【文档说明】2023-2024学年高二数学苏教版2019选择性必修第二册同步试题 6.2.1 空间向量基本定理 Word版含解析.docx,共(21)页,1.893 MB,由管理员店铺上传
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6.2.1空间向量基本定理一、单选题1.已知,,abc为空间的一组基底,则下列向量也能作为空间的一组基底的是()A.ab+,bc+,ac−B.2ab+,b,ac+C.2ab+,2bc+,abc++rrrD.ac+,2ba+,2bc−【答案】B【分析】若三个向量非零不
共线,,mnp能作为基底,则满足mxpyn=+.【解析】对于A项,因为()()abbcac+=++−,则ab+,bc+,ac−共面,不能作为基底,故A不符合题干.对于C项,因为()()112222abcabbc++=+++,则2ab+,2bc+,abc++rrr共面,不能作
为基底,故C不符合题干.对于D项,()()112222acbabc+=+−−,则ac+,2ba+,2bc−共面,不能作为基底,故D不符合题干.对于选项B,假设2ab+,b,ac−共面,则存在,R,使()2
abbac+=+−,所以120==−=无解,所以2ab+,b,ac−不共面,可以作为空间的一组基底.故选:B2.已知,,abc是空间的一个基底,则可以与向量2mbc=−,2nbc=+构成空间另一个基底的向量是()A.aB.bC.cD.bc+【答案】A【分析】根据空
间向量基底的定义依次判断各选项即可.【解析】对于A选项,不存在,Rxy使得()()22axmynxbcybc=+=−++成立,故能构成空间的另一个基底;对于B选项,()()1112212222mnbcbbc+=−+=+,故不能构成空间的另一个基底;对于C选
项,()()1114412244cmnbcbc=+=−−+−+,故不能构成空间的另一个基底;对于D选项,()()1134432424mnbcbcbc=+=−+++,故不能构成空间的另一个基底.故选:A.3.如图所示,在平行六面体ABCDABCD−中,1AB=,2AD=,3AA=,90B
AD=,60BAADAA==,则CA的长为()A.5B.23C.5D.13【答案】B【分析】由向量ACABADAA=++得:()()22ACABADAA=++,展开化简,再利用向量的数量积,便可得出答案.【解析】解:ACABBCCCABADAA
=++=++,()()()()()222222()ACABADAAABADAAABADABAAADAA=++=+++++,∵1AB=,2AD=,3AA=,90BAD=,60BAADAA==()222291232(013cos6023cos60)14223
2AC=+++++=+=.23AC=,即AC的长为23.故选:B.4.三棱柱ABCDEF−中,G为棱AD的中点,若,,BAaBCbBDc===,则CG=()A.abc−+−B.12
abc−++C.1122−++abcD.1122abc−+【答案】D【分析】利用空间向量的线性运算法则与空间向量基本定理,求解即可.【解析】11()()22CGCAAGCAADBABCBDBA=+=+=−+−111()()222abcaabc
=−+−=−+.故选:D.5.若,,abc构成空间的一个基底,则下列向量不共面的是()A.322abc−+,2abc−+,2ab+B.432abc++,abc++rrr,ac−C.2ab+,abc−+rr
r,2abc+−D.22abc−−,ac−,2ab+【答案】D【分析】利用共面向量定理分析判断,其中选项ABD中,一个向量可以表示为另外两个向量的共线向量的和的形式,所以三个向量共面;只有选项C的向量不可以,即得解.【解析】对于A,因为()222322,abcababc−+++=−+所以322a
bc−+,2abc−+,2ab+共面,A不符合题意;对于B,因为()3432,abcacabc+++−=++所以432abc++,abc++rrr,ac−共面,B不符合题意;对于C,22abcabcab−+++−=+,所以2ab+,abc−+rrr,2abc+−共面,C不符合题意;假设
存在实数,xy满足()()222xacyababc−++=−−,所以(2)22xyaybxcabc++−=−−,所以2122xyyx+==−−=−,该方程组没有实数解.所以不存在实数,xy满足()()222xacyababc−++=−−,故2
2abc−−,ac−,2ab+不共面,D符合题意.故选:D.6.已知空间四边形ABCO中,OAa=,OBb=,OCc=,M为OA中点,点N在BC上,且2NBNC=,则MN等于()A.121233abc−+−B.121233abc−++C.1112
