【文档说明】高二数学人教A版2019选择性必修第一册同步备课试题 2.3.2两点间的距离公式 Word版含解析.docx，共(15)页，1.525 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-d48d307997fab2d220f7613c40a0f816.html

以下为本文档部分文字说明：

2.3.2两点间的距离公式（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】题型1点到直线的距离1.已知圆C:22420xyxy+−−=与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，则弦长AB=（）A．5B．5C．25D．32【答案】C【分析】分别令0x=和0y=，从而求出

A，B两点的坐标，由两点的距离公式可求出弦长.【详解】令0y=，解得4x=或0；令0x=，解得2y=或0.所以(4,0)A，(0,2)B，所以()()22400225AB=−+−=，故选:C【点睛】本题考查了两点的距离公式，属于基础题.本题的关键是求出

A，B两点的坐标.2.曲线2cossinxy==（为参数）上的点到原点的距离的最大值为A．1B．3C．2D．4【答案】C【分析】根据点到直线的距离求最值.【详解】曲线2cossinxy==（为

参数）上的点到原点的距离为：2224cossin13cos2+=+„，当且仅当cos1=时取得等号故选C.【点睛】本题考查椭圆参数方程的应用.3.在平面直角坐标系中，已知点()2cos80,2sin80A，()2c

os20,2sin20B，那么AB=（）A．2B．22C．23D．4【答案】A【分析】利用利用两点间的距离公式求得AB.【详解】()()222cos202cos802sin202sin80AB=−

+−()448cos20cos80sin20sin80=+−+()188cos208088422=−−=−==.故选：A4.直线l到直线240xy−+=的距离和原点到直线l的距离相等，则直

线l的方程是___________.【答案】220xy-+=【分析】根据点到直线距离公式和两条平行线间的距离公式即可得到答案.【详解】由题意设所求直线l的方程为20(4)xyCC−+=，则2222|4|||1(2)1

(2)CC−=+−+−，解得2C=，故直线l的方程为220xy-+=.故答案为：220xy-+=.5.点()1,1A到直线cossin20xy+−=的距离的最大值是.【答案】22+【分析】利用点到直线的距离公式、再由三角函数的辅助角公式及三角函数的性质求得

最值．【详解】由点到直线的距离公式可得，点()1,1到直线cossin20xy+−=的距离22cossin2cossin2cossind+−==+−+2sin2=22sin44=+−−+

.当sin14+=−时，max22d=+.故答案为：22+【点睛】本题考查了点到直线的距离公式、及三角辅助角公式及三角函数的性质的综合应用，属于基础题．题型2两点间的距离公式求最值6.ABC三个顶点

的坐标分别为()()()4,4,2,2,4,2−−−ABC，则三角形AB边上的中线长为（）A．26B．65C．29D．13【答案】A【分析】求出AB的中点D的坐标，再利用两点间距离公式计算可得答案.【详解】AB的中点D的坐标为()1,1−−D，∴22||(

14)(12)26.=−−+−+=CD故选：A．7.直线l：4x﹣y﹣4＝0与l1：x﹣2y﹣2＝0及l2：4x+3y﹣12＝0所得两交点的距离为（）A．3172B．6177C．317D．91714【答案】D【分析】求出l与12,ll的交点坐标，利用两点间的距离公式进行求解即可

．【详解】由440220xyxy−−=−−=得6747xy==−，即64,77A−，由44043120xyxy−−=+−=得322xy==，即3,22B，则|AB|22226

349369()(2)()()17727141414=−+−−=+=.故选：D8.已知(),5Aa−与()0,10B两点间的距离是17，则a的值为（）A．8B．266C．266D．8【答案】D【分析】

直接用两点间得距离公式计算即可.【详解】由两点间的距离公式得：()()22051017a−+−−=，解得8a=.故选：D9.过定点A的直线++10(R)xmymm−=与过定点B的直线30(R)mxymm+−+=交于点(,)Pxy，则22PAPB+的值为（）A．10B．10

C．20D．25【答案】C【分析】求出定点A，B的坐标，再分0m=和0m两种情况讨论，可判断两直线垂直，由222||||PAPBAB+=即可求解.【详解】由+10xmym−+=可得：()+110xmy−−=，由1010xy+=−=可得11xy=−=，

所以定点(1,1)A−，直线30mxym+−+=可化为(1)30mxy−++=，由1030xy−=+=可得13xy==−，所以定点(1,3)B−，当0m=时，直线方程为=1x−，30y+=，此时两直线垂直，当0m时，由两直线的斜率之积为121()1kkmm=−

