【文档说明】2023-2024学年高一数学人教A版2019必修第一册同步备课试题 2.2 基本不等式（6大题型） Word版含解析.docx，共(33)页，2.475 MB，由小赞的店铺上传

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第二章一元二次函数、方程和不等式2．2基本不等式（6大题型）分层作业题型目录考查题型一：对基本不等式的理解及简单应用考查题型二：利用基本不等式比较大小考查题型三：利用基本不等式证明不等式考查题型四：利用基本不等式求最值考查题型五：利用基本不等式求解恒成立问题考查题型六：基本

不等式在实际问题中的应用考查题型一：对基本不等式的理解及简单应用1．（2023·上海静安·高一校考期中）给出下列命题中，真命题的个数为（）①已知,Rab，则22babaabab+=成立；②已知xR且0x，则444||||||2||||4xxxxxx+=

+=成立；③已知xR，则22122xx+++的最小值为2；④已知,Rab，0ab，则()2()()2bababaababab−+=−−+−−−=−成立．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】当0ab时，①中的不等式是错误的，①错；因为x与4x同号，所以44

||||||xxxx+=+是正确的，且4||||xx=，即2x=时等号成立，所以②中的基本不等式计算是正确的，②对；221222xx+++（当22122xx+=+时，21x=−无解，等号不成立），故③错；因为0ab，所以0ab−且0ba−，且baab−−=，即ab=−

时等号成立，所以④中的基本不等式运算是正确的，④对．故选:B．2．（2023·河南郑州·高一郑州外国语学校校考期中）在古巴比伦时期的数学泥版上，有许多三角形和梯形的分割问题，涉及到不同的割线.如图，梯形ABCD中，//ABCD，且CD

a=，ABb=，EF和GH为平行于底的两条割线，其中EF为中位线，GH过对角线交点，则比较这两条割线可以直接证明的不等式为（）A．()0,02ababab+B．()20,0112ababab++C．()22

0,022ababab++D．()2220,0ababab+【答案】B【解析】设AC交BD于O点，如图所示：因为////ABGHCD，所以OGAOBOOHDCACBDDC===，即OGOH=.又因

为1OGOHOGOHAOOCDCABabACAC+=+=+=，即11221GHGHab+=，解得2211abGHabab==++.又因为2abEF+=，GHEF，所以2112abab++.故选：B3．（2023·江苏·高一专题练习）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代

数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OFAB⊥，设ACa=，BCb=，则该图形

可以完成的无字证明为（）A．(0,0)2ababab+B．222(0,0)ababab+C．2(0,0)abababab+D．22(0,0)22ababab++【答案】D【解析】设,ACaBCb

==，可得圆O的半径为122abrOFAB+===，又由22ababOCOBBCb+−=−=−=，在RtOCF中，可得2222222222abababFCOCOF−++=+=+=，因为FOFC，所以

2222abab++，当且仅当ab=时取等号．故选：D.4．（2023·全国·高一专题练习）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形ABC中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶

点的一个动点，设ADa=，BDb=，用该图形能证明的不等式为（）．A．()0,02ababab+B．()20,0abababab+C．()220,022ababab++D．()2220,0ababab+【答案】C

【解析】由图知：1,2222abababOCABODOBBDb++−===−=−=，在RtOCD△中，22222abCDOCOD+=+=，所以OCOD，即()220,022ababab++，故选：C5．（2

023·全国·高一专题练习）不等式2244aa+中，等号成立的条件是（）A．4a=B．2a=C．2a=−D．2a=【答案】D【解析】由基本不等式可知22224424aaaa+=，当且仅当224aa=，即2a=时等号成立，故选：D.6．（2023·高一课

时练习）现有以下结论：①函数1yxx=+的最小值是2；②若a、bR且0ab，则2baab+；③22133yxx=+++的最小值是2；④函数()4230yxxx=−−的最小值为243−.其中，正确的有（）个A．0B．1

C．2D．3【答案】B【解析】取0x，可判断①的正误；利用基本不等式可判断②③④的正误.对于①，当0x时，10yxx=+，①错误；对于②，若a，bR且0ab，说明0ba，0ab，则22babaabab+=，当且仅当22a

b=时取等号，显然成立，②正确；对于③，222211323233yxxxx=+++=++，当且仅22133xx+=+时取等号，即231x+=，显然这样的x不存在，所以结论不正确，③错误；对于④，因为0x，所以4343xx+，函数

()4230yxxx=−−的最大值为243−，所以结论不正确，④错误.故选：B.考查题型二：利用基本不等式比较大小7．（2023·全国·高一专题练习）如果0ab，那么下列不等式正确的是（）A．2ababab+B．2abaabb+

