【文档说明】高二数学人教A版2019选择性必修第一册同步备课试题 1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（第2课时） Word版含解析.docx，共(36)页，6.472 MB，由小赞的店铺上传

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1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（第2课时）（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】题型1异面直线所成的角1.直三棱柱111ABCABC-如图所示，4,3,5,ABBCACD===为棱AB的中点，三棱柱的各顶点

在同一球面上，且球的表面积为61π，则异面直线1AD和1BC所成的角的余弦值为（）A．325B．25C．425D．16225【答案】A【分析】先根据已知条件求出侧棱长，然后建立空间直角坐标系，求出直线1AD和1BC的方向向量，从而可求解.【详解】因为在直三棱柱111ABCABC-

中，所以球心到底面的距离12BBd=，又因为4,3,5ABBCAC===，所以222ABBCAC+=，所以ABBC⊥，所以底面外接圆半径52r=，又因为球的表面积为61π，所以612R=，而222Rrd=+，所以16BB=，以1B为原点，11BC为

x轴，11BA为y轴，1BB为z轴建立空间直角坐标系，则()10,0,0B，()10,4,0A，()3,0,6C，()0,2,6D，()()113,0,6,0,2,6BCAD==−，111135,210,36BCADBCAD===，设直线1AD和1BC所成的角为，则111111363

2coscos,535210BCADBCADBCAD====.故选：A.2．如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，且各棱长均相等，E是PB的中点，则异面直线AE与PC所成角的余弦值为（）A．36B．63C．13D．12【答案

】A【分析】连接AC与BD交于点O，连接PO，以O点为原点，建立空间直角坐标系，分别求得向量AE和PC的坐标，结合向量的夹角公式，即可得解.【详解】连接AC与BD交于点O，连接PO，由题意得，ACBD

⊥，且PO⊥平面ABCD，以O点为原点，建立如图所示空间直角坐标系，设四棱锥PABCD−各棱长均为2，则2AOBODO===，2PO=，可得()()()222,0,0,0,,,2,0,0,0,0,222AECP−，则()222,,,2,0,222AEPC=

−=−−，设异面直线AE与PC所成角为，则2(2)(2)(2)23coscos,611220222AEPCAEPCAEPC−−+−====++++．故选：A．3.在四棱锥PABCD−中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形

，2AB=，E为PB的中点，若3cos,3DPAE=，则PD=（）A．1B．32C．3D．2【答案】D【分析】由已知以D为原点建立空间直角坐标系，设(0,0,)Pa，求得,DPAE的坐标，由数量积公式可得答案.【详解】

由已知DPDADC、、两两垂直，所以以D为原点，建立如图所示的坐标系，设(0)PDaa=，则(0,0,)Pa，(2,0,0)A，连接BD取中点F，连接EF，所以//EFPD，EF⊥平面ABCD，所以(1,1,)2aE，所以(0,0,)DPa=，(1,1,)2aAE=−

uuur，由3cos,3DPAE=，得2232cos,3114aDPAEDPAEDPAEaa===++，解得2a=.故选：D.【点睛】本题考查了空间向量的数量积公式的应用，关键点是建立空间直角坐标系，由数量积公式求得a，考查了学生的空间

想象力.4.如图，四棱锥PABCD−中，底面ABCD为正方形，PAD是正三角形，2AB=，平面PAD⊥平面ABCD，则PC与BD所成角的余弦值为（）A．14B．24C．13D．33【答案】A【分析】取AD的中

点O，BC的中点E，连接PO、OE，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】取AD的中点O，BC的中点E，连接PO、OE，因为PAD是正三角形，所以POAD⊥，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD=，PO平

面PAD，所以PO⊥平面ABCD，如图建立空间直角坐标系，则()0,0,3P，()2,1,0C，()0,1,0D，()2,1,0B−，所以()2,1,3PC=−，()2,2,0DB=−，所以1cos,4PCDBPCDBPCDB==，所以PC与BD所成角的

余弦值为14.故选：A题型2求直线与平面所成的角5.如图，在直三棱柱111ABCABC-中，棱长均为2．D，E，F分别为1AA，11AC，1BB的中点，则直线EF与平面BCD所成角的正弦值是（）A．36B．26C．38D．28【答案】C【分析】取AC中点O，连接OE、OB，如图建立空间直角

坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】取AC中点O，连接OE、OB，在直三棱柱111ABCABC-中，棱长均为2，所以三棱柱111ABCABC-为正三棱柱，则OBAC⊥，1//OEAA，1AA⊥平面ABC，所以OE⊥平面ABC，如图建立空间直角坐标系，

则()0,0,2E，()0,3,0B，()1,0,0C−，()0,3,1F，()1,0,1D，所以()1,3,0CB=，()2,0,1CD=，()0,3,1EF=−，设平面BCD的法向量为(),,nxyz=，则3020nCBxynCDxz=+=

=+=，令3x=，则1y=−，23z=−，所以()3,1,23n=−−，所以直线EF与平面BCD所成角为，则33sin248nEFnEF===，所以直线EF与平面BCD所成角的正弦值

是38.故选：C6.如图，在多面体1111ABCDABC中，侧面四边形1111DCBA，11AABB，11BBCC是三个全等且两两垂直的正方形，平面1111∥ABCD平面ABC，E是棱1AA的中点，则直线1EC与平面1ACD所成角的正

