【文档说明】2023-2024学年高二数学苏教版2019选择性必修第二册同步试题 6.1.2空间向量的数量积 Word版含解析.docx，共(22)页，1.480 MB，由小赞的店铺上传

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6.1.2空间向量的数量积一、单选题1．下列各命题中，不正确的命题的个数为（）①||aaa=②()()(,)mabmabmR=③()()abcbca+=+④22abba=A．4B．3C．2D．1【答案】D【分析】利用平面向量数量积的

运算性质及运算律可判断①③，利用数乘向量的结合律可判断②，利用数量积的意义及相等向量判断④作答.【解析】由向量数量积的运算性质知，①正确；由数乘向量的结合律知，②正确；因()()abcabacbacabca+=+=+=+，③正确；22,ab都表示

两个非负实数，2ab表示与b共线的向量，2ba表示与a共线的向量，即2ab与2ba不一定相等，④不正确.故选：D2．在正方体1111ABCDABCD−中，有下列命题：①221()3||AAADABAB++=；②1111()0AC

ABAA−=；③1AD与1ABuuur的夹角为60．其中正确的命题有（）．A．1个B．2个C．3个D．0个【答案】B【分析】根据空间向量的垂直和异面直线所成的角求解即可【解析】解：对于①，222221111()()()()2223,AAADABAAADABAAADAAABADABAB++

=+++++=所以①正确；对于②，111111()()()ACABAAABADAAABAA−=+−−2210ABAA=−=，所以②正确；对于③，因为1ABuuur∥1DC,11,,ADACDC分别为面的对角线，所以160ADC

=,所以1AD与1ABuuur的夹角为120，所以③错误故选：B【点睛】此题考查空间向量垂直和异面直线所成的角，属于基础题3．若向量m垂直于向量a和b，向量(nab=+，R，且0)，则()A．//mnB．mn⊥C．m不平行于n，m

也不垂直于nD．以上都有可能【答案】B【分析】根据平面向量垂直的定义和数量积运算的性质，即可判断mn⊥．【解析】解：向量m垂直于向量a和b，则0ma=，0mb=，又向量nab=+，所以()0mnmabmamb=+=+=，所以mn

⊥．故选：B．4．在正三棱柱111ABCABC-中，若1ABBB=，则1AB在1BC上的投影向量为（）A．114−BCB．114BCC．122BCD．122−BC【答案】B【分析】如图建系，求得各点坐标，可得11,ABBC，根据投影向量的求法，代入公式，即可得答案.【

解析】过1A作11AD11AC⊥，分别以11111,,ADACAA为x，y，z轴正方向建系，如图所示，设正三棱柱111ABCABC-的棱长为2，则11(0,0,2),(3,1,0),(3,1,2),(0,2,0)ABBC，所以11(3,1,2),

(3,1,2)ABBC=−=−−，所以1AB在1BC上的投影向量为()111111112111cos,4ABBCBCBCABABBCBCBCBC==.故选：B5．已知空间向量a，b，1a=，2b=，且ab−与a垂直，则a与b的夹角为（）A．60B．30C．135D．

45【答案】D【分析】根据已知可得()0aab−=，根据数量积的运算律即可求出2cos,2ab=，进而求出结果.【解析】因为ab−与a垂直，所以()0aab−=，即22cos,12cos,0aabaababab−=−=−=rrrrrrrrrr，所以2cos,2ab=.又0,18

0ab，所以,45ab=orr.故选：D.6．三棱锥ABCD−中，2ABACAD===，90BAD=，90BAC=，则ABCD等于A．0B．2C．23−D．23【答案】A【解析】根据所给的条件把

三棱锥底边上的向量写成两条侧棱的差，进行数量积的运算，这样应用的边长和角都是已知的，得到结果．【解析】解：因为90BAD=，90BAC=即ABAD⊥，ABAC⊥所以0ABADABAC==()ABCDABADAC=−ABADABAC=−000

=−=故选：A．【点睛】本题考查平面向量的数量积的运算，本题解题的关键是把未知量转化为已知量，用侧棱做基底表示未知向量，属于基础题．7．已知空间向量,,abc满足0abc++=，2,3,4abc===，则a与b的夹角为（）A．30°B．45°C．60°D．以上都

不对【答案】D【分析】设a与b的夹角为θ，由0abc++=，得abc+=−，两边平方化简可得答案【解析】设a与b的夹角为θ，由0abc++=，得abc+=−，两边平方，得2222aabbc++=，因为2,3,4abc===，所以4223cos916++=，解得1cos4

