【文档说明】2023-2024学年高一数学人教A版2019必修第一册同步备课试题 1.1 集合的概念（7大题型） Word版含解析.docx，共(27)页，1.999 MB，由小赞的店铺上传

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第一章集合与逻辑用语1.1集合的概念（7大题型）分层作业题型目录考查题型一：集合的含义考查题型二：元素与集合的关系考查题型三：集合中元素的特性及应用考查题型四：用列举法表示集合考查题型五：用描述法表示集合考查题型六：集合表示法的综合应用考查题型七：集合含义的拓展考查题型

一：集合的含义1．（2023·全国·高一假期作业）下列各选项中能构成集合的是（）A．学生中的跑步能手B．中国科技创新人才C．地球周围的行星D．唐宋散文八大家【答案】D【解析】对于A，学生中的跑步能手不具有确定性

，所以不能构成集合，所以A错误，对于B，中国科技创新人才不具有确定性，所以不能构成集合，所以B错误，对于C，地球周围的行星不具有确定性，所以不能构成集合，所以C错误，对于D，唐宋散文八大家分别为唐代柳宗元、韩愈和宋代欧阳修、苏洵、苏轼、苏辙、王安石、曾巩八位，研究的

对象是确定的，可能构成集合，所以D正确，故选：D2．（2023·全国·高一假期作业）①联合国安全理事会常任理事国；②充分接近2的所有实数；③方程2220xx++=的实数解；④中国著名的高等院校.以上对象能构成集合的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③④【答案】B【解析】对①，联合国安全理事会

常任理事国包括中国、法国、美国、俄罗斯、英国，能构成集合.对②，充分接近2的所有实数，不满足集合的确定性，不能构成集合，对③，方程2220xx++=，4420=−，方程无实根，集合为空集，对④，中国著名的高等院校，不满足集合的

确定性，不能构成集合，故选：B3．（2023·江苏·高一假期作业）下列说法正确的是（）A．某班中年龄较小的同学能够形成一个集合B．由1，2，3和9，1，4组成的集合不相等C．不超过20的非负数组成一个集合D．方程(x－1)(x＋1)2＝0的所有解构成的集合

中有3个元素【答案】C【解析】A项中元素不确定，故不能构成集合，故A错误；B项中两个集合元素相同，因集合中的元素具有无序性，所以两个集合相等，故B错误；D项中方程的解分别是x1＝1，x2＝x3＝－1.由互异性知，构成的集合含2个元素，故D错误.不超过20的非负数组成一个集合，故C正确.

故选：C.4．（2023·河南信阳·高一校考期中）考察下列每组对象，能构成集合的是（）①中国各地的美丽乡村；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于3的自然数；④截止到2022年1月1日，参与“一带一路”的国家．A．③

④B．②③④C．②③D．②④【答案】B【解析】对于①，“美丽”标准不明确，不符合集合中元素的确定性，①中对象不能构成集合；对于②③④，每组对象的标准明确，都符合集合中元素的确定性，②③④中对象可以构成集合.故选

：B.5．（2023·重庆万州·高一校考期中）下列各组对象不能构成集合的是（）A．参加运动会的学生B．小于2的正整数C．2022年高考数学试卷上的难题D．所有有理数【答案】C【解析】对于A选项，参加运动会的学生，是确定的，没有重复的，所以能构成集合；对于B选项，小于2的正整数，所研究的

正整数，是确定的，没有重复的，所以能构成集合；对于C选项，2022年高考数学试卷上的难题，多难的题才算是难题，有一定的不确定性，不符合集合中元素的确定性，故不能构成集合；对于D选项，所有有理数，所研究的有理数，是确定的，没有重复的，所以能构成集合；故选：C.6．（2023·

新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐市第四中学校考期中）下列各组对象不能组成集合的是（）A．大于6的所有整数B．高中数学的所有难题C．被3除余2的所有整数D．函数y＝x图象上所有的点【答案】B【解析】对于A，大于6的所有整数能构

成集合，故A能组成集合；对于B，高中数学的所有难题标准不确定，所以B不能构成集合对于C，被3除余2的所有整数能构成集合，故C能组成集合；对于D，所有函数y＝x图象上所有的点能构成集合，故D能组成集合．故选：B．考查题型二：元素与集合的关系1．

（2023·高一课时练习）已知①5R；②1Q3；③0={0}；④0N；⑤πQ；⑥3Z−，其中正确的个数为______.【答案】3【解析】5是无理数，属于实数，①正确；13是分数，属于有理数，②正确；0表示一个元素，

0表示一个集合，③错误；N表示从0开始的所有自然数集合，0N，④错误；π是无限不循环小数，属于无理数，⑤错误；Z表示所有整数的集合，-3是整数，3Z−，⑥正确；故答案为：3.2．（2023·上海浦东新·高一统考期末）π−___