=−可知两直线垂直，所以PAPB⊥，所以()()22222||||111320PAPBAB+==−−+−−=，故选：C.10.已知点()2,4A，()5,4B，那么A，B两点之间的距离等于（）A．8B．6C．3D．0【答案】C

【分析】利用平面内两点间的距离公式直接计算作答.【详解】因点()2,4A，()5,4B，则22||(25)(44)3AB=−+−=，所以A，B两点之间的距离等于3.故选：C题型3利用距离公式解决最值问题11.已知点()1,2A，()2,3B-，直线:lyx=，在直线l上找一

点P使得PAPB+最小，则这个最小值为（）A．34B．25C．10D．2【答案】B【解析】先求出A关于直线yx=的对称点，然后根据两点之间直线最短进行求解即可.【详解】解：设A关于直线yx=的对称点的坐标为,Aab（），则21211212

2baabba−=−=−=++=，∴PAPB+最小22(22)(31)25BA=−−+−=．故选：B【点睛】本题考查点关于直线对称以及根据两点间的距离公式求最值，属于基础题12.在直角坐标系中，

已知(1,0)A，(4,0)B，若直线10xmy+−=上存在点P，使得||2||PAPB=，则正实数m的最小值是()A．13B．3C．33D．3【答案】D【分析】设(1,)Pmyy−，由||2||PAPB=结合两点间的距离公式

，得到关于y的一元二次方程，利用判别式0…可解出m的范围，取其最小的正值即可．【详解】解：设(1,)Pmyy−，由||2||PAPB=得2222(11)4(14)myymyy−−+=−−+化简得22(1)8120mymy+++=，226448(1)0mm=−+…，解

得3m…或3m−„（舍)，易知3m=时，3y=−．故m的最小值为3．故选：D．【点睛】本题考查了两点间距离公式以及判别式法求最小值的问题，同时考查了学生的逻辑推理能力、数学运算等数学核心素养，属于基础题．13.已知mR，若过定

点A的动直线1:20lxmym−+−=和过定点B的动直线2:4(2)lymx−=−+交于点P（P与A，B不重合），则2PAPB+的最大值为（）A．56B．55C．52D．5【答案】B【分析】首先确定点A和点B的坐标，再判断两条动直线

垂直，进而得到直角三角形ABP，利用三角函数求最值即可.【详解】由题意可知，动直线()12ymx−=−经过定点()2,1A，动直线240xmym++−=经过定点()2,4B−，22435AB=+=，∵动直线()12120ymxmx

ym−=−−+−=和动直线240xmym++−=满足()110mm+−=，∴两条直线始终垂直，又因为P是两条直线的交点，所以PAPB⊥.所以22225PAPBAB+==.所以PAB是直角三角形，且5AB=，设PAB=，则||5cos

PA=，||5sinPB=∴2||||10cos5sin55sin()PAPB+=+=+所以2||||PAPB+的最大值是55.故选：B.14.著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万

事休.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：22(xa)(yb)−+−可以转化为平面上点()Mx,y与点()Na,b的距离.结合上述观点，可得()22fxx4x20x2x10=+++++的最小值为()A．32B．42C

．52D．72【答案】C【分析】化简得()2222fx(x2)(04)(x1)(03)=++−++++，表示平面上点()Mx,0与点()N2,4−，()H1,3−−的距离和，利用两点间的距离公式，即可得出结论．【详解】()22fxx4x20x2x10=+++++2222(x2)(04)

(x1)(03)=++−++++，表示平面上点()Mx,0与点()N2,4−，()H1,3−−的距离和，连接NH，与x轴交于()Mx,0，由题得044310,,2217MNMHkkxx−+===−+−+，所以

10M,07−，()fx的最小值为22(21)(43)52−+++=，故选C．【点睛】本题主要考查两点间的距离公式，考查学生分析解决问题的能力，合理转化是正确解题的关键．15.设实数,xy满足21,0xyx+=，则22xy+的最小值等

于()A．15B．65C．12D．14【答案】D【分析】法一：用代入消元法化22xy+为二次函数，由二次函数性质得最小值；法二：利用距离的几何意义.【详解】法一：121,2xxyy−+==，代入22xy+，得()222

2114xyxx+=+−=22511511424455xxx−+=−+，0,x当0x=时，22xy+的最小值为14.法二：22xy+可看作是射线1(0)2xyx−=上的点与原点O距离平方的最小值，显然()22mi2n1||4xOPy

