【文档说明】2023-2024学年高二数学苏教版2019选择性必修第二册同步试题 6.2.1 空间向量基本定理 Word版含解析.docx，共(21)页，1.893 MB，由小赞的店铺上传

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6.2.1空间向量基本定理一、单选题1．已知,,abc为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是（）A．ab+，bc+，ac−B．2ab+，b，ac+C．2ab+，2bc+，abc++rrrD．ac+，2ba+，2bc−【答案】B【分析

】若三个向量非零不共线,,mnp能作为基底，则满足mxpyn=+.【解析】对于A项，因为()()abbcac+=++−，则ab+，bc+，ac−共面，不能作为基底，故A不符合题干.对于C项，因为()()112222abcabbc++=+++，则2ab+，2bc

+，abc++rrr共面，不能作为基底，故C不符合题干.对于D项，()()112222acbabc+=+−−，则ac+，2ba+，2bc−共面，不能作为基底，故D不符合题干.对于选项B，假设2ab+，b，ac−共面，则存在，R，使()2abbac+=+−，所以120=

=−=无解，所以2ab+，b，ac−不共面，可以作为空间的一组基底．故选：B2．已知,,abc是空间的一个基底，则可以与向量2mbc=−，2nbc=+构成空间另一个基底的向量是（）A．aB．bC．cD．bc+【答案】A【分析】根据空间向量基底的定义依次判断各选项即

可.【解析】对于A选项，不存在,Rxy使得()()22axmynxbcybc=+=−++成立，故能构成空间的另一个基底；对于B选项，()()1112212222mnbcbbc+=−+=+，故不能构成空间的另一个基底；对于C选项，()()1114412244cmnbcbc=

+=−−+−+，故不能构成空间的另一个基底；对于D选项，()()1134432424mnbcbcbc=+=−+++，故不能构成空间的另一个基底.故选：A.3．如图所示，在平行六面体ABCDABCD−中，1AB=

，2AD=，3AA=，90BAD=，60BAADAA==，则CA的长为（）A．5B．23C．5D．13【答案】B【分析】由向量ACABADAA=++得：()()22ACABADAA=++，展开化简，再利用向量的数量积，便可得出答案.【解析】解：ACABBCCCABADAA

=++=++，()()()()()222222()ACABADAAABADAAABADABAAADAA=++=+++++，∵1AB=，2AD=，3AA=，90BAD=，60BAADAA==()222291

232(013cos6023cos60)142232AC=+++++=+=.23AC=，即AC的长为23.故选：B.4．三棱柱ABCDEF−中，G为棱AD的中点，若,,BAaBCbBDc===，则CG=（）A．abc−+−B．12abc−++C．1122−++abc

D．1122abc−+【答案】D【分析】利用空间向量的线性运算法则与空间向量基本定理，求解即可．【解析】11()()22CGCAAGCAADBABCBDBA=+=+=−+−111()()222abcaabc=−+−=−+．故选：D．5．若,,

abc构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）A．322abc−+，2abc−+，2ab+B．432abc++，abc++rrr，ac−C．2ab+，abc−+rrr，2abc+−D．22abc−−，ac−，2ab+【答案】D【分析】利用共面向量定理分析判断，其中选

项ABD中，一个向量可以表示为另外两个向量的共线向量的和的形式，所以三个向量共面；只有选项C的向量不可以，即得解.【解析】对于A，因为()222322,abcababc−+++=−+所以322abc−+，2abc−+，2ab+共面，

A不符合题意；对于B，因为()3432,abcacabc+++−=++所以432abc++，abc++rrr，ac−共面，B不符合题意；对于C，22abcabcab−+++−=+，所以2ab+，abc−+rrr，2ab

c+−共面，C不符合题意；假设存在实数,xy满足()()222xacyababc−++=−−，所以(2)22xyaybxcabc++−=−−,所以2122xyyx+==−−=−，该方程组没有实数解.所以不存在实数,xy满

足()()222xacyababc−++=−−，故22abc−−，ac−，2ab+不共面，D符合题意.故选：D.6．已知空间四边形ABCO中，OAa=，OBb=，OCc=，M为OA中点，点N在BC上，且2NBNC=，则MN等于（）A．121233abc−+−B．121233abc−++C．

111232abc+−D．112233abc−++【答案】D【分析】根据已知条件，结合空间向量的线性运算法则，即可求解．【解析】如图所示：点N在BC上，且2NBNC=，∴2BNNC=，由OBb=，OCc=，111212()333333ONOCCNOC