_________R.（用符号“”或“”填空）【答案】【解析】π−R.故答案为：.3．（2023·上海青浦·高三上海市青浦高级中学校考期中）已知集合2=-(+1)-5>0Axaxax，若1A−，且2A，则实数a的取值范围为_____

______.【答案】7(2,]2【解析】因为1A−，2A，则有+(+1)5>042(+1)50aaaa−−−，解得722a，故答案为：7(2,]24．（2023·福建三明·高一三明一中校考阶段练习）设集合2,,Axxab

ab==+Q，则322+_______A.（填“”或“”）【答案】【解析】因为2,,QAxxabab==+，当32ab==时322x=+，所以322A+；故答案为：5．（2023·高一单元测试）用符号“”或“”填空：（1）设集合B是小

于11的所有实数的集合，则23______B，12+______B；（2）设集合D是由满足方程2yx=的有序实数对(),xy组成的集合，则－1______D，()1,1−______D．【答案】【解析】（1）∵231211=，∴23B．∵12

311+，∴12B+．（2）∵集合D中的元素是有序实数对(),xy，而－1不是有序实数对，∴1D−．∵()211−=，∴()1,1−是满足方程2yx=的有序实数对，∴()1,1D−．故答案为：，，，.6．（2023·江苏·

高一假期作业）已知集合A含有两个元素a和a2，若2∈A，则实数a的值为________．【答案】2或2【解析】因为2∈A，所以=2a或22a=，即=2a或2a=.故答案为：2或27．（2023·高一课时练习）已知集合A的所有元素为

2，4，6，若aA，且有6aA−，则a的值是______.【答案】2或4【解析】若2a=，则64aA−=，符合题意；若4a=，则62aA−=，符合题意；若6a=，则60aA−=，不符合题意.故答案为:2或4.8．（2023·高一课时练习）若233,21,1aaa−−−−，则a的值

为______.【答案】1−【解析】因为233,21,1aaa−−−−，则当33a−=−，即0a=，此时22111aa−=−=−，矛盾，若213a−=−，解得1a=−，此时34a−=−，210a−=，符合题意，即1a=−，而211a−−，即213a−

−，所以a的值为1−.故答案为：1−考查题型三：集合中元素的特性及应用1．（2023·全国·高三专题练习）设集合222,3,3,7Aaaaa=−++，{|2|,3}Ba=−，已知4A且4B，则a

的取值集合为________.【答案】{4}【解析】因为4A，即2242,3,3,7aaaa−++，所以234aa−=或274aa++=，若234aa−=，则1a=−或4a=；若274aa++=，即2320aa++=，则1a=−或2a=−.由23aa

−与27aa++互异，得1a−，故2a=−或4a=，又4B，即4{|2|,3}a−，所以|2|4a−，解得2a−且6a，综上所述，a的取值集合为{4}.故答案为：{4}2．（2023·上海浦东新·高一上海市进才中学校考期末）若集合2{,}Axx=，则实数x可取的值

的全体所构成的集合为__．【答案】()()(),00,11,−+【解析】∵2xx，∴0x且1x；所以，实数x可取的值的全体所构成的集合为()()(),00,11,−+；故答案为：()()(),00,

11,−+3．（2023·广东惠州·高一统考期中）非空有限数集S满足：若a，bS，则必有2a，2b，abS．则满足条件且含有两个元素的数集S=______．（写出一个即可）【答案】0,1（或1,1−）【解析】不妨设,Sab=，根据题意有2a，ab，2bS所以2a，2b

，ab中必有两个是相等的．若22ab=，则ab=−，故2aba=−，又2aa=或2aba==−，所以0a=（舍去）或1a=或1a=−，此时1,1S=−．若2aab=，则0a=，此时2bb=，故1b=，此时0,1S=．若2bab=，则0b

=，此时2aa=，故1a=，此时0,1S=．综上，0,1S=或1,1S=−．故答案为：0,1（或1,1−）4．（2023·海南海口·高一校考阶段练习）含有三个实数的集合可表示为,,1baa，也可以示为

2,,0aab+，则20132014ab+的值为____.【答案】1−【解析】由题意，若2aa=，则0a=或1，检验可知不满足集合中元素的互异性，所以aab=+，则0b=，所以21a=，则1a=−，故201320141ab+=−.故答案为：1−.5．（2023·高一课时练

习）一个书架上有九个不同种类的书各5本，那么由这个书架上的书组成的集合中含有_____个元素.【答案】9【解析】若集合中的元素满足互异性，故九个不同种类的书，对应9个元素.故答案为：96．（2023·上海·高三统

考学业考试）“notebooks”中的字母构成一个集合，该集合中的元素个数是______________【答案】7【解析】根据集合中元素的互异性，“notebooks”中的不同字母为“n，o，t，e，b，k，s”，共7个，故该集合中的元素个数是7；故答案为：7.考查题型四：用列举法

表示集合1．（2023·高一课时练习）设a，b是非零实数，那么||||abab+可能取的所有值组成集合是______.【答案】{2,0,2}−【解析】a，b是非零实数，当0,0ab时，||||2abab+=，当0,0ab时，||||2abab+=−，当0ab

时，||||0abab+=，所以所求集合是{2,0,2}−.故答案为：{2,0,2}−2．（2023·全国·高三专题练习）用列举法写出集合2{|2,Z,||3}Ayyxxx==−＝__________.【答案】{2,1,2,7}−−【解析】由||3x且

