1）用,,abc表示EB.（2）求证：E，F，B三点共线.【答案】（1）23aEBcb=−−；（2）证明见解析.【分析】（1）由已知得111112+

+++3EBEAAAABDAAAAB==，由此可得答案；（2）由已知得FB35EB=，由此可得证.【解析】解：（1）因为112AEED=，1,,ABAbcaDAA===，所以1111122+++++33EBEAAAABDAAbAcaAB===−−，

所以23aEBcb=−−；（2）12.3AFFC=11112++++5FBFAAAABCAAAAB==()112++++5CBBAAAAAAB=()2++5bacca=−−−323323555535ababc

cEB=−−=−−=，又EB与FB相交于B，所以E，F，B三点共线.29．如图所示，已知几何体ABCD﹣A1B1C1D1是平行六面体．（1）化简11223AABCAB++结果用EF表示并在图上标

出该结果（点明E，F的具体位置）；（2）设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对角线BC1上的点，且C114NC=1B，设1MNABADAA=++，试求α，β，γ的值．【答案】（1）11223AABCABEF++=；作图见解析；（2）12=，

14β=，34γ=．【分析】（1）取AA1的中点E，在D1C1上取一点F，使得D1F＝2FC1，连接EF，再根据向量的线性运算计算即可；（2）通过AB，AD，1AA表示MN，根据对应关系求出α，β，γ的值即可．【解析】解（

1）取AA1的中点E，在D1C1上取一点F，使得D1F＝2FC1，连接EF，则111111223AABCABEAADDFEF++=++=．（2）11324MNMBBNDBBC=+=+12=（DAAB+）34+（1BCCC+）111324

4ABADAA=++，所以12=，14β=，γ34=