C．2ababab+D．2abaabb+【答案】B【解析】由已知0ab，利用基本不等式得出2abab+，因为0ab，则22aabb，2abb+，所以aabb，2abb+，∴2ab

aabb+.故选：B8．（多选题）（2023·全国·高一专题练习）若0a，0b，2ab+=，则下列不等式恒成立的是（）A．1abB．2ab+C．222ab+D．112ab+【答案】ABC【解析】因为0a，0

b，2ab+=，对于A，22abab=+，当且仅当1ab==时，等号成立，所以1ab，故A正确；对于B，2()2ababab+=++2()4ababab+++=+=，当且仅当1ab==时，等号成立，所以2ab+，故B正确；对于C，2222222222()422222ababababab

ab+++++++====，故C正确；对于D，取12a=，32b=，得112223ab+=+，故D错误.故选：ABC9．（多选题）（2023·高一单元测试）已知,Rab，且0ab，则下列四个不等式中，恒成立的为（）A．222abab+B．2

baab+C．2abab+2D．22222abab++【答案】ACD【解析】由,Rab，则222abab+，得222abab+，A正确；由,Rab，取1,2ab=−=，则1202baab+=−−，故B错误；由于,Rab，

则22()024ababab+−−=−，则2abab+，故C正确；由于2222()0224ababab++−−=−，故D正确，故选：ACD．10．（多选题）（2023·全国·高一专题练习）设a，b是正实数，则下列各式中成立的是（）A．2abab+B．

2baab+C．222+abababD．22abbaba++【答案】ABC【解析】对于A：0a，0b，由基本不等式得2abab+，当且仅当ab=时等号成立，故A成立；对于B：0a，0b，则2

2babaabab+=，当且仅当ab=时等号成立，故B成立；对于C：0a，0b，则2222ababababab+=，当且仅当ab=时等号成立，故C成立；对于D：0a，0b，因为22()022()ababababab+−−=++，所以22ababa

b++，故D错误，故选：ABC．11．（多选题）（2023·全国·高一专题练习）已知0ba，则下列不等式正确的是（）A．2babB．11abba++C．2baab+D．2211abab++【答案】ACD【解析】2()0babbba−=−，则2bab，A对；1

11()()()(1)0ababababbaabab−+−+=−+=−+，而10,10abab−+，所以11()0abba+−+，即11abba++，B错；22babaabab+=且,0baab，仅当ab=等号成立，而0ba，故2ba

ab+，C对；2222111()()()baababababababab−+−+=−+=−+−，而10,0ababab−+−，所以2211()0abab+−+，即2211abab++，D对.故选：ACD12．（多选题）（2023·全国·高一

专题练习）若0,0ab，且ab¹，则（）A．2222abab++B．2222abab++C．2abab+D．2abab+【答案】BD【解析】0,0ab，且ab¹，所以2222()()02

44ababab++−−=，即2222abab++，故A错误，B正确；所以2abab+，即2abab+，故C错误，D正确.故选：BD.13．（多选题）（2023·全国·高一专题练习）若0ab，则（）A

．11abB．2abbC．2abab+D．2baab+【答案】ABD【解析】对A、B：∵0ab，则0,0baab−，∴2110,()0bababbbaabab−−=−=−，即11ab，2abb，A、B正确；对C∵0ab，例如1ab==−，则2,22

abab+=−=，显然不满足2abab+，C错误；对D：∵0ab，则01,1baab，∴22babaabab+=，D正确.故选：ABD.考查题型三：利用基本不等式证明不等式14．（2023·全国·高一专题练习）已知0a，0b，0c，且1

abc++=．求证：11110abcabc+++++≥．【解析】因为a，b，c都为正实数，且1abc++=，所以111()()()abcabc+++++()()()abcabcabcabcabc++++++=+++++4()()()b

acacbabacbc=++++++4222422210bacacbabacbc+++=+++=，当且仅当13abc===时取等号，所以11110abcabc+++++≥．15．（2023·全国·高一专题练习）设a，

b，c均为正数，且1abc++=，证明：(1)22213abc++；(2)2221abcbca++.【解析】（1）由1abc++=，得()22222221abcabcabacbc++=+++++=，又由基

本不等式可知当a，b，c均为正数时，222abab+，222acac+，222bcbc+，当且仅当13abc===时，上述不等式等号均成立，所以222222332223abcabcabacbc+++++++，即()22231abc++，所以22

213abc++，当且仅当13abc===时等号成立；（2）因为a，b，c均为正数，则22abab+，22bccc+，22caca+，当且仅当13abc===时，不等式等号均成立，则222222abcbcaabcbca+++++++，即22

21abcabcbca++++=，当且仅当13abc===时等号成立.所以2221abcbca++.16．（2023·全国·高一专题练习）已知0a，0b，且1ab+=，求证：11119ab++.【解析】因为0a，0b，1

ab+=，所以1111(1)(1)(2)(2)ababbaababab++++=++=++225abba=++22529baab+=，当且仅当22baab=，即12ab==时等号成立.故

原题得证.17．（2023·全国·高一专题练习）已知0a，0b，且2ab+=．(1)求22ab+的最小值；(2)证明：1122ab+++．【解析】（1）（2）因为2ab+=，所以2224bbaa++=，所以2242a

bab+=−．因为0a，0b，所以212abab+=，当且仅当1ab==时，等号成立，则22422ab+−=，即22ab+的最小值是2．（2）证明：因为3212aa++，当且仅当1a=时，等号成立，3212bb++，当且仅当1b=时，等号成立，所以3321214

