【文档说明】2023-2024学年高二数学苏教版2019选择性必修第二册同步试题 6.3.1 直线的方向向量与平面的法向量 Word版含解析.docx，共(18)页，1.545 MB，由小赞的店铺上传

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6.3.1直线的方向向量与平面的法向量一、单选题1．已知一直线经过点A（2，3，2），B（－1，0，5），下列向量中是该直线的方向向量的为（）A．()1,1,1a=B．()1,1,1a=−C．()3,3,3a=−D．()1,1,1a=−【答案】D【分析】根据点坐标得向量(3

,3,3)AB=−−，结合方向向量的定义以及向量共线即可求解.【解析】由题知(3,3,3)AB=−−，则与向量AB共线的非零向量均为该直线的方向向量．D选项中的向量()1,1,1a=−与AB线，所以是直线AB的方向向量．故选：D．2．若

1(1,2,2)l=−，2(2,3,2)l=−分别为直线1l，2l的一个方向向量，则（）．A．12ll∥B．1l与2l相交，但不垂直C．12ll⊥D．不能确定【答案】C【分析】利用向量垂直与数量积的关

系即可求解.【解析】由1(1,2,2)l=−，2(2,3,2)l=−，得()()12(1,2,2)(2,3,2)1223220ll=−−=−++−=，所以12ll⊥，即12ll⊥.故选：C.3．已知一直线经过点()2,3,2A，()1,0,5B−，下列

向量中不是该直线的方向向量的为（）A．()1,1,1a=B．()1,1,1a=−−C．()3,3,3a=−−D．()1,1,1a=−【答案】A【分析】先求得AB，然后根据向量共线确定正确选项.【解析】由题知，()3,3,3A

B=−−，则与向量AB共线的非零向量均为该直线的方向向量.A选项中的向量()1,1,1与AB不共线，所以不是直线AB的方向向量.故选：A4．已知直线l的方向向量()1,4,2a=，平面的一个法向量为()4,,8ex=，若直线l在平面内，则x的值是（）

A．5−B．3−C．2D．16【答案】A【分析】根据法向量的定义，转化为两个向量垂直，即可列式求解.【解析】由条件可知，144280aex=++=，得5x=−.故选：A5．已知平面内有两点(2,3,1),(2,4,1)MN−，

若平面的一个法向量为n(6,,6)a=，则a=（）A．32−B．32C．-24D．24【答案】C【分析】根据0nMN=，即可列出等量关系，求得结果.【解析】由题可得()4,1,0MN=，因为平面的一个法向量为()6,,6na=，所以nMN⊥，所以()()6,,64,1,0641

600nMNaa==++=，解得24a=−．故选：C．6．已知()()()2,0,0,0,2,0,0,0,2ABC，则平面ABC的一个单位法向量是（）A．()1,1,1B．333,,333C．133,,333D．333

,,333−【答案】B【分析】先求出平面ABC的一个法向量，进而得出单位法向量．【解析】因为()()()2,0,0,0,2,0,0,0,2ABC所以()2,2,0AB−=，()2,0,2AC=−令平面A

BC的一个法向量为(,,)nxyz=可得=0=0nABnAC，即2+2=02+2=0xyxz−−，令=1x，则1yz==，所以(1,1,1)n=故平面ABC的单位法向量是nn，即333,,333或33

3,,333−−−．故选：B．7．在空间直角坐标系Oxyz中，平面过点()02,0,1P−，它的一个法向量为()3,1,1n=−．设点(),,Pxyz为平面内不同于0P的任意一点，则点(),,Pxyz的坐标满

足的方程为（）A．350xyz++−=B．370xyz++−=C．370xyz+−−=D．350xyz+−−=【答案】C【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程即可.【解析】因为()02,0,1P−，(),,Pxyz，所以()02,,1PPxy

z=−+，由已知0PPn⊥，()3,1,1n=−，所以()3210xyz−+−−=，所以370xyz+−−=，故选：C.8．已知空间中三点()0,1,0A，()2,2,0B，()1,3,1C−，则下列说法错误的是（）A．AB与AC不是共线向量B．与AB同向的单位向量是255,,055

C．AB和BC夹角的余弦值是5511D．平面ABC的一个法向量是()1,2,5−【答案】C【分析】根据向量共线定理可判断A；根据单位向量的概念可判断B；由向量夹角的余弦公式可判断C；根据法向量的特征可判断D.【解析】对于A，()2,1,0AB=，()1,2,1AC=

