【文档说明】2023-2024学年高二数学苏教版2019选择性必修第二册同步试题 6.3.2 空间线面关系的判定 Word版含解析.docx，共(29)页，3.448 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-b9141656e0fc4de8ae625cbe874acc09.html

以下为本文档部分文字说明：

6.3.2空间线面关系的判定一、单选题1．下列利用方向向量、法向量判断线线、线面位置关系的结论，其中正确的是（）A．两条直线1l，2l的方向向量分别是()1,3,4a=−，()1,3,4b=−−，则12//llB．直线l的方向向量是()1,3,4a=−，平面的一个法向量是()2,2,1n=r

，则//lC．直线l的方向向量是()0,3,4a=−，平面的一个法向量是()0,3,4n=−，则l⊥D．直线l的方向向量是()1,3,4a=−，平面的一个法向量是()1,3,2n=，则l⊥【答案】C【分析】根据题意，结合线、面位置关系的向量判断方法，

一一判断即可【解析】A项，因为()1,3,4a=−，()1,3,4b=−−，即ab=−，所以//abrr，所以12//ll或12ll,重合，故A项错误；B项，因为()12+32+410an=−=，所以an⊥，所以//l或l

在面内，故B错误；C项，因为()0,3,4a=−，()0,3,4n=−，即an=rr，所以//an，所以l⊥，故C项正确；D项，因为()11+33+420an=−=，所以an⊥，所以//l或l在面内，故D项错误.故选：C2．已知直线l经过点(1,1,2),(0,1,0)AB，平面

的一个法向量为(2,0,4)n=−−，则（）A．l∥B．l⊥C．lD．l与相交，但不垂直【答案】B【分析】根据平面的法向量与直线l的方向向量的关系即可求解.【解析】因为直线l经过点(1,1,2),(0,1,0)AB，所以(1,0,2)AB=−−，又因为平面

的一个法向量为(2,0,4)n=−−，且2nAB=，所以平面的一个法向量与直线l的方向向量平行，则l⊥，故选：B.3．若直线l的一个方向向量为()2,2,4v=−−−，平面的一个法向量为()1,1

,2n=，则直线l与平面的位置关系是（）A．垂直B．平行C．相交但不垂直D．平行或线在面内【答案】A【分析】根据2n=−得到与n共线，即可得到直线l与平面垂直.【解析】因为2n=−，所以与n共线

，直线l与平面垂直.故选：A.4．已知直线l和平面ABC，若直线l的方向向量为()1,2,5n=−−，向量()1,0,1AB=−，()2,1,0AC=，则下列结论一定正确的为（）A．l⊥平面ABCB．l与平面ABC相交，但不垂直C．//l直线BCD．//l平面ABC或l平面ABC【答案】D

【分析】计算0nAB可判断A，判断n与BC是否平行可判断C，求出平面ABC的一个法向量，由法向量与n的关系可判断BD．【解析】10560nAB=++=，n与AB不垂直，也即l与AB不垂直，所以直线l与平面不垂直，A错；(1,1,1)BCACA

B=−=，因此不存在实数k，使得nkBC=，所以n与BC不平行，即直线l与直线BC不平行，C错；设(,,)mxyz=是平面ABC的一个法向量，则020mABxzmACxy=−==+=，取1x=，则(1,2,1)m=−，145

0mn=+−=，所以mn⊥，所以直线l与平面ABC平行或在平面ABC内，B错D正确．故选：D．5．已知直线l与平面ABC，若直线l的方向向量为()1,2,1a=−−，向量()1,0,1AB=−−，()2,1,0AC=，则有（）A．直线//l平面ABC

B．直线l⊥平面ABCC．直线l与平面ABC相交但不垂直D．直线//l平面ABC或直线l平面ABC【答案】B【分析】根据空间向量点乘为0，判定线线垂直，从而判定线面垂直.【解析】由条件可得:1120(1)(1)0aAB=−++−−=，1221(1)00aA

C=−++−=,所以,aABaAC⊥⊥,于是,lABlAC⊥⊥,又ABACA=,且,ABAC平面ABC,所以直线l⊥平面ABC,故选：B.6．下列命题中，正确命题的个数为（）①若12,nn分别是平面α，β的法向量，则12//nn

⇔α∥β；②若12,nn分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔120nn=；③若n是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，若l与平面α平行，则0na=；④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直．A．1B．2C

．3D．4【答案】C【分析】由面面位置关系以及法向量的概念判断①；由法向量的概念判断②③④.【解析】①中平面α，β可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，可知②③④正确故选：C7．不重合的两条直线1l，2l的方向向量分别为1u，2u．不重合

的两个平面，的法向量分别为1nur，2nuur，直线1l，2l均在平面，外．下列说法中错误的是（）A．1212lluu=∥B．221lun=∥C．120nn⊥=D．111lun⊥=【答案】B【分析】根据直线与平面的位置关系得到直线的方向向量与

平面的法向量的关系，进而推导出答案.【解析】A选项，因为121212lluuuu=∥∥，A正确；B选项，22lu∥∥，所以21un⊥，故221lun=∥错