【文档说明】高二数学人教A版2019选择性必修第一册同步备课试题 1.4.1 用空间向量研究直线、平的位置关系（第2课时） Word版含解析.docx，共(25)页，3.830 MB，由小赞的店铺上传

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1.4.1用空间向量研究直线、平的位置关系（第2课时）（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】题型1证明线线垂直1.设1l的一个方向向量为()1,3,2a=−，2l的一个方向向量为()4,3,bm=−r，若12ll⊥，则m等于（）A．1B．52C．12D．3【答案】B【分析】由12l

l⊥，可得其两直线的方向向量垂直，结合空间向量的坐标运算求解.【详解】因为12ll⊥，即0ab=，可得()()143320m−++−=，解得52m=.故选：B.2.如图，在正方体1111ABCDA

BCD−中，F为线段1BC的中点，E为线段11AC上的动点，下列四个结论中，正确的是（）A．EF平面11ABCDB．存在点E，使EF⊥平面11BBCCC．存在点E，使1EFAC∥D．1DBEF⊥【答案】D【分析】当E与1A重合时，EF平面111ABCDA=，即可

判断A；设正方体的棱长为1，以点D为坐标原点，以DA，DC，1DD所在直线分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系，设111(01)CECA=，可得EF坐标，由1102EFBB=−可知EF与1BB不垂直，即可判断B；若1EFAC∥，则1EFkAC=，列方程组求解可判断C；由10DBE

F=可判断D.【详解】当E与1A重合时，又F平面11ABCD，则EF平面111ABCDA=，故A错误；设正方体的棱长为1，以点D为坐标原点，以DA，DC，1DD所在直线分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(1,

1,0),(0,1,0),DBC111(1,0,1),(1,1,1),(0,1,1),ABC11,1,22F，设111(01)CECA=，又11(1,1,0)CA=−，∴1(,,0)CE=−，1(

0,1,1)DC=，则11(,1,1)DEDCCE=+=−，∴11(,1,1),,,22EEF−=−−，∵1(0,0,1)BB=，1102EFBB=−，∴EF与1BB不垂直，而1BB平面11B

BCC，则EF与平面11BBCC不垂直，故B错误；1(1,1,1)AC=−−，若1EFAC∥，则1EFkAC=，则1212kkk−=−=−=−，此方程无解，故不存在点E，使1EFAC

∥，故C错误；∵1(1,1,1)DB=，11,,22EF=−−，111022DBEF=−+−=，∴1DBEF⊥，故D正确．故选：D．3.（多选题）已知空间中三点()()()0,1,0,2,2,0,1,3,1AB

C−，则下列结论正确的有（）A．ABAC⊥B．与AB共线的单位向量是()1,1,0C．AB与BC夹角的余弦值是5511D．平面ABC的一个法向量是()1,2,5−【答案】AD【分析】根据空间向量垂直的坐标运算可判断AD，根据共线向量和单位向量判断B，

根据向量夹角的坐标运算判断C.【详解】由题意可得()2,1,0AB=，()1,2,1AC=−，()3,1,1BC=−，选项A：2200ABAC=−++=，故ABAC⊥，正确；选项B：()1,1,0不是单位向量，且()1,1,0与()2,1,0AB=不共线，错误；选项C：61055co

s,11511ABBCABBCABBC−++===−，错误；选项D：设()1,2,5m=−，则2200mAB=−+=，1450mAC=−−+=，所以mAB⊥，mAC⊥，又ABACA=，所以平面ABC的一个法向

量是()1,2,5−，正确；故选：AD题型2直线和平面垂直4.四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，()()()121023832,,,,,,,,ABADAP=−=−=.(1)求证：PA⊥底面ABCD；(2)求PC的长.【答案】(1)证明见解析(2)94【分析】（1）根据两个向量的数量

积为0，可以判断出AP⊥AB且AP⊥AD，进而根据线面垂直的判定定理得到PA⊥底面ABCD；（2）根据向量加法的三角形法则，可以求出向量PC的坐标，进而代入向量模的计算公式，得到答案．【详解】（1）∵()()()121023832,,,,,,

,,ABADAP=−=−=，∴0APAB=，0APAD=，∴APAB⊥，APAD⊥，即AP⊥AB且AP⊥AD，又∵AB∩AD＝A，,ABAD平面ABCD∴AP⊥平面ABCD.（2）∵()()()121023832,,,,,,,,ABADAP=−=−

