【文档说明】2023-2024学年高一数学人教A版2019必修第一册同步备课试题 1.4 充分条件与必要条件（5大题型） Word版含解析.docx，共(24)页，1.823 MB，由小赞的店铺上传

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1.4充分条件与必要条件（5大题型）分层作业题型目录考查题型一：充分条件与必要条件的判断考查题型二：根据充分条件求参数取值范围考查题型三：根据必要条件求参数取值范围考查题型四：根据充要条件求参数取值范围考查题型五：充要条件的证明考

查题型一：充分条件与必要条件的判断1．（2023·全国·高一假期作业）已知p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：①s是q的充要条件；②p是q的充分不必要条件；③r是q的必要不充分条件；④r是s的充分不必要条件.正确的命题序号是（

）A．①④B．①②C．②③D．③④【答案】B【解析】因为p是r的的充分不必要条件，所以pr，r推不出p，因为q是r的的充分条件，所以qr，因为s是r的必要条件，所以rs，因为q是s的必要条件，所以sq，因为qr，rs，所以q

s，又sq，，所以s是q的充要条件，命题①正确，因为pr，rs，sq，所以pq，q推不出p，故p是q的充分不必要条件，②正确；因为rs，sq，所以rq，r是q的充分条件，命题③错误；因为sq，qr，所以sr，又

rs，所以r是s的充要条件，命题④错误；故选：B.2．（2023·江苏·高一假期作业）已知实数a，b，则“0abab+−”是“ab”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】C【解析】()()22220

00||||ababababababab++−−−为充要条件．故选：C.3．（2023·安徽·高一淮北一中校联考开学考试）0ab是22abba++的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．

既不充分也不必要条件【答案】A【解析】222()2()abababababbaabab−++−+=−+=−当0ab时，0,0,20ababab−+，则有2()0ababab+−成立，即22abba++成立；当2,1ab=−

=−时，222224,1212abba+=−+=−+=−+=−−−，即22abba++成立，但此时0ab不成立．综上可知，0ab是22abba++的充分不必要条件．故选：A．4．（2023

·山东临沂·高一校考期末）王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”.其名篇“但使龙城飞将在，不教胡马度阴山”（人在阵地在，人不在阵地在不在不知道），由此推断，胡马度过阴山是龙城飞将不在的什么条件？（）A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也

不必要【答案】A【解析】因为人在阵地在，所以胡马度过阴山说明龙城飞将不在，因为人不在阵地在不在不知道，所以龙城飞将不在，不能确定胡马是否度过阴山，所以胡马度过阴山是龙城飞将不在的充分条件，结合选项，可得A正确；故选:A.5．（2

023·全国·高一假期作业）已知集合{}Ax=，2Bx=，则“1x=”是“AB=”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【答案】A【解析】由AB=可得2xx=，解得0

x=或1x=.所以“1x=”是“AB=”的充分非必要条件.故选：A.6．（2023·江西·高一宁冈中学校考期末）已知,abR，则“ab”的一个必要条件是（）A．||||abB．22abC．1ab+D．1ab−【答案】D【解析】

由于ab可得1ab−，故“1ab−”是“ab”的必要条件，由ab不能得到||||ab，22ab，1ab+，比如1,2ab=−=−，故选：D7．（2023·辽宁鞍山·高一校联考阶段练习）“关于x的不

等式220xaxa−+的解集为R”的一个必要不充分条件是（）A．01aB．01aC．103aD．00.9a【答案】B【解析】关于x的不等式220xaxa−+的解集为R，则()22Δ24440aaaa=−−=−，解得0

1a，所以“关于x的不等式220xaxa−+的解集为R”的一个必要不充一个分条件“01a”.故选：B.考查题型二：根据充分条件求参数取值范围1．（2023·高一课时练习）集合|1Axxm=−，|14Bxx=.(1)当2m=时，求AB；(2)从下面条件①、

条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知条件，求实数m的取值范围条件①：xB是xA的充分条件；条件②：ABA=；条件③：ABB=.注：答题时应首先说明本人所选条件，若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.【解析】（1）当2m=时，12A

xx=−∣，则|14ABxx=−；（2）若选①，则有BA，即4m；若选②，则有,4BAm；若选③，则有,4BAm.2．（2023·高一单元测试）已知全集RU=，集合|11Axmx

m=−+，|4Bxx=.(1)当4m=时，求AB和()RABð；(2)若“xA”是“xB”成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围.【解析】（1）当4m=时，集合||35Axxx=，因为|4Bxx=，所以R|4B

xx=ð.所以|5ABxx=，R|45ABxx=ð（2）因为“xA”是“xB”成立的充分不必要条件，所以A是B的真子集，而A不为空集，所以14m+，因此3m.3．（2023·广东广州·高一统考