CBOCOBOCOBOCbc=+=+=+−=+=+，M为OA中点，OAa=，1122OMOAa==，11122233MNONOMONOAabc=−=−=−++．故选：D．7．如图，四面体ABCD的所有棱

长都相等，AFFD=，BEEC=，则cos,AEFC=（）A．13B．23C．34D．79【答案】B【分析】利用,,ABACAD为基底表示,AEFC向量，再根据向量模的公式和夹角公式求解即可.【解析】解：因为四面体ABCD的所有棱长都相等，AFFD=，BEEC=，所以，,,ABACAD两两夹角

为60，且,EF分别为,BCAD的中点，所以，1122AEABAC=+，12FCACAFACAD=−=−，设四面体ABCD的棱长为a，所以，112212ACFAECCADABA−=+211142124ABAACABDACADAC=−+−222221111

cos6s0421cos60co60224aaaaa=−+−=，2221111122442AEABACABACABAC=+=++2221113cos604422aaaa=++=，2221124FCACADACADACAD=−=+−

22213cos6042aaaa=+−=，所以22cos,3123322AEAFEAaCFCEaCaF===故选：B8．在三棱锥ABCD−中，P为BCD△内一点，若1PBCS=，2=PCDS，3PBDS=，则AP=（）A．111

362ABACAD++B．111263ABACAD++C．111326ABACAD++D．111632ABACAD++【答案】C【分析】延长PB到1B，使得12PBPB=，延长PC到1C，使得13PCPC=，连接1DB，1BC，1CD，根据1PBCS=，2=PCDS，3PBDS=，得到P是11B

CD的重心求解.【解析】延长PB到1B，使得12PBPB=，延长PC到1C，使得13PCPC=，连接1DB，1BC，1CD，如图所示：因为1PBCS=，2=PCDS，3PBDS=，所以1111PBCPCDPBDSSS=

=△△△，所以P是11BCD的重心，所以110++=PDPBPC，即230++=PDPBPC，所以2()3()0−+−+−=ADAPABAPACAP，整理得111326APABACAD=++．故选：C9．在棱长为1的正四面体ABC

D中，点M满足()1AMxAByACxyAD=++−−(,R)xy，点N满足(1)()DNDADRC=+−，当AM和DN的长度都为最短时，AMAN的值是（）A．13B．13−C．23D．23−【答案】A【分析】根据给定条件确定点M，N的位置，再借助空间向量数量积

计算作答.【解析】因()1AMxAByACxyAD=++−−，则)()(AMADxABADyACAD−=+−−，即DMxDByDC=+，而,Rxy，则,,DMDBDC共面，点M在平面BCD内，又(1)()DN

DADRC=+−，即CNCA=，于是得点N在直线AC上，棱长为1的正四面体ABCD中，当AM长最短时，点M是点A在平面BCD上的射影，即正BCD△的中心，因此，111333AMABACAD=++，当DN长最短时，点N是点D在直线AC上的射影，

即正ACD边AC的中点，12ANAC=，而60BACDAC==，111cos602ABAAACDC===，所以2111()()21336ABACADAMANAABACDCACAAC==+=+++.故选：A10．有以下命题：①若px

ayb=+，则p与a､b共面；②若p与a､b共面，则pxayb=+；③若MPxMAyMB=+，则P､M､A､B四点共面；④若P､M､A､B四点共面，则MPxMAyMB=+；⑤若存在R、，使0ab+=，则0==；⑥若a､b不共线，则空间任一向量pab

=+(R、).其中真命题是（）A．①②B．①③C．②③④D．③④⑥【答案】B【分析】根据空间向量基本定理一一判断即可；【解析】解：①正确，由平面向量基本定理可得，若pxayb=+，则p与a､b共面；②不正确，若a､b均为零向量，p为非零向量，

则后式不成立，③正确，由平面向量基本定理得，④不正确，若MA､MB均为零向量，MP为非零向量，则后式不成立，⑤不正确，若a､b为相反向量时，0ab+=，1==，⑥不正确，若a､b不共线，当p与a､b所在的平面垂直时，则后式不成立，故选：B.11．设OABC−是四面体，1G是ABC的重心，G

是1OG上的一点，且13OGGG=，若OGxOAyOBzOC=++，则xyz++等于（）A．1B．43C．34D．2【答案】C【分析】取BC的中点E，连接AE，然后利用三角形法则以及三角形重心的性质和中线的性质即可求解．【解析】如图所示，取BC的中点E，连接AE