Zx，得3x=−或2x=−或=1x−或0x=或1x=或2x=或3x=，当3x=−时，7y=；当2x=−时，2y=；当=1x−时，1y=−；当0x=时，=2y−；当1x=时，1y=−，当2x=时，2y=，当3x=时，7y=.故{2,1,2,7}A=−−.故

答案为：{2,1,2,7}−−3．（2023·高一课时练习）已知,,xyz为非零实数，代数式xyzxyzxyzxyz+++的值所组成的集合是M，则M=_____.【答案】4,0,4−【解析】当,,xyz都为正数时，可得4xyzxyzxyzx

yz+++=；当,,xyz都为负数时，可得4xyzxyzxyzxyz+++=−；当,,xyz两正一负时，可得0xyzxyzxyzxyz+++=；当,,xyz一正两负时，可得0xyzxyzxyzxyz+++=，所以集合4,0,4M=−.故答案为：4,0,4−.4．（202

3·上海浦东新·高一上海南汇中学校考期中）用列举法表示集合6|Z,2Mxxx==−N__．【答案】{4,1,0,1}−−【解析】由题意得21,2,3,6x−=，所以1,0,1,4x=−−，所以{4,1,0,1}M=−−.故答案为:{4,1,0,1}−−.5．

（2023·高一课时练习）用列举法表示下列集合(1)11以内非负偶数的集合；(2)方程()()2140xx+−=的所有实数根组成的集合；(3)一次函数2yx=与1yx=+的图象的交点组成的集合．【解析】（1）11以内的非负偶数有0,2,4,6,

8,10，所以构成的集合为0,2,4,6,8,10，（2）()()2140xx+−=的根为1231,2,2xxx=−==−，所以所有实数根组成的集合为2,1,2−−，（3）联立1yx=+和2yx=，解得12xy==，所以两个函数图象的交点为(1,

2)，构成的集合为()1,26．（2023·全国·高三专题练习）用列举法表示下列集合：(1){x|x是14的正约数}；(2){(x,y)|x∈{1,2},y∈{1,2}}；(3){(x,y)|x＋y＝2,x－2y＝4}

；(4){x|x＝(－1)n,n∈N}；(5){(x,y)|3x＋2y＝16,x∈N,y∈N}.【解析】根据集合的列举法的概念即得.（1）{x|x是14的正约数}={1,2,7,14}.（2）{(x,y)|x∈{1,2},y∈{1,2}}={

(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}.（3）{(x,y)|x＋y＝2,x－2y＝4}=82(,)33−.（4）{x|x＝(－1)n,n∈N}={－1,1}.（5）{(x,y)|3x＋2y＝16,x∈N,y∈N}={(0,8),(2,5),(4,2)

}.考查题型五：用描述法表示集合1．（2023·全国·高一假期作业）表示下列集合：(1)请用列举法表示方程21210xy−++=的解集；(2)请用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合；(3)请用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合；(4)请用描

述法表示二次函数2210yxx=+−的图象上所有点的纵坐标组成的集合．【解析】（1）方程21210xy−++=的解集为11,22−.（2）用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集

合为(),0xyxy.（3）用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合为{|53xxn+=+N，}nN.（4）用描述法表示二次函数2210yxx=+−的图象上所有点的纵坐标组成的集合为2{|210}y

yxx=+−．2．（2023·河南周口·高一周口恒大中学校考阶段练习）用描述法表示下列集合：(1)所有被3整除的整数组成的集合；(2)不等式235x−的解集；(3)方程210xx++=的所有实数解组成的集合；(4)抛物线236yxx=−+−上所有点组成的集合；(5

)集合1,3,5,7,9.【解析】（1）所有被3整除的整数组成的集合，用描述法可表示为：{|3,Z}xxkk=（2）不等式235x−的解集，用描述法可表示为：4,Rxxx.（3）方程210xx++=的所有实数解组成的集合，用描述法可表示为：2{|10,R

}xxxx++=.（4）抛物线236yxx=−+−上所有点组成的集合，用描述法可表示为：()2{,|36}xyyxx=−+−.（5）集合1,3,5,7,9，用描述法可表示为：{|21,15xxnn

=−且*N}n.3．（2023·高一课时练习）用描述法表示下列集合：(1)奇数组成的集合；(2)平面直角坐标系内第一象限的点组成的集合．【答案】(1)21,Zxxkk=−；(2)(),0,0xyxy

.【分析】利用集合的描述法即得.（1）奇数组成的集合为21,Zxxkk=−；（2）平面直角坐标系内第一象限的点组成的集合为(),0,0xyxy.4．（2023·高一课时练习）试用描述法表示下列集合：（1）比3的倍数多1的整数；（2）不等式100x−的解集；（3）一次函数21

yx=+图象上的所有的点．【解析】（1）比3的倍数多1的整数可表示为()31xkk=+Z,用描述法表示这样的整数构成的集合为|31xxkk=+Z，；（2）由100x−解得10x,不等式100x−的解集为|10xx