=，故选：D.8．正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，O为棱1BD的中点，则有（）A．112BCBD=B．12ABAO=C．11ABAD=D．112BCDO=【答案】B【分析】由空间向量数量积的运算律对选项逐一判

断，【解析】对于A，111BCBDBCBD==，故A错误，对于B，21122ABAOAB==，故B正确，对于C，AB⊥平面11AADD，则10ABAD=，故C错误，对于D，11BCBCBB=+，11()2DODADC

DD=++，由垂直关系化简得111111102222BCDOBCDABBDD=+=−+=，故D错误，故选：B9．已知,,abc为两两垂直的单位向量，则abc−+=（）A．1B．3C．2D．2【答案】B【分析】根据向量数量

积的定义和运算律可求得2abc−+，由此可得结果.【解析】由题意知：1abc===，0abacbc===，22222223abcabcabacbc−+=++−+−=，3abc−+=.故选：B.10．已知在平行六面体1111ABCDABCD−中，向量AB

，AD，1AA两两的夹角均为60，且1AB=，2AD=，13AA=，则1AC=（）A．5B．6C．4D．8【答案】A【分析】利用向量的数量积公式即可求解.【解析】如图，平行六面体1111ABCDABCD−中，向量AB、AD、1AA两两的夹角均为60，且1A

B=，2AD=，13AA=，11ACABBCCC=++()2211ACABBCCC=++222111222ABBCCCABBCABCCBCCC=+++++149212cos60213cos60223cos60=+++++

25=.15AC=，故选：A.11．在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，设=ABa，ADb=，1AAc=，则1223abc−的值为（）A．1B．0C．1−D．2−【答案】B【分析】

由正方体的性质可知AB、AD、1AA两两垂直，从而对1223abc−化简可得答案；【解析】解：由题意可得ABAD⊥，1ABAA⊥，所以ab⊥，ac⊥，所以0ab=，0ac=，所以121202323abcabac−=

−=，故选：B12．正四面体ABCD−的棱长为4，空间中的动点P满足22PBPC+=，则APPD的取值范围为（）A．423,423−+B．2,32C．432,42−−D．14,2−【答案】D【分析】分别取BC，AD的中点E，

F，由题意可得点P的轨迹是以E为球心，以2为半径的球面，又APPD=24PF−，再求出PF的最值即可求解【解析】分别取BC，AD的中点E，F，则222PBPCPE+==，所以2PE=，故点P的轨迹是以E为球心，以2为半径的球面，()()()()APPDPFFAPFF

DPFFAPFFA=−++=−+−2224FAPFPF=−=−，又221641223,EDDCCE=−=−==22124822EFDEDF=−=−==，所以min22PFEF=−=，max232PFEF=+=，所以

APPD的取值范围为14,2−．故选：D．二、多选题13．设a，b为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（）A．22aa=B．abbaaa=C．()222abab=D．()2222abaabb−=−+【答案】AD【分析】根据空间向量

数量积的定义与运算律一一判断即可；【解析】解：对于A：22cos0aaaaaa===，故A正确；对于B：因为向量不能做除法，即ba无意义，故B错误；对于C：()()22222o,cos,csababababab==，故C错误；对于D：()()()2222abababaabb−=

−−=−+，故D正确；故选：AD14．三棱锥OABC−中，,,OAOBOC两两垂直，且OAOBOC==，下列命题为真命题的是（）A．()223++=OAOBOCOAB．()0−=BCCACOC．OAOB+和CA的夹角为60D．三棱锥OABC−

的体积为()16ABACBCuuuruuuruuur【答案】ABC【分析】根据空间向量数量积的运算性质，结合棱锥体积公式逐一判断即可.【解析】A：()2222222OAOBOCOAOBOCOAOBOCOAOBOC+++++=++，因为,,OAO

BOC两两垂直，所以0OAOBOCOAOBOC===，而OAOBOC==，所以()223++=OAOBOCOA，本命题是真命题；B：()()=+BCCACOBOOCOABOOAOCOA−=+，因为,,OAOBOC两两垂直，所以0OA

OBOCOA==，因此()0−=BCCACO，本命题是真命题；C：2()()()OAOBCAOAOBCOOAOACOOAOBCOOBOA+=++=+++，因为,,OAOBOC两两垂直，所以0OAOBOCOAOBOC===，