=，∴()104ACABAD=+=−，，，()932PCAPAC=−=−，，，∴94PC=．5.已知点()2,6,2A−在平面内，()3,1,2=n是平面的一个法向量，则下列点P中，在平面内的是（）A．()1,1,1P−

B．31,3,2PC．31,3,2P−D．31,3,4P−−−【答案】A【分析】根据每个选项中P点的坐标，求出AP的坐标，计算APn，根据结果是否等于0，结合线面垂直的性质，即可判断点P是否在平面内.【详解】对于选项A，(

)1,5,1AP=−−，所以1351120APn=−+−=，根据线面垂直的性质可知AP,故()1,1,1P−在平面内；对于选项B，11,9,2AP=−−，则11391202APn=−++，()2,6,2A−在平面内，根据线

面垂直的性质可知AP,故31,3,2P不在平面内；对于选项C，11,3,2AP=−−，则11331202APn=−+−，()2,6,2A−在平面内，根据线面垂直的性质可知AP,故31,3

,2P−不在平面内；对于选项D，113,3,4AP=−−，则113331204APn=−+−，()2,6,2A−在平面内，根据线面垂直的性质可知AP,故31,3,4P−−−不在平面内；故选：A6.已知直线l的一

个方向向量为(1),2,1−，平面的一个法向量为(3,),mn，若l⊥，则mn+＝（）A．﹣3B．3C．6D．9【答案】B【分析】根据线面垂直的向量表示即可求解.【详解】因为l⊥，所以3121mn==−，解得3,6mn=−=，所以363mn+=−

+=.题型3平面和平面垂直7.两平面α，β的法向量分别为()()123,1,,2,,1nzny=−=−−uruur，若α⊥β，则y＋z的值是（）A．－3B．6C．－6D．－12【答案】B【分析】根据题意结合空间向量的坐标运算求

解.【详解】∵()()123,1,,2,,1nzny=−=−−uruur分别为α，β的法向量且α⊥β，则12nn⊥，∴1260nnyz=−++=uruur，整理得：y＋z＝6.故选：B.8.在正方体1111ABCDABCD−中，M是线段11CD（不含端点）上的动点，N为BC的中点，

则（）A．BDAM⊥B．平面1ABD⊥平面1ADMC．//MN平面1ABDD．//CM平面1ABD【答案】B【分析】由面面垂直的判定定理判断B，建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法证明面面、线面的位置关系判断ACD．【详解】因为11

ADAD⊥，111ADCD⊥，1111ADCDD=，111,ADCD平面1ADM，所以1AD⊥平面1ADM，又1AD平面1ABD，所以平面1ABD⊥平面1ADM，故B正确；以点D为原点，分别以DA，DC，1DD所在直线为x轴、

y轴、z轴建立空间直角坐标系.设2AB=，则()2,2,0B，()12,0,2A，()2,0,0A，()0,2,0C，()1,2,0N.设()()0,,202Myy，则()2,2,0DB=，()12,0,2DA=.设平面1ABD的法向量为()111,,mxyz=，则有11111220,220,

mDAxzmDBxy=+==+=可取11x=，得()1,1,1m=−−.又()2,,2AMy=−，则()()2,2,02,,2240DBAMyy=−=−，故A不正确；因为()0,2,2CMy=−，所以()()1,1,10,2,20mCMyy=−−−=−，故D不正确；因为(

)1,2,2MNy=−−，所以()()1,1,11,2,210mMNyy=−−−−=+，故C不正确．故选：B．9.已知,ab为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．

若//,//abb，则//aB．若//,,//abab⊥，则⊥C．若//,//,//ab，则//abD．若//,//,ab⊥，则ab⊥【答案】B【分析】根据线面平行的判定定理和性质，结合面面平行、垂直的判定定理逐一判断即可．【详解】对于A，

若//,//abb，则//a或a，故A错误；对于B，若//,//abb，则a或//a，若a，因为a⊥，则⊥，若//a，如图所示，则在平面一定存在一条直线//ma，因为a⊥，所以

m⊥，又m，所以⊥，综上若//,,//abab⊥，则⊥，故B正确；对于C，若//,//,//ab，则直线,ab相交或平行或异面，故C错误；对于D，若//,//,ab⊥，则直线,ab相交或平行或异面，故D错误.故选