22abab++++++=．当且仅当1ab==时，等号成立则()2114ab+++，即1122ab+++，当且仅当1ab==时，等号成立．18．（2023·全国·高一专题练习）若正数a，b，c满足1abc++=.(1)求abbcca++的最大值；(2)求证：22212

abcbccaab+++++.【解析】（1）由22222221()2()(222)2()2abcabcabbccaabcabbcca++=+++++=+++++，所以2()abc++3()abbcca++，即13abbcca++，仅当13abc===时等号成立，综上，abbcca++的最大值

为13.（2）由22244abcabcabcbc+++=++，仅当24abcbc+=+，即223abc=+=时等号成立，由22244bcabcabcaca+++=++，仅当24bcaca+++，即223bca=+=时等号成立，由2224

4cabcabcabab+++=++，仅当24cabab+++，即223cab=+=时等号成立，综上，2221()44422abcbccaababcabcbccaab+++++++++−++==++

+，仅当13abc===时等号成立.19．（2023·全国·高一专题练习）设非负实数,,xyz满足2xyz++=，求证：2222221xyyzzxxyz+++【解析】因为()22222yyyxxx+，()22222zzzyyy+，()22222xxxzzz

+，2xyz++=，所以()()()22222222222222222xyyzzxxyzxyyzzxxyzxyyzzx+++++++++，()()()()222222xyyzyzzxyyzxzxxzxy++++++++()()22

2xyyzzxxyz=++++()()22212222xyyzzxxyz=++++()()22222222211()22222xyyzzxxyzxyz+++++++==.当且令当xyz==时，等号成立，所以22222222222xyyzzxxyz+++

，即2222221xyyzzxxyz+++.20．（2023·全国·高一专题练习）已知0a，0b，试比较+ab与abba+的大小；【解析】由题意()abaabbbaababab++=++，由立方和公式()()3322xyxyxxyy+=+−+，可得分子()()()()33

aabbababaabb+=+=+−+，将其代入原式得()()()()abababaabbababababababab++−++−==++，进一步对其分子利用基本不等式可得2ababababab+−−=，且等号成立当且仅当ab=，将其代入原式得1ababab+−，综上所述ababba+

+（当且仅当ab=时取等号）.考查题型四：利用基本不等式求最值21．（2023·全国·高一专题练习）函数()()5202yxxx=−的最大值是．【答案】258/3.125【解析】方法一：()()1522522yxxxx=−=

−，∵02x，∴024x，1525x−，∴()225211252522248xxy+−==，当且仅当252xx=−，即54x=时取等号．故当54x=时，max258y=．方法二：由02x知502x−，∴255

25222228xxyxx+−=−=，当且仅当52xx=−，即54x=时取等号．故当54x=时，max258y=．故答案为：25822．（2023·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）已知a、b大于0，3ab+=，则ab的最大值是．【答案】94【解析】因为

3ab+=，所以2924abab+=，当且仅当32ab==时取到最大值，故答案为：94.23．（2023·全国·高一专题练习）若0a，0b，412abab=++，则ab的取值范围是.【答案】)36,+【解析】因为0a，0b，由基本不等式可得4122412

412abababab=+++=+，即4120abab−−，解得6ab，即36ab，当且仅当436baab==时，即当312ab==时，等号成立，故ab的取值范围是)36,+.故答案为：)36,+.24．（2023·全国·高一专题练习）已知实数0x，0y

，则4xyxyx++的最小值是.【答案】3【解析】441xyyyxyxxx+=+++,令0ytx=,则()44441121?13111xytttxyxttt+=+=++−+−=++++,

当且仅当411tt+=+即1txy==，时等号成立.故4xyxyx++的最小值为3.故答案为：325．（2023·全国·高一专题练习）当2x时，42xx++的最小值为.【答案】3【解析】设2xt+=，则4422xtx

t+=+−+，又由2x得4t，而函数42ytt=+−在)4,+上是增函数，因此4t=时，y取得最小值44234+−=，故答案为：3.26．（2023·全国·高一课堂例题）函数f（x）＝2232xx++＋1的最小值为．【答案】322＋1【解析】f（x）

＝2232xx++＋1＝22212xx+++＋1＝22x+＋212x+＋1，令22tx=+，t∈[2，＋∞），则函数f（x）可转化为g（t）＝t＋1t＋1，t∈[2，＋∞）．令u（t）＝t＋1t（t≥2），则由u（t）在[2，＋∞）上单调递增可知，u（t）≥2＋12＝322，则g

（t）≥3212+，所以函数f（x）的最小值为3212+；故答案为：3212+.27．（2023·全国·高一专题练习）若正数,ab满足4ab=，则ab+的最小值是．【答案】4【解析】0a，0b，4ab=，24abab+=（当且仅当2ab==时取等号），ab+的最小值为4.故答案为：4.2

8．（2023·江苏淮安·高一统考期末）已知a，b为正实数，满足(3)(2)6abab++=，则89ab+的最小值为．【答案】12【解析】,ab为正实数，满足(3)(2)6abab++=，(26)(63)36abab++=，22(2663)(89)36(26)