；设一次函数21yx=+图象上的点的坐标为(),xy,则一次函数21yx=+图象上的所有的点的集合为(),|21xyyx=+.5．（2023·江苏·高一假期作业）用描述法表示不等式325x+的解集为___

_____．【答案】|1xx【解析】由不等式325x+，解得1x，则用描述法表示不等式的解集为|1xx．故答案为：|1xx6．（2023·高一课时练习）集合{(,)0,0,R,R}Mxyxyxyxy=+∣表示的是_______

___.【答案】第三象限内点的集合【解析】由00xyxy+，解得00xy，则集合{(,)0,0,R,R}Mxyxyxy=∣表示的是第三象限内点的集合.故答案为：第三象限内点的集合考查题

型六：集合表示法的综合应用1．（2023·陕西渭南·高三校考阶段练习）已知集合NN,020mPxmx=，写出一个满足集合P至少有5个元素的m的值：______．【答案】12（答案不唯一）【解析】当12m=时，12NN,020NN1,2,3,4,6,1

2mPxmxxx===，此时满足题目要求，故答案为：12（答案不唯一）2．（2023·上海·高一专题练习）用()CA表示非空集合A中元素的个数：定义()(),()()*()(),()()CACBCACBABCBCACBCA−

=−，若{1,2}A=，22()(2)0,BxxaxxaxxR=+++=，且*1AB=，设实数a的所有可能取值构成集合S，S=__________；【答案】{0,22,22}−【解析】由已知()2CA=，而*1AB=，则()1CB=或3，显然22()(2)0x

axxax+++=的一个解是0x=，若()1CB=，则0a=，满足题意；若()3CB=，则0a，方程已有两个根0x=和xa=−，220xax++=有两个相等的实根且不为0和a−，280a=−=，22a=，22a=时，220xax++=的解为342xx==

−．22a=−时，220xax++=的解为342xx==．均满足题意．综上{0,22,22}S=−．故答案为：{0,22,22}−．3．（2023·北京·高一清华附中校考期中）对于实数集合A、B，定义{,}ABxyxAyB+

=+∣，给出下列4个命题：①ABBA+=+；②()()ABCABC++=++；③若AABB+=+，则AB=；④若ACBC+=+，则AB=．其中，所有正确命题的序号是_____________．【答案】①②【解析】①{,}ABxyxAyB+=+∣，{,}BA

yxyBxA+=+∣，显然ABBA+=+，①正确②(),,ABCxyzxAyBzC++=++，(),,ABCxyzxAyBzC++==++，所以()()ABCABC++=++，②正确③当21,AxxnnZ=

=+，2,BxxnnZ==，由题意得：AABB+=+，但AB，③错误；④当21,AxxnnZ==+，2,BxxnnZ==，,CxxnnZ==，其中,ACxzxAzC+=+

，,BCyzyBzC+=+，所以ACBC+=+，但AB，④错误故答案为：①②4．（2023·江苏·高一假期作业）已知集合{}{}{}31Z32Z63ZA|xxnnBxxnnMx|n|xn挝?==+，，=

=+，，==+，．(1)若mM，则是否存在aAbB挝，，使mab=+成立？(2)对于任意aAbB挝，，是否一定存在mM，使abm+=，证明你的结论．【解析】（1）设633132Zmkkkk+?==+++（），令31Za

kk+?=（），32Zbkk=+?（），则mab=+.故若mM，则存在aAbB挝，，使mab=+成立．（2）不一定存在mM，使abm+=，证明如下：设=31=32Zakblkl++?，，，，则()=33ab

kl+++，Zkl.Î，当()=2ZklppÎ+时，=63abpMÎ++，此时存在mM，使abm+=；当()=21ZklppÎ++时，=66abpMÏ++，此时不存在mM，使abm+=成立．故对于任意aAb

B挝，，不一定存在mM，使abm+=.5．（2023·全国·高三专题练习）已知集合A的元素全为实数，且满足：若aA，则11aAa+−．(1)若3a=−，求出A中其它所有元素；(2)0是不是集合A中的元素？请你设计一个实数aA，再求出A中的所有

元素？(3)根据（1）（2），你能得出什么结论．【解析】（1）由题意，可知3A−，则()()131132A+−=−−−，11121312A+−=−−，1132113A+=−，12312A+=−

−，所以A中其他所有元素为12−，13，2．（2）假设0A，则10110A+=−，而当1A时，11aa+−不存在，假设不成立，所以0不是A中的元素．取3a=，则13213A+=−−，()()121123A+−=−−−，11131213A+−=−−，112

3112A+=−，所以当3A时，A中的元素是3，2−，13−，12．（3）猜想：A中没有元素1−，0，1；A中有4个元素，其中2个元素互为负倒数，另外2个元素也互为负倒数．由（2）知0，1A，若1A−，则()()11011A+−=−−，

与0A矛盾，则有1A−，即1−，0，1都不在集合A中．若实数1aA，则12111aaAa+=−，12131211111111111aaaaAaaaa+++−===−+−−−，13143121111111111aaaaAaaaa

+−+−====−−+−−，1415114111111111aaaaaAaaa−+++===−−−+．结合集合中元素的互异性知，A中最多只有4个元素1a，2a，3a，4a且131aa=−，241aa=−．显然12aa，否则1