：B.【能力提升】一、单选题1.若直线l的一个方向向量为()1,0,2a=，平面的一个法向量为()2,0,4n=−−，则（）A．//lB．l⊥C．lD．l与斜交【答案】B【分析】根据题意可得//na，进而可得l⊥.【详解】∵()1,0,2a=，()2,0,4n=

−−，可得2na=−，∴//na，可得l⊥故选：B.2.已知向量n为平面的一个法向量，向量m为直线l的一个方向向量，则mn∥是l⊥的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】先判断由mn∥能否推出l⊥，再判断由l⊥能否推出mn∥，结

合充分条件和必要条件的定义确定结论.【详解】当mn∥时，l⊥，当l⊥时，mn∥综上所述，mn∥是l⊥的充要条件.故选：C.3.如图，在正方体1111ABCDABCD−中，以D为原点建立空间直角坐

标系，E为1BB的中点，F为11AD的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是（）．A．（1，2−，4）B．（4−，1，2−）C．（2，2−，1）D．（1，2，2−）【答案】B【分析】设正方体的棱长为2，依次求出各点坐标，设向量(,,)nxyz=是平面AEF的法向量，根据法向量

的定义，逐一验证各选项即可求出答案．【详解】解：设正方体的棱长为2，则(2,0,0),(2,2,1)AE，(1,0,2)F，∴(0,2,1),(1,0,2)AEAF==−，设向量(,,)nxyz=是平面AEF的法向量，则20,20,

nAEyznAFxz=+==−+=取1y=，得2,4zx=−=−，则(4,1,2)n=−−是平面AEF的一个法向量，结合其他选项，只需和(4,1,2)n=−−共线即可，检验可知，ACD选项均不与(4,1,2)n=−−共线.所以能作为平面AEF的法向量只有选项

B故选：B．4.如图，在正方体1111ABCDABCD−中，,,EFM分别为所在棱的中点，P为下底面的中心，则下列结论中正确的是（）①平面1EFC⊥平面11AAC②1MPAD⊥③1MPCD⊥④//EF平面11ADBA．①②B．①②④C．②③④D．①④【答案】B【分析】对于①，根

据题意得1111ACBD⊥，11//BDBD，1AA⊥平面ABCD，得111,ACBDAABD⊥⊥，得BD⊥平面11AAC，又由//EFBD，对于②③，以1D为坐标原点，分别以11111,,DADCDD所在直线为,,xy

z轴建立如图所示的空间直角坐标系1Dxyz−，设正方体棱长为2，根据空间向量法即可解决；对于④，由①中得，11//BDBD，//EFBD，得11//EFBD，即可解决.【详解】由题知，在正方体1111ABCDABCD−中，,,EFM分别为所在棱的中点，P为下底面的中心，如图，连接11111,,

,ACBDACBD，所以1111ACBD⊥，11//BDBD，1AA⊥平面ABCD，所以111,ACBDAABD⊥⊥，因为1111111,,ACAAAACAA=平面11AAC，所以BD⊥平面11AAC，因为

在BCD△中，,EF分别为,CDBC中点，所以//EFBD，所以EF⊥平面11AAC，因为EF平面1EFC所以平面1EFC⊥平面11AAC，故①正确，由题知，11111DADCDD⊥⊥两两垂直，以1D为坐标原点，分别以11111,,DAD

CDD所在直线为,,xyz轴建立如图所示的空间直角坐标系1Dxyz−，设正方体棱长为2，因为,,EFM分别为所在棱的中点，P为下底面的中心，所以11)(2,0)(2,0,1),(1,1,0),(0,0,2),(0,2,,,00MPADC，所以11(1,1,1),(2,0,2),(0

,2,2)MPADCD=−−=−=−，因为112020,02240MPADMPCD=+−==−−=−，所以1MPAD⊥成立，1MPCD⊥不成立；故②正确，③错误；又由①中得，11//BDBD，//EFBD，所以11//EFBD，因为EF平面11ADB，11BD平面11ADB，所以//EF平

面11ADB，故④正确，故选：B5.如图，在三棱柱111ABCABC-中，1CC⊥平面1,5,2ABCABBCACAA====．D，E，F分别为1111,,AAACBB的中点，则直线EF与平面BCD的位置关系是（）A．平行B．垂直C．直线在平面内D．相交且不垂直【答案】D【分析】根