弦值为（）A．13B．39C．789D．223【答案】B【分析】根据已知条件，作图构建正方体，建立空间直角坐标系，求直线1EC的方向向量与平面1ACD，的一个法向量，结合空间向量的夹角公式求直线1EC与平面1ACD所成角的正弦值【详解】由题知，多面体1111ABCDABC是从正方体1111ABC

DABCD−中截去三棱锥1DACD−后所得的几何体.如图，以D为坐标原点，分别以1,,DADCDD为,,xyz轴的正方向，建立空间直角坐标系Dxyz−，不妨设正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，则()()12,0,1,0,2,2EC，()()()12,0,0,C

0,2,0,D0,0,2A，所以()()12,2,1,2,2,0ECAC=−=−，()12,0,2AD=−，设平面1ACD的法向量为n，(),,nxyz=，则100nACnAD==，故220220xyxz−+=−+=取1x=，则1y=，1z

=，()1,1,1n=是平面1ACD的一个法向量，又111113cos,933ECnECDBECn===，所以直线1EC与平面1ACD所成角的正弦值为39.故选：B.7.（多选题）已知正方体1111ABCDABCD

−的棱长为1，下列四个结论中正确的是（）A．直线1BC与直线1AD所成的角为90B．1BD⊥平面1ACDC．点1B到平面1ACD的距离为32D．直线1BC与平面1ACD所成角的余弦值为33【答案】BD【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利

用坐标得到11BCAD=，即可判断选项A；利用向量法证明111,BDADBDAC⊥⊥，即可判断选项B；利用向量法求出点1B到平面1ACD的距离即可判断选项C；利用向量法求出直线B1C与平面1ACD所成角的余弦值即可判断选项D.【详解】建立

如图所示的空间直角坐标系：111(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1)ABCBCD.A：11(1,0,1),(1,0,1)BCAD=−=−，因为11BCAD=，所以11//BCAD，因此该选项不正确；B：11(1

,1,1),(1,0,1),(1,1,0)BDADAC=−−−=−=−，因为111(1,1,1)(1,0,1)0,(1,1,1)(1,1,0)0BDADBDAC=−−−−==−−−−=，所以111,BDADBDAC⊥⊥，而11,,ACADAACAD=平面ACD1，

因此1BD⊥平面ACD1，所以该选项正确；C：因为1BD⊥平面ACD1，所以1BD是平面ACD1的法向量，1(1,0,1)BC=−−，所以点B1到平面ACD1的距离为()()1122211111233(1)(1)(1)BCBDB

D−−−−==−+−+−，因此该选项不正确；D：设直线B1C与平面1ACD所成角为，则()()1111222221111116sincos3(1)(1)(1)11BCBDBCBDBCBD−−−

−====−+−+−+，所以直线B1C与平面1ACD所成角的余弦值22631cos133−=−=，因此该选项正确.故选：BD.8.（多选题）如图，在正方体1111ABCDABCD−中，点P在线段1BC上运动，则下列结论正确的是（）A．直线1BD⊥平面11ACDB．

三棱锥11PACD−的体积为定值C．异面直线AP与1AD所成角的取值范围是ππ,42D．直线1CP与平面11ACD所成角的正弦值的最大值为63【答案】ABD【分析】在选项A中，利用线面垂直的判定定理，结合正方体的性质进行判断即可；在选项

B中，根据线面平行的判定定理、平行线的性质，结合三棱锥的体积公式进行求解判断即可；在选项C中，根据异面直线所成角的定义进行求解判断即可；在选项D中，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，1DD为z轴，建立

空间直角坐标系，利用向量法进行求解即可.【详解】在选项A中，∵1111ACBD⊥，111ACBB⊥，1111BDBBB=，且111,BDBB平面11BBD，∴11AC⊥平面11BBD，1BD平面11BBD，∴111ACBD⊥，同理，11DCBD⊥，∵

1111ACDCC=，且111,ACDC平面11ACD，∴直线1BD⊥平面11ACD，故A正确；在选项B中，∵11//ADBC，1AD平面11ACD，1BC平面11ACD，∴1//BC平面11ACD，∵点P在线段1BC上运动，∴P到平面11ACD的距

离为定值，又11ACD的面积是定值，∴三棱锥11PACD−的体积为定值，故B正确；在选项C中，∵11//ADBC，∴异面直线AP与1AD所成角为直线AP与直线1BC的夹角.易知1ABCV为等边三角形，当P为1BC的中点时，1APBC⊥；当P与点1B或C重合时，直线AP与直线1BC的夹角

为π3.故异面直线AP与1AD所成角的取值范围是ππ,32，故C错误；在选项D中，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，1DD为z轴，建立空间直角坐标系，如图，设正方体1111ABCDABCD−的

棱长为1，则(),1,Paa，()10,1,1C，()1,1,0B，()10,0,1D，所以()1,0,1CPaa=−，()11,1,1DB=−.由A选项正确：可知()11,1,1DB=−是平面11ACD的一个法向量，∴直线1CP与平面11ACD所成角的正弦值为：112221111(1)31132

22CPDBCPDBaaa==+−−+，∴当12a=时，直线1CP与平面11ACD所成角的正弦值的最大值为63，故D正确.故选：ABD题型3两平面的夹角9.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面