1111aaa+=−，即211a=−，无实数解．同理，14aa，即A中有4个元素．所以A中没有元素1−，0，1；A中有4个元素，其中2个元素互为负倒数，另外2个元素也互为负倒数．6．（2023·上海长宁·高一上海市延安中

学校考阶段练习）设集合22|,,ZMxxabab==−；(1)判断元素7是否属于M，并说明理由；(2)已知实数()042Zxkk=−，证明：0xM；(3)对任意12,xxM，判断12xx是否是集合M中的元素？

并证明你的结论；【解析】（1）若7M，则()()7abab+−=，又,abZ，所以+=7=1abab−或+=1=7abab−或+=7=1abab−−−或+=1=7abab−−−，解得=4=3ab或=4=3ab−或=4=3ab−−或

=4=3ab−，显然满足要求，所以7M.（2）若0xM，则()()()422(21)Zkabkbka=−=−−+，而2(21)k−可分解为一个奇数与偶数的乘积形式，不妨令+=2=21ababk−−或+=21=2abkab−−或+=

2=12ababk−−−或+=12=2abkab−−−，解得2+1=232=2kakb−或2+1=223=2kakb−或2+1=223=2kakb−−或2+1=232=2kakb−−，Zk

，显然不符合,abZ，所以0xM.（3）12xxM，证明如下：由12,xxM，即221222==mnxcdx−−，且,,,Zmncd，所以22222222222122()()()()m

ncdmcndmdxcxn−−=+−+=22()()mcndmdnc=+−+，显然mcnd+、Zmdnc+，故12xxM.考查题型七：集合含义的拓展1．（2023·全国·高三专题练习）进才中学1996年建校至今，有一同学选取其中8个年份组成集合1996,1997,2000,20

02,2008,2010,2011,2014A=，设ijxxA、，ij，若方程ijxxk−=至少有六组不同的解，则实数k的所有可能取值是_________.【答案】3,6,14【解析】集合A中，从小到大8个数中，设两数的差为正：则相邻两数的差：1，3，2，6，

2，1，3；间隔一个数的两数差：4，5，8，8，3，4；间隔二个数的两数差：6，11，10，9，6；间隔三个数的两数差：12，13，11，12；间隔四个数的两数差：14，14，14；间隔五个数的两数差：15，17；间隔六个数的两数差：18；这28个差数中，3出现3次，

6出现3次，14出现3次，其余都不超过2次，故k取值为：3，6，14时，方程ijxxk−=至少有六组不同的解，所以k的可能取值为：3,6,14，故答案为：3,6,142．（2023·上海·高一专题练习）设集合1,2,,nIn=，nN，集合,nn

nmPmIkIk=，则7P中元素的个数为___________.【答案】46【解析】由题意，集合7777,,1,2,3,4,5,6,7mPmIkIIk==当1k=时，1,2,3,4,5,

6,7m=，故7P对应1,2,3,4,5,6,7，有7个数；当2k=时，1,2,3,4,5,6,7m=，故7P对应1234567,,,,,,2222222，有7个数；当3k=时，1,2,3,4,5,6,7m=，故7P对应123456

7,,,,,,3333333，有7个数；当4k=时，1,2,3,4,5,6,7m=，7P对应1234567,,,,,,4444444，其中有3个数1，2，3与1k=时重复；当5k=时，1,2,3,4,5,6,7m=，故7P对应1234567,,,,,,5555555，有7个数；当6k=时，1

,2,3,4,5,6,7m=，故7P对应1234567,,,,,,6666666，有7个数；当7k=时，1,2,3,4,5,6,7m=，故7P对应1234567,,,,,,7777777，有7个数；故7P中元素的个数为77346−=故答案为：463．（2023·

福建龙岩·高一校联考期中）定义集合A､B的一种运算：1212,,ABxxxxxAxB==+其中，若3{}12A=，，，}2{1B=，，则AB=___________.【答案】25}3{4，，，【解析】∵121

2,,ABxxxxxAxB==+其中，3{}12A=，，，}2{1B=，，∴AB=25}3{4，，，故答案为：{2，3，4，5}4．（2023·江西吉安·高一江西省遂川中学校考阶段练习）设1234,,,aaaa是4个有理数，使得111418,3,1,,,

662ijaaij=−−−−，则1234aaaa=________.【答案】3【解析】依题意，集合111418,3,1,,,662ijaaij=−−−−，即12131423243411,,,,,18,3,1,,,662aaaaaaaaaaaa

=−−−−，则()()()()3121314232434123411183162762aaaaaaaaaaaaaaaa==−−−−=.所以12343aaaa=.故答案为：35．（2023·上海浦东新·高一华师大二附中校考阶段练习）已

知M是满足下列条件的集合：①0M，1M；②若x、yM，则xyM−；③若xM且0x，则1Mx.(1)判断12M是否正确，说明理由；(2)证明：“若xZ，则xM”是真命题；(3)证明：若x，yM，则xyM.【解析】（1）12M正确，理由如下：由①②可知，0