所以22()OAOBCAOAOA+==，222()2OAOBOAOBOAOBOAOB+=+=++，因为,OAOB互相垂直，所以0OAOB=，而OAOB=，所以2OAOBOA+=，222()2CACOOACOOACOOACOOA=+=+=++，因为,OAOC互相垂直，所以0OA

OC=，而OAOC=，所以2CAOA=，设OAOB+和CA的夹角为，因为2()12(2)(2)cosOAOAOBCAOAOBCAOAOA+==+=，所以60=因此本命题是真命题；D：()2()()ABACAOO

BAOOCAOAOOCOBAOOBOC=++=+++uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur，因为,,OAOBOC两两垂直，所以0OAOBOCOAOBOC===，所以()2ABACAO=uuuruuuruuu

r，222()2BOOCBOOCBOOCBOOCBC=+=+=++，因为,OBOC互相垂直，所以0OAOC=，而OAOBOC==，所以2BOCA=，()223111226666ABACBCOABCOAOAOA

===uuuruuuruuuruuruuuruuruuruur，因为,,OAOBOC两两垂直，且OAOBOC==，所以三棱锥OABC−的体积为：3111326OAOBOCOA=，因此本命题是假命题，故选：ABC15．已知1111ABCDABCD−

为正方体，则下列说法正确的有（）A．221111111()3()AAADABAB++=；B．()1111·0ACABAA−=；C．1ABuuur与1AD的夹角为60；D．在面对角线中与直线1AD所成的角为60的有8条【答案

】ABD【分析】画出图形，利用向量的运算结合正方体的性质逐项判断.【解析】如图所示：A.由向量的加法运算得111111AADAACAB++=，因为1113ACAB=，所以221111111()3()AAADABAB++=，故正确；B.正方体的性质易知11ACAB⊥，所

以111111•()0ACABAAACAB−==，故正确；C.因为11ABCV是等边三角形，且11//ADBC，所以1160ABC=，则1ABuuur与1AD的夹角为120，故错误；D.由正方体的性质得过1,AD的

面对角线与直线1AD所成的角都为60，这样有4条，然后相对侧面与之平行的对角线还有4条，共8条，故正确；故选：ABD16．定义空间两个向量的一种运算||||sinababa=，b，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有()A．abba=B．()()abab

=C．()()()abcacbc+=+D．若1(ax=，1)y，2(bx=，2)y，则1221||abxyxy=−【答案】AD【解析】A和B需要根据定义列出左边和右边的式子，再验证两边是否恒成立；C由定义验证若ab=，且0，结论成立，从而得到原结论不成立；D根据数量积求

出cosa，b，再由平方关系求出sina，b的值，代入定义进行化简验证即可．【解析】解：对于A，||||sinababa=，b，||||sinbabab=，a，故abba=恒成立；对于:()

(||||sinBababa=，)b，()||||||sinababa=，b，故()()abab=不会恒成立；对于C，若ab=，且0，()(1)||||sinabcbcb+=+，c，()()

||||sinacbcbcb+=，||||sincbcb+，(1)||||sincbcb=+，c，显然()()()abcacbc+=+不会恒成立；对于D，cosa，1212||||xxyybab+=，sin

a，212121()||||xxyybab+=−，即有22212121212||||1()||||()||||||xxyyxxyyabababaab++=−=−22222121211222211()

xxyyxyxyxy+=++−+22222222211221212122112121221()()()2||xyxyxxyyxyxyxxyyxyxy=++−+=+−=−．则1221||abxyxy=−恒成立．故选：AD．三、填空题17．已知四

面体ABCD棱长均为2，点E，F分别是BC、AD的中点，则AEAF=___________.【答案】1【分析】根据数量积的运算律及定义计算可得.【解析】解：因为点E，F分别是BC、AD的中点，所以()12AEABAC=+，12AFAD=，1cos602222ABADABAD=

==，1cos602222ACADACAD===，所以()111124()2AEAFABACADABADACAD=++==.故答案为：118．设空间中有四个互异的点A､B､C､D，若()()20DBDCDAABAC+−−=，则AB

C的形状是___________.【答案】等腰三角形【分析】由()()20DBDCDAABAC+−−=，利用向量的减法和数量积运算求解.【解析】解：因为()()20DBDCDAABAC+−−=，所以()()0