−，由于210121−，所以AB与AC不是共线向量，故A正确；对于B，()2,1,0AB=，255,,055ABAB=，故B正确；对于C，()2,1,0AB=，()3,1,1BC=−，5551co1s

5,11ABBCABBCABBC=−==−，故C错误；对于D，()2,1,0AB=，()1,2,1AC=−，设平面ABC的法向量(),,nxyz=，则2020nABxynACxyz=+==−++=，取1x=，得()1,2,5n=−，故D正确，故选：C.9．已知光线沿向量amdpn=

+（0mp，mR，nR）照射，遇到直线l后反射，其中d是直线l的一个方向向量，n是直线l的一个法向量，则反射光线的方向向量一定可以表示为A．mdpn−−B．mdpn−C．pdmn−+D．pdmn−【答案】B【

分析】根据入射角等于反射角的性质作图即得．【解析】不妨设入射光线与反射光线的方向向量模相等，即如图中||||ab=，则向量amdpn=+(0,,)mpmRpR时，向量bmdpn=−.故选B.【点睛】本题考查平面向量的线性表示以及光线反射问题，是常考题型．10．以下四组向量：①(

1,2,1)a=−，(1,2,1)b=−−；②(8,4,0)a=，(2,1,0)b=；③(1,0,1)a=−，(3,0,3)b=−；④4,1,13a=−−，(4,3,3)b=−.其中a，b分别为直线1l，2l的方向向量，则它们互相平行的是（）A．②③B．①④C．①②④D．①②③

④【答案】D【分析】由向量的坐标表示和向量共线定理，逐一判断即可得结果.【解析】①∵ab=−，∴//ab.②∵4ba=，∴//ab.③∵3ab=−，∴//ab.④∵3ab=−，∴//ab.故选：D【点睛】本题考

查向量的坐标表示和向量共线定理，考查了运算求解能力，属于基础题目.11．下列四个命题中，正确命题的个数是（）①若{,,}abc是空间的一个基底，则对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得pxaybzc=++；②若两条不同直线l，m的方向向量

分别是a，b，则l∥m//ab；③若{,,}OAOBOC是空间的一个基底，且111333ODOAOBOC=++，则A，B，C，D四点共面；④若两个不同平面α，β的法向量分别是,uv，且(1,2,2)u=−，(2,4,4)v=−−，则α∥β．A．1B．2C．3D．4【答案】D【分析】①由空间向量基

本定理判断；②由方向向量的定义判断；③由空间向量共面定理判断；④由法向量的定义判断.【解析】①若{,,}abc是空间的一个基底，则对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得pxaybzc=++，由空间向量基本定理知，正确；②若两条不同直线l，m的方向向量

分别是a，b，则l∥m//ab，由方向向量的定义知，正确；③若{,,}OAOBOC是空间的一个基底，且111333ODOAOBOC=++，则A，B，C，D四点共面，由空间向量共面定理知，正确；④若两个不同平面α，

β的法向量分别是,uv，且(1,2,2)u=−，(2,4,4)v=−−，则α∥β．由法向量的定义知，正确.故选：D12．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，PA＝AB＝2，以B为原点，分

别以,,BCBAAF的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设平面PAB和平面PBC的一个法向量分别为,mn，则下列结论中正确的是（）A．点P的坐标为（0，0，2）B．(4,0,2)PC=−C．cos,0mnD．(0,2,2)n=−【答案】D【

分析】根据空间直角坐标系，写出点坐标()0,0,0B，()0,2,0A，()23,0,0C，()0,2,2P，分别计算即可求值.【解析】建立空间直角坐标系如图：由题意可得()0,0,0B，()0,2,0A，()23,0,0C，()0,2,2P，所以()23,2,2

PC=−−，()0,2,2BP=.设(),,nxyz=，则23220220xyzzy−−=+=，取2z=，可得()0,2,2n=−.因为ABBC⊥，PABC⊥，所以BC⊥平面PAB，所以平面PBC

⊥平面PAB，所以mn⊥，所以cos,0mn=.综上所述，A，B，C错，D正确.故选：D二、多选题13．(多选)若A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为（）A．(1，2，3)B．(1，3，2)C．(－1，－2，－3)D．(－1

，－3，－2)【答案】AC【分析】由2(1,2,3)2(1,2,3)AB==−−−−结合直线方向向量的定义求解即可.【解析】(2,4,6)2(1,2,3)2(1,2,3)AB===−−−−故直线l的一个方向向量为(1，2，3)或(－1