据图形位置证明线线垂直，建立空间直角坐标系，通过计算平面BCD的法向量，直线EF的方向向量，判断平面BCD的法向量是否与直线EF的法向量垂直，又判断直线EF与直线CD是否垂直，可得直线与平面的位置关系.【详解】解：如图取AC中点M，

连接EM，BM因为5,ABBCM==为AC中点，所以MBAC⊥又在三棱柱111ABCABC-中，1CC⊥平面ABC，E为11AC中点，所以1//EMCC则EM⊥平面ABC，又,ACMB平面ABC，所以EMAC⊥，EMMB⊥

，又12ACAA==，则112AMAC==，所以222MBABAM=+=，以点M为坐标原点，,,MAMBME为,,xyz轴建立空间直角坐标系如图所示，则(0B,2,0)，(1C−,0,0)，(1D,0,1)，(0E,0,2)，(

0F,2,1)，设平面BCD的法向量为(,,)nxyz=，则00nBCnBD==，即2020xyxyz+=−+=，令1y=−，则2x=，4z=−，故(2,1,4)n=−−，又(0,2,1)EF

=−，(2,0,1)DC=−−因为20(1)2(4)(1)20nEF=+−+−−=，又()001(1)10EFDC=++−−=所以直线EF与平面BCD相交，且不垂直于平面BCD．故选：D.6.下列利用方向向量、法向量判断线线、线面位

置关系的结论，其中正确的是（）A．两条直线1l，2l的方向向量分别是()1,3,4a=−，()1,3,4b=−−，则12//llB．直线l的方向向量是()1,3,4a=−，平面的一个法向量是()2,2,1n=r，则//lC．直线l的方向向量是()0,3,4a=−，平面的一

个法向量是()0,3,4n=−，则l⊥D．直线l的方向向量是()1,3,4a=−，平面的一个法向量是()1,3,2n=，则l⊥【答案】C【分析】根据题意，结合线、面位置关系的向量判断方法，一一判断即可【详解】A项，因为()1,3

,4a=−，()1,3,4b=−−，即ab=−，所以//abrr，所以12//ll或12ll,重合，故A项错误；B项，因为()12+32+410an=−=，所以an⊥，所以//l或l在面内，故B错误；C项，因为()0,3,4a=−，()0,3,4n=−，即an=rr

，所以//an，所以l⊥，故C项正确；D项，因为()11+33+420an=−=，所以an⊥，所以//l或l在面内，故D项错误.故选：C7.若平面,的法向量分别为()()2,1,0,1,2,0ab=−=−−rr，则与的位置关系

是（）A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．无法确定【答案】B【分析】先判断法向量的位置关系，进而判断两平面的位置关系.【详解】∵()()2,1,0,1,2,0ab=−=−−rr，则()()()2112000ab−+−−==+rr，∴ab⊥，故⊥.故选：B.8.如图所示，在正方体1111

ABCDABCD−中，M是棱1AA上一点，若平面1MBD与棱1CC交于点N，则下列说法中正确的是（）A．存在平面1MBND与直线1BB垂直B．四边形1MBND可能是正方形C．不存在平面1MBND与直线11AC平行D．任意平面1MBND与平面1ACB垂直【答案】D【分析】根据正方体的性质判断A，

根据面面平行的性质得到四边形1MBND是平行四边形，再由11ADBM⊥，即可判断B，当M为1AA的中点时N为1CC的中点，即可判断C，建立空间直角坐标系，利用向量法说明D.【详解】对于A：在正方体1111ABCDABCD−中1BB⊥平面1111DCBA，显然平面1M

BND与平面1111DCBA不平行，故直线1BB不可能垂直平面1MBND，故A错误；对于B：在正方体1111ABCDABCD−中，M是棱1AA上一点，平面1MBD与棱1CC交于点N，由平面11//BCCB平面11ADDA，并且1,

,,BMND四点共面，平面11BCCB平面1BNDMBN=，平面11ADDA平面11BNDMMD=，∴1//MDBN，同理可证1//NDMB，故四边形1MBND是平行四边形，在正方体1111ABCDABCD−中，由几何知识得，11AD⊥平面11ABBA，∵BM平面11ABBA，∴11AD

BM⊥，若1MBND是正方形，有1MDBM⊥，此时M与1A重合时，但显然四边形11ABCD不是正方形，故B错误；对于C：当M为1AA的中点时，N为1CC的中点，所以11//AMCN且11=AMCN，所以11AMNC为平行四边形，所以11//ACNM，11AC平面1