32abc+−D.112233abc−++【答案】D【分析】根据已知条件,结合空间向量的线性运算法则,即可求解.【解析】如图所示:点N在BC上,且2NBNC=,∴2BNNC=,由OBb=,OCc=,111212()333333ON
OCCNOCCBOCOBOCOBOCbc=+=+=+−=+=+,M为OA中点,OAa=,1122OMOAa==,11122233MNONOMONOAabc=−=−=−++.故选:D.7.如图,四面体ABCD的所有棱长都相等,AFFD=,BEEC=,则c
os,AEFC=()A.13B.23C.34D.79【答案】B【分析】利用,,ABACAD为基底表示,AEFC向量,再根据向量模的公式和夹角公式求解即可.【解析】解:因为四面体ABCD的所有棱长都相等,AFFD=,BEEC=,所以,,,ABAC
AD两两夹角为60,且,EF分别为,BCAD的中点,所以,1122AEABAC=+,12FCACAFACAD=−=−,设四面体ABCD的棱长为a,所以,112212ACFAECCADABA−=+211142124ABAACA
BDACADAC=−+−222221111cos6s0421cos60co60224aaaaa=−+−=,2221111122442AEABACABACABAC=+=++2221113cos604422aaaa=++=,2221124FCA
CADACADACAD=−=+−22213cos6042aaaa=+−=,所以22cos,3123322AEAFEAaCFCEaCaF===故选:B8.在三棱锥ABCD−中,P为BCD△内一点,若1PBCS=,2=PCDS,
3PBDS=,则AP=()A.111362ABACAD++B.111263ABACAD++C.111326ABACAD++D.111632ABACAD++【答案】C【分析】延长PB到1B,使得12PBPB=,延长PC到1C,使得13PC
PC=,连接1DB,1BC,1CD,根据1PBCS=,2=PCDS,3PBDS=,得到P是11BCD的重心求解.【解析】延长PB到1B,使得12PBPB=,延长PC到1C,使得13PCPC=,连接1DB,1BC,1CD,如图所示:因为1PBCS
=,2=PCDS,3PBDS=,所以1111PBCPCDPBDSSS==△△△,所以P是11BCD的重心,所以110++=PDPBPC,即230++=PDPBPC,所以2()3()0−+−+−=ADAPABAPACAP,整理得111326APABACAD=++.故选:C9.在
棱长为1的正四面体ABCD中,点M满足()1AMxAByACxyAD=++−−(,R)xy,点N满足(1)()DNDADRC=+−,当AM和DN的长度都为最短时,AMAN的值是()A.13B.13−C.23D.23−【答案】A【分析
】根据给定条件确定点M,N的位置,再借助空间向量数量积计算作答.【解析】因()1AMxAByACxyAD=++−−,则)()(AMADxABADyACAD−=+−−,即DMxDByDC=+,而,Rxy,则,,DMDBDC共面,点M在平面BCD内,
又(1)()DNDADRC=+−,即CNCA=,于是得点N在直线AC上,棱长为1的正四面体ABCD中,当AM长最短时,点M是点A在平面BCD上的射影,即正BCD△的中心,因此,111333AMABACAD=++,当DN长最短时,点N是点D在直线A
C上的射影,即正ACD边AC的中点,12ANAC=,而60BACDAC==,111cos602ABAAACDC===,所以2111()()21336ABACADAMANAABACDCACAAC==+=+++.故选:A
10.有以下命题:①若pxayb=+,则p与a、b共面;②若p与a、b共面,则pxayb=+;③若MPxMAyMB=+,则P、M、A、B四点共面;④若P、M、A、B四点共面,则MPxMAyMB=+;⑤若存在R、,使0ab+=,则0==;⑥若a、b不共线,则
空间任一向量pab=+(R、).其中真命题是()A.①②B.①③C.②③④D.③④⑥【答案】B【分析】根据空间向量基本定理一一判断即可;【解析】解:①正确,由平面向量基本定理可得,若pxayb=+,则p与a、b共面;②不正确,若a、b均为零向量,p为非零向量,则后式不成
立,③正确,由平面向量基本定理得,④不正确,若MA、MB均为零向量,MP为非零向量,则后式不成立,⑤不正确,若a、b为相反向量时,0ab+=,1==,⑥不正确,若a、b不共线,当p与a、b所在的平面垂直时,则后式不成立,故选:B.11.设OABC−是四面体,1G
是ABC的重心,G是1OG上的一点,且13OGGG=,若OGxOAyOBzOC=++,则xyz++等于()A.1B.43C.34D.2【答案】C【分析】取BC的中点E,连接AE,然后利用三角形法则以及三角形重心的性质和中线的性质即可求解.【解析】如图所示,取BC