，－2，－3)．故选：AC14．（多选）已知空间中三点(0,1,0)A，(2,2,0)B，(1,3,1)C−，则下列说法不正确的是（）A．AB与AC是共线向量B．与AB同向的单位向量是255,,055−C．AB与BC夹角的

余弦值是5511D．平面ABC的一个法向量是(1,2,5)−【答案】ABC【分析】根据向量共线的坐标表示，可判断AB；根据向量夹角公式，可判断C；根据平面法向量的求法，即可得出结果.【解析】对于A，(2,1,0)AB=，(1,2,1)AC=−，所以

不存在实数，使得ABAC=，则AB与AC不是共线向量，所以A错误；对于B，因为(2,1,0)AB=，所以与AB同向的单位向量为255,,055，所以B错误；对于C，向量(2,1,0)

AB=，(3,1,1)BC=−，所以55cos,11||||ABBCABBCABBC==−，所以C错误；对于D项，设平面ABC的一个法向量是(,,)nxyz=，(2,1,0)AB=，(1,2,1)AC=−，所以00nABnAC==

，则2020xyxyz+=−++=，令1x=，则平面ABC的一个法向量为(1,2,5)n=−，所以D正确.故选：ABC.【点睛】本题主要考查空间向量的应用，考查空间向量的夹角公式，法向量的求法等，属于常考题型.15．在空间直角坐标系中，已知向量

(),,uabc=（其中0abc），定点()0000,,Pxyz，异于点0P的动点(),,Pxyz，则以下说法正确的是（）A．若u为直线0PP的方向向量，则000xxyyzzabc−−−==B．若u为直线0PP的方向向量，则()()()00

00axxbyyczz−+−+−=C．若u为平面的法向量，面经过0P和P，则000xxyyzzabc−−−==D．若u为平面的法向量，面经过0P和P，则()()()0000axxbyyczz−+−+−=

【答案】AD【分析】由直线的方向向量、平面法向量的概念求解判断．【解析】直线0PP是直线0PP的一个方向向量，0000(,,)PPxxyyzz=−−−，u为直线0PP的方向向量，则000xxyyzzabc−−−==，A正确，B错误，0PP在平面内，u为平面的法向量，则0uPP

⊥，所以0000()()()0uPPaxxbyyczz=−+−+−=，C错误D正确．故选：AD．16．如图，在正方体1111ABCDABCD−中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为1BB的中点，F为11AD的中点，则下列向量中，不能作为平面AEF的法向量的是（）A．(4,1,2)−−

B．(1,2,4)−C．(2,2,1)−D．(1,2,2)−【答案】BCD【分析】由已知，根据题意，表示出各点坐标，然后假设平面AEF的法向量为(),,mxyz=，将选项一一代入验证00mAEmAF==即可做出判断

.【解析】由已知，设正方体1111ABCDABCD−边长为2，因为E为1BB的中点，F为11AD的中点，所以()2,0,0A，()2,2,1E，()1,0,2F，所以()0,2,1AE=，()1,0,2AF=−，设平面AEF的法向量为(),,m

xyz=选项A，假设()(4,1,,2,)mxyz=−−=，则需满足00mAEmAF==，即()()()40122104110220−++−=−−++−=，满足，该选项正确；选项B，假设()(1,2,,4,)mxy

z−==，则需满足00mAEmAF==，即()()()10224101120427+−+=−+−+=，不满足，该选项错误；选项C，假设()(2,2,,1,)mxyz−==，则需满足00mAEmAF==

，即()()()20221132120120+−+=−−+−+=，不满足，该选项错误；选项D，假设()(1,2,,2,)mxyz=−=，则需满足00mAEmAF==，即()()()1022

2121120225++−=−++−=−，不满足，该选项错误；故选：BCD.三、填空题17．直线的方向向量是指和这条直线___________的非零向量，一条直线的方向向量有___________个；平面

的法向量是指与该平面___________的非零向量，一个平面的法向量有___________个.【答案】平行无数垂直无数【分析】根据直线的方向向量和平面的法向量的定义，即可求解.【解析】根据直线的方向向量的定义，可得直线的方向向量是与这条直

线平行的非零向量，其中一条直线的方向向量有无数个；根据平面法向量的定义，可知平面的法向量与该平面垂直的非零向量，一个平面的法向量由无数个.故答案为：平行；无数；垂直；无数.18．已知()1,2,2A−，()3,2,1B在直线l上，写出直线l的一个方向向量：n=______．【答案】