(63)44ababababab++++=++=，则8912ab+，当且仅当2663(26)(63)36abababab+=+++=，即34,55ab==时，等号成立，故89ab+的最小值为12.故答案为：12.29．（2023·全国·高一专题练习）函数(

)2322xxyxx++=−的最小值为．【答案】11【解析】由2(2)5(2)992522xxyxxx−+−+==−++−−，又20x−，所以92(2)5112yxx−+=−，当且仅当922xx−=−，即5x=时等号成立，所以原函数的最小值为11.故答案为：113

0．（2023·全国·高一专题练习）已知正实数m，n满足184+=mn，则8+mn的最小值为.【答案】8【解析】因为184+=mn，则11814mn+=，所以()11816416488161628444nmnmmnmnmnmnmn+=++=+++=

，当且仅当18464mnnmmn+==，即124mn==时取等号，所以8+mn的最小值为8.故答案为：8.31．（2023·福建泉州·高一统考期中）已知两个正实数x，y满足1xy+=，则4yxxy+的最小值是．【答案】9【解析】因为正实数x，y满足1x

y+=，所以()44141445529yxyxyxxyxyxyxyxyxy+=+=++=+++=，当且仅当23x=，13y=时，等号成立．即4yxxy+的最小值是9.故答案为：9.32．（202

3·天津滨海新·高一校考期中）已知0,0xy，且212+=xy，则3xy+的最小值为．【答案】()15262+【解析】()1213=32xyxyxy+++()16161=552=52

6222xyxyyxyx++++，当且仅当66=,=6=12xyxyyx+时等号成立.故答案为：()15262+考查题型五：利用基本不等式求解恒成立问题33．（2023·高一课时练习）若不等式2

10xax−+对一切0x恒成立，则a的取值范围是．【答案】(,2]−【解析】因为不等式210xax−+对一切0x恒成立，所以1axx+对一切0x恒成立，因为0x，所以1122xxxx+=，当且仅当1xx

=，即1x=时取等号，所以2a，即a的取值范围是(,2]−，故答案为：(,2]−34．（2023·高一单元测试）已知对任意xa，不等式227xxa+−恒成立，则实数a的最小值为．【答案】32【解析

】因为xa，故0xa−，所以()22222xxaaxaxa+=−++−−()222224xaaaxa−+=+−，当且仅当()22xaxa−=−，即1xa=+时等号成立，即有247a+，所以32a，即a的最小值为32，故答案为：3235．（2023·全国·高

一专题练习）已知0x，0y且3xy+=，若1222axyyx+−−恒成立，则实数a的范围是．【答案】322,3+−【解析】因为0x，0y且3xy+=，若1222axyyx+−−恒成立，则min1222axyyx+−−，又()121122222

322xyyxxyyxxyyx+=+−+−−−−−122(2)122(2)3223323223223yxxyyxxyxyyxxyyx−−−−+=+++=−−−−，当且仅当

22(2)22yxxyxyyx−−=−−，即2x=，32y=−时，等号成立，3223a+，即实数a的取值范围是322,3+−．故答案为：322,3+−．36．（2023·全国·高一课堂例题）设0x，0y，不等式xyaxy++恒成立，则

a的最小值为．【答案】2/122【解析】显然0a，由题意知，不等式xyaxy++恒成立，则a必须大于或等于xyxy++的最大值，而22221122xyxyxyxyxyxyxyxyxy+++==++=+++，当且仅当xy=时，取等号，故xyxy++的最大值为2，故

2a，即a的最小值是2．故答案为：2.37．（2023·全国·高一专题练习）当1x时，不等式11xax+−恒成立，则a的取值范围是．【答案】(3),−【解析】由1x可得10x−，因为()111112113111xxxxxx+=

−++−+=−−−，当且仅当111xx−=−，即2x=时取等号，因为11xax+−恒成立，所以3a.故答案为：(3),−.38．（2023·全国·高一专题练习）若关于x的不等式4142xax+−对任意2x恒成立，则正实数a的取值集合为．【答案】|04aa【解析】∵4142

xax+−，则()421842xaxa−+−−，原题意等价于()421842xaxa−+−−对任意2x恒成立，由0a，2x，则()4210,02xax−−，可得()()4242114222xxaxaxa−−+=−−，

当且仅当()4212xax−=−，即22ax=+时取得等号，∴8440aaa−，解得04a．故正实数a的取值集合为|04aa.故答案为：|04aa．考查题型六：基本不等式在实际问题中的应用39．（20

23·江苏扬州·高一校考阶段练习）已知a、b、c、d为正实数，利用平均不等式证明（1）（2）并指出等号成立条件，然后解（3）中的实际问题．(1)请根据基本不等式()2,ababab++R，证明：44abcdabcd+++；(2)请利用（1）的结论，证明：33abc

abc++；(3)如图，将边长为0.5米的正方形硬纸板，在它的四个角各减去一个小正方形后，折成一个无盖纸盒．如果要使制作的盒子容积最大，那么剪去的小正方形的边长应为多少米?【解析】（1）证明：因为2abab+，2cdcd+，当且仅当=ab，cd=时等号成立,所以2abcdabcd+