的中点E,连接AE,因为13OGGG=,所以1133()44OGOGOAAG==+3323144342OAAEOAAE=+=+311()422OAABAC=++31()44OAOBOAOCOA=+−+−1()4OAOBOC=++,所以133
44xyz++==,故选:C.12.如图,在四棱锥PABCD−中,底面ABCD为平行四边形,且6ABAP==,2AD=,60BADBAPDAP===,E,F分别为PB,PC上的点,且2PEEB=,PFFC=,EF=()A.1B.2C.2D.6【答
案】B【分析】根据给定条件选定基底向量,,ABADAP,并表示出EF,再利用向量运算即可得解.【解析】在四棱锥PABCD−中,底面ABCD为平行四边形,连接AC,如图,2PEEB=,PFFC=,则1111()3232EFEBBAAPPFPBABAPPCPBABAPA
CAP=+++=−++=−++−111111()()(3)326266ABAPABAPABADAPABADAPABADAP=−−+++−=−++=−++,又6ABAP==,2AD=,60BADBAPDAP===,则62cos606ABADAPAD===,66cos6018ABAP
==,因此,222211||(3)966266EFABADAPABADAPABADADAPABAP=−++=++−+−1369436666621826=++−+−=.故选:B二、多选题13.,,abc是空间的一个基底,可
以和ab+,ab−构成基底的另一个向量可以是()A.ac+B.ac−C.bc+D.bc−【答案】ABCD【分析】利用空间向量基本定理逐个分析判断即可.【解析】对于A,若ab+,ab−,ac+共面,则()()()()acababab+=++−=
++−,因为,,abc是空间的一个基底,所以上式不成立,所以ab+,ab−,ac+不共面,所以ab+,ab−,ac+可以作为基底,所以A正确,对于B,若ab+,ab−,ac−共面,则111111()()()()acababab−=
++−=++−,因为,,abc是空间的一个基底,所以上式不成立,所以ab+,ab−,ac−不共面,所以ab+,ab−,ac−可以作为基底,所以B正确,对于C,若ab+,ab−,bc+共面,则222222()()()()bcababab+=++−=++−
,因为,,abc是空间的一个基底,所以上式不成立,所以ab+,ab−,bc+不共面,所以ab+,ab−,bc+可以作为基底,所以C正确,对于D,若ab+,ab−,bc−共面,则333333()()()()bcababab−
=++−=++−,因为,,abc是空间的一个基底,所以上式不成立,所以ab+,ab−,bc−不共面,所以ab+,ab−,bc−可以作为基底,所以D正确,故选:ABCD14.给出下列命题,其中是真命题的是()A.若{},,abc可以作为空间的一个基底,d与c共
线,0d,则{,,}abd也可以作为空间的一个基底B.已知向量ab∥,则,ab与任何向量都不能构成空间的一个基底C.己知A,B,M,N是空间中的四点,若,,BABMBN不能构成空间的一个基底,则A,B,M,N四点共面D.己知{},,abc是空间的一
个基底,若mac=+,则{,,}abm也是空间的一个基底【答案】ABCD【分析】直接利用向量的基底的定义,向量的共线,共面向量的充要条件判定A、B、C、D的结果.【解析】对于选项A:{a,b,}c可以作为空间的一个基底,a,b,c不共面,d与c共线,0d,
a,b,d不共面,故正确.对于选项B:向量//ab,a,b与任何向量都共面,a,b与任何向量都不能构成空间的一个基底,故正确.对于选项C:BA,BM,BN不能构成空间的一个基底,BA,BM,BN共面,A,B,M,N共面,故正
确.对于选项D:{a,b,}c是空间的一个基底,a,b,c不共面,mac=+,a,b,m不共面,{a,b,}m也是空间的一个基底,故正确.故选:ABCD.15.已知在空间四面体O-ABC中,点M在线段OA上,且2OMMA=,点N为BC中点,设OAa=
,OBb=,OCc=,则()A.112223ANabc=+−B.211322MNabc=−++C.23CMac=−D.221332BMabc=+−【答案】BC【分析】利用空间向量的基本定理求解判断.【解析】因为点N为BC中点,所以111()222ANACABcba=+=+−,
MNONOM=−,12()23OBOCOA=+−,112223bca=+−;23CMCOOMca=+=−+;23BMBAAMab=+=−,故选:BC16.已知点P为三棱锥OABC−的底面ABC所在平面内的一点,且22(0,0)OPmOAnOBOCm
n=+−,则下列说法正确的是()A.23mn+=B.2mn+=C.mn的最大值为1D.mn的最大值为98【答案】AD【分析】根据空间四点共面可得221mn+−=,即23mn+=,判断A,B;利用均值不等式可