11M−=−，1(1)2M−−=，由③可知，12M.（2）由②可知，对于xM，0xxM−=−，故只需证明对于xN，xM，由(1)中知，1M−，由0M，1M，假设正整数kM，则(1)1kkM−−=+，故对于xN，xM都成立，从而“若xZ，则x

M”是真命题.（3）若xM，0x且1x，由①②知，1M，1xM−，由③知，1Mx，11Mx−，又由②③知，1111(1)Mxxxx−=−−，则(1)xxM−，又由②知，2(1)xxxxM−−=，因为211M=，200M=，故xM时，2x

M，因为x，yM，所以2xM，2yM，所以由(2)知xM−，yM−，则2xM−，2yM−，又由()xyxyM+=−−，则2()xyM+，又因为1Mx，所以1Mx−，从而112()Mxxx−−=，故2xM，从

而2222()xyxyxyM=+−−，22xyxyM=.6．（2023·河南南阳·高一校考阶段练习）已知集合2R310,RAxaxxa=−+=，求集合A满足下列条件时实数a的所有可能取值组成的集合(1)集合A中有且仅有一个

元素;(2)集合A中有两个元素；【答案】(1)90,4；(2)0aa或904a.【分析】将集合中元素的个数转化成方程2310,axxa−+=R解的个数，然后利用方程2310,axxa−

+=R解的情况求解即可.（1）集合A中有且仅有一个元素，即方程2310,axxa−+=R只有一个解，①当0a=时，方程为310x−+=，解得13x=，符合要求；②当0a时，方程为一元二次方程，940a=−=，解得94a=；所以a的所有可能取值构成的集合为90,4.（

2）集合中有两个元素，即方程2310,axxa−+=R为一元二次方程，0a，且方程有两个解，所以940a=−，解得94a，所以a的所有可能取值构成的集合为0aa或904a.7．（2023

·高一课时练习）（1）如果集合{|2}(,)AxxmnmnZ==+，12,xxA，证明：12xxA．（2）如果集合2Bxxmn==+，整数,mn互素，那么是否存在x，使得x和1x都属于B？若存在，请写出一个；若不

存在，请说明理由．【解析】解:（1）证明：因为12,xxA，所以可设1112xab=+，2222xab=+，其中1a，2a，1b，2bZ，则()()()()121122121212212222xxababaabb

abab=++=+++．由1a，2a，1b，2bZ，可知12122aabb+Z，1221abab+Z，因此12xxA．（2）设xB，则2xmn=+（整数m，n互素），所以2222112222mnxmnmnmn−==+−−

+．若1xB，则222mmn−与222nmn−−是互素的整数．又m与n互素，所以2221mn−=，所以当m，n互素，且2221mn−=时，xB且1xB．如取3m=，2n=，得322x=+，1322x=−．综上，存在x，使得x与1x都属于集合B，如322x=+．（注：x的取值不唯一．）

8．（2023·北京·高一北京市第十三中学校考期中）设A是实数集的非空子集，称集合,,BuvuvAuv=+且为集合A的生成集．(1)当2,3,5A=时，写出集合A的生成集B；(2)若A是由5个正实数构成的集合，求其生成集B中

元素个数的最小值．【解析】（1）根据题意，2,3,5A=，235,257,358+=+=+=，5,7,8B=（2）设12345,,,,Aaaaaa=，不妨设123450aaaaa，12131415253545aaaaaaaaaaaaaa+++++

++所以B中元素个数大于等于7个，所以生成集合B中元素个数最小值为7.1．（2023·广西河池·高一校联考阶段练习）已知集合3,2,0,1,2,3,7A=−−，,BxxAxA=−，则B=（）A．0,1,7B．1,

7C．2,0,7−D．2,1,7−【答案】B【解析】由集合3,2,0,1,2,3,7A=−−，因为,BxxAxA=−，所以1,7B=．故选：B．2．（2023·高一课时练习）下面有四个结论:①集合N中最小数为1；②若

Na−，则Na；③若Na，Nb，则ab+的最小值为2；④所有的正数组成一个集合.其中正确结论的个数为（）A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】①集合N中最小数为0，故①错误；②取1.5N−

，则1.5N，故②错误；③若Na，Nb，则ab+的最小值为2，错误，当0ab==时，0ab+=，故③错误；④所有的正数组成一个集合，故④正确；故选：B.3．（2023·高一课时练习）若{1,3}A=−，则可用列举法将集合{(,)

|,}xyxAyA表示为（）A．{1,3}−B．{(1,3)}−C．{(1,3),(3,1)}−−D．{(1,3),(3,3),(1,1),(3,1)}−−−−【答案】D【解析】因为集合{(,)|,}xyxAyA是点集或数对构成的集合，其中,xy均属于集

合A，所以用列举法可表示为{(1,3),(3,3),(1,1),(3,1)}−−−−．故选：D.4．（2023·高一单元测试）已知集合20,1,Aa=，0,1,23Ba=+，若AB=，则a等于（）A．－1或3B．0或1C．3D．－1【答案】C【