ABCD，2PAAB==，4=AD，E为PC的中点，则面PCD与直线BE所成角的余弦值为（）A．35B．23015C．2515D．10515【答案】D【分析】以点A为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得面PCD

与直线BE所成角的余弦值.【详解】因为PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，以点A为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()2,0,0B、()2,4,0C、()0,4,0D、()002P,,、()1,2,1E

，设平面PCD的法向量为(),,nxyz=，()2,0,0DC=uuur，()0,4,2DP=−uuur，则20420nDCxnDPyz===−+=，取1y=，可得()0,1,2n=，()1,

2,1BE=−，所以，4230cos,1565BEnBEnBEn===，所以，22230105sin,1cos,11515BEnBEn=−=−=，因此，面PCD与直线BE所成角的余弦值为10515.故选：D.10.如图，过边长为1的正方

形ABCD的顶点A作线段EA⊥平面ABCD，若1EA=，则平面ADE与平面BCE所成的二面角的大小是（）A．120B．45C．135D．60【答案】B【分析】建立适当的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后求出平面ADE与平面BCE的法向量，由向量的夹角公式求解即可.

【详解】以A为原点，分别以AB，AD，AE所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则()()()0,0,1,1,0,0,1,1,0EBC，可得()()1,0,1,0,1,0EBBC=−=uuruuur，设平

面BCE的法向量为(),,nxyz=r，则00nEBxznBCy=−===，令1x=，则0,1yz==，即()1,0,1n=，∵平面EAD的法向量为()1,0,0AB=，则122s1,2conABn

ABnAB===ruuurruuurruuur，故平面ADE与平面BCE所成的锐二面角的余弦值为22，即二面角的大小是45．故选：B．11.如图，过边长为1的正方形ABCD的顶点A作线段EA⊥平面AC，若EA＝1，则平面

ADE与平面BCE所成的二面角的大小是（）A．120°B．45°C．150°D．60°【答案】B【分析】建立适当的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后求出平面BCE与平面ADE的法向量，由向量的夹角公式求解即可．【详解】以点A为坐标原点，建立空间

直角坐标系如图所示，则(0,0,1),(1,0,0),(1,1,0)EBC，所以(1,0,1),(1,1,1)EBEC=−=−，设平面BCE的法向量为(,,)nxyz=，则00nEBnEC==，即00xzxyz−

=+−=，令1x=，则1z=，故取(1,0,1)n=，又平面ADE的一个法向量为(1,0,0)AB=，所以||12cos,2|||111nABnABnAB===+∣，又平面ADE与平面BCE所成的二面角的大小为锐角

，所以平面ADE与平面BCE所成的二面角的大小是45°．故选：B．12.在正三棱柱111ABCABC-中，12,3ABAA==，点D为棱BC的中点，点E为1AC上的点，且满足1()AEmECmR=，当二面角EA

DC−−的正切值为32时，实数m的值为（）A．12B．1C．2D．3【答案】C【分析】以D原点，DA，DB，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用二面角EADC−−的余弦值即可算出.【详解】如图，以D原点，DA，DB，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐

标系，则()0,0,0D，()3,0,0A，()0,1,0C−，()13,0,3A，()a,,Ebc，由1AEmEC=得，()()3,,3,1,abcmabc−−=−−−−，即33,,111mEmmm−+++，所以(3,0,0)DA=，3

3,,111mmDmmE−+++=，设面EAD的法向量为：(,,)mxyz=，则30330111xmxyzmmm=−++=+++取3(0,,1)mm=，取面ADC的法向量为：(0,0,1)n=，设二面角E

ADC−−为，由3tan2=得，213cos13=，则2·1213cos1391mnmnm===+，所以2m=，故选：C.【能力提升】一、单选题1.已知正方体ABCDABCD−的棱长为2，点E在线段BC上，若直线AE与CD所

成角的余弦值为36，则AE=（）A．6B．322C．3D．22【答案】A【分析】如图建立空间直角坐标系，设()01CECB=，由AEACCB=+可得AE的坐标，求出DC的坐标

，利用向量的夹角公式列方程求得的值，进而可得AE的长.【详解】建立空间直角坐标系Dxyz−如图所示，因为点E在线段BC上，不妨设()01CECB=，易得()0,0,0D，()0,2,2C，()2,0,2A，()2,2,0B，则(0,2,2)DC=，(22,2,2)

AEACCB=+=−−．由题意得2|44|3cos,622221DCAEDCAEDCAE−===−+，整理可得：22520−+=，解得：12=或2=（舍去），所以(1,2,1)AE=−−，6AE=，故选：

A.2.在正四棱锥PABCD−中，M，N分别为PA，PB的中点，且侧面与底面所成二面角的正切值为2，则异面直线DM与AN所成角的余弦值为（）.A．13B．16C．18D．112【答案】B【分析】不妨设正四棱锥底面边长为2，则由该正四棱锥侧面与底面所成二面角的

正切值为2，易得其高为2.取底面正方形的中心为原点O，建立如图所示的空间直角坐标系，然后利用空间向量进行求解即可【详解】如图所示.不妨设正四棱锥底面边长为2，底面中心为O，连PO，则PO⊥平面ABCD，取BC中点E，连,OEPE，

则,OEBCPEBC⊥⊥，所以PEO为侧面PBC与底面ABCD所成的角，即tan2,1PEOOE==，所以2PO=取底面正方形的中心O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则(1,1,0)A−，(1,1,0)B，(1,1,0)C−，0()1,1,D--