()2,0,3（答案不唯一）【分析】根据直线方向向量的求法求得n.【解析】由于()1,2,2A−，()3,2,1B，所以直线l的一个方向向量()2,0,3nAB==.故答案为：()2,0,3（答案不唯一）19．

放置于空间直角坐标系中的棱长为2的正四面体ABCD中，H是底面中心，DH⊥平面ABC，写出：（1）直线BC的一个方向向量___________；（2）点OD的一个方向向量___________；（3）平面BHD的一个法向量___

________；（4）DBC△的重心坐标___________.【答案】()1,3,0−3260,,33()1,3,014326,,399【分析】先求出正四面体中各边的长度，得到各个点的坐标.对于（1）（2）：直接求出方向向量；对于（3）：根据法

向量的定义列方程组，即可求得；对于（4）：利用重心坐标公式直接求得.【解析】由题意可得：1OAOB==,3232OC==,1333OHOC==.22222262333DHDCCH=−=−=.由图示，可得：()0,0,0O，()1,0,0A−

，()1,0,0B，()0,3,0C，30,,03H，3260,,33D，（1）直线BC的一个方向向量为()1,3,0BC=−，（2）点OD的一个方向向量为3260,,33OD=；（3）260,0,3HD

=,31,,03BH=−.设(),,nxyz=为平面BHD的一个法向量，则2603303nHDznBHxy===−+=，不妨设1x=，则()1,3,0n=.故平面BHD的一个法向量为()1,3,0.（4）因为()1,0,0B，()0,

3,0C，30,,03H，3260,,33D，所以DBC△的重心坐标为14326,,399.故答案为：（1）()1,3,0−；（2）3260,,33

；（3）()1,3,0（4）14326,,399.20．如图的空间直角坐标系中，PD垂直于正方形ABCD所在平面，2,ABPB=与平面xDy的所成角为4，E为PB中点，则平面ABE的单位法向量0n=______．（用坐标表示）【答案】63(,0,)33

【分析】根据给定条件，借助线面角求出DP长，并求出点A，B，P的坐标，再利用空间向量求出平面ABE的单位法向量作答.【解析】如图，连接BD，因PD⊥平面ABCD，则PBD是与平面xDy所成的角，即4PBD=，在正方形ABCD中，222BDAB==，而PDBD⊥，则

有22PDBD==，于是得(2,0,0),(2,2,0),(0,0,22)ABP，PB中点()1,1,2E，(0,2,0),(1,1,2)ABAE==−，设平面PAB的一个法向量为(,,)nxyz=，则2020nAB

ynAExyz===−++=，令1z=，得(2,0,1)n=，与n共线的单位向量为1163(2,0,1)(,0,)33||3nn==，所以平面ABE的单位法向量063(,0,)33n=.故答案为：63(,0,)33四、解答题21．如图，在

长方体1111ABCDABCD−中．(1)写出直线11AC的一个方向向量；(2)写出平面11BCCB的一个法向量；(3)写出与AB，AC共面的两个向量．【答案】(1)AC(2)AB(3)AD,BD【分析】（1）（2）（3）根据直线方向向量、平面法向量、共面向量的定义可得.(1)

易知11ACAC∥，所以向量AC为直线11AC的一个方向向量.(2)在长方体1111ABCDABCD−中，AB⊥平面11BCCB，所以AB是平面11BCCB的一个法向量.(3)由共面向量的定义可知AD,BD都是与AB，AC共面的向量.22．已知正方体1111ABCDABC

D−，分别写出对角面11AACC和平面1ACB的一个法向量．【答案】平面11AACC的一个法向量为()1,1,0m=，平面1ACB的一个法向量为()1,1,1n=-；【分析】建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，分别求出平面11AACC与平面1ACB的法

向量；【解析】解：如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则()1,0,0A、()0,1,0C、()10,1,1C、()11,1,1B、()11,0,1A，所以()1,1,0AC=−，()10,1,1AB=，()10,0,1AA=，设面11AACC的法向量为(),,mxyz=，所以100m

ACxymAAz=−+===，令1x=，则1y=，0z=，所以()1,1,0m=，即平面11AACC的一个法向量为()1,1,0m=，设平面1ACB的法向量为(),,nabc=，则100nACabnABbc=−+==+=，令1a=