MBND，MN平面1MBND，所以11//AC平面1MBND，故C错误；对于D：设正方体边长为2，建立空间直角坐标系如下图所示，由几何知识得，()()()()()112,0,0,2,2,0,0,2,0,2,2,2,0,0,2ABCBD,∴()()()112,2

,2,2,2,0,0,2,2DBACAB=−=−=,∵1110DBACDBAB==，∴111,DBACDBAB⊥⊥，∵1ACABA=，AC平面1ACB，1AB平面1ACB，∴1DB⊥平面1ACB，∵1DB平面1MBND，∴任意平面1M

BND与平面1ACB垂直，故D正确.故选：D二、多选题9.下列说法正确的是（）A．若直线l的方向向量为()0,1,1a=−，平面的一个法向量为()0,1,1b=，则l⊥B．若O是空间任意一点，111442OP

OAOBOC=++，则,,,PABC四点共面C．已知()()()2,1,3,1,3,1,4,,ABCyz，若//ABBC，则217yz−=−D．若1e和2e是相互垂直的两个单位向量，1232aee=−，12ebe=−，则5ab+=【答案】BCD【分析】根据线面关系判断A，根

据空间共面定理判断B，设BCAB=得到方程组，解得y、z，即可判断C，根据向量数量积的运算律判断D.【详解】对于A：因为直线l的方向向量为()0,1,1a=−，平面的一个法向量为()0,1,1b=，则()0011110ab=+−+

=，所以ab⊥，所以//l或l，故A错误；对于B：因为111442OPOAOBOC=++，且1111442++=，所以P、A、B、C四点共面，故B正确；对于C：因为()1,2,2AB=−−，()3,3,1BCyz=

−−，设BCAB=，所以313212yz=−−=−=−，解得373yz=−==−，所以217yz−=−，所以C正确；对于D：因为1243abee+=−，所以()212124343abeeee+=−=−212221162491624095eeee=−+=−

+=，故D正确.故选：BCD.10.已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果()2,1,4AB=−−，()4,2,0AD=，()1,2,1AP=−−，下列结论正确的有（）．A．()6,1,4AC=−B

．APAB⊥C．AP是平面ABCD的一个法向量D．APBD∥【答案】ABC【分析】由平行四边形法则,可判定A正确；由0APAB=，可判定B正确；由APAB⊥且APAD⊥，可判定C正确；由AP是平面ABCD的一个法向量，得到APBD⊥，可判定D

不正确.【详解】由题意，向量(2,1,4),(4,2,0),(1,2,1)ABADAP=−−==−−，对于A中，由平行四边形法则加法可得()()()2,1,44,2,06,1,4ACABAD=+=−−+=−,所以A正确；对于B中，由2(1)(1)

2(4)(1)0APAB=−+−+−−=，可得APAB⊥，所以B正确；对于C中，又因(1)422(1)00APAD=−++−=，由APAB⊥且APAD⊥，ADABA=,AD平面ABCD,AB平面ABCD可得向量AP是平面ABCD的一个法向量，所以C正确；对于D中，

由AP是平面ABCD的一个法向量，可得APBD⊥，所以D错误.故选：ABC.11.下列利用方向向量､法向量判断线､面位置关系的结论中，正确的是（）A．两条不重合直线12,ll的方向向量分别是()()2,3,1,2,3,1ab=−=−−，则12ll∥B．直线l的方向向量()112a,,=−，

平面的法向量是()6,4,1u=−，则l⊥C．两个不同的平面,的法向量分别是()()2,2,1,3,4,2uv=−=−，则⊥D．直线l的方向向量()0,3,0a=，平面的法向量是()0,5,0u

=−，则l∥【答案】AC【分析】根据条件，利用方向向量､法向量的定义与性质，结合空间向量的平行和垂直，对各选项逐项判断即可．【详解】解：对于A，两条不重合直线1l，2l的方向向量分别是(2,3,1),(2,3,1)ab=−=−−，则ba=−，所以//ab，即12ll//，故A正确；对于C，

两个不同的平面，的法向量分别是(2,2,1),(3,4,2)uv=−=−，则0uv=，所以⊥，故C正确；对于B，直线l的方向向量(1,1,2)a=−，平面的法向量是(6,4,1)u=−，则161