+++当且仅当=ab，cd=时等号成立.所以42abcdabcdabcd+=，当且仅当abcd=时等号成立，所以442abcdabcdabcd++++，当且仅当abcd===时等号成立.（2）由于442abcdabcdabcd++++，当且仅当abcd===时等号成

立，令3dabc=,得()()31114334334abcabcabcabcabcabcabc++++===，即334abcabcabc+++，故33abcabc++.所以33abcabc++，当且仅当abcd===时等号成立.（3）做成的长方体的底面是一个边

长为122x−的正方形，高为x.所以112222Vxxx=−−.由（2）中已证的不等式，可知311224112222422331xxxxxx−+−+−−=，当且仅当1242xx−=时等号成立，当且仅当112x=时等号成

立.所以3111224223xxx−−，因此111=2222108Vxxx−−，综上所述，当112x=米，长方体盒子的容积V取到最大值1108立方米.40．（2023·广东深圳·高一

校考阶段练习）为加强“疫情防控”，某校决定在学校门口借助一侧原有墙体，建造一间墙高为4米，底面积为32平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园应急室，由于此应急室后背靠墙，无需建造费用，某公司给出的报价为：应

急室正面和侧面报价均为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，设应急室的左右两侧的长度均为x米()16x，公司整体报价为y元.(1)试求y关于x的函数解析式；(2)公司应如何设计应急室正面和两侧

的长度，可以使学校的建造费用最低，并求出此最低费用.【解析】（1）因应急室的左右两侧的长度均为x米,则应急室正面的长度为32x米,于是得3216200422004720016007200(16)yxxxxx

=++=++剟（2）16161600720016002720020000yxxxx=+++=，当且仅当16xx=，即4x=时等号成立，此时在1,6内，323284x==，故正面长度为8米，两侧长度为4米，建造费用最低，

最低20000元.41．（2023·四川成都·高一中和中学校考开学考试）为了加强“平安校园”建设，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由于

此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元.设屋子的左右两面墙的长度均为x米(36)x.(1)当左右两面

墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价；(2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为1800(1)axx+元(0)a，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围.【解析】（1）设甲工程队的总造价为y元，则

24163(3002400)144001800()14400(36)yxxxxx=++=++16161800()14400180021440028800xxxx+++=.当且仅当16xx=，即4x=时等号成立.即当左右两侧墙的长度为

4米时，甲工程队的报价最低为28800元.（2）由题意可得，161800(1)1800()14400axxxx+++对任意的36x，恒成立.即2(4)(1)xaxxx++，从而2(4)1xax++恒成立，令1xt+=，22(4)(3)96,1xttxtt++==+++[4

,7]t又96ytt=++在[4,7]t为单调增函数，故min12.25y=.所以012.25a.42．（2023·高一课时练习）某农场有一废弃的羊圈，留有一面旧墙长12m，现准备在该地区重新建一个羊圈.平面图为矩形，面积为2112m，预计：修复1m旧墙的费用是

建造1m新墙费用的25%；拆去1m旧墙用以改造建成1m新墙的费用是建造1m新墙的50%；为安装圈门，要在围墙的适当处留出1m的空缺.试问：这里建造羊圈的围墙应怎样利用旧墙，才能使所需的总费用最少？【解析】根据题意，易知使旧

墙全部得到利用，并把圈门留在新墙处所需费用最少.设建造1m新墙需a元，建造围墙的总费用为y元，修复成新墙的旧墙为xm，则拆改成新墙的旧墙为()12mx−，①当0x=时，设矩形的一个边长为tm，且0t，则1121250%213yatat=++−

，因为112112287tttt+=，当且仅当112tt=，即47t=时，等号成立，所以()167735.3yaa−；②当012x时，还需建造新墙为()()()1122242112213mxxxxx+−−−=+−.则()224722425%1250%

21374xyxaxaxaaxx=+−++−=+−，因为120x，所以72247224228244xxxx+=，当且仅当72244xx=，即8211.3x=时，等号成立，故()2

82732.6yaa−；③当12x=时，设矩形的较短边长为tm，则11212t，即2803t，此时1121225%213yatat=++−，因为2803t，所以112643tt+，

因此10133.73yaa.综上所述，当修复的旧墙约为11.3m，拆除并改建成新墙的旧墙约为0.7m时，建造的总费用最少.43．（2023·北京通州·高一统考期中）从2008年开始的十年间，中国高速铁路迅猛发展，已经建成“四纵四横”网络，“八纵八横”格局正在构建.到2018年，

中国高速铁路新里程已超过两万五千千米，铸就了一张新的“国家名片”.京津城际高铁丛北京南站到天津站全长约为120千米.假设高铁每小时的运输成本（单位：万元）由可变部分和固定部分组成；可变部分与平均速度x（千米/时）（200300x）的平方成正比，比例系数

为0.0005；固定部分为a万元（0a）.设高速列车在该线路上单程运行一次的总费用为()fx.(1)把高速列车在该线路上单程运行一次的总费用()fx表示成速度x（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；(2)当

高速列车在该线路上运行的平均速度是多少时，单程运行一次总费用最小？【解析】(1)由题意可知()()21200.0005fxxax=+，定义域为200,300；(2)由（1）知()1200.0005afxxx=