ABACABAC+−=，则22ABAC=，即ABAC=，所以ABC的形状是等腰三角形，故答案为：等腰三角形19．如图，在三棱锥PABC−中，,,APABAC两两垂直，2AP=，1ABAC==，M为PC的中点，则ACBM的值为______.【答案】1

2##0.5【分析】根据空间向量基本定理，用基地向量表示BM,进而根据数量积的运算律即可求解.【解析】由题意得()111222BMBAAMBAAPACBAAPAC=+=++=++，故2111111||222222ACBMACBA

APACACBAACAPACACAC=++=++==．故答案为：1220．已知空间单位向量1e，2e，3e，4e，1234123421+=+=+++=eeeeeeee，则13ee的最大值是___________.【答案】73516+

【分析】向量1e，2e，3e，4e平移共起点O，终点在半径为1的球面上，令12eea+=，34ebe=+，求出a与b的夹角，借助几何图形确定1e与3e夹角的最小值即可计算作答.【解析】因1e，2e，3e，4e是空间单位向量，则把向量1e，2e，3e，4e平移到以O为起点，终点在半径为1的球面上，如

图，由121ee+=得21212221eeee++=，解得1212ee=−，12,120ee=，同理34,120ee=，令12eea+=，34ebe=+，则有13,60,,60eaeb==，且1||2ab+=，平方解得78ab=

−，7cos,8ab=−，于是得1e绕向量a所在直线旋转一周得圆锥1OO的侧面，3e绕向量b所在直线旋转一周得圆锥2OO的侧面，显然73cos,82ab=−−，由此得150,180ab，15sin,8ab=，观察图形知，当1e

，3e旋转到在平面12OOO内，且都在12OOO内时，向量1e与3e的夹角最小，令此最小角为，因此，,6060,120abab=−−=−，71153coscos(,120)cos,cos120sin,sin120(

)8282ababab=−=+=−−+73516+=，131313735cos,cos16eeeeee+==，所以13ee的最大值是73516+.故答案为：73516+【点睛】方法点睛：空间两个向量夹

角为一确定的锐角时，先将二向量平移到共起点，并将其中一个向量固定，另一向量运动可形成一圆锥的侧面，再借助几何图形的直观性解决问题.四、解答题21．已知正四面体OABC的棱长为2，点G是OBC△的重心，点M是线段AG的中点.(1)用,,OAOBOC表示OM，并求出||OM；(2)

求证：OMBC⊥.【答案】(1)111266OMOAOBOC=++，2OM=(2)证明见解析【分析】（1）由向量加法的三角形法则表示OM，再把OM平方即可得到答案.（2）用,,OAOBOC表示BC，然后证明0OMBC=.（1）因为点G是OBC△的重心，所以2111132233OGOBOCOBO

C=+=+因为点M是线段AG的中点，所以111111111222226633OMOAOGOAOBOCOAOBOC=+=++=++.因为正四面体OABC的棱长为2，所以22cos602OAOBOBOCOAOC====,所

以22222111111||436366618OMOMOAOBOCOAOBOAOCOBOC==+++++1111114442222436366618=+++++=，所以2OM=.（2）()111266OMBCOAOBOCOCOB=++−2211112

266OAOCOAOBOBOC=−−+1111224402266=−−+=，所以OMBC⊥.22．如图，已知平行六面体1111ABCDABCD−中，底面ABCD是边长为1的正方形，1112120AAAABAAD===，(1)求1AC；(2

)求1AABD．【答案】(1)2(2)0【分析】（1）记1,,ABaADbAAc===，利用基底表示所求向量，然后将向量的模转化为数量积计算可得；（2）利用基底表示所求向量，根据数量积运算律计算可得.（1）记1,,ABaADbAAc===，则：111ACABBCCCABADAAabc=++=++

=++，·0ABADab==，11·1212ABAAac==−=−，11·1212ADAAbc==−=−，()222221||()2ACabcabcabacbc=++=++

+++()11420112=+++−−=，即有12AC=；（2）()()()11···110AABDAAADABcbacbca=−=−=−=−−−=．23．如图所示，已知空间四边形ABDC的对角线和每条边长都等于1，点E、

F分别是AB、AD的中点．计算：(1)EFBA；(2)EFBD；(3)EFDC；(4)BFCE．【答案】(1)14(2)12(3)14−(4)18−【分析】确定向量的模与向量的夹角，再运用向量的数量积运算即可.（1）因为12E

