【文档说明】2023-2024学年高二数学苏教版2019选择性必修第二册同步试题 6.1.3 共面向量定理 Word版含解析.docx，共(17)页，1.236 MB，由小赞的店铺上传

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6.1.3共面向量定理一、单选题1．下面关于空间向量的说法正确的是（）.A．若向量a，b平行，则a，b所在直线平行B．若向量a，b所在直线是异面直线，则a，b不共面C．若A，B，C，D四点不共面，则向量AB，CD不共面D．若A，B，C，D四点不共面，则向量AB，AC，AD不共面【答案】D【分析】

根据空间向量共面的定义判断B，C，D，由向量平行与直线平行的区别判断A.【解析】我们可以通过平移将空间中任意两个向量平移到一个平面内，因此空间任意两个向量都是共面的，故B，C都不正确.由向量平行与直线平行的区别，可知A不正

确.因为AB，AC，AD是空间中共端点A但不共面的三条线段，所以向量AB，AC，AD不共面.故选：D【点睛】本题主要考查了判断空间向量是否共面，属于基础题.2．若,,abc构成空间的一个基底，则（）A．,,b

cbca−+不共面B．,2,3bcbcc+−不共面C．,2,bcaabc+++不共面D．,,2bcbcb+−不共面【答案】A【分析】根据空间向量共面定理依次判断各选项即可得答案.【解析】解：由题知,,abc不共面，对于A，因为不存在实数,xy使

得()()xbcybca−++=成立，故,,bcbca−+不共面，A正确；对于B，因为()()23bcbcc+−−=，故,2,3bcbcc+−共面，B错误；对于C，因为122bcaabc++=++，故

,2,bcaabc+++共面，C错误；对于D，因为()()2bcbcb++−=，故,,2bcbcb+−共面，D错误.故选：A3．已知O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量aOAOBOC=−+，向量bOAOBOC=++，则与a，b必共面的向量为（）A．OAB．OBC．OCD．OA或OC【

答案】B【分析】判断是否存在唯一的有序实数对(),xy，使选项中的向量等于xayb+即可.【解析】由已知，a与b不共线，xayb+()()xOAOBOCyOAOBOC=−++++()()()xyOAxyOBxyOC=++−+++对于A，若OA与a，b共面，则存在

唯一的有序实数对(),xy，使OAxayb=+，即100xyxyxy+=−+=+=，该方程组无解，故选项A错误；对于B，若OB与a，b共面，则存在唯一的有序实数对(),xy，使OBxayb=+，即010xyxyxy+=−+=+=，解得1212xy

=−=，即1122OBab=−+，OB与a，b共面，故选项B正确；对于C，若OC与a，b共面，则存在唯一的有序实数对(),xy，使OCxayb=+，即001xyxyxy+=−+=+=，该方程组无解，故选项C错误；对于D，由选项A及选项C的判断知，选项D错误.故选：B.4

．在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是（）A．2OMOAOBOC=−−B．350MAMBMC++=C．111332OMOAOBOC=++D．0OMOAOBOC+++=【答案】B【分析】根据空间共面向

量定理以及其结论一一判断各选项，即可得答案.【解析】对于A选项，2OMOAOBOC=−−,由于12121−−=−，所以不能得出,,,MABC共面.对于B选项，由于35MAMBMC=−−，则,,MAMBMC为共面向量，所以,,,MABC共面.对于C选

项,111332OMOAOBOC=++，由于1111332++，所以不能得出,,,MABC共面.对于D选项，由0OMOAOBOC+++=得OMOAOBOC=−−−，而11131−−−=−，所以不能得出,,,MABC共面,故选：B5．已知点P为ABC所在平面内一点，O为平

面ABC外一点，若2OPmOAnOBOC=++则mn+的值为（）A．1B．1−C．2D．2−【答案】B【分析】根据空间向量的四点共面定理即可求解.【解析】因为2OPmOAnOBOC=++，且,,,ABCP四点共面，所以21mn++=，所以1mn+=−，故选:B.6．对于空间中的