=+=故选：D.【能力提升】一、单选题1.ABC的顶点分别是A(7，8)，B(10，4)，C(2，-4)，则ABC的BC边上的中线AD的长为A．9B．8C．65D．6【答案】C【分析】根据中点坐标公式求得D点的坐标，

在根据两点间的距离公式计算出AD的长.【详解】设点D的坐标为(),DDxy，则10262Dx+==，4402Dy−==，即点D的坐标为()6,0.∴()()22768065AD=−+−=.故选C.【点睛】本小题主要考查中点坐标公式，考查两点间的距离公式，属于基础题.2.若过点A(3，a)和

点B(4，b)的直线与y＝2x＋3平行，则|AB|的值为（）A．3B．3C．5D．5【答案】D【分析】先根据过点A(3，a)和点B(4，b)的直线与y＝2x＋3平行求得a与b的关系，再利用两点间的距离公式求解.【详解】由题意得43ba−−＝2，即b－a＝2.所以|AB|＝()

()2243+5ABba=−−=.故选：D3.已知ABC的三个顶点分别是()1,5A，()2,4B−，()6,4C−−，M是边BC上的一点，且ABM的面积等于ABC面积的14，那么线段AM的长等于．A．5B．52C．85D．852【答案】A【分析】根据面积比求得M点的位置，根据向量坐标

运算求得M点坐标，再根据两点间的距离公式求得AM的长.【详解】由于ABM的面积等于ABC面积的14，故14BMBC=，设(),Mxy，由14BMBC=得()()()12,44,81,24xy+−=−−=−−，解得

3,2xy=−=，即()3,2M−，所以22435AM=+=.故选A.【点睛】本小题主要考查平面向量坐标运算，考查两点间的距离公式，属于基础题.4.若直线210,1,2yxyxyax=+=+=−交于一点，则a的值为

（）A．12B．12−C．23D．23−【答案】C【分析】先联立方程求出210,1yxyx=+=+的交点，再将该点代入2yax=−即可求出a的值.【详解】由2101yxyx=+=+，解得98xy=−=−，即直线210yx=+与1yx=+相交于点(9,8)−−，代入2y

ax=−，解得23a=.故选：C.【点睛】本题考查直线交点坐标的求法，属于基础题.5.点M(1,2)关于y轴的对称点N到原点的距离为()A．2B．1C．5D．5【答案】C【详解】根据对称性知道点N(－1,2)，由两点间距离公式得到|ON|＝22(1)25

.−+=故选：C.6.已知直角坐标平面上连接点(2,5)−和点M的线段的中点是(1,0)，则点M到原点的距离为（）A．41B．41C．39D．39【答案】B【分析】根据中点坐标公式，结合两点间距离公式进行求解即可.【详解】设(,)Mxy，由题意得21,250,2xy−+=

+=解得4,5,?xy==−即(4,5)M−.则点M到原点的距离为22(40)(50)41−+−−=.故选：B7.ABC三个顶点的坐标分别为()()()4,4,2,2,4,2−−−ABC，则三角形AB边上的

中线长为（）A．26B．65C．29D．13【答案】A【分析】求出AB的中点D的坐标，再利用两点间距离公式计算可得答案.【详解】AB的中点D的坐标为()1,1−−D，∴22||(14)(12)26.=

−−+−+=CD故选：A．8.在平面直角坐标系xOy中，已知点()0,2A−，点()1,0,BP为直线2430xy−+=上一动点，则PAPB+的最小值是（）A．5B．4C．5D．6【答案】B【分析】求点()0,2A−关于直线2430xy−+=的对称点A的坐标，由此可得P

APBPAPB+=+，结合结论两点之间线段最短可求PAPB+的最小值.【详解】设点()0,2A−关于直线2430xy−+=的对称点为(),Axy，则22430222112xyyx−−+=+=−，解得115125xy=−=，所以1112,

55A−，所以25614442525PAPBPAPBAB+=+=+=，当且仅当点P为线段AB与直线2430xy−+=的交点时等号成立，所以PAPB+的最小值是4，故选：B.二、多选题9

.直线x＋y－1＝0上与点P(－2，3)的距离等于2的点的坐标是（）A．(－4，5)B．(－3，4)C．(－1，2)D．(0，1)【答案】BC【分析】根据两点间的距离公式求得正确选项.【详解】设所求点的坐标为(),1aa−，则()(

)222132aa++−−=，解得3a=−或1a=−，所以所求点的坐标为()3,4−或()1,2-.故选：BC10.已知在以()2,3C为直角顶点的等腰三角形ABC中，顶点A、B都在直线1xy−=上，下列判断中正确的是（）A．