期末）已知全集U=R，集合|37Axx=−，集合|3225Bxaxa=−−，其中Ra.(1)当4a=时，求R()ABð；(2)若“xA”是“xB”的充分条件，求a的取值范围.【解析】（1）4a=，故|53Bxx=−，57ABxx=−，()()R(),57,

AB=−−+ð（2）“xA”是“xB”的充分条件，故AB，故323?257?2532aaaa−−−−−，解得6a，故a的取值范围是6a4．（2023·全国·高一专题练习）设集合{13},{11,

0}AxBxmxmm=−=−+∣，命题:pxA，命题:qxB(1)若p是q的充要条件，求正实数m的取值范围；(2)若p是q的充分不必要条件，求正实数m的取值范围.【解析】（1）由条件{13}Ax=−，p是q的充要条件，得AB=，即1113mm−=−+

=，解得2m=，所以实数m的取值范围是2.（2）由p是q的充分不必要条件，得A真包含于B，所以01113mmm−−+，或01113mmm−−+，解得m>2，综上实数a的取值范围是m>2.5．（2023·安徽安庆·高一安庆市第七中学校考期中）设集合U=R，0

3Axx=，12Bxmxm=−.若“xB”是“xA”的充分不必要条件，求m的取值范围.【解析】由“xB”是“xA”的充分不必要条件，可得BA，故当B=时，12,1mmm−−，符合题意；当B时，需满足012312

mmmm−−，且01,23mm−中等号不能同时取得，解得312m，综合以上，m的取值范围为1m−或312m.6．（2023·四川南充·高一校考阶段练习）已知非空集合()2230Axxaaxa=−++，集合211xBxx=−，命题:pxA.命题:

qxB.(1)当实数a为何值时，p是q的充要条件；(2)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.【解析】（1）因为集合()2230Axxaaxa=−++解得()()20xxaxa−−.集合211

xBxx=−解得11Bxx=−.p是q的充要条件,故AB=,即1−与1是方程()()20xaxa−−的两个根，所以1a=−.（2）p是q的充分不必要条件，故集合A是集合B的真子集.由（1）

知当2aa时，即1a或a<0，2Axaxa=，11Bxx=−故211aa−或211aa−解得10a−.当2aa时，即01a，2Axaxa=，11Bxx=−故211aa−

或211aa−解得01a.当2=aa时，即=0a或=1a，满足集合A是集合B的真子集，故=0a或=1a.综上所述：a的取值范围为11a−考查题型三：根据必要条件求参数取值范围1．（2023·高一课时练习）已知:210px−，:11(0)qmxmm−+，若p是

q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【解析】因为p是q的必要不充分条件，所以|11xmxm−+是|210xx−的真子集，故有12110mm−−+或12110mm−−+解

得3m.又0m，所以实数m的取值范围为|03mm．2．（2023·江西新余·高一新余市第一中学校考阶段练习）已知p：关于x的方程22220xaxaa−++−=有实数根，q：13mam−+．若p是q的必要

不充分条件，求实数m的取值范围．【解析】命题p是真命题，即:2pa，因为命题p是命题q的必要不充分条件，则{|13}amam−+{}|2aa，因此32m+，解得1m−，所以实数m的取值范围是1m−.3．（2023·河南洛阳

·高一宜阳县第一高级中学校考阶段练习）已知14,11PxxSxmxm==−+.(1)是否存在实数m，使xP是xS的充要条件?若存在，求出m的取值范围;若不存在，请说明理由;(2)是否存在实数m，使xP是xS的必要条件?若存在，求出m的取值范围;若不存在，请说明理由.【解析】

（1）要使xP是xS的充要条件，则PS=即1114mm−=+=，此方程组无解.所以不存在实数m，使xP是xS的充要条件.（2）要使xP是xS的必要条件，则SP，当S=时，11mm−+，解得0m当S时，11mm−+，解得0m要使SP，则有

1114mm−+，解得0m，所以0m=综上可得，当0m时，xP是xS的必要条件.4．（2023·甘肃临夏·高一校考阶段练习）已知条件:p集合2{|}10Mxx=−，条件:q非空集合{|11}Sxmxm=−+．(1)若p是q的必要条件，