FBD=，由题意，可知60ABD=，所以,60BDBA=，所以1111111cos601122224EFBABDBA====.（2）2111||222EFBDBDBDBD===.（3）由题

意，可知60BDCDBDC==，11111111cos11222224EFDCBDDCBDCDBDCD==−=−=−=−.（4）11()()22BDBBFCACECBA=++

1[()()]4BDCBBDCABACBBACA=−++−+1[()]4BDCBBACBCDCBCABACA=−−+−+1[]4BDCBBACBCDCACBCABACA=−−+−+1111111()422222

8=−−+−+=−.24．已知空间向量a与b夹角的余弦值为66，且2a=，3b=，令mab=−rrr，2nab=+．(1)求a，b为邻边的平行四边形的面积S；(2)求m，n夹角的余弦值．【答案】(1

)5(2)66−【分析】（1）利用sin,Sabab=算出答案即可；（2）分别求出mn、m、n的值即可.【解析】（1）根据条件，6cos,6ab=，∴30sin,6ab=；∴30sin,2356Sabab==

=；（2）()()2mnabab=−+22622232336aabb=+−=+−=−；()22222233mabaabb=−=−+=−+=，()22241232nab=+=++=；∴36cos,6332mnmnmn−===−.25．如图，在棱长为1的正方体OABCOABC

−中，G、H分别是侧面BBCC和OABC的中心．设OAa=，OCb=，OOc=．(1)用向量a、b、c表示OB、GH；(2)求GHBC；(3)判断AC与GH是否垂直．【答案】(1)

OBabc=++，()12=−GHcb(2)12(3)垂直【分析】根据向量的线性运算法则和向量的数量积的运算公式，准确运算，即可求解.(1)解：根据空间向量的运算法则，可得OBabc=++，()()

()111222GHBHBGOHBGabaccb=−=−−=−+−−−=−.(2)解：根据空间向量的运算法则和数量积的运算公式，可得BCca=−，则()()21111()(1000)2222GH

BCcbcaccabcba=−−=−−+=+++=.(3)解：根据空间向量的运算法则，可得ACACCCOCOAOObca=+=−+=+−；则()()()2211022GHACcbbcacacbab=

−+−=−−+=，所以AC与GH垂直．26．如图所示，点P是矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别是PC，PD上的点，且3PMMC=，N为PD的中点.（1）求满足MNxAByADzAP=++的实数x，y，z的值；（2）

若1==PAAB，2AD=，求MN的长.【答案】（1）34x=−，14y=−，14z=；（2）144.【分析】（1）取PC的中点E，连接NE，利用几何图形中各线段所代表的空间向量，结合空间向量加减法的

几何意义将MN转化为,,ABADAP的线性表达式，即可知x，y，z的值；（2）由已知条件，结合（1）的结论求MN的模，即为MN的长.【解析】（1）取PC的中点E，连接NE，则()12MNENEMCDPMPE=−=−−()13111112422424CDPCPCCDPCABAPABAD

=−−=−=−−−++311444ABADAP=−−+，∴34x=−，14y=−，14z=.（2）∵1==PAAB，2AD=，且PAAB⊥，ABAD⊥，PAAD⊥，又22222311311444444MNABADAPABADAP

=−−+=−+−+94171616168=++=，∴144MN=，故MN的长为144.27．已知长方体1111ABCDABCD−中，点Q是BC上的动点，点P是11BC上的动点，2ABBC==，11AA=．（1）求1ACBC；（2）求DP

AQ的取值范围．【答案】（1）4；（2）0,4.【分析】（1）结合空间向量的线性运算以及向量数量积的定义与运算律即可求出结果；（2）结合空间向量的线性运算以及向量数量积的定义与运算律，再利用不等式的性质即可求出结果；【解析】（1）()11A

CBCABADAAAD=++1ABADADADAAAD=++因为1,ADABADAA⊥⊥，所以1,ABADAAAD⊥⊥，即10,0ABADAAAD==，因此2214ACBCADAD===；（2）()()11DPAQAAAB

CPABBQ=+++1111AAABABABCPABAABQABBQCPBQ=+++++因为111,,,AAABCPABAABQABBQ⊥⊥⊥⊥,所以1110,0,0,0AAABCPA

BAABQABBQ====因此1DPAQABABCPBQ=+21DPAQABCPBQ=−设1,CPxBQy==，02,02xy，则4DPAQxy=−，由于04xy，所以044xy−，故DPA

Q的取值范围为0,4.