，(0,0,2)P，则112,,222M−，112,,222N，所以312,,222DM=，132,,222AN=−.设DM与AN所成的角为，则||1cos6||||DMANDMAN==.故

选：B.【点睛】此题考查求异面直线所成的角，考查空间向量的用法，属于基础题3.已知四棱锥S－ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，SD⊥平面ABCD，边AB、SC的中点分别为E，F.若直线EC与BF所成角的余弦值为55，则SD＝（）A．

2B．32C．4D．1【答案】C【分析】以D为原点，,,DADCDS分别为,,xyz轴正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求解.【详解】以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz.设()0SDtt=，则()

2,2,0B，()0,2,0C，()0,0,St，()2,1,0E，所以0,1,2tF，所以()2,1,0EC=−，2,1,2tBF=−−.因为直线EC与BF所成角的余弦值为55，所以24105cos,541414ECBFECBFECBFt

−+===+++，解得4t=，也即4SD=.故选：C.4.如图，在正方体1111ABCDABCD−中，点M，N分别是1AD，1DB的中点，则下述结论中正确的个数为（）①MN∥平面ABCD；②平面1AND⊥平面1DMB；③直线

MN与11BD所成的角为45；④直线1DB与平面1AND所成的角为45．A．1B．2C．3D．4【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，利用法向量的性质，结合空间向量夹角公式逐一判断即可.【详解】建立如下图所示的空间直角

坐标系，设该正方体的棱长为2，111(0,0,0),(2,0,2),(2,2,0),(0,0,2),(2,2,2),(1,0,1),(1,1,1)DABDBMN，由正方体的性质可知：1DD⊥平面ABCD

，则平面ABCD的法向量为1(0,0,2)DD=，(0,1,0)MN=，因为10DDMN=，所以1DDMN⊥，而MN平面ABCD，因此MN∥平面ABCD，故①对；设平面1AND的法向量为(,,)mxyz=，(1,1,1)DN=，1(2,0,2)DA

=，所以有1100(1,0,1)2200mDNmDNxyzmxzmDAmDA⊥=++==−+=⊥=，同理可求出平面1DMB的法向量(1,0,1)n=，因为110mn=

−=，所以mn⊥，因此平面1AND⊥平面1DMB，故②正确；因为(0,1,0)MN=，11(2,2,0)BD=−−，所以11111122cos,2144MNBDMNBDMNBD−===−+，因为异面直线所成的角范围为(

0,90]，所以直线MN与11BD所成的角为45，故③正确；设直线1DB与平面1AND所成的角为，因为1(2,2,2)DB=−，平面1AND的法向量为(1,0,1)m=−，所以1112262sincos,3211444DBmDBmDBm

+====+++，所以直线1DB与平面1AND所成的角不是45，因此④错误，一共有3个结论正确，故选：C5.如图，在正方体1111ABCDABCD−中，E为棱1CC上一点且113CECC=，则直线1AB与平面BDE所

成角的正弦值为（）A．31111B．2211C．3311D．22211【答案】D【分析】以点D为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【详解】以点D为原点，1,,DADCDD分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设3AB=，则1(0,0,0),(

3,3,0),(0,3,1),(3,0,3)DBEA，所以1(3,3,0),(0,3,1),(0,3,3)DBDEAB===−，设平面BDE的法向量为(,,)mxyz=，则0,0,mDBmDE==即330,30,xyyz+=+=令1x=，则1,3yz=−=

，所以(1,1,3)m=−，设直线1AB与平面BDE所成角为，所以112222sincos,113211ABm===．故选：D．6.在直三棱柱111ABCABC-中，底面是等腰直角三角形，90ACB=，侧棱12AA=，D，E分别是1CC与1AB的中点，点E在平面ABD

上的射影是ABD△的重心G，则1AB与平面ABD所成角的余弦（）A．23B．73C．32D．37【答案】B【分析】以1,,CACBCC所在直线分别为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，根据0GEBD=列出方程求得a的值，得到向量GE，1ABu

uur，且GE是平面ABD的一个法向量，设1AB与平面ABD所成角为，再利用线面角的向量求法可得答案.【详解】由题意，以C为坐标原点，1,,CACBCC所在直线分别为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，设CACBa==，则(),0,0Aa，()0,,0Ba，()0,0,1D，()1,

0,2Aa，可得,,122aaE，1,,333aaG，2,,663aaGE=，()0,,1BDa=−，因为点E在平面ABD上的射影是ABD△的重心，所以GE⊥平面ABD，所以0GEBD=，即20()10663aaa+

−+=，解得2a=，可得()0,2,0B，()12,0,2A，所以()12,2,2AB=−−，112,,333GE=，因为GE⊥平面ABD，所以GE是平面ABD的一个法向量，设1AB与平面ABD所成角为()090，1112242333sincos3114444999−+

−====++++ABGEABGEABGE，所以27cos1sin3=−=.故选：B.7.已知四棱锥PABCD−的底面为平行四边形，2AD=，4DC=，60BAD=，PD⊥平面ABCD，直线PD与平面PAC所成角为30，则PD=（）A．22B．475C．677D．7【答案】C【分

析】根据题意建立如图空间直角坐标系，利用向量法结合PD与平面PAC的线面角，可求出PD.【详解】2AD=，4DCAB==，60BAD=，由余弦定理得22222cos41681DBBADBDAABDAA=+=+−=−，即23AB=，则有222D