解析】由AB=有223aa=+，解得1a=−，3a=.当1a=−时，0,1,1A=与集合元素的互异性矛盾，舍去.当3a=时，0,1,9AB==，满足题意.故选：C.5．（2023·全国·高一专题练习）集

合,,Aabc=中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是（）A．等腰三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形【答案】A【解析】根据集合中元素的互异性得,,abbcac，故三角形一定不是等腰三角形.故选：A.6．（2

023·广西钦州·高一统考期末）当一个非空数集G满足：如果a，bG，则ab+，ab−，abG，且0b时，aGb时，我们称G就是一个数域.以下关于数域的说法：0①是任何数域的元素；②若数域G有非零元

素，则2019G；③集合{|2}PxxkkZ==，是一个数域．④有理数集是一个数域.其中正确的选项是（）A．①②④B．②③④C．①④D．①②【答案】A【解析】对于①，当ab=且,abG时，ab−G所以0是任何数域的元素，①正确；对于②，当0ab=时，且,a

bG时，由数域定义知1aGb=，所以1+1=2G，1+2=3G,...1+2018=2019G，故选项②正确；对于③，当2,4ab==时，12ab=G,故选项③错误；对于④，如果a，bQÎ，则则ab+，ab−，abQ,且0b时，abQ,所以有理数集

是一个数域.故选：A7．（2023·高一课时练习）已知集合A的元素满足条件:若a∈A，则11aa+−∈A(a≠1)，当13∈A时，则集合A中元素的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】∵13∈A，∴113

113+−=2∈A.∵2∈A，∴12312+=−−∈A.∵3−∈A，∴131132−=−+∈A.∵12−∈A，∴11121312−=+∈A.∴集合A中有113,,,223−−四个元素.故选：D8．（2023·江苏·高一假期作业）对于a

、bN，规定,,ababababab+=与的奇偶性相同与的奇偶性不同，集合(),12,,Mababab==N，则M中元素的个数为（）A．6B．8C．15D．16【答案】C【解析】分a、b的奇偶性

相同和奇偶性不同两种情况讨论：①如果a、b的奇偶性相同，12ab=且a、bN，此时，(),ab可为：()1,11、()2,10、()3,9、()4,8、()5,7、()6,6、()75,、()8,4、()9,3、()10,2、()11,1，共11个；②如果a、b的奇偶性不同，12ab

=且a、bN，此时，(),ab可为：()1,12、()3,4、()4,3、()12,1，共4个.因此，集合M的元素个数为11415+=个.故选：C.9．（多选题）（2023·陕西咸阳·高一校考阶段练习）整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即5|Zknk

n=+，其中0,1,2,3,4k．以下判断正确的是（）A．20211B．22−C．Z01234=D．若0ab−，则整数a，b属同一类【答案】ACD【解

析】对A，202140451=+，即余数为1，正确；对B，2153−=−+，即余数为3，错误；对C，易知，全体整数被5除的余数只能是0,1,2,3,4，正确；对D，由题意ab−能被5整除，则,ab分别被5整除的余数相同，正确.故选：ACD.10．（多选题）（2023·湖北武汉·高一期中）

用()CA表示非空集合A中元素的个数，定义()()*ABCACB=−，已知集合()()2222,,,2xyyxaAxyBxyxyyx+==+==+==∣∣，若*1AB=，则实数a的取值可能为（）A．14−B．21−C．1003D．2021【答案】CD【解析

】由()1,1A=，可得()1CA=，若*1AB=，有()0CB=（舍去）或()2CB=.当()2CB=时，方程组2,yxayx=+=中消去y有：20xxa−−=，则Δ140a=+，解得：14a−，可得若*1AB=，则实数a的取值范围为14aa

−∣，可知选项为:CD.故选：CD11．（多选题）（2023·高一课时练习）设集合22,,ZMaaxyxy==−，则下列是集合M中的元素的有（）A．4n，ZnB．41n+，ZnC．42n+，ZnD．43n+，Zn【答案】A

BD【解析】对于A：因为()()22411nnn=+−−，Zn，1Zn+，1Zn−，所以4nMÎ，故选项A正确；对于B：因为()()2241212nnn+=+−，Zn，21Zn+，2Zn，所以41nM+?，故选项B正

确；对于C：若()42ZnnM+，则存在x，Zy使得2242xyn-=+，则()()42nxyxy+=+−，易知xy+和xy−同奇或同偶，若xy+和xy−都是奇数，则()()xyxy+−为奇数，而42n+是偶数，矛盾；若xy+和xy−都是偶数，则()()xyxy+−

能被4整除，而42n+不能被4整除，矛盾，所以42nM+?，故选项C不正确；对于D：()()22432221nnn+=+−+，22Zn+，21Zn+，所以43nM+?，故选项D正确；故选：ABD.12．（多选题）（2023·江苏·高一专题练习）设非空集合Sxmxl=满足

：当xS时，有2xS.给出如下四个命题，其中正确命题的有（）A．若1m=，则1S=B．若12m=−，则114lC．若12l=，则202m−≤≤D．112m−≤≤【答案】ABC【解析】对于A选项，若1m=，则2211xlxl，