三个向量OA，OB，32OAOB−，它们一定是（）A．共面向量B．共线向量C．不共面向量D．无法判断【答案】A【分析】根据平面向量基本定理分析判断.【解析】若,OAOB共线，则OA，OB，32OAOB−共线，OA，OB，3

2OAOB−共面；若,OAOB不共线，则,OAOB可作为基底向量，32OAOB−可以用基底向量线性表示，根据平面向量基本定理可知：OA，OB，32OAOB−共面；综上所述：OA，OB，32OAOB−共面.故选：A.7．空间,,,ABCD四点共面，但任意三点不共线，若P为该平面外一点且

5133=−−PAPBxPCPD，则实数x的值为（）A．43−B．13−C．13D．43【答案】C【分析】先设ABmACnAD=+，然后把向量AB，AC，AD分别用向量PA，PB，PC，PD表示，再把向量PA用向量PB，PC，PD表示出，对照已知

的系数相等即可求解．【解析】解：因为空间A，B，C，D四点共面，但任意三点不共线，则可设ABmACnAD=+，又点P在平面外，则()()PBPAmPCPAnPDPA−=−+−，即(1)mnPAPBmPCnPD++=−++，则1111mnPAPBPCPDmnmnmn−=+++−+−+−

，又5133=−−PAPBxPCPD，所以15131113mnmxmnnmn−=+−=−+−=−+−，解得15mn==，13x=，故选：C．8．下列条件中一定使点P与A，B，C共面的有（

）个①1233PCPAPB=+②111333OPOAOBOC=++③OPOAOBOC=++④0OPOAOBOC+++=uuuruuruuuruuurrA．0B．1C．2D．3【答案】C【分析】根据向量共面的充要条件判断即可.【

解析】①因为1233PCPAPB=+，所以PA，PA，PB为共面向量，所以点P与A，B，C共面，故①正确；②111333OPOAOBOCAPPBPC=++=+，所以AP，PB，PC为共面向量，所以点P与A，B，C共面，故②正确；对于③④显然不满足，故③④错；故选：C.9．对于空

间一点O和不共线三点,,ABC，且有623OPOAOBOC=−−，则（）A．O，A，B，C四点共面B．P，A，B，C四点共面C．O，P，B，C四点共面D．O，P，A，B，C五点共面【答案】B【分析】若四点共面，则

四点所构成的三个共起点的向量中，其中一个向量能用另外两个向量表示.即把623OPOAOBOC=−−转化成3个共起点的向量即可.【解析】623OPOAOBOC=−−()()2233OPOAOAOBOAO

C−=−+−2323APBACAABAC=+=−−,,,APBC四点共面故选:B.10．已知O为空间任一点，A，B，C，D四点满足任意三点不共线，但四点共面，且234OAxBOyCOzDO=++，则234xyz++的值为（）A．1B．1−C．2D．2−【答案】B【分析】根据空间向

量共面定理的推论求解．【解析】解：234OAxBOyCOzDO=++，2(3)(4)OAxOByOCzOD=−+−+−，又A，B，C，D四点满足任意三点不共线，但四点共面，2341xyz−−−=，2341xyz++=−，故选：B．11．已知点,,ABC不共线，O是空间任意一

点，点P在平面ABC内，且2OPyOAxOBxOC=−+，则（）A．y有最小值34B．y有最大值34C．y有最小值1D．y有最大值1【答案】A【分析】因为,,,PABC四点共面，则21yxx−+=，即21324

yx=−+，从而得出答案．【解析】因为,,,PABC四点共面，则21yxx−+=，即21324yx=−+，所以当12x=时，y有最小值34．故选：A．12．在一个正方体1111ABCDAB

CD−中，P为正方形1111DCBA四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，,MN分别为,ABBC中点，点Q为平面ABCD内一点，线段1DQ与OP互相平分，则满足MQMN=的实数的值有A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】C【解析】因为线段D1Q与OP互相平分，所以四点O，Q，

P，D1共面，且四边形OQPD1为平行四边形．若P在线段C1D1上时，Q一定在线段ON上运动，只有当P为C1D1的中点时，Q与点M重合，此时λ＝1，符合题意．若P在线段C1B1与线段B1A1上时，在平面ABCD找不