+，令20000.00050.0005aayxxxx=+=+，（0x，0a），由对勾函数的性质可知，该函数在()0,205a上单调递减，在()205,a+上单调递增，①205200a，即020

a时，()fx在200,300上单调递增，故200km/hx=时，单程运行一次总费用最小；②200205300a，即2045a时，()fx在)200,205a上单调递减，在20,45a上单调递增，故205km/hx=时单程运行一次总费用最小；③205400a，即4

5x时，()fx在200,400单调递减，400km/hx=时单程运行一次总费用最小.综上可知，020a时，200km/hx=时，单程运行一次总费用最小；2045a时，205km/hx=时单程运行一次总费用最小；45a时，400km/hx=时单程运行一次总费用最小.44．

（2023·湖北武汉·高一校联考阶段练习）菏泽市某高中为了更好的开展高一社团活动，现要设计如图的一张矩形宣传海报，该海报含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为232000cm，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm.

(1)怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸（单位：cm），能使整个矩形海报面积最小，并求最小值；(2)如果要求矩形栏目的宽度不小于高度的1.6倍，那么怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸（单位：cm），能使整个矩形海报面积最小，并求最小值.【解析】（1）设矩形栏

目的高为acm，宽为bcm，则16000ab=，矩形海报的高为(20)acm+，宽为(225)bcm+（其中0a，0b），矩形海报的面积(20)(225)254032500Sabab=++=++210003250040

500ab+=，当且仅当2540ab=，即160a=，100b=时取等号，所以矩形栏目的高为160cm，宽为100cm时可使矩形海报的面积最小为240500cm.（2）由题意得，1.6ba，16000ba=，解得0100a，由（1）可

得6400002540325002532500Sabaa=++=++256002532500aa=++，令25600yaa=+，易知函数在(0,100]上单调递减，所以当100a=时，矩形海报的面积最小为241400cm.故当矩形栏目的高为100cm，宽

为160cm，可使矩形海报的面积最小为241400cm.45．（2023·福建福州·高一校考开学考试）用232m的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为2m，则车厢的最大容积是．【答案】316m【解析】设长方体长为

am，高为hm，则有()()222232ahah++=，即216ahah++=．∵222ahah+，当且仅当2ah=时，取等号∴1622ahah+，即()222160ahah+−，解得022ah∴08ah∴216Vah=，当且仅当24ah==时，等号成立∴车厢的最大容

积是316m故答案为：316m．1．（2023·全国·高一专题练习）若正数x，y满足35xyxy+=，则34xy+的最小值是（）A．2B．3C．4D．5【答案】D【解析】方法一由条件得53xyx=−，由0x，0y知35x，从而31244312553433333535525

55xxxyxxxxxx−++=+=+=−++−−−133613255255+=，当且仅当312335255xx−=−，即1x=，12y=时取等号．故34xy+的最小值为5．方法二对原条件式转化得315

xy+=，则()131112334349455yxxyxyxyxy+=++=+++112313255yxxy+=，当且仅当123yxxy=，35xyxy+=，即1x=，12y=时取等号．故

34xy+的最小值为5．故选：D2．（2023·全国·高一专题练习）设,mn为正数，且2mn+=，则11mn+的最小值为（）A．2B．12C．4D．32【答案】A【解析】由题意,mn为正数，且2mn+=，则111111()()(2)22mnmnmmnmnn+=++=+

+1(22)22nmnm+=，当且仅当nmmn=，结合2mn+=，即1mn==时等号成立，即11mn+的最小值为2，故选：A3．（2023·全国·高一专题练习）已知1,0,0xyyx+=，则121xxy++的最小值为（）A．5

4B．0C．1D．22【答案】A【解析】1xy+=，12xy++=，1(1)11221441xyxyxxyxy++++=++++，0,0yx，10,041yxxy++，11111522144

14414xyxyxxyxyxy+++=+++=+++，当且仅当141yxxy+=+，即23x=，13y=时等号成立，故选：A4．（2023·辽宁葫芦岛·高一校考期末）设00ab，，且22a

b+=，则11ab+（）A．有最小值为2B．有最小值为223+C．有最小值为322+D．无最小值【答案】C【解析】由()()1111112132332222222ababababba+=++=+++=+

，当且仅当2abba=，即22a=−，222b=−时等号成立，故当22a=−，222b=−时，11ab+取得最小值为322+．故选：C．5．（2023·新疆·高一校联考期末）设0,4xxyy+=，则32zxy=++的最小值为（）A．431−B．432+C．421+D．6【答

案】A【解析】由题意0,4xxyy+=，所以401yx=+，所以()4432313211zxxxx=++=+−++++()()44311231143111xxxx=++−+−=−++，当且仅当()

4311xx+=+，即23103x=−时等号成立．故选：A6．（2023·浙江宁波·高一校联考期中）若正实数,ab满足22ab+=，则下列说法错误的是（）A．ab的最大值为12B．22ab+的最小值为45C．+ab的最大值为2D．11

ab+的最小值为322+【答案】C【解析】对于A，正实数,ab满足22ab+=，所以2222abab+=，可得102ab，当且仅当2ab=即112ab==，等号成立，所以ab的最大值为12，故A正确；对于B，因为220=−ba，所