点A的坐标是()2,1或()4,3B．三角形ABC的面积等于4C．斜边AB的中点坐标是()3,2D．点C关于直线AB的对称点是()4,1【答案】ACD【分析】取AB的中点(),Pxy，由CPAB⊥，且P在AB上，

求得P点坐标为()3,2，可判断C；由32ABxx+=及0ACBC=，求得A的坐标可判断A；求得122ABCSABCP==，可判断B；求出点C关于直线AB的对称点可判断D．【详解】取AB的中点(),Pxy，因为三角形ABC为等腰三角形，所以CPAB⊥，

即CP垂直于直线1xy−=，则312CPykx−==−−，且1xy−=，解得3,2xy==，则AB的中点P坐标为()3,2，故C正确；所以32ABxx+=①，而33(1)4,33(1)4AAABBByxxyxx−=−−=−−=−−=−，且ACB

C⊥，(2)(2)(3)(3)206()20ABABABABACBCxxyyxxxx=−−+−−=−++=②，联立①②，解得24ABxx==，或42ABxx==，所以A的坐标是()2,1或()4,3，故A正确；22(32)(23)2CP=−+−=，222ABCP==，所以11·

22?2222ABCSABCP===，故B错误；设点C的对称点为1C，则1CC的中点为P，即132CCPxxx+==，所以14Cx=，11312CCyx−=−−，解得11Cy=，即点C关于直线AB的对称点是()4,1，故

D正确．故选：ACD．.11.下列说法中，正确的有（）A．点斜式()11yykxx−=−可以表示任何直线B．直线42yx=−在y轴上的截距为2−C．直线230xy−+=关于0xy−=对称的直线方程是230xy−+=D．点()21P，到直

线的()130axaya+−++=的最大距离为210【答案】BD【分析】点斜式方程不能表示斜率不存在的直线判断A；直接令0x=求解直线在y轴上的截距判断B；结合关于直线0xy−=对称的点的关系求解判断C；结合直线过定点()4,3

Q−求解即可判断D.【详解】解：对于A选项，点斜式方程不能表示斜率不存在的直线，故错误；对于B选项，令0x=得=2y−，所以直线42yx=−在y轴上的截距为2−，正确；对于C选项，由于点(),xy关于直线0xy−=对称的点为(),yx，所以直线230xy−+=

关于0xy−=对称的直线方程是230xy−−=，故错误；对于D选项，由于直线()()()13130axayaaxyy+−++=++−−=，即直线过定点()4,3Q−，所以点()21P，到直线的()130a

xaya+−++=的最大距离为210PQ=，故正确.故选：BD12.已知直线:26lyx=−+和点(1,1)A−，过点A作直线1l与直线l相交于点B，且5AB=，则直线l的方程是（）A．1x=B．3410xy++=C．10y+=D．176110xy+−=【答案】AB【分析】运用两点间距离公式，结

合直线两点式方程进行求解即可.【详解】由于点B在l上，可设点B的坐标为()00,26xx−+．由()()22200||12725ABxx=−+−+=，化简得200650xx−+=，解得01x=或05x=．当01x=时，直线1l的方程为1x=；当05x=时，点B的坐标为()5,4

−，直线1l的方程为：(1)134101(4)15yxxy−−−=++=−−−−．综上，直线1l的方程为1x=或3410xy++=．故选：AB三、填空题13.已知(),5,21Axx−，()1,,2Bxx两点，当AB取最小值时，x的值为.【答案】3【分析】用空间两点间的距离公式计算

可得221227ABxx=−+，借助于二次函数可以求出AB取最小值时x的值.【详解】∵()()222215121227ABxxxx=−+−+=−+，令()221227fxxx=−+，则对称轴为3x=，且当3x=时，()min9fx=，即3AB=所以当3x=时A､B两点间距离取最小值3.故答案为：

3.14.已知(1,2)A，()2,3B以及点(2,5)C−，则ABC的面积为．【答案】3【分析】根据两点间的距离判定三角形为直角三角形，求解即可.【详解】22(21)(32)2AB=−+−=,22||(22)(53)2025BC=−−+−==,22||(21

)(52)1832AC=−−+−==,222||||ACABBC+=,1=322=32S，故答案为：315.函数224618yxxx=++++的最小值为____________．【答案】34【分析】首先根据题意得到y表示点(),0Px到点

()0,2A和()3,3B−−的距离之和，从而得到当点P为线段AB与x轴的交点时，y取得最小值，再求AB即可.【详解】()()()()22222246180+02303yxxxxx=++++=−−++++，y表示点(),0Px到点()0,2A和()3,3B−−的距离之和.当点P为线段AB与x轴的交