BDAAB+=，所以DBDA⊥，又PD⊥平面ABCD，以D为原点，,,DADBDP的方向为x轴，y轴，z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，设PDa=，由2AD=，23AB=，得()0,0,0D，()2,0,

0A，()0,23,0B，()2,23,0C−，()0,0,Pa，()2,0,PAa=−，(4,23,0)AC=−，(0,0,)PDa=−，设平面PAC的法向量为(,,)nxyz=，则204230nPAxaznACxy=−==−+=，令23y

=，则3x=，6za=，所以63,23,na=，直线PD与平面PAC所成角为30，所以2||61cos,236912nPDnPDnPDaa===++，则有236121364a=+，解得677a=，则677PD=.故选：C.8.如图，在直三棱柱111ABCABC-中，

ACBC⊥，2AC=，14BCCC==，点D是棱AB的中点，则平面11ABBA与平面1BCD所成角的正弦值为（）A．3010B．7010C．306D．66【答案】B【分析】建系，求两平面的法向量，利用空间向量解决面面夹角问题.【详解】如图，以C

为坐标原点建立空间直角坐标系，则()()()()()12,0,0,0,0,0,0,4,0,1,2,0,0,4,4ACBDB，设平面11ABBA的法向量(),,nxyz=，∵()()12,4,0,0,0,4BABB=−=uuruuur，则124040nBAxynBBz=−===，

令2x=，则1,0yz==，∴()2,1,0n=，同理可得：平面1BCD的法向量()2,1,1m=−，故330cos,1056nmnmnm===rurrurrur，设平面11ABBA与平面1BCD所成角为π0,2，则30cos10=，故平面11ABBA与平面1

BCD所成角的正弦值270sin1cos10=−=.故选：B.二、多选题9.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为平行四边形，π3DAB=，22ABADPD==，PD⊥底面ABCD，则（）A．PABD⊥B．PB与平面ABCD所成角为π3C．异面直线AB与PC所成角的余弦值为55D

．平面PAB与平面PBC的夹角的余弦值为277【答案】AD【分析】连接BD，由已知结合余弦定理与勾股定理逆定理可得BDAD⊥，于是可建立空间直角坐标系，根据空间向量的坐标运算逐项判断即可.【详解】连接BD，因为π3DAB=，设222ABADPDa===，由余弦定理得2222cosBDA

DABADABBAD=+−，所以2222214432BDaaaa=+−=，则3BDa=，则22BDADAB+=，即BDAD⊥，又PD⊥底面ABCD，,ADBD底面ABCD，所以,PDADPDBD⊥⊥，如图，以D为原点，,,DADBDP分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系，则()()

()()()0,0,0,,0,0,0,3,0,,3,0,0,0,DAaBaCaaPa−对于A，所以(),0,PAaa=−，()0,3,0BDa=−，则0000PABD=++=，所以PABD⊥，故A正确；对于B，又()0,3,PBaa=−，因为PD⊥底

面ABCD，所以()0,0,DPa=是平面ABCD的一个法向量，所以21cos,22PBDPaPBDPaaPBDP−===−，则PB与平面ABCD所成角的正弦值为12，即PB与平面ABCD所成角为π6，故B错误；对于C，()(),3,0,,3,ABaaPCa

aa=−=−−，则223025cos,525ABPCaaABPCaaABPC++===，则异面直线AB与PC所成角的余弦值为255，故C错误；对于D，设平面PAB的法向量为()111,,xnyz=，则11111111003030axazx

zPAnaxayxyABn−===−+===，令11y=，则()31,3n=,，设平面PBC的法向量为()222,,mxyz=，则2222222230030030ayazPBmzyxP

Cmaxayaz−=====−+−=，令21y=，则()0,1,3m=，所以01327cos,772nmnmnm++===，则平面PAB与平面PBC的夹角的余弦值为277，故D正确.故选：AD.10.如

图，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，点M为线段1BD上的动点（含端点），则（）A．存在点M，使得CM⊥平面1ADBB．存在点M，使得CM∥平面1ADBC．不存在点M，使得直线1CM与平面1ADB所成的角为30D．存在点M，使得平面ACM与平面1ABM所成的锐角为45【答案】

BCD【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式、法向量的性质逐一判断即可.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，()()()()()()()1110,0,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1,1,1,0,0,1CBADDA

C，设()11(1,,1)[0,1]DMDBM=−−，设平面1ADB的法向量为(),,nxyz=，()()()11,1,0,1,0,1,1,,1DBBACM=−==−−，则有()1001

,1,100nDBxynxznBA=−+==−+==，假设存在点M，使得CM⊥平面1ADB，所以有//CMn，所以有11111−−==−，因此假设不成立，因此选项A不正确；假设存在点M，使得CM∥平面1ADB，所以有01100

[0,1]CMnCMn⊥=−+−+==，所以假设成立，因此选项B正确；假设存在点M，使得直线1CM与平面1ADB所成的角为30，()11,,CM=−−，所以有()11222111cos,si

n30231CMnCMnCMn−++====−++，解得73605−=，73615+=，所以假设不成立，故选项C正确；假设存在点M，使得平面ACM与平面1ABM所成的锐角为45