求实数m的取值范围．(2)若xM是xS的必要条件，求实数m的取值范围．(3)否存在实数m，使xM是xS的充要条件．【解析】（1）因为p是q的必要条件，所以SM，又2{|}10Mxx=−，

{|11}Sxmxm=−+，所以1112110mmmm−+−−+，解得03m，即实数m的取值范围是[0,3]；（2）若xM是xS的必要条件，则xS⇒xM，所以RRSM痧，又R1Sxxm=−ð或1xm+，R2Mxx=−ð或10x，所以111211

0mmmm−+−−+，解得9m，故实数m的取值范围9m；（3）若xM是xS的充要条件，则MS=，所以12110mm−=−+=，方程组无解，故不存在实数m，使xM是xS的充要条件．5．（2023·高一课时练习）已知集合13Axx=−，

12Bxxxx=，其中1x，()212xxx是关于x的方程22210xxa−−+=的两个不同的实数根.(1)是否存在实数a，使得“xA”是“xB”的充要条件？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.(2)若“xA”是“xB

”的必要不充分条件，求a的取值范围.【解析】（1）假设存在满足条件的实数a，则BA=，即11x=−，23x=.因为1x，2x是关于x的方程22210xxa−−+=的两个不同的实数根，所以2131a−=−+，即24a=，解得2a=，即当2a=时，“xA”是“xB”的充要条件.（2）由

题意可知，关于x的方程22210xxa−−+=的两根分别为1a−和1a+.因为“xA”是“xB”的必要不充分条件，所以BA.当11aa−+，即0a时，11Bxaxa=+−，则11,13,aa+−−解得20a−；当11aa−+，即0a时，

11Bxaxa=−+，则11,13,aa−−+解得02a.综上，a的取值范围是20aa−或02a.6．（2023·江苏常州·高一校考阶段练习）设集合2230Axxx=+−，11,0Bxaxaa=−

−−，命题p：xA，命题q：xB．(1)若p是q的充要条件，求正实数a的取值范围；(2)若p是q的必要不充分条件，求正实数a的取值范围．【解析】(1)由2230xx+−，得()()310xx+−，解得3

1x−，所以31Axx=−，由p是q的充要条件，得AB=，即1311aa−−=−−=，解得2a=，所以实数a的取值范围是2；(2)由p是q的必要不充分条件，得BAÜ，又0a，则B，所以131111aaaa−−−−−−−，解得0

2a，综上实数a的取值范围是02a．7．（2023·高一课时练习）已知:p关于x的方程242250xaxa−++=的解集至多有两个子集，:11qmam−+，0m．若q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【解析】∵q是p的必要不充分条件，∴p是

q的充分不必要条件，对于p，依题意，知()()()222442548200aaaa=−−+=−−，∴210a−，设210Paa=−，11,0Qamamm=−+，由题意知PQÜ，∴01

2110mmm−−+，或012110mmm−−+，解得9m，故实数m的取值范围是：9m．考查题型四：根据充要条件求参数取值范围1．（2023·重庆沙坪坝·高一重庆市第七中学校校

考阶段练习）若“11x−”是“125xm−+”的充要条件，则实数m的取值是．【答案】3【解析】由125xm−+得125mxm−−−，故()()115122mxm−−，因为“11x−”是“125xm−+

”的充要条件，所以()()15121112mm−=−−=，解得3m=，所以实数m的取值是3.故答案为：3.2．（2023·高一课时练习）设*Nn，一元二次方程240xxn+=-有实数根的充要条件是n=．【答案】1或2或3或4【解析】一元二次方程240xxn+=-

有实数根,()24411640nn=−−=−，解得4n，又*Nn，1,2,3,4n=.故答案为：1或2或3或4．3．（2023·高一课时练习）函数()20yaxbxca=++的图像不过原点的充要条件是．【答案】0c【解析】当0x=时，200yabcc=++=，即函数图像

过()0,c点，充分性：因为函数图像不过()0,0点，所以0c；必要性：因为0c，所以()0,c点与()0,0点不重合，即函数图像不过原点.4．（2023·山东济宁·高一校考阶段练习）集合2320Axaxx=++=中至多有一个元