求得mn的最大值,判断C,D.【解析】由题意知OPOAOAPyAxABAC=+=++()()OAOAxOBOAOCOAAPy=++=−+−(1),(,R)OAxOBxyyyOxC=−−++,即,,,ABC
P共面,则,,OAOBOC为基底表示OP时,系数和为1,由22(0,0)OPmOAnOBOCmn=+−,可知,221mn+−=,即23mn+=,A正确;由0,0mn,23mn+=,可知仅当1mn==时,有2mn+=,比如当12,2mn==时,2mn+=即不成立,故B错误;又
由基本不等式可得2292()24mnmn+=,98mn,当且仅当32m=,34n=时等号成立,故C错误,D正确.故选:AD.三、填空题17.如图,在四面体OABC−中,OAa=,OBb=,OCc=,D为BC的中点,
E为AD的中点,若OExaybzc=++,其中x,y,zR,则x=___________,y=___________,z=___________.【答案】12##0.514##0.2514##0.25【分析】根据空
间向量的线性运算可得()111222OEOAOBOC=++,从而可求解.【解析】因为D为BC的中点,E为AD的中点,所以()()11112222OEOAODOAOBOC=+=++111111244244OAOBOCabc=++=++.因为OExaybzc=++,所以111
,,244xyz===.故答案为:111,,244.18.已知三棱锥OABC−,M,N分别是对棱OA、BC的中点,点G在线段MN上,且2MGGN=,设OAa=,OBb=,OCc=,则OG=_______
___.(用基底,,abc表示)【答案】111633abc++【分析】根据空间向量的线性运算的几何表示结合条件即得.【解析】∵2MGGN=,∴23MGMN=,又M,N分别是对棱OA、BC的中点,OAa=,OBb=,OCc=,∴()2233MGMNOGOMOMOMONOM==+=++−()1
21213133223OMONOAOBOC=++=+111633OAOBOC=++111633abc=++.故答案为:111633abc++.19.己知平行六面体1111ABCDABCD−中,3AB=,2AD=
,11AA=,113BADBAADAA===,则1AC的长度为________.【答案】5【分析】根据空间向量的线性运算可得1ACuuur1ABADAA=++,等式两边同时平方,利用空间向量数量积的定义
计算即可.【解析】由题意知,设1,,ABaADbAAc===,则1AC=11ACCCABADAAabc=+=++=++,所以222221222ACabcabcabacbc=++=+++++,又1113,2,1,3ABADAABAD
BAADAA======,所以22222225abcabacbc+++++=,即2125AC=,所以15AC=.故答案为:5.20.如图,在120°的二面角l−−中,,,,AlBlACBD且
,ACABBDAB⊥⊥,垂足分别为A,B,已知6ACABBD===,则线段CD的长为__________.【答案】12【分析】利用CDCAABBD=++,两边平方计算,可得线段CD的长.【解析】因为,ACABBDA
B⊥⊥,所以0,0CAABBDAB==.又因为二面角l−−的平面角为120°,所以,60CABD=.所以22||()CDCAABBD=++222||||||222CAABBDCAABCABDABBD=+++++363
63636144=+++=,所以12CD=.故答案为:12【点睛】本题考查空间距离的计算,考查向量知识的运用,属于中档题.四、解答题21.如图所示,已知在三棱锥ABCD−中,向量ABa=,ACb=,ADc=uuurr,已知M为BC的中点,试用a、b
、c表示向量DM.【答案】()122DMabc=+−【分析】利用空间向量的线性运算的几何表示运算即得.【解析】∵M为BC的中点,∴()12AMABAC=+uuuruuuruuur,∴()()11222DMAMADABACADabc=−=+−=
+−.22.如图,在平行六面体ABCDABCD−中,M是ABCD的对角线的交点,N是棱BC的中点.设ABa=,ADb=,AAc=,若以a,b,c为一组基,求MN在这组基下的坐标.【答案】1,0,12−
.【分析】根据向量的线性运算即可用a,b,c表示出MN.【解析】1122MNMCCCCNACAACB=++=++()()1122ACcb=+−+−()1122abcb=+−−12ac=−,∴MN在以,,abc为基的坐
标为1,0,12−.23.如图,三棱柱111ABCABC-中,M,N分别是111,ABBC上的点,且1112,2BMAMCNBN==.设ABa=,ACb=,1AAc=.(1)试用a,b,c表示向量MN;(2)若11190,60,
1BACBAACAAABACAA======,求MN的长.【答案】(1)111333MNabc=++(2)53【分析】(1)利用空间向量的线性运算即可求解.(2)根据空间向量的数量积以及向量模的求法即可求解.【解析】(1)解:1111MNMAACCN=+