，设平面ACM、平面1ABM的法向量分别为()111,,axyz=、()222,,bxyz=，()()1,1,0,1,1,1,CABM==−−−显然[0,1)，则有()()11111001100xyaCAxyzaCM+==−++−==，当[0

,1)时，有211,1,1a−=−−()()()()221222001,0,111100xzbBAbxyzbBM+===−−+−+−==，所以有221121cos,12212111ababmn−+−====

−++−（舍去），或13=，假设成立，选项D正确，故选：BCD11.如图所示的几何体是由正方形ABCD沿直线AB旋转90°得到的，设G是圆弧CE的中点，H是圆弧DF上的动点（含端点），则

（）A．存在点H，使得EHBG⊥B．存在点H，使得EHBD∥C．存在点H，使得EH∥平面BDGD．存在点H，使得直线EH与平面BDG的所成角为30°【答案】ACD【分析】先将图形补全为一个正方体ADMFBCNE−，对于A、B：利用正方体的性质直接判断；对于C、D：

以A为原点，,,ADAFAB为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，利用向量法求解.【详解】由题意可将图形补全为一个正方体ADMFBCNE−，如图示：对于A：因为正方体ADMFBCNE−中，EF⊥面BCNE，所以E

FBG⊥.所以当,FH重合时，有EHBG⊥.故A正确；对于B：因为//BD面EFMN，而H是圆弧DF上的动点，所以//EHBD不成立.故B错误；对于C：以A为原点，,,ADAFAB为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.设2BC=，则()0

,0,0,A()2,0,0,D()0,2,2,E()0,2,0,F()0,0,2,B()2,0,2,C()2,2,2,G()()22,,0,4,0,0Hmnmnmn+=，所以()()2,0,2,2,2,0,BDBG=−=(),2,2EHmn=−−.设(),,

exyz=为平面BDG的一个法向量，则20202200BDexzBGexyz=+−==+−=，不妨设1x=，则()1,1,1e=−.假设//EH平面BDG，则220eEHmn=−+−=，所以mn=.因为224,0,0mnmn+=，所以2mn==，即H是圆

弧DF的中点，符合题意.故C正确；对于D：当点H与点F重合时,直线EH与平面BDG所成角最大，因为(0,0,2)EFBA==−，所以23cos3||||23eEFeEFeEF−===−,此时直线EH与平面BDG的所成角的正弦值为33，由3132

,得直线EH与平面BDG的所成角的最大角大于30°，所以存在点H，使得直线EH与平面BDG的所成角为30°，选项D正确.故选：ACD12.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为平行四边形，π3DAB=，22ABADPD==，PD⊥底面A

BCD，则（）．A．PABD⊥B．PB与平面ABCD所成角为π6C．异面直线AB与PC所成角的余弦值为55D．二面角APBC−−的正弦值为217【答案】ABD【分析】连接BD，由已知结合余弦定理与勾股定理逆定理可得BDAD⊥，于是可建立空间直角坐标系，根据空间向量的坐标运算逐项判断即可.

【详解】连接BD，因为π3DAB=，设222ABADPDa===，由余弦定理得2222cosBDADABADABBAD=+−，所以2222214432BDaaaa=+−=，则3BDa=，则222BDADAB+=，即BDAD⊥，又PD⊥底面ABCD，,AD

BD底面ABCD，所以,PDADPDBD⊥⊥，如图，以D为原点，,,DADBDP分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系，则()()()()()0,0,0,,0,0,0,3,0,,3,0,0,0,DAaBaCaaP

a−对于A，所以(),0,PAaa=−，()0,3,0BDa=−，则0000PABD=++=，所以PABD⊥，故A正确；对于B，又()0,3,PBaa=−，因为PD⊥底面ABCD，所以()0,0,DPa=是平面ABCD的一个法向量，所以21cos,2

2PBDPaPBDPaaPBDP−===−，则PB与平面ABCD所成角的正弦值为12，即PB与平面ABCD所成角为π6，故B正确；对于C，()(),3,0,,3,ABaaPCaaa=−=−−，则

223025cos,525ABPCaaABPCaaABPC++===，则异面直线AB与PC所成角的余弦值为255，故C错误；对于D，设平面PAB的法向量为()111,,xnyz=，则11111111003030axazx

zPAnaxayxyABn−===−+===，令11y=，则()31,3n=,，设平面PBC的法向量为()222,,mxyz=，则2222222230030030ayazPB

mzyxPCmaxayaz−=====−+−=，令21y=，则()0,1,3m=，所以01327cos,772nmnmnm++===，令二面角APBC−−所成

角为()0，则27cos7=则平面PAB与平面PBC的夹角的余弦值为277，所以221sin1cos7=−=，故D正确.故选：ABD.三、填空题13.若向量()1,0,0AD=，()1,0,1

CO=−−，()1,0,1BE=−−，则：（1）向量AD与CO的夹角为______；（2）直线AD与BE所成角的大小为______.【答案】34/1354/45【分析】利用空间向量夹角公式计算可得；【详解】解：因为()1,

0,0AD=，()1,0,1CO=−−，()1,0,1BE=−−，所以1ADCO=−，2CO=，1AD=，所以12cos221ADCOADCOADCO−===−，因为0,ADCO，

所以3π4ADCO=，即向量AD与CO的夹角为3π4；又1ADBE=−，2BE=，设直线AD与BE所成的角为，则2coscos,2ADBEADBEADBE===，因为0,2