素的充要条件是.【答案】9|8aa或0}a=【解析】由已知得方程2320axx++=至多一个根，9800aa=−或0a=，解得908aa=或故答案为9|8aa或0}a=5．（2023·高一课时练习）“反比例函数kyx=的图象与函数yx=的图象没有公共点”的充要

条件是“kA”，则集合A=.【答案】{|0}kk【解析】，分两种情况讨论，分别画出反比例函数和函数yx=的图象，如图，由图可知，它们的图象没有公共点，则k<0，所以答案为{|0}kk.6．（2023·广东东莞·高一校考阶段练习）方程220xkx++=与220xxk++=有一个

公共实数根的充要条件是（）．A．3k=B．0k=C．1k=D．3k=−【答案】D【解析】方程220xkx++=有实根，故280k=−，解得22k−或22k.方程220xxk++=有实根，故440k=−，解得1k.综上所述，22k−，只有D选项符合.若方程

220xkx++=与220xxk++=有一个公共实数根，设公共实根为1x，则2112112020xkxxxk++=++=，两式相减得()()()11220,22kxkkxk−+−=−=−，由于20k−，所以

11x=，所以120,3kk++==−.当3k=−时，两个方程分别为2320xx−+=、2230xx+−=，方程2320xx−+=的两个根为1,2；方程2230xx+−=的两个根为1,3−；即方程220xkx++=与220xxk++=

有一个公共实数根.综上所述，方程220xkx++=与220xxk++=有一个公共实数根的充要条件是3k=−.故选：D7．（2023·上海崇明·高一统考期末）“0a=”是“关于x的不等式21axb−的解集为”的（）A．充分不必要条件B．必要不

充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】关于x的不等式21axb−的解集为，当0a=时，不等式为21b−，解集为，符合题意；当0a时，不等式化为21axb+，则21bxa+，不符合题意；当a<0时，不等式化为21

axb+，则21bxa+，不符合题意；综上，0a=所以“0a=”是“关于x的不等式21axb−的解集为”的充要条件.故选：C.考查题型五：充要条件的证明1．（2023·高一课时练习）设a，b，c为AB

C的三边，求方程2220xaxb++=与2220xcxb+−=有公共根的充要条件．【解析】必要性：设方程2220xaxb++=与2220xcxb+−=的公共根为m，则2220mamb++=，2220mcmb+−=，两式相加得

()mac=−+（0m=舍去），将()mac=−+代入2220mamb++=，得()()2220acaacb−++−++=，整理得222abc=+.所以90A=.充分性：当90A=时，222abc=+，于是2220xaxb++=

等价于22220xaxac++−=，所以()()0xacxac+++−=，该方程有两根()1xac=−+，()2xac=−−.同样2220xcxb+−=等价于22220xcxac+−+=，所以()()0xacxca+++−=，该方程亦有两根()3xac=−+，

()4xca=−−.显然13xx=，两方程有公共根.故方程2220xaxb++=与2220xcxb+−=有公共根的充要条件是90A=.2．（2023·全国·高一假期作业）求证：等式22111222axbxcaxbxc++=++对任意实数x恒成

立的充要条件是121212,,aabbcc===.【解析】充分性：若121212,,aabbcc===，则等式22111222axbxcaxbxc++=++显然对任意实数x恒成立，充分性成立；必要性：由于等式22111222axbxcaxbxc++=++对任意实数x恒成立，分

别将0x=，1x=，=1x−代入可得12111222111222ccabcabcabcabc=++=++−+=−+，解得121212aabbcc===，必要性成立，故等式22111222ax

bxcaxbxc++=++对任意实数x恒成立的充要条件是121212,,aabbcc===.3．（2023·高一单元测试）（1）已知集合1111,0Axaxbab==，2222,0Bxaxbab==．证明：AB=的充要条件是1122abab=；

（2）模仿上述命题，写出一个不同于（1）的命题，判断命题的真假并说明理由．【解析】（1）12112212|,0,|,0bbAxxabBxxabaa====，即大前提包括1122,,,abab都不为零.