42(1)0au=−+−=，所以au⊥，即//l或l，故B错误；对于D，直线l的方向向量(0,3,0)a=，平面a的法向量是(0,5,0)u=−，则53ua=−，所以//，即l⊥，故D错误．故选：AC．12.如图，在正方体1111ABCDABCD−中，M为棱1

AA上的动点（不含端点），下列选项正确的是（）A．当112AMAA=时，1BD⊥平面1DMCB．平面1DMC与平面11AABB的交线垂直于1BDC．直线1BC，11BD与平面1DMC所成角相等D．点1A在平面1DMC内的射影在正方体1111A

BCDABCD−的内部【答案】BC【分析】A选项，可证明1BD⊥平面11ACD，然后注意到平面11ACD与平面1DMC不重合从而得出结论；B选项，先补全两个平面的交线后进行证明；C选项，利用平行关系转化线面角后进行说明；D选项，投影点是否在内部，结合B选项构建的平面，考虑二面角是钝角还是锐角.

【详解】对于A，连接11AC，1AD，1BDBCBABB=++，11ACACBCBA==−，111ADBCBCBB==−，()()()()2211110BDACBCBABBBCBABCBABBBCBA=++−=−+−=，类似可

说明10BDAD=，故1BDAD⊥，11BDAC⊥，又1111ADACA=，111,ADAC平面11ACD，于是1BD⊥平面11ACD，而M为1AA中点时，平面11ACD与平面1DMC不重合，故A错误；对于B，延长11DA

，DM交于N，连接1CN交11AB于G，连接GM，则GM为平面1DMC与平面11AABB的交线，根据正方体性质易知11ADCB为平行四边形，故1AB//1CD，由中位线性质，1AB//GM，于是1GMCD∥，而根据A选项，1BD⊥平面

11ACD，由1CD平面11ACD，11BDCD⊥，1BDGM⊥，故B正确；对于C，连接BD，则11BDBD∥，由1BCBD=可知，1,BCBD与平面1DMC所成角相等，于是直线1BC，11BD与平面1DMC所成角也相等，故C正确；对于D，易知三棱锥1AGMN

−是正三棱锥，除GMN为等边三角形之外，其余都是等腰直角三角形，取GM中点J，连接1,AJNJ，由,NJNMGJJM==，得NJGM⊥（三线合一），同理1AJGM⊥，于是1AGMN−−的平面角是1AJN，若设

长方体的边长为4，则1112AGAMAN===，22MGNMGN===，可得12AJ=，6JN=，又12AN=，根据勾股定理可得1π2JAN=，即1AGMN−−是锐二面角.于是1AGMD−−是钝二面角，根据B选项可知GM//CD，于是1,,,GMDC共面，点1A在平面

1DMC内的射影在四边形1GMDC之外，即正方体1111ABCDABCD−的外部，故D错误．故选：BC．三、填空题13.已知()()3,,,uababR=是直线l的方向向量，()1,2,3n=是平面的法向量，如果l⊥，则ab+=___________.【

答案】15【分析】由l⊥得出//nu，再由向量知识得出ab+.【详解】∵l⊥，∴//nu，∴3123ab==，解得6,9ab==，∴15ab+=．故答案为：15．14.已知三点()2,3,1A、()4,1,2B、()6,3,7C，则平面ABC的法向量可以是______．（写出

一个即可）【答案】()3,2,2−（答案不唯一）【分析】设平面ABC的法向量为(),,nxyz=，则有00nABnAC==，然后赋值即可得出答案.【详解】解：()()2,2,1,4,0,6ABAC=−=，设平面ABC的法向量为(

),,nxyz=，则有220460nABxyznACxz=−+==+=，令3x=，则2,2zy=−=，所以()3,2,2n=−，所以平面ABC的法向量可以是()3,2,2−.故答案为：()3,2,2−（

答案不唯一）.15.如图的空间直角坐标系中，PD垂直于正方形ABCD所在平面，2,ABPB=与平面xDy的所成角为4，E为PB中点，则平面ABE的单位法向量0n=______．（用坐标表示）【答案】63(,0,)33【分析】根据给定条件，借

助线面角求出DP长，并求出点A，B，P的坐标，再利用空间向量求出平面ABE的单位法向量作答.【详解】如图，连接BD，因PD⊥平面ABCD，则PBD是与平面xDy所成的角，即4PBD=，在正方形ABCD