，所以4=；故答案为：3π4；4；14.已知()1,1,1a→=，()()0,,101byy→=，则cos,ab→→的最大值为【答案】63【分析】构造正方体1111ABCDABCD−，设正方体的棱长为1，()11,1,1OBa→→

==,点E在线段11DC上移动.当E在1C位置时，cos,ab→→最大，利用向量的夹角公式即得解.【详解】利用作图法，构造正方体1111ABCDABCD−，设正方体的棱长为1，如图所示.则()11,1,1OBa→→==，()0,,1bOEy

→→==，且点E在线段11DC上移动.当E在1C位置时，,ab→→最小，即cos,ab→→最大，则1011116cos,332ababab→→→→→→++===为最大值.15.如图，在直三棱柱111ABCABC-中，1,2,3ABBCBABCBBAEAC⊥==

==，点F在棱1CC上，点D在棱11AB上.若BFDE⊥，则CF=【答案】23【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法可得.【详解】以B为坐标原点，分别以1,,BABCBB所在直线为,,xyz轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()420,0,0,,,033BE

.设()()()(),0,202,0,2,02DmmFnn，()420,2,,,,233BFnEDm==−−.因为BFDE⊥，所以4203BFEDn=−+=，解得23n=，即23CF=.16.如图，在长方体111

1ABCDABCD−中，11ADAA==，2AB=，点E在棱AB上.若二面角1DECD−−的大小为4，则E的坐标为______，AE=______.【答案】()1,23,0−/()1,32,0−+23−/32

−+【分析】设()02AE=，算出两个平面的法向量，然后建立方程求解即可.【详解】设()02AE=，平面1DEC的法向量为(),,mxyz=.由题可知()10,0,1D，()0,2,0C，()1,,0E，则()10,

2,1DC=−，()1,2,0CE=−.易知平面ECD的一个法向量为()001n,,=.∵(),,mxyz=为平面1DEC的法向量，∴()12020mDCyzmCExy=−==+−=，令1y=，则()2,1,2

m=−，又二面角1DECD−−的大小为4，∴cos4mnmn=，即()22222212=−++，解得23=−或23=+（舍去），∴()1,23,0E−，23AE=−.故答案为：()1,23,0−；23−四、解答题17.如图，四

棱锥PABCD−中，四边形ABCD为梯形，其中//ABCD，60BCD=，224ABBCCD===，ADPB⊥.(1)证明：平面PBD⊥平面ABCD；(2)若PBPD=，且PA与平面ABCD所成角的正弦值为67，点E在线段PC上满足2PEEC=

，求二面角CBDE−−的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)12【分析】（1）根据题意，在ABD△中，由余弦定理求得212AD=，得到222ADBDAB+=，证得ADBD⊥，再由ADPB⊥，证得AD⊥平面PBD，即可证得平面PBD⊥平面ABCD；（2）若O为BD中点，证得PO

，BD，OC两两垂直，以O为原点，建立空间直角坐标系，设()0,0,Pt，由平面ABCD的一个法向量为()0,0,1v=，列出方程求得6t=，进而得到230,,23E，求得平面BDE的一个法向量(0,3,1)n=−，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）证明：

由题知2BCCD==且60BCD=，所以BCD△为等边三角形，则24ABBD==，又由四边形ABCD为梯形，//ABDC，则60ABD=，在ABD△中，2222212cos42242122ADABBDABBDABD=+−

=+−=，所以222ADBDAB+=，即ADBD⊥，因为ADPB⊥，且PBBDB=，,PBBD平面PBD，所以AD⊥平面PBD，又因为AD平面ABCD，所以平面PBD⊥平面ABCD.（2）解：若O为BD中点，PBPD=，则POBD⊥，由

（1）得平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD平面ABCDBD=，PO平面PBD，则PO⊥平面ABCD，连接OC，则OCBD⊥，且,OCBD平面ABCD，所以POOC⊥，POBD⊥，所以PO，BD，OC两两垂直

，以O为原点，OB，OC，OP分别为为x轴、y轴和z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，可得()1,23,0A−−，()1,0,0B，()0,3,0C，()1,0,0D−，设()0,0,Pt且0t，则()1,23,APt=，由平面ABCD的一个法向量为()0,

0,1v=，可得26cos,713APvtAPvAPvt===+，解得6t=，因为2PEEC=，所以23PEPC=，可得230,,23E，所以231,,23DE=，()2,0,0DB=，()1,3,0DC=，设(),,nxyz=

是平面BDE的一个法向量，则2023203nDBxnDExyz===++=，取3y=，可得0,1xz==−，所以(0,3,1)n=−则()211cos,231vnvnvn−===−+，由图形可得CBDE−−的平面角为锐角，所以二面角CBDE−−的余弦值为12.18

.如图1，在梯形ABCD中，90224ABCDABCABCDBC====∥,,，O是边AB的中点．将AOD△绕边OD所在直线旋转到1AOD位置，使得1120AOB=，如图2．设m为平面1ADC与平面1AOB的交线．(1

)判断直线DC与直线m的位置关系并证明；(2)若直线m上的点G满足1OGAD⊥，求出1AG的长；(3)求直线1AO与平面1ABD所成角的正弦值．【答案】(1)DCm∥，证明见解析(2)4(3)55【分析】（1）根据线面平行的性质定理说明即可；（