所以12111222bbabABaaab===，即AB=的充要条件是1122abab=.（2）已知1212,,,aabb均为非零实数，11|0Axaxb=+，22|0Bxaxb=+.命题：AB=的

充要条件是1122abab=.这是假命题，理由如下：当1122abab=时，取12121,1,1,1aabb==−=−=，则|1,|1AxxBxx==，AB，所以1122abab=不是AB=

的充要条件.4．（2023·全国·高一假期作业）已知a，b是实数，求证：44221abb−−=成立的充要条件是221ab−=.【解析】先证明充分性：若221ab−=，则44222222222222()()221abbababbabbab−−=−+−=+

−=−=成立．所以“221ab−=”是“44221abb−−=”成立的充分条件；再证明必要性：若44221abb−−=，则442210abb−−−=，即442(21)0abb−++=，422(1)0ab−+=，2222(1)(1)0ab

ab++−−=，2210ab++，2210ab−−=，即221ab−=成立．所以“221ab−=”是“44221abb−−=”成立的必要条件.综上：44221abb−−=成立的充要条件是221ab−=．5．（2023·江苏苏州·高一苏州市第五中学校校考阶段练习）求证：方程(

)22300mxxm−+=有两个同号且不相等的实根的充要条件是103m.【解析】先证明充分性：若103m，设方程的两个实根为1x，2x，则1220xxm+=，1230xxm=，4120m=−，故方程2230(0)mxxm−+=有两个同号且不

相等的实根；再证明必要性：若方程2230(0)mxxm−+=有两个同号且不相等的实根，令2()23(0)fxmxxm=−+，当0m时，其图象是开口方向朝上，且以1xm=为对称轴的抛物线若关于x的方程2230mxx−+=有两个同号且不相等的实根则必有

两个不等的正根，则函数2()23fxmxx=−+，有两个正零点，则2>03>0Δ=412>0mmm−，解得103m；当0m时，其图象是开口方向朝下，且以1xm=为对称轴的抛物线若关于x的方程2230

mxx−+=有两个同号且不相等的实根则必有两个不等的负根，则函数2()23fxmxx=−+，有两个负零点，则2<03>0Δ=412>0mmm−，无解；故关于x的方程2230mxx−+=有两个同号且不相等的实根，则m的取值范围是1

03m；方程2230(0)mxxm−+=有两个同号且不相等的实根的充要条件是103m．1．（2023·高一课时练习）关于x的方程20(0)axbxca++=，以下命题正确的个数为（）（1）方程有二正根的充要条件是00baca−；（2）方程有二异号实根的充要

条件是0ca；（3）方程两根均大于1的充要条件是Δ021baca−.A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】B【解析】对于（1），令2220xx+=−满足20,20bcaa−==，但4840=−=−，方程无实数解，（1）错；对于（2），必要性：方程20axbx

c++=，有一正根和一负根，120cxxa=.充分性：由0ca可得0ac，所以240bac−及120cxxa=,方程2ax0bxc++=有一正根和一负根，（2）对；对于（3），令273022xx−+=，两根为121,32x

x==，满足Δ021baca−，但不符合方程两根均大于1，（3）错.故选：B2．（2023春·湖南·高一校联考期中）已知a，b为非零实数，则“1ba”是“ba”的（）A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由222222111||||bbbbabaaaa，即ba成立，故充分性成立；取2b=−，1a=，则ba成立，但1ba不成立，故必要

性不成立.因此，“1ba”是“ba”的充分不必要条件.故选：A3．（2023春·河南信阳·高一信阳高中校考期末）设命题121,:1.xpx命题12122,:1.xxqxx+则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件【

答案】A【解析】当1211xx，则121221xxxx+，故p是q的充分条件；当121221xxxx+，则可令1250.3xx==，不能得到1211xx，则p不是q的必要条件.则p是q的充分不必要条件.故选：A4．（2023秋·安徽黄山·

高一统考期末）已知“p:一元二次方程20xbxc++=有一正根和一负根；q:0c.”则p是q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为方程210xax++=有一正根和一负根，则有2Δ4000bccc

=−，所以,pqqp，故p是q的充分必要条件.故选：C5．（2023秋·上海徐汇·高一位育中学校考期末）“0ab”是“+=+abab”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【答案】A【解析】若0ab，则,ab同号，所以+=+aba

b成立，充分性成立；若+=+abab成立，两边同时平方可得：222222abababab++=++，所以abab=，则0ab，所以必要性不成立，所以“0ab”是“+=+abab”的充分不必要条件，

故选：A.6．（2020秋·上海浦东新·高一上海市进才中学校考阶段练习）已知p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：①s是q的充要条件；②p是q的充分不

必要条件；③r是q的必要不充分条件；④r是s的充分不必要条件；正确的命题序号是（）A．①④B．①②C．②③D．③④【答案】B【解析】因为p是r的充分不必要条件，所以pr，r¿p，因为q是r的充分条件，所以qr，因为s是r的必要条件，所以rs，因为q是s的必要条件，所以sq，因