中，222BDAB==，而PDBD⊥，则有22PDBD==，于是得(2,0,0),(2,2,0),(0,0,22)ABP，PB中点()1,1,2E，(0,2,0),(1,1,2)ABAE==−，设平面PAB的一个法向量为(,,)nxyz=，则2020nABynAExyz===−

++=，令1z=，得(2,0,1)n=，与n共线的单位向量为1163(2,0,1)(,0,)33||3nn==，所以平面ABE的单位法向量063(,0,)33n=.故答案为：63(,0,)3316.放置于空间直角坐标

系中的棱长为2的正四面体ABCD中，H是底面中心，DH⊥平面ABC，写出：（1）直线BC的一个方向向量___________；（2）点OD的一个方向向量___________；（3）平面BHD的一个法向量___________；（4）DBC△的重心坐标___________.【答案】()1,

3,0−3260,,33()1,3,014326,,399【分析】先求出正四面体中各边的长度，得到各个点的坐标.对于（1）（2）：直接求出方向向量；对于（3）：根据法向量的定义列方程组，即可求得；对于（4）：

利用重心坐标公式直接求得.【详解】由题意可得：1OAOB==,3232OC==,1333OHOC==.22222262333DHDCCH=−=−=.由图示，可得：()0,0,0O，()1,0,0A−，()1,0,0B，()0,3,0C，30,,03H

，3260,,33D，（1）直线BC的一个方向向量为()1,3,0BC=−，（2）点OD的一个方向向量为3260,,33OD=；（3）260,0,3HD=,31,,03BH=−

.设(),,nxyz=为平面BHD的一个法向量，则2603303nHDznBHxy===−+=，不妨设1x=，则()1,3,0n=.故平面BHD的一个法向量为()1,3,0.（4

）因为()1,0,0B，()0,3,0C，30,,03H，3260,,33D，所以DBC△的重心坐标为14326,,399.故答案为：（1）()1,3,0−；（2）3260,,33；（3）()1,3,0（4）14326,,

399.四、解答题17.如图，在三棱柱111ABCABC-中，1CC⊥平面ABC，,,,DEFG分别为1AA，AC，11AC，1BB的中点，5ABBC==，12ACAA==.(1)证明：AC⊥平面B

EF；(2)求点G到平面BCD的距离.【答案】(1)证明见解析(2)42121【分析】（1）根据线面垂直的判定定理判定即可；（2）根据两两垂直关系建立空间直角坐标系，再用向量法求点到直线的距离.(1)在三棱柱111ABCABC-中，因为1

CC⊥平面ABC，所以四边形11AACC为矩形．又因为,EF分别为AC，11AC的中点，1//EFCC，所以ACEF⊥.又因为ABBC=，所以ACBE⊥.由于BEEFE=，所以AC⊥平面BEF.(2)由（1）知ACEF⊥，ACBE⊥，1//EFCC．又1CC⊥平面ABC，所以EF⊥平面

ABC．因为BE平面ABC，所以EFBE⊥．如图建立空间直角坐称系Exyz．由题意得()0,2,0B，()1,0,0C−，()1,0,1D，()0,2,1G，所以()2,0,1CD=，()1,2,0CB=，()0,

0,1BG=.设平面BCD的法向量为(),,nabc=，所以0,0nCDnCB==，从而20,20acab+=+=，令2a=，则1b=-，4c=−，所以平面BCD的法向量()2,1,4n=−−.所以点G到平

面BCD的距离()()222||4|42121||214nBGdn−===+−+−|．18.如图，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，124AAAB==，点E在CC1上且13CEEC=．(1)求平面BED的一个法向

量；(2)证明：A1C⊥平面BED．【答案】(1)()1,1,2−(2)证明见解析【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用法向量的性质即可求解；（2）只需证明1AC与平面BED的法向量共线即可.【详解】（1）如图所示：以D为坐标原点，射线1,,DADCDD分别为,,xyz轴的正半轴，建立如图

所示的空间直角坐标系：Dxyz−；依题知，()0,0,0D，()2,2,0B，()0,2,1E，()0,2,0C，()12,0,4A，则有()0,2,1DE=，()2,2,0DB=，()12,2,4AC=−−，设平面BED的一个法向量为：(),,nxyz=，则有00nDEnDB==