2）根据两条平行线确定一个平面的性质，先找出交线m的位置后，利用10OGAD=进行求解；（3）建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面角.【详解】（1）由题意，平面1ADC平面1AOBm=，由DC//OB，DC平面1AOB，OB平面1AOB，则DC//平面1AOB，又DC

平面1ADC根据线面平行的性质定理可知，DCm∥（2）过1A作1AE//BO，且满足1AEBO=，连接,BECE.于是由1AE//BO，CD//BO，则1AE//DC，故1,,,DCEA四点共面，1,,,AOBE四点共

面，则平面1ADC与平面1AOB的交线即为1AE.由题知1,DOOBDOOA⊥⊥，1OBOAO=，1,OBOA平面1AOB，故DO⊥平面1AOB，由OG平面1AOB，故OGOD⊥，即0OGOD=.由1OGAD⊥知，10OGAD=，则()10O

OGAOD+=，故10OOGA=，于是190AOG=，又1120AOB=，1AE//BO，则160OAG=，124cos60AG==（3）过O作OQBE⊥，垂足为Q，以1,,OAOQOD所在直线分别为,,xyz轴，建立如图所示空间直角坐标系.则1(2,0,0)A，1

,)(3,0B−，(0,0,2)D.1(2,0,2)AD=−，1(3,3,0)AB=−，设平面1ABD的法向量为(,,)nxyz=.由11220330nADxznABxy=−+==−+=，则(1,3,1)n=是平面1ABD的法向量.又()12,0,0A

O=−，设直线1AO与平面1ABD所成角为，则11125sincos,525nAOnAOnAO====19.如图所示，在正四棱锥PABCD−中，底面ABCD的中心为O，BEPD⊥于E，BE与PO交点

为F，2PFFO=.(1)求证：//EO平面PAB.(2)求二面角PABE−−的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)47035【分析】（1）延长FO至点M，使FOOM=，连接MD，进而可证FOBDOM≌，可得//EOPB，进而可证结论；（2）可证OC，OD，OP两两垂直，以O为

坐标原点，分别以OC，OD，OP为坐标轴建立空间直角标系，求得平面APB与平面PBC的一个法向量，进而可求二面角APBC−−的余弦值．【详解】（1）如图，延长FO至点M，使FOOM=，连接MD，底面AB

CD的中心为O，PO⊥平面ABCD，DB平面ABCD,POBD⊥，BOOD=，FOBDOM=，FOBDOM≌，FBOMDO=，//FBDM，//EFDM，PFPEFMED=，而2PFFOFM==，PEED=，//EOPB，PB

平面PBC，EO平面PBC，//EO平面PBC；（2）由（1）知E是PD的中点，又BEPD⊥，BPBD=，不妨设1AB=，则2PBPD==，221622POPBBD=+=，PABCD−是正四棱锥，底面ABCD的中心为O，OC，OD，OP两两垂直，以O为坐标原点，分别以OC，OD

，OP为坐标轴建立如图所示的空间直角标系，则60,0,2P，2,0,02A−，20,,02B−，2,0,02C，20,,02D，260,,44E，260,,22BP=

，26,0,22AP=，26,0,22CP=−，22,,022AB=−，3260,,44BE=；设平面PAB的一个法向量为(),,nxyz=，2602226022nBPyznAPx

z=+==+=，令1x=，则1y=，33z=−，所以31,1,3n−=，设平面ABE的一个法向量为(),,mabc=，则22022326044mABabmBEbc=

−==+=，令1a=，则1b=，3c=−，所以()1,1,3m=-；1113cos,73553mnmnmn+−===，二面角PABE−−所成角的正弦值为23424701cos,1353535mn−=−=

=．20.如图，ABCD为圆柱OO的轴截面，EF是圆柱上异于AD，BC的母线.(1)证明：BE⊥平面DEF；(2)若2,2ABBCBE===，求二面角BDFE−−的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)63【分析】（1）连接AE，证明BEDF⊥，EFBE⊥，再

根据线面垂直的判定定理即可得证；（2）以点E为原点，,,EAEBEF所在直线为,,xyz轴建立空间直角坐标系Exyz−，利用向量法求解即可.【详解】（1）如图，连接AE，由题意知AB为O的直径，所以AEBE⊥，因为,ADEF是圆柱的母线，所以//ADEF且ADEF=，所以四边形AEFD是平

行四边形，所以//AEDF，所以BEDF⊥，因为EF是圆柱的母线，所以EF⊥平面ABE，又因为BE平面ABE，所以EFBE⊥，又因为,,DFEFFDFEF=平面DEF，所以BE⊥平面DEF；（2）由（1）知,,EAEBEF两两相互垂直，如图，以点E为原点，,,EAEBEF所在

直线为,,xyz轴建立空间直角坐标系Exyz−，则()()()()0,2,0,2,0,2,0,0,0,0,0,2BDEF，由（1）知BE⊥平面DEF，故平面DEF的法向量可取为()0,2,0EB=.设平面BDF的法向量为(),,nxyz=r，由()2,0,0DF=−，()0,2,2B

F=−，则有20220nDFxnBFyz=−==−+=，可取()0,2,1n=设二面角BDFE−−的平面角为，则226coscos,332nEBnEBnEB====，由图可知为锐角，所以二面角BDFE−−的余弦值为63.