，因为13OGGG=，所以1133()44OGOGOAAG==+3323144342OAAEOAAE=+=+311()422OAABAC=++31()44OAOBOAOCOA=+−+−1()4OAOBOC=++，所以13344xyz++==，故选：C．12．

如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为平行四边形，且6ABAP==，2AD=，60BADBAPDAP===，E，F分别为PB，PC上的点，且2PEEB=，PFFC=，EF=（）A．1B．2C．2D．6【答案】B【分析】根据给定条件选定基底向量,,ABADAP，并表示出

EF，再利用向量运算即可得解.【解析】在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为平行四边形，连接AC，如图，2PEEB=，PFFC=，则1111()3232EFEBBAAPPFPBABAPPCPBABAPACAP=+++=−++=−++−111111()()(3)326266ABA

PABAPABADAPABADAPABADAP=−−+++−=−++=−++，又6ABAP==，2AD=，60BADBAPDAP===，则62cos606ABADAPAD===，66cos6018ABAP==，因此，222211||(3)

966266EFABADAPABADAPABADADAPABAP=−++=++−+−1369436666621826=++−+−=.故选：B二、多选题13．,,abc是空间的一个基底，可以和ab+，ab−构成基底的另一

个向量可以是（）A．ac+B．ac−C．bc+D．bc−【答案】ABCD【分析】利用空间向量基本定理逐个分析判断即可.【解析】对于A，若ab+，ab−，ac+共面，则()()()()acababab+=++−=++−，因为,,abc是空间的一个基底

，所以上式不成立，所以ab+，ab−，ac+不共面，所以ab+，ab−，ac+可以作为基底，所以A正确，对于B，若ab+，ab−，ac−共面，则111111()()()()acababab−=++−=

++−，因为,,abc是空间的一个基底，所以上式不成立，所以ab+，ab−，ac−不共面，所以ab+，ab−，ac−可以作为基底，所以B正确，对于C，若ab+，ab−，bc+共面，则222222()()()()bcababab+=++−=++−，因为,,abc是空间的一个基底

，所以上式不成立，所以ab+，ab−，bc+不共面，所以ab+，ab−，bc+可以作为基底，所以C正确，对于D，若ab+，ab−，bc−共面，则333333()()()()bcababab−=++−=++−，因为,,abc是空间的一个基

底，所以上式不成立，所以ab+，ab−，bc−不共面，所以ab+，ab−，bc−可以作为基底，所以D正确，故选：ABCD14．给出下列命题，其中是真命题的是（）A．若{},,abc可以作为空间的一个基底，d与c共线，0d，则{,,}abd也可以作为空间的一个基底B．已知向量ab

∥，则,ab与任何向量都不能构成空间的一个基底C．己知A，B，M，N是空间中的四点，若,,BABMBN不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N四点共面D．己知{},,abc是空间的一个基底，若mac=+，则{,,}abm也是空

间的一个基底【答案】ABCD【分析】直接利用向量的基底的定义，向量的共线，共面向量的充要条件判定A、B、C、D的结果．【解析】对于选项A：{a，b，}c可以作为空间的一个基底，a，b，c不共面，d与c共线，0d，a，b，d不共面，故正确．对于选项B：向量//ab，a，b与任何向量都共面，

a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，故正确．对于选项C：BA，BM，BN不能构成空间的一个基底，BA，BM，BN共面，A，B，M，N共面，故正确．对于选项D：{a，b，}c是空间的一个基底，a，b，c不共面

，mac=+，a，b，m不共面，{a，b，}m也是空间的一个基底，故正确．故选：ABCD．15．已知在空间四面体O-ABC中，点M在线段OA上，且2OMMA=，点N为BC中点，设OAa=，OBb=

，OCc=，则（）A．112223ANabc=+−B．211322MNabc=−++C．23CMac=−D．221332BMabc=+−【答案】BC【分析】利用空间向量的基本定理求解判断.【解析】因为点N为BC中点，所以111()2

22ANACABcba=+=+−，MNONOM=−，12()23OBOCOA=+−，112223bca=+−；23CMCOOMca=+=−+；23BMBAAMab=+=−，故选：BC16．已知点P为三棱锥OABC−的底面ABC所在平面内的一点，且22(