以01a，()222225544225++−−==+abaaa，所以当45a=时，22ab+有最小值，为45，故B正确；对于C，当1342，==ab时，162++=ab，且()22162612024+−−=，即1622+

，故C错误；对于D，因为正实数,ab满足22ab+=，所以()11111123222+=++=++babaababab21332222+=+bbaa，当且仅当2baab=即22a=−，222b=−等号成立，所以1

1ab+的最小值为322+，故D正确.故选：C.7．（2023·全国·高一课堂例题）当01x时，141xx+−的最小值为（）A．8B．9C．10D．12【答案】B【解析】由01x，得10x−，所以()1414141551

11xxxxxxxxxx−+=++−=+++−−−14291xxxx−=−，当且仅当141xxxx−=−，即13x=时等号成立，所以141xx+−的最小值为9．故选：B8．（2023·江苏盐城·高一统考期中）

已知正实数a、b满足4111abb+=++，则21ab++的最小值为（）A．6B．8C．10D．9【答案】D【解析】因为正实数a、b满足4111abb+=++，则()()()4141211511babababbabbbab

++++=++++=++++++()415291babbab+++=++，当且仅当()41141110,0babbababbab++=+++=++时，即当42

ab==时，等号成立，故21ab++的最小值为9.故选：D.9．（多选题）（2023·全国·高一专题练习）下列四个命题中，是真命题的是（）A．xR，且0x，12xx+B．0xR，使得20012xx+C．若0x

，0y，2222xyxyxy++D．当13x时，不等式240xmx−+恒成立，则实数m的取值范围是4m【答案】BCD【解析】对选项A，当0x时，10xx+，不满足12xx+，故A错误；对选项B，当01x=时，20012xx+成立，即0xR，使得20012xx+成

立，故B正确；对选项C，由0x，0y，2222xyxyxy++()()222228xyxyxy++.又2220xyxy+，且()22(2)40xyxyxy+=，两式相乘得()()222228xyxy

xy++，结论得证，故C正确；对选项D，分离参数转化为求函数最值求解即可.因为13x，由240xmx−+得4mxx+，设4()fxxx=+，(1,3)x则4()24fxxx=，当且仅当4xx=即2x=时，

等号成立.故()fx的最小值为4，则4m，故D正确.故选：BCD.10．（多选题）（2023·全国·高一专题练习）设正实数a，b满足1ab+=，则（）A．11ab+有最大值4B．ab有最大值12C．+ab有最大值2D．22ab+有最小值

12【答案】BCD【解析】对于A，正实数a，b满足1ab+=，即有2abab+，可得104ab，当且仅当12ab==时取等号，所以1114abababab++==，当且仅当12ab==时取等号，所以当12ab==

时，11ab+取得最小值4，无最大值，所以A错误，对于B，由选项A可知，104ab，当且仅当12ab==时取等号，所以102ab，当且仅当12ab==时取等号，所以可得ab有最大值12，所以B正确，对于

C，因为102ab，当且仅当12ab==时取等号，所以12121222abababab+=++=++=，当且仅当12ab==时取等号，所以当12ab==时，+ab取得最大值2，所以C正确，对于D

，由222abab+可得()()22221abab++=，当且仅当12ab==时取等号，则2212ab+，故当12ab==时，22ab+取得最小值12，所以D正确，故选：BCD11．（多选题）（2023

·吉林白城·高一校考期中）下列结论正确的是（）A．当0x时，1121xx+++B．当0x时，12xx+C．1xx+的最小值为2D．22122xx+++的最小值为2【答案】AB【解析】当0x时，()11121211xxxx+++=++，当且仅当111xx+=+

时，即0x=时，等号成立，故A正确；当0x时，()1122xxxx+=，当且仅当1xx=时，即1x=时，等号成立，故B正确；当0x时，显然12xx+不成立，故C错误；因为()222211222222xxxx+++=++，当且仅当22122xx+=+时，此时()

2221x+=无解，故取不到等号，故D错误；故选：AB12．（多选题）（2023·高一单元测试）设正实数a，b满足1ab+=，则（）A．11ab+的最小值为4B．ab的最大值为12C．+ab的最大值为2D．22ab+的最小值为12【答案】ABCD【解析】对于A，由于正实数a，b满足

1ab+=,故()11112224babaababababab+=++=+++=，当且仅当ab=，结合1ab+=，即12ab==时等号成立，故A正确；对于B，正实数a，b满足1ab+=，故122abab+=≤，当且仅当12ab==时等号成立，故B正确；

对于C，∵()222112ababababab+=++=+++=，∴2ab+，当且仅当12ab==时等号成立，故C正确；对于D，∵222abab+，∴()()22222221abababab+++=+=，∴2212ab+，当且仅当12ab==时等号成立，故D正确，故选：ABCD．13．（