点时，y取得最小值.()()22min303234yAB==−−+−−=.故答案为：3416.已知点A(3，6)，在x轴上的点P与点A的距离等于10，则点P的坐标为________．【答案】(－5，0)或(11，0)【分析】设点P的坐标为(x

，0)，由两点之间的距离公式，列方程求解即可得出结果.【详解】设点P的坐标为(x，0)，由d(P，A)＝10得22(3)(06)10−+−=x，解得x＝11或x＝－5.∴点P的坐标为(－5，0)或(11，0).故

答案为：(－5，0)或(11，0)【点睛】本题考查了两点之间的距离公式，考查了计算能力，属于基础题目.四、解答题17.已知直线1l：20xy+−=，直线2l过点()20A−，且与直线1l平行.（1）求直线2l的方程；（2）点B在直线1l上，若||

4AB=，求点B的坐标.【答案】（1）20xy++=；（2）(2,0)或(2,4)−.【分析】（1）根据平行可设2l的方程，再代入点坐标即可；（2）先设点B的坐标，再根据||4AB=列方程解得结果.【详解】（1）因为2l与直线1l平行，所以设2:0l

xym++=因为直线2l过点()20A−，，所以2002mm−++==因此2l的方程为20xy++=；（2）因为点B在直线1l上，所以可设(,2)Bxx−因为||4AB=，所以222(2)(2)44,2xxxx++−===即点B的坐标为(2,0)或(

2,4)−【点睛】本题考查根据直线平行求直线方程、两点间距离公式，考查基本分析求解能力，属基础题.18.在平面直角坐标系xOy中，已知ABC的顶点A(1，5)，B(﹣3，7)，C(﹣8，2)．（1）求

AC边上的高所在直线方程；（2）求ABC的面积．【答案】（1）3x＋y＋2＝0；（2）15.【分析】（1）根据斜率公式，结合两直线垂直时斜率之间的关系、直线的点斜式方程进行求解即可；（2）利用点到直线距离公式和两点间距离公式，结合三角形面积公式进行求

解即可.【详解】（1）由题意，5211(8)3ACk−==−−，因此AC边上的高所在直线的斜率为：1313−=−，所以AC边上的高所在直线方程为：y﹣7＝﹣3(x＋3)，即3x＋y＋2＝0；（2）AC＝22[1(8)](52)310−−+−=，AC边所在直线方程为：y﹣5＝13(x﹣1)，即x

﹣3y＋14＝0，B到AC的距离22|33714|101(3)d−−+==+−，所以ABC的面积11310101522SACd===.【点睛】本题考查了两直线垂直时斜率关系的应用，考查了点到直线距离公式的应用，考查了直线的点斜

式方程的应用，考查了数学运算能力.19.已知ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程.【答案】22(6)36(0)xyy++=【分析】建立平面直角坐标系，设(,)Cxy，用两点间距离公式表示BC边上的中线长，即得解【详

解】以AB边所在直线为x轴，边AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系（如图），则(2,0),(2,0)AB−，设(,),CxyBC的中点()00,Dxy.∴002,20.2xxyy+=+=∵||3AD=，∴()220029xy++=.②将①代入②，整理得22(6)36xy++=.∵

点C不能在x轴上，∴0y.综上，点C的轨迹是以(6,0)−为圆心，6为半径的圆，去掉(12,0)−和(0,0)两点，轨迹方程为22(6)36(0)xyy++=.20.已知ABC的三个顶点是(0,3)A

，(2,1)B，(1,)Cm−.（1）求边AB的垂直平分线方程；（2）若ABC的面积为8，求实数m的值.【答案】（1）10xy−+=（2）12m=或-4【解析】（1）求出线段AB的中点坐标以及垂直平分线的斜率，由点斜式即可求出直线方程；（2）求出线段AB的

长度，再求出点C到直线AB的距离，由三角形的面积公式即可求解.【详解】解：（1）(0,3)(2,1)AB，线段AB的中点坐标为1,2（）记边AB的垂直平分线为l，则1ABlkk=−31102lk−=−−，得1lk=线段AB的垂直平分线l的方程为21(

1)yx−=−，即10xy−+=.（2）22(20)(31)22AB=−+−=直线:11(2)ABlyx−=−−，即30xy+−=设点C到直线l的距离为d，则22134211mmd−+−−==+，411228222mSABd−===，|4|8m−=12m=∴或4−.【点

睛】本题主要考查点斜式求直线方程、点到直线的距离公式，属于基础题.