0,0)OPmOAnOBOCmn=+−，则下列说法正确的是（）A．23mn+=B．2mn+=C．mn的最大值为1D．mn的最大值为98【答案】AD【分析】根据空间四点共面可得221mn+−=，即23mn+=，判断A,B;利用均值不等式可求得mn

的最大值，判断C,D.【解析】由题意知OPOAOAPyAxABAC=+=++()()OAOAxOBOAOCOAAPy=++=−+−(1),(,R)OAxOBxyyyOxC=−−++，即,,,ABCP共面，则,,OAOBOC为基底表示OP时，系数和为1，由22(0,0)OPmOAnO

BOCmn=+−，可知，221mn+−=，即23mn+=，A正确；由0,0mn，23mn+=，可知仅当1mn==时，有2mn+=，比如当12,2mn==时，2mn+=即不成立，故B错误；又由基本不等式可得2

292()24mnmn+=，98mn，当且仅当32m=，34n=时等号成立，故C错误，D正确．故选：AD．三、填空题17．如图，在四面体OABC−中，OAa=，OBb=，OCc=，D为BC的中点，E为AD的中点，若OExaybzc=++，其中x，y，zR，则x=_______

____，y=___________，z=___________．【答案】12##0.514##0.2514##0.25【分析】根据空间向量的线性运算可得()111222OEOAOBOC=++，从而可求解.【解析】因为D为BC的中点，E为AD的中点，所以()

()11112222OEOAODOAOBOC=+=++111111244244OAOBOCabc=++=++.因为OExaybzc=++，所以111,,244xyz===.故答案为:111,,244.18．已知三棱锥OABC−，M，N分别是对棱OA、BC的中点

，点G在线段MN上，且2MGGN=，设OAa=，OBb=，OCc=，则OG=__________．（用基底,,abc表示）【答案】111633abc++【分析】根据空间向量的线性运算的几何表示结合条件即得．【解析】∵2MGGN=

，∴23MGMN=，又M，N分别是对棱OA、BC的中点，OAa=，OBb=，OCc=，∴()2233MGMNOGOMOMOMONOM==+=++−()121213133223OMONOAOBOC=++=+111633

OAOBOC=++111633abc=++.故答案为：111633abc++.19．己知平行六面体1111ABCDABCD−中，3AB=，2AD=，11AA=，113BADBAADAA===，则1AC的长度为________．【答案】5【分析】根据空间向量的线性运算可得

1ACuuur1ABADAA=++，等式两边同时平方，利用空间向量数量积的定义计算即可.【解析】由题意知，设1,,ABaADbAAc===，则1AC=11ACCCABADAAabc=+=++=++，所以222221222ACabcabcabacbc=++=+++++，又1113,2,1,

3ABADAABADBAADAA======，所以22222225abcabacbc+++++=，即2125AC=，所以15AC=.故答案为：5.20．如图，在120°的二面角l−−中，,,,AlBlACBD且,ACABBDAB⊥⊥，垂足分别为A，B，已知6ACAB

BD===，则线段CD的长为__________．【答案】12【分析】利用CDCAABBD=++，两边平方计算，可得线段CD的长．【解析】因为,ACABBDAB⊥⊥，所以0,0CAABBDAB==．又因为二面角l−−的平面角为120°，所以,60CABD=．所以22||

()CDCAABBD=++222||||||222CAABBDCAABCABDABBD=+++++36363636144=+++=，所以12CD=．故答案为：12【点睛】本题考查空间距离的计算，考查向量知识的运用，属于

中档题．四、解答题21．如图所示，已知在三棱锥ABCD−中，向量ABa=，ACb=，ADc=uuurr，已知M为BC的中点，试用a、b、c表示向量DM．【答案】()122DMabc=+−【分析】利用空间向量的线性运算的几何表示运算即得.【解析】∵M为BC的中点，∴()12AMABA

C=+uuuruuuruuur，∴()()11222DMAMADABACADabc=−=+−=+−.22．如图，在平行六面体ABCDABCD−中，M是ABCD的对角线的交点，N是棱BC的中点．设ABa=，A

Db=，AAc=，若以a，b，c为一组基，求MN在这组基下的坐标．【答案】1,0,12−.【分析】根据向量的线性运算即可用a，b，c表示出MN.【解析】1122MNMCCCCNACAACB=++

=++()()1122ACcb=+−+−()1122abcb=+−−12ac=−，∴MN在以,,abc为基的坐标为1,0,12−.23．如图，三棱柱111ABCABC-中，M，N分别是111,