为qr，rs，所以qs，又sq，所以s是q的充要条件；命题①正确，因为pr，rs，sq，所以pq，若qp，则rs，sq，qp，故rp，与r¿p矛盾，所以q¿p，所以p是q的充分不必要条件，命

题②正确；因为rs，sq，所以rq，r是q的充分条件，命题③错误；因为sq，qr，所以sr，又rs，所以r是s的充要条件，命题④错误；故选：B.7．（2022秋·辽宁沈阳·高一沈阳市回民中学校考期末）使得不等式“110xx+−−”成立的一个必要不充分条件是（）A．2

0x+B．101x+C．0xD．240x−【答案】C【解析】由110xx+−−，可得11xx++，所以10x+，解得1x−，即110xx+−−成立的充要条件为：1x−，对于A，由20x+

，得<2x−，是“110xx+−−”成立的充分不必要条件；对于B，由101x+，得1x−，是“110xx+−−”成立的充要条件；对于C，0x是“110xx+−−”成立的必要不充分条件；对于D，240x−

，得<2x−或2x，是“110xx+−−”成立的既不充分也不必要条件.故选：C.8．（2022秋·浙江·高一校联考期中）设x为任一实数，[x]表示不大于x的最大整数，例如，0.50=，0.51−=−，那么“1xy−”是“xy=”的（）A．充

要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件【答案】C【解析】充分性：当1.5x=，0.7y=时1xy−，但1x=，0y=，充分性不成立.必要性：设Zn，令xyn==，则1nxn+

，1nyn+，由此可得11xy−−，即1xy−，必要性成立.故1xy−”是“xy=的必要不充分条件.故选:C9．（多选题）（2022秋·河北沧州·高一任丘市第一中学校考阶段练习）已知集合|123|{,2AxaxaBxx=+−=−或7}x，则AB=的必要不充分条件

可能是（）A．7aB．6aC．5aD．4a【答案】AB【解析】因为集合|123|{,2AxaxaBxx=+−=−或7}x，当A=时，123aa+−，解得4a，此时AB=，当A时，123aa+−，解得4a，若AB=，则12237aa+−，解

得15a，又4a，则45a，则AB=的充要条件为5a，所以AB=的必要不充分条件可能是7a，6a，故选：AB．10．（多选题）（2022秋·江苏苏州·高一校联考期中）在整数集Z中，被6除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为k，即|6,kx

xnkn==+Z，0k=，1，2，3，4，5，则（）A．55−B．012345=ZC．“整数a，b属于同一“类”的充要条件是“0ab−”D．“整数a，b满足

1,2ab”是“3+ab”的必要不充分条件.【答案】BC【解析】对A，因为565|nn=+Z，由655n+=−可得10563n=−=−Z，所以55−，A错；对B，012345

116|nn=Z2261|nn+ZU3362|nn+ZU4463|nn+ZU5564|nn+ZU6665|nn+ZU=Z，B对；对C，充分性：若整数a，b属于同一“类”，

则整数a，b被6除所得余数相同，从而ab−被6除所得余数为0，即0ab−；必要性：若0ab−，则ab−被6除所得余数为0，则整数a，b被6除所得余数相同，所以“整数a、b属于同一‘类’”的充要条件是“0ab−”，C对；对D，若整

数a，b满足1,2ab，则112261,,62,annbnn=+=+ZZ，所以()121263,abnnnn+=+++Z，故3+ab；若3+ab，则可能有2,1ab，故整数a，b满足1,2ab”是“

3+ab”的充分不必要条件，D错故选：BC11．（多选题）（2022秋·江苏苏州·高一统考期中）下列命题为真命题的是（）A．AB是AB的必要不充分条件B．x或y为有理数是xy为有理数的既不充分又不必要条件C．ABA=是BA的充分不必要条件D．222abcab

bcca++=++的充要条件是abc==【答案】BD【解析】选项A，必要性：AB，当A=时，此时AB=，该选项错误；选项B，x，y中有一个数为有理数时，xy不一定为有理数（如：122=），所以x或y为有理数不一定能推导出

xy为有理数；xy为有理数时，x，y可能均为无理数（如：222=），所以，此时xy为有理数不一定能推导出x或y为有理数，所以该选项正确；选项C，充分性：ABABA=，必要性：BAABA=，应为充要条件，所以该选项错误；选项D，必要性：222abca

bbcca++=++，所以()()()222222222acbcacabbcca+=++++++，即()()()2220acbcab−+−+−=，所以abc==；充分性：abc==，则22223caaabbcbca=+=+++，该选项正确.故选：BD.12．（多选题）（