到符合条件Q；在P在线段D1A1上时，点Q在直线OM上运动，只有当P为线段D1A1的中点时，点Q与点M重合，此时λ＝0符合题意，所以符合条件的λ值有两个故选C.二、多选题13．已知{},,abc是空间的一个基底，则下列向量不共面的有（）A．2ac+，3abc++，3ac+B．

abc++rrr，a−r，22bc+C．2ac+，2abc++，24ac−−D．ab+，a，c【答案】AD【分析】根据空间向量共面定理依次判断选项即可。【解析】对于A，2(3)(3)acabcac+++++，故不共面；对于B，1()(22)2abcabc++=−−++，故共面

；对于C，120(2)(24)2acabcac+=++−−−，故共面；对于D，abac++，故D不共面.故选：AD14．给出下列四个命题，其中是真命题的有（）A．若存在实数x，y，使pxayb=+

，则p与a，b共面；B．若p与a，b共面，则存在实数x，y，使pxayb=+；C．若存在实数x，y，使MPxMAyMB=+则点P，M，A，B共面；D．若点P，M，A，B共面，则存在实数x，y，使MPxMAyMB=+．【答案】AC【分析】由向量共面定理可判断AC；取a，b为零向

量可判断B；取M，A，B三点共线，点P与M，A，B不共线可判断D.【解析】由向量共面定理可知A正确；当a，b为零向量可知B错误；由向量共面定理可知,,MPMAMB共面，又因为共始点，所以点P，M，A，B共面，故C正确；当M

，A，B三点共线，点P与M，A，B不共线时可知D错误.故选：AC15．已知下列四种条件，空间中四点A，B，C，D不一定共面的是（）A．111342PAPBPCPD=++B．PA=3PB-2PCPD−C．0ABACAD=−+D．0PAPBPCPD+++=【答案】A

BD【分析】根据空间中四点A，B，C，D共面的充要条件，逐一判断可得选项.【解析】解：根据空间中A，B，C，D四点共面的充要条件是满足++PAxPByPCzPD=，且++1xyz=，对于A：因为111342PAPBPCPD=++，又111+1

342+，所以空间中四点A，B，C，D不一定共面；对于B：因为PA=3PB-2PCPD−，又()()3+2+101−−=，所以空间中四点A，B，C，D不一定共面；对于C：因为0ABACAD=−+，所以A

CABAD=+，所以向量ACABAD，，共面，即四点A，B，C，D共面，对于D：因为0PAPBPCPD+++=，所以PAPBPCPD=−−−，又()()1+1+131−−−=−，所以空间中四点A，B，C，D不一定共面.故选：ABD.16．已知点P为三棱锥OABC−的底面ABC所在平面内的一点，

且22(0,0)OPmOAnOBOCmn=+−，则下列说法正确的是（）A．23mn+=B．2mn+=C．mn的最大值为1D．mn的最大值为98【答案】AD【分析】根据空间四点共面可得221mn+−=，即23mn+=，判断A,B;利用均值不等式可求得mn的最大值，判断C,D

.【解析】由题意知OPOAOAPyAxABAC=+=++()()OAOAxOBOAOCOAAPy=++=−+−(1),(,R)OAxOBxyyyOxC=−−++，即,,,ABCP共面，则,,OAOBOC为基底表示OP时，系数和为1，由22(0,0)OPmOAnOBOCmn=+

−，可知，221mn+−=，即23mn+=，A正确；由0,0mn，23mn+=，可知仅当1mn==时，有2mn+=，比如当12,2mn==时，2mn+=即不成立，故B错误；又由基本不等式可得2292()24mn

mn+=，98mn，当且仅当32m=，34n=时等号成立，故C错误，D正确．故选：AD．三、填空题17．已知a，b，c是空间三个不共面的向量，下列各组向量：①la，mb，(0)nclmn；②2ab+，23bc+，93ca−+；③2ab+，2bc+，2ca+.其中不共面的是____（填序号

）.【答案】①③##③①【分析】利用空间共面向量定理判断即可【解析】解：对于①，因为,,abc是空间三个不共面的向量，且0lmn，所以,,lambnc不共面，所以①符合题意；对于②，因为933[(2)(