2023·高一单元测试）已知正数x，y，z满足2221xyz++=，则12zsxyz+=的最小值为．【答案】4【解析】由条件得2221(1)(1)xyzzz+=−=−+，则2211xyzz++=−，于是2212122(1)2(1)(1)zxyxysxyzxyzz

xyzzzz++===−−−214,(1)2zz=+−当且仅当xy=，且1zz=−，即16,24zxy===时取等号．故答案为：4.14．（2023·全国·高一课堂例题）若正实数,xy满足()29xxy+=，则5xy的最大值为.【答案】54【解析】由题设知，()31

111922322222xxyxxxyxxxy=+=++，所以33113222xxxy，即532354xy=，当且仅当122xy=，即6x=，64y=时等号成立.所以5xy的最大值为54.故答案为：5415．（2023·云南保山·高一校联考阶段练习

）已知0a，0b，21ab+=，则212baab++的最小值为.【答案】103+/310+【解析】22122112222122222bababbbababbababababaabaaba++++++==+

+=++=++++5532310322babaabab=+++=+（当且仅当52baab=，即21053a−=，4103b−=时取等号），212baab++的最小值为103+.故答案为：103+.16．（2023·天津北辰·高一校考阶段练习）已知0,0ab，则()2aabab++

的最大值为【答案】12/0.5【解析】22221()24444baabaabaabaabbbbaa+++==+++++，令bta=，则上式()()()221111441211121tttttttt++===++++++++++，因为0bta=，所以

11t+，所以()()()1111211222111tttt=+++++++，即()122aabab++，当且仅当111tt+=+，即0=t时，等号成立，所以()2aabab++的最大值为12.故答案为：1217．（2023·全国·高一专

题练习）（1）当3x时，求函数83yxx=+−的最小值；（2）当32x时，求函数823yxx=+−的最大值；（3）当1x−时，求函数2231xxyx++=+的最小值；（4）当1x−时，求函数22231xxyx++=+的最大值；（5）设1x

−，求函数()()521xxyx++=+的值域．（6）①当32x时，求函数2244341xyx−=+的最大值；②求函数22134xyx+=+的最大值；【解析】（1）因为3x，所以30x−，()88833233423333yxxxxxx=+=−++−+=+−−−，当且仅当833xx−=−

，即322x=+时，等号成立，所以函数83yxx=+−的最小值为423+.（2）因为32x，所以230x−，()8183183(23)(23)2322322232yxxxxxx=+=−++=−−−++−−−−，因

为230x−，所以()230x−−，所以()()1818(23)2(23)4223223xxxx−−+−−=−−−−，当且仅当()18(23)223xx−−=−−，即12x=−时，等号成立，所以()

818318335(23)(23)4232232223222yxxxxxx=+=−++=−−−++−+=−−−−−，所以函数823yxx=+−的最大值为52−.（3）因为1x−，所以10x+，()()22122322121221111xxxyxxxxxx+++

+===+++=++++，当且仅当211xx+=+，即21x=−时，等号成立，所以函数2231xxyx++=+的最小值为22.（4）2222223122112111xxxxxyxxx++++++===++++，令10tx=+

，则1xt=−，所以22212212121121(1)1222xttyxttttt+=+=+=+=++−+−++−，因为10tx=+，所以22222tttt+=，当且仅当2tt=，即2t=，也即21x=−时，取得等号

，所以2212222222ytt=+=+−+−，所以函数22231xxyx++=+的最大值为22+.（5）()()2252710(1)5(1)44151111xxxxxxyxxxxx++++++++====+++++++,因为1x−，所以10x+，所

以()44121411xxxx+++=++，当且仅当411xx+=+，即1x=时，取得等号，所以()()52415911xxyxxx++==+++++，所以函数()()521xxyx++=+的值域为)9,

+.（6）①令243mx=−，因为32x，所以0m，所以222443444414xmyxmmm−===+++，因为4424mmmm+=，当且仅当4mm=，即2m=，也即72x=时，取得等号，所以2244341441xyxmm−==++，所以函数2244341x

yx−=+的最大值为1.②令21nx=+，则1n，所以221xn=−，所以22211134313xnyxnnn+===+++，因为函数13yxx=+在3,3+单调递增，所以当1n=时，即0x=时，13nn+有最小值为4，所以2221111343143xnyxnnn+

===+++，所以函数22134xyx+=+的最大值为14.18．（2023·海南·高一校考期中）已知0x，0y，且211xy+=，若222xymm++恒成立，求实数m的取值范围.【解析】因为0x，0y，且211xy+=，所以，()214

4224428yxyxxyxyxyxyxy+=++=+++=，当且仅当42110,0yxxyxyxy=+=时，即当42xy==时，等号成立，因为222xymm+

+恒成立，则228mm+，即2280mm+−，解得42m−.因此，42m−.19．（2023·高一单元测试）某公司决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入

不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略调整，并提高定价到x元．公司拟投入21(600)6x−万元．作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入5x万元作为浮动宣

传费用．试问：当该商品改革后的销售量a至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价．【解析】（1）设每件定价为t元，依题意得2580.22581tt−−，整理得26510000tt−+，解得25

40t．所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．（2）依题意知当25x时，不等式21125850(600)65axxx++−+有解，等价于25x时，1501165axx++有解，由于1501150121066xxxx+=，当且仅当15016xx=

，即30x=时等号成立，所以10.2a，当该商品改革后销售量a至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．