，则1b=，1c=−，所以()1,1,1n=-，所以平面1ACB的一个法向量为()1,1,1n=-；23．已知直线l经过点0(1,0,1)P−，平行于向量(2,1,1)s=，求经过直线l和点(1,2,3)A的平面的一个法向量的坐标．【答案】(1,4,2)−（答案不唯

一）【分析】根据平面的法向量与平面垂直，建立等式即可求解.【解析】由题意，0(0,2,4)AP=−−，设经过直线l和点A的平面的一个法向量为(,,)mxyz=，则有024020mAPyzmsxyz=−−==++=，

令1x=，可得4,2yz=−=，所以(1,4,2)m=−，所以经过直线l和点(1,2,3)A的平面的一个法向量的坐标可以是(1,4,2)−.24．在空间直角坐标系中，设平面α经过点()000,,Pxyz，平面α的法向量为(),,nABC=，(),,Mxyz=是平面α内任意

一点，求x，y，z满足的关系式．【答案】()()()0000AxxByyCzz−+−+−=【分析】根据n是平面的法向量，可得nPM⊥，则有0nPM=，从而可得出答案.【解析】解：因为,PM，则PM，因为n是平面的法向量，所

以n⊥，所以nPM⊥，()000,,PMxxyyzz=−−−，从而0nPM=，即()()000,,,,0ABCxxyyzz−−−=，得到()()()0000AxxByyCzz−+−+−=，所以满足题意的关系式为()()()0000AxxByyCzz

−+−+−=．25．如图，已知平面内有()2,3,1A，()4,1,2B，()6,3,7C三点，求平面的法向量．【答案】()3,2,10−（结果不唯一）【分析】设出法向量的坐标，根据法向量与,ABAC向量垂直

，列出方程组，求解即可.【解析】不妨设平面的法向量(),,mxyz=，又()()2,2,1,4,0,6ABAC=−=，故可得00mABmAC==，即220230xyzxy−+=+=，不妨取2y=，故可得3,10xz=−=，故平面的一个法向量为()3,2,10−.又平面的

法向量不唯一，只要与向量()3,2,10−平行且非零的向量均可.故答案为：()3,2,10−.（结果不唯一）26．如图，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，E，F分别是1DD，DB的中点，G在棱CD上，14CGCD=，H是1CG的中点，建立适当的空间直

角坐标系，求线段1BC，EF，1CG，FH所在直线的一个方向向量．【答案】见解析【分析】以D为原点，以1,,DADCDD所在的直线分别为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，由已知求出各点坐标，从而可求出线段1BC，EF，1CG，FH所在直线的一个方向向量【解析】以D为原点，以1,,DADCDD所

在的直线分别为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，则()()()()()()()()11110,0,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0,1,0,1,1,1,1,0,1,1,0,0,1DABCABCD，因为E，F分别是1DD，DB的中点，所以111(0

,0,),(,,0)222EF，因为G在棱CD上，14CGCD=，H是1CG的中点，所以3(0,,0)4G，71(0,,)82H，所以()11,0,1BC=−−，111(,,)222EF=−uuur，11(0

,,1)4CG=−−uuur，131(,,)282FH=−，所以线段1BC，EF，1CG，FH所在直线的一个方向向量分别为()11,0,1BC=−−，111(,,)222EF=−uuur，11(0,,1)4CG=−−uuur，13

1(,,)282FH=−，27．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为棱A1D1、A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：（1）平面BDD1B1的一个法向量；（2）平面BDEF的一个法向量．【答案】（1）()1,1,0−；（2）()2,2,1−−

.【分析】（1）设棱长为2，平面BDD1B1的一个法向量为()111,,nxyz=，利用100DBnDDn==即可求得；（2）设平面BDEF的一个法向量为()222,,mxyz=，利用00DBmDEm==即可求出.【解

析】设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则1(0,0,0),(2,2,0),(0,0,2),(1,0,2)DBDE，（1）设平面BDD1B1的一个法向量为()111,,nxyz=，()()12,2,0,0,0,2DBDD==，则100DB

nDDn==，即11122020xyz+==，令11x=，则11,0yz=−=，平面BDD1B1的一个法向量为()1,1,0n=−；（2）(2,2,0),(1,0,2)DBDE==，设平面BDEF的一个法向量为()222,,mxyz=．∴00DBm

DEm==，222222020xyxz+=+=，令22x=，得222,1yz=−=−，平面BDEF的一个法向量为()2,2,1m=−−.