23)]caabbc−+=+−+，所以2,23,93abbcca++−+是共面向量，所以②不符合题意；、对于③，若2,2,2abbcca+++是共面向量，则存在实数,，使2(2)(2)caabbc+=+++，即(12)(2)(2)cab−=−+

+，因为,,abc是空间三个不共面的向量，所以12220−=−=+=，矛盾，所以2,2,2abbcca+++不共面，所以③符合题，故答案为：①③18．下列命题中错误的是______．（填序号）①若A、B、C、D是空间任意四点，则有0ABBCCDDA+++=；②aba

b−=+是a、b共线的充要条件；③若AB、CD共线，则ABCD；④对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若OPxOAyOBzOC=++uuuruuruuuruuur（其中x、y、Rz）则P、A、B、C四点共面．【答案】

②③④【分析】直接由向量的运算、向量的共线及向量的共面依次判断4个命题即可.【解析】对于①，0ABBCCDDAACCDDAADDA+++=++=+=，正确；对于②，abab−=+或abab+=+是a、b共线的充要条件，错误；对于③，若AB、CD共线，则ABCD或,ABCD重合，错误；对于④，若

OPxOAyOBzOC=++uuuruuruuuruuur（其中x、y、Rz），当且仅当1xyz++=时，P、A、B、C四点共面，错误.故答案为：②③④.19．已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任意一点，若由16)1(23OPOAOBOC=++−确定的一点P与A，

B，C三点共面，则=_________．【答案】56【分析】推导出空间四点共面定理的推论，再根据推论进行求解.【解析】因为P，A，B，C四点共面，所以存在不全为0的,mn使得PAmPBnPC=+，O是平面ABC外任意一点，则()()OAOPmOBOPnOCOP−=−+−，即

()1mnOPmOBnOCOA+−=+−，若A，B，C三点共线，则ABCB=，即()PBPAPBPC−=−，整理得：()1PBPAPC−=−，所以()1PAPBPC=−+，此时若PAmPBnPC=+，则1mn+=，因为A，B，C三点不共线，

PAmPBnPC=+，所以1mn+，所以1111mnOPOBOCOAmnmnmn=+−+−+−+−，令1,,111mnyzxmnmnmn===+−+−+−，则1xyz++=，所以12(1)163++−=，所

以56=．故答案为：5620．如图，已知四棱柱1111ABCDABCD−的底面1111DCBA为平行四边形，E为棱AB的中点，1,23AFADAGGA==，1AC与平面EFG交于点M，则1AMAC＝________.【答案】213【分析】设()1

01AMAC=，根据向量线性运算的几何表示可得3232AMAEAFAG=++，然后向量共面的推论即得.【解析】由题可设()101AMAC=，因为113232ACADAAAAEAFABG+=++=+，所以32

32AMAEAFAG=++，因为M，E，F，G四点共面，所以32312++=，解得213=.故答案为：213.四、解答题21．已知12ee，为两个不共线的非零向量，且12ABee=+，1228ACee=+，1233ADee=−，求证：ABCD，，

，四点共面．【答案】证明见解析【分析】用共面向量定理证明,,ACABAD共面，即可得四点共面．【解析】设ACxAByAD=+，则()()1212122833eexeeyee+=++−，()()1223830xyexye−−+−+=，又12ee，为两

个不共线的非零向量，230830xyxy−−=−+=，51xy==−，5ACABAD=−，ABCD，，，四点共面，故原命题得证．22．如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝13BB1，

DF＝23DD1.求证：A，E，C1，F四点共面.【答案】证明见解析.【分析】根据空间向量定义及运算法则，用AE→，AF→表示出1AC→，从而证得四点共面.【解析】证明:因为11ACABADAA→→→→=++＝111233ABADAAAA→→→

→+++＝11()3ABAA→→+＋12()3ADAA→→+＝ABBEADDFAEAF→→→→→→+++=+，所以1AC→，AE→，AF→共面，所以A，E，C1，F四点共面.23．已知,,ABM三点不共线，对于平面ABM外的任意一点O