，即20220yzxy+=+=，令1x=，解得：1y=−，2z=，故平面BED的一个法向量为：()1,1,2−；（2）由（1）知，平面BED的一个法向量为：()1,1,2n=−，又()()12,2,421,1,22ACn=

−−=−−=−，所以1AC与平面BED的一个法向量()1,1,2n=−共线，即可证明：A1C⊥平面BED.19.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．证明：(1)BE∥平面PAD；(2)

平面PCD⊥平面PAD．【答案】(1)证明过程见详解(2)证明过程见详解【分析】（1）根据题意，先证明AB，AD，AP两两垂直，从而建立对应的空间直角坐标系，再利用空间向量法证明平面PAD的一个法向量AB与B

E垂直，进而即可证明结论；（2）结合（1），先证明平面PCD的一个法向量与平面PAD的一个法向量垂直，进而即可证明结论．【详解】（1）因为PA⊥平面ABCD，且AB⊂平面ABCD，所以AB⊥PA，又因为AB⊥A

D，且PA∩AD＝A，PA，AD平面PAD，所以AB⊥平面PAD，依题意，以点A为原点，以AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,

2)，由E为棱PC的中点，得E(1,1,1)，则()0,1,1BE=，所以()1,0,0AB=为平面PAD的一个法向量，又()()0,1,11,0,00BEAB==，所以BE⊥AB，又BE平面PAD，所以BE∥平面PAD．（2）由（1）知平面PAD的法向量()1,0,0

AB=，()0,2,2PD=−，()2,0,0DC=uuur，设平面PCD的一个法向量为(),,nxyz=，则00nPDnDC==，即22020yzx−==，令y＝1，可得z＝1，所以()0,1,1n=，又()(

)0,1,11,0,00nAB==，所以nAB⊥，所以平面PAD⊥平面PCD．20.在直四棱柱1111ABCDABCD−中，四边形ABCD为平行四边形,M为1AA的中点，11,2BCBDABAA====.(1)求证:MD⊥面1BCD；(2)求三棱锥1MB

CD−的体积.【答案】(1)证明见解析；(2)三棱锥1MBCD−的体积为24.【分析】（1）方法一：建立空间直角坐标系，利用向量方法证明MDDB⊥，1MDDC⊥，结合线面垂直判定定理证明MD⊥平面1BCD；方法二：证明BDMD⊥和1MDBC

⊥，再根据线面垂直判定定理证明MD⊥平面1BCD；（2）先求1BCD的面积和MD，结合锥体体积公式可求三棱锥1MBCD−的体积.【详解】（1）方法一：四边形ABCD为平行四边形，1ADBCBD===，又2AB=，222ADBDAB+=，ADBD⊥，又1DD⊥平面ABCD，以D为坐标原点，1

,,DADBDD为,,xyz轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，则()0,0,0D，21,0,2M，()0,1,0B，()11,1,2C−，21,0,2MD=−−，()0,1,0DB=，()11,1,2DC

=−，101010MDDBMDDC==+−=，即MDDB⊥，1MDDC⊥，1DBDCD=Q，1,DBDC平面1BCD，DM⊥平面1BCD.方法二：因为1BCBD==，2CDAB==，可得222BCBDCD+=，BDBC⊥，又//AD

BC，BDAD⊥.又1111ABCDABCD−是直四棱柱，1DD⊥平面ABCD，BD平面ABCD，1DDBD⊥.1=DDADD，1,DDAD平面11ADDA，BD⊥平面11ADDA，MD平面11ADDA

，BDMD⊥，取1BB中点N，连接,NCMN，//MNDC且=MNDC，MNCD为平行四边形，//MDNC，1NBBCBCCC==22，1~NBCBCC，11190CBCBCCCBCBCN+=+=，1BCC

N⊥，又MD//NC，1MDBC⊥，又1BCBDB=，1,BCBD平面1BCD，MD⊥平面1BCD；（2）在1BCC中，111,2,90BCCCBCC===，所以13BC=，在1DCC△中，112,2,90DCCCDCC===，所以12DC=，因为1BD=，12DC=，13BC=，所

以22211BDBCDC+=，所以1BCD为直角三角形，其面积111322BCDSBDBC==，因为MD⊥面1BCD，所以三棱锥1MBCD−的底面1BCD上的高为MD，在△MAD中，21,,902ADAMMAD===，所以62MD=，所以1111632

33224BCDMBCDVSMD−===.所以三棱锥1MBCD−的体积为24.