根据当xS时，有2xS，可得21lll，得101ll，可得1l=，故1S=，A对；对于B选项，若12m=−，则214m=，则214lll，解得114l≤≤，B对；对于C选项，若12l=，则12Sxmx=，即212022m

mm−，C对；对于D选项，若1m=−，1l=时，此时11Sxx=−符合题意，D错.故选：ABC．13．（2023·高一课时练习）已知集合2,3,4,5,6A=，(),,,BxyxAyAxyA=−

，则集合B中元素的个数为______.【答案】6【解析】因为xA，yAÎ，xyA−，所以4x=时，2y=；5x=时，2y=或3y=，6x=时，2y=或3或4.()()()()()()4,2,5,2,5,3,6,2,6,3,6,4

B=，所以集合B中元素的个数为6.故答案为：6.14．（2023·广东惠州·高一统考期中）非空有限数集S满足：若a，bS，则必有2a，2b，abS．则满足条件且含有两个元素的数集S=______．（写出一个即可）【答案】

0,1（或1,1−）【解析】不妨设,Sab=，根据题意有2a，ab，2bS所以2a，2b，ab中必有两个是相等的．若22ab=，则ab=−，故2aba=−，又2aa=或2aba==−，所以0a=（舍去）或1a=或1a=−，此时1,1S=−．若2aab=，则0a=，此时2bb=，

故1b=，此时0,1S=．若2bab=，则0b=，此时2aa=，故1a=，此时0,1S=．综上，0,1S=或1,1S=−．故答案为：0,1（或1,1−）15．（2023·高一课时练习）已知,xy均

为非零实数，则代数式xyxyxyxy++的值所组成的集合的元素个数是______．【答案】2【解析】根据题意分2种情况讨论：当,xy全部为负数时，xy为正数，则1111xyxyxyxy++=−−+=−；当,xy全部为正数时，xy为正数，则1113x

yxyxyxy++=++=；当,xy一正一负时，xy为负数，则1111xyxyxyxy++=−−=−；综上可知，xyxyxyxy++的值为1−或3，即代数式的值所组成的集合的元素个数是2故答案为：216．（2023·江西吉安·高一永新中学校考期中）若集合332aaxx

∣恰有8个整数元素，写出a的一个值：________．【答案】7（答案不唯一，实数a满足202233a即可）【解析】依题意可得37923aa−，解得5467a，则183812,93727aa．所以集合332a

axx∣的整数元素的最小值为3，从而最大值为10，所以310112a，解得202233a．故答案为：7（答案不唯一）.17．（2023·江苏·高一专题练习）已知集合2320,,AxaxxxRaR=−+=.(

1)若A是空集，求a的取值范围；(2)若A中只有一个元素，求a的值，并求集合A；【解析】（1）当0a=时，方程2320axx−+=化为320x−+=，有一个根23，不符合题意；当0a时，若方程2320axx−+=无根，则09420a

a−即98a综上，a的取值范围为98a（2）当0a=时，方程2320axx−+=化为320x−+=，有一个根23，23A=；当0a时，若方程2320axx−+=只有一个根，则09420aa−=即98a=此时方程2320ax

x−+=化为293208xx−+=，有二重根43，43A=18．（2023·辽宁·高一辽宁实验中学校考阶段练习）1.设数集A由实数构成，且满足：若x∈A（x≠1且x≠0），则11x−∈A．(1)集合A是否为双元素集，并说明理由

；(2)若3∈A，A中元素个数不超过10个，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A．【解析】(1)因为xA，所以11Ax−，则11111xAxx−=−−所以111xAxx=−−，循环往复，因为111,11xxxxx−−−，1xxx−

，故集合A中至少有3个元素，所以集合A不是双元素集合；(2)因为集合A中至少有3个元素，所有元素的积为1111−=−xxxx，当21x=时，解得：1x=，因为x≠1且x≠0，所以=1x−，故1111112A

x==−+，接下来12112A=−，1112A=−−，循环当2111x=−，解得：2x=或0x=，因为题干条件x≠1且x≠0，所以2x=，则1112A=−−，11112A=+，12112A=−，循环当21()1xx−=，解

得：12x=，因为12A，所以12112A=−，所以1112A=−−，所以111(1)2A=−−，循环，以上三种情况答案一样.因为3∈A，同理得11132A=−−，31233−=∈A，因为A中元素个数不超过10个，且A

中有一个元素的平方等于所有元素的积，经检验112,2,1,,3,223=−A．19．（2023·江苏·高一专题练习）已知集合3Axxmn==+，且2231,,mnmnZ−=．（1）判断2(26)+是否为A中元素（2）设cAÎ，求证：

23cA+（3）证明：若xA，则1xx+是偶数；【解析】（1）因为2(26)843+=+，此时：8,4mn==，不满足2231mn−=，所以2(26)+不是集合A中元素.（2）因为cAÎ，则32323cmn+=++，

(3)(23)mn=+−，(23)(2)3mnnm=−+−，因为23,mn−2nm−都是整数，所以23cA+.（3）因为xA，所以3311mnxxmn=++++，223323mnmnmmn−=++=−，因为mR，所以2m为偶数即1xx+为偶数.