，判断在下列各条件下的点P与点,,ABM是否共面．(1)3OBOMOPOA+=−；(2)4OPOAOBOM=−−．【答案】(1)共面(2)不共面【分析】（1）根据空间向量的共面定理及推论，即可求解；（2）根据空间向量的共面定理及推论，即可求解；(1)解：因为,,ABM三点不共线，可得,,AB

M三点共面，对于平面ABM外的任意一点O，若3OBOMOPOA+=−，即111333OPOAOBOM=++，又因为1111333++=，根据空间向量的共面定理，可得点P与,,ABM共面.(2)解：因为,,ABM三点不共线，可得,

,ABM三点共面，对于平面ABM外的任意一点O，若4OPOAOBOM=−−，此时41121−−=，根据空间向量的共面定理，可得点P与,,ABM不共面．24．如图所示，四面体OABC−中，G，H分别是,A

BCOBC△△的重心，设,,OAaOBbOCc===，点D，M，N分别为BC，AB，OB的中点．(1)试用向量,,abc表示向量,MNOG；(2)试用空间向量的方法证明MNGH四点共面．【答案】(1)12=MNa−，1()3O

abGc=++(2)证明见解析【分析】（1）结合空间向量的线性运算即可求出结果；（2）证得32MNGH=，即可得出结论.（1）1122MNOAa=−=−因为OGOAAG=+，而2,3AGADADODOA==−，又D为BC的中点，所以1()2ODOBOC=+，所以

22212()()33323OGOAADOAODOAOAOBOCOA=+=+−=++−11()()33OAOBOCabc=++=++．（2）因为GHOHOG=−，2211()()3323OHODOBOCbc==+=+，所以1111()()3333GHbcabcaOA=+−++=−=

−，12MNOA=−，所以32MNGH=．所以MNGH四点共面．25．已知,,,,,,,,OABCDEFGH为空间9个点(如图)，并且,OEkOAOFkOB==，OHkOD=，ACADmAB=+．EGEHmEF=+，求证：(1),,,ABCD四点共面；(2)//ACEG；(3

)OGkOC=．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据向量的共面定理，即可求解；（2）根据空间向量的运算法则，准确运算，即可求解；（3）根据空间向量的运算法则，准确运算，即可求解.（1）解：因为ACADmAB=+，由共面向量的基本定理，可得,,ACADAB是共面

向量又因为,,ACADAB有公共点A，所以,,,ABCD四点共面.（2）解：因为,,OEkOAOFkOBOHkOD===，则()()()EGEHmEFOHOEmOFOEkADOAkmOBOA=+=−+−=−+−()kADABADkmkmkABAC+=+==，所以//ACEG.（3）解：由

（1）及,,OEkOAOFkOBOHkOD===，可得,EGkACEOkAO==−，所以()OGEGEOkACkAOkACAOkOC=−=−=−=，即OGkOC=.26．如图，在三棱锥−PABC中，点

G为ABC的重心，点M在PG上，且3PMMG=，过点M任意作一个平面分别交线段PA，PB，PC于点D，E，F，若PDmPA→→=，PEnPB→→=，PFtPC→→=，求证：111mnt++为定值，并求出该定值.【答案】为定值4；证明见解析；【分析】联结AG并延

长交BC于H，由题意，令,,PAPBPC→→→为空间向量的一组基底，表示出PM→.然后根据点D，E，F，M共面，故存在实数,，满足DMDEDF→→→=+，再表示出一组PM→的表达式，因此其系数相同，从而证得结论.【解析】联结AG并延长交BC于H，由题意，令,,PAPBPC→→→为空间向量的

一组基底，则33332()44443PMPGPAAGPAAH→→→→→→==+=+31311()()422444ABACPAPAPBPAPCPA→→→→→→→→+=+=+−+−111444PAPBPC→→→=++.联结DM，点D，E，F，M共面，故存在实数,

，满足DMDEDF→→→=+，即()()PMPDPEPDPFPD→→→→→→−=−+−，因此(1)(1)PMPDPEPFmPAnPBtPC→→→→→→→=−−++=−−++，由空间

向量基本定理知，1(1)4mnt−−===，故1114(1)444mnt++=−−++=，为定值.