+11233BAACCB=++1112()333ABAAACABAC=−+++−1111333ABAAAC=++,∴111333MNabc=++;(2)解:11,||||||1ABACAAabc======,1190,0,60BACabBAACAA====,12acbc
==,()221||9MNabc=++()2221522299abcabacbc=+++++=,5||3MN=,即MN的长为53.24.在三棱锥体PSEF−中,3,2FMMEMNNS==,点H为
PF的中点,设,,SPiSEjSFk===.(1)记aPNSH=+,试用向量,,ijk表示向量a;(2)若ππ,,4,623ESFESPPSFSESFSP======,求PNSH的值.【答案】(1)1172412ijk−++;(
2)643−.【分析】(1)根据空间向量的运算的几何表示结合条件即得;(2)根据空间向量的数量积的定义及运算律即得.【解析】(1)由题可知3FMME=,,,SPiSEjSFk===,所以()3SMSFSESM−=−,即3131
4444SMSESFjk=+=+,又2MNNS=,所以1113412SNSMjk==+,所以11412PNSNSPjki−=+=−,又点H为PF的中点,所以11112222SSPSFikH=+=+,所以114122112iaPNHikSjk=+++
=−=+1172412ijk−++;(2)因为ππ,,4,623ESFESPPSFSESFSP======,所以16412,02ijikjk====,所以112211412PNSHjkiik+−=+22111141
2411111112222222iiikkkjikj+−+=+−1111111121236161241212212222+−+−=643=−.25.如图,在空间四边形OABC中,已知E是线段BC的中点,G在A
E上,且2AGGE=.(1)试用OA,OB,OC表示向量OG;(2)若2OA=,3OB=,4OC=,60AOCBOC==,90AOB=,求OGABuuuruuur的值.【答案】(1)111333OGOAOBOC=++(2)73【分析】(1)根据空间向量线性运算法则计算可得;
(2)由(1)可得111()()333OGABOAOBOCOBOA=++−,根据空间向量数量积的运算律及定义计算可得;【解析】(1)解:2AGGE=uuuruuur,2()OGOAOEOG−=−,32OGOEOA=+
又2OEOBOC=+111333OGOAOBOC=++(2)解:由(1)可得知111()()333OGABOAOBOCOBOA=++−22111111333333OAOBOAOBOBOAOCOBOCOA=−+−+−22111
13333OAOBOCOBOCOA=−++−22111111233442333232=−++−44732333=−++−=26.如图,已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为1,P,Q,R分别在AB,1CC,11DA上,并满足()111011DRAPCQaaPB
QCRAa===−.设ABi=,ADj=,1AAk=.(1)用i,j,k表示PQ,PR;(2)设PQR的重心为G,用i,j,k表示DG;(3)当RGDG⊥时,求a的取值范围.【答案】(1)()1PQaijak=−++,()1PRaikaj=−++−(2
)()()()111111333aiakaj+++−+(3)01a【分析】(1)利用向量的加法运算,以及数乘运算即可表示;(2)利用向量的加法运算,以及数乘运算即可表示;(3)先用i,j,k表示RG,再计算RGDG,发现其恒为零,进而可得a的取值范围.(1)()(
)111PQPBBCCQaABADaCCaijak=++=−++=−++()()1111111PRPAAAARaABAAaADaikaj=++=−++−=−++−(2)12132DGDCCQQGABaCCQPPR=++=+++()()()211132iakaijakaikaj=+
+−−−+−++−()()()111111333aiakaj=+++−+(3)RGDG⊥0RGDG=又11111RGRDDGRDDDDGaADDDDG=+=++=−+()()()()()()1111111111221333333ajkaiakajaiak
aj=−++++−+=++−+−()()()()()()1111111221111333333RGDGaiakajaiakaj=++−+−+++−+()()()()()2111121211999
aaaaa=++−+−−+()2221212219aaaaaa=+++−−−−+0=即对任意01a,都有RGDG⊥即a的取值范围为01a.