ABBC上的点，且1112,2BMAMCNBN==．设ABa=，ACb=，1AAc=．(1)试用a，b，c表示向量MN；(2)若11190,60,1BACBAACAAABACAA======，求MN的长

．【答案】(1)111333MNabc=++(2)53【分析】（1）利用空间向量的线性运算即可求解.（2）根据空间向量的数量积以及向量模的求法即可求解.【解析】（1）解：1111MNMAACCN=++11233BAACCB=++1112()333ABAAACABAC=−+++−1111

333ABAAAC=++，∴111333MNabc=++；（2）解：11,||||||1ABACAAabc======，1190,0,60BACabBAACAA====，12acbc==，()221||9MNabc=++

()2221522299abcabacbc=+++++=，5||3MN=，即MN的长为53.24．在三棱锥体PSEF−中，3,2FMMEMNNS==，点H为PF的中点，设,,SPiSEjSFk===.(1)记aPNSH=+，试用向量,,ijk表示向量a；(2)若ππ,,4,623ES

FESPPSFSESFSP======，求PNSH的值.【答案】(1)1172412ijk−++；(2)643−.【分析】（1）根据空间向量的运算的几何表示结合条件即得；（2）根据空间向量的数量积的定义及运算律即得.

【解析】（1）由题可知3FMME=，,,SPiSEjSFk===，所以()3SMSFSESM−=−，即31314444SMSESFjk=+=+，又2MNNS=，所以1113412SNSMjk==+，所以11412PNSNSPjki−=+=−，又点H为PF的中点，所以11112

222SSPSFikH=+=+，所以114122112iaPNHikSjk=+++=−=+1172412ijk−++；（2）因为ππ,,4,623ESFESPPSFSESFSP======，所以16412,02ijikjk====，所以112211412PNS

Hjkiik+−=+221111412411111112222222iiikkkjikj+−+=+−1111111121236161241212212222+−+−=643=−.25．如图，在

空间四边形OABC中，已知E是线段BC的中点，G在AE上，且2AGGE=．(1)试用OA，OB，OC表示向量OG；(2)若2OA=，3OB=，4OC=，60AOCBOC==，90AOB=，求OGABuuuruuur的值．【答案】(1)111333O

GOAOBOC=++(2)73【分析】（1）根据空间向量线性运算法则计算可得；（2）由（1）可得111()()333OGABOAOBOCOBOA=++−，根据空间向量数量积的运算律及定义计算可得；【解析】（1）解：2AGGE=uuuruuur，2()OGOAOEO

G−=−，32OGOEOA=+又2OEOBOC=+111333OGOAOBOC=++（2）解：由（1）可得知111()()333OGABOAOBOCOBOA=++−22111111333333OAOBOAOBOBOAO

COBOCOA=−+−+−2211113333OAOBOCOBOCOA=−++−22111111233442333232=−++−44732333=−++−=26．如图，已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，

P，Q，R分别在AB，1CC，11DA上，并满足()111011DRAPCQaaPBQCRAa===−．设ABi=，ADj=，1AAk=．(1)用i，j，k表示PQ，PR；(2)设PQR的重心为G，用i，j，k表示D

G；(3)当RGDG⊥时，求a的取值范围．【答案】(1)()1PQaijak=−++，()1PRaikaj=−++−(2)()()()111111333aiakaj+++−+(3)01a【分析】（1）利用向量的加法运算，以及数乘运算即可表示；（2）

利用向量的加法运算，以及数乘运算即可表示；（3）先用i，j，k表示RG，再计算RGDG，发现其恒为零，进而可得a的取值范围．(1)()()111PQPBBCCQaABADaCCaijak=++=−++=−++()()1111111PRPAAAARaABAAaADaikaj

=++=−++−=−++−(2)12132DGDCCQQGABaCCQPPR=++=+++()()()211132iakaijakaikaj=++−−−+−++−()()()111111333aiakaj=+++−+(3)RGDG⊥0RGD

G=又11111RGRDDGRDDDDGaADDDDG=+=++=−+()()()()()()1111111111221333333ajkaiakajaiakaj=−++++−+=++−+−()()()()()()11111112211

11333333RGDGaiakajaiakaj=++−+−+++−+()()()()()2111121211999aaaaa=++−+−−+()2221212219aaaaaa=+++−−−−+0=即对任意01a

，都有RGDG⊥即a的取值范围为01a.