2022秋·江苏淮安·高一统考期中）若12x−是2xa−的充分不必要条件，则实数a的值可以是（）A．1B．2C．3D．4【答案】BCD【解析】由题意可知12x−是2xa−的充分不必要条件，则(1,2)−

(2,)a−，故2a，故a的值可取2,3,4，故选：BCD.13．（2023·高一单元测试）设A，B是有限集，定义(,)()()dABcardABcardAB=−，其中card()A表示有限集A中的元素个数．则“AB”是“(,)0dAB”的条件．【答案】充分必要【解

析】若AB，则ABAB，则()()cardABcardAB，故(,)0dAB成立，若()()cardABcardAB，则ABAB，所以AB，所以“AB”是“(,)0dAB”的充要条件，故答案为：充分必要14．（2023春·甘肃兰州·高一校考开学考试）设甲、乙、丙、

丁是四个命题，甲是乙的充分不必要条件，丙是乙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么丁是甲的条件.【答案】必要不充分【解析】因为甲是乙的充分不必要条件，所以甲乙，乙推不出甲；因为丙是乙的充要条件，即乙⇔丙；因为丁是丙

的必要不充分条件，所以丙丁，丁推不出丙.故甲丁，丁推不出甲，即丁是甲的必要不充分条件.故答案为：必要不充分15．（2021秋·上海黄浦·高一上海外国语大学附属大境中学校考阶段练习）“111222abcabc==”是“不等式21110axbxc++与22220axbxc++同解”

的条件.【答案】既不充分又不必要【解析】取1112221,1abcabc======−，满足111222abcabc==，所以21110axbxc++即为210xx++，22220axbxc++即为210xx−−−，两不等式的解集不同，故充分性不满足；不等式210xx−

+与不等式210xx++的解集相同，均为R，但不满足111222abcabc==，故必要性不满足；所以“111222abcabc==”是“不等式21110axbxc++与22220axbxc++同解”的既不充分又不必要条

件.故答案为：既不充分又不必要16．（2022秋·高一校考课时练习）已知p：35x−，q：123axa−−，且p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是．【答案】112aa【解析】3553528xxx−−−−记{|28},{|123}PxxQxaxa=−

=−−由p是q的充分不必要条件，可得PQ，且PQ故12238aa−−−，且等号不同时成立，解得112a故答案为：112aa17．（2023秋·四川凉山·高一统考期末）已知集合12Axx=，22Bxmxm=

−(1)当2m=时，求AB；(2)若______，求实数m的取值范围．请从①xA且xB；②“xB”是“xA”的必要条件；这两个条件中选择一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）【解析】

（1）当2m=时，04Bxx=，所以12ABxx=（2）若选择条件①，由xA且xB得：AB=，当B=时，22mm−，即2m−；当B时，22mm−，即2m−22m−或21m，即4m或12m，所

以4m或122m−，综上所述：m的取值范围为：4m或12m．若选择条件②，由“xB”是“xA”的必要条件得：AB，即2122mm−，所以13m．18．（2021秋·湖南邵阳·高一武冈市第二中学校考阶段练习）已知集合13Axx=，集合21

Bxmxm=−．(1)若AB=，求实数m的取值范围；(2)命题:pxA，命题:qxB，若p是q成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【解析】（1）由AB=，得①若21mm?，即13m时，B=，符合题意；②若21mm<-，即13m时，需1311mm−或1

323mm，解得103m．综上，实数m的取值范围为0mm∣．（2）由已知A是B的真子集，知122113mmmm−−两个端不同时取等号，解得2m−．由实数m的取值范围为2mm−∣．19．（2023·全国·高一专题练习）设U=R，已知集合

|25Axx=−，|121Bxmxm=+−．(1)当4B时，求实数m的范围；(2)设:pxA；:qxB，若p是q的必要不充分条件，求实数m的范围．【解析】（1）由题可得1421mm+−，则532

m；（2）由题可得B是A的真子集，当B=，则1212mmm+−；当B，2m，则21512mm−+−（等号不同时成立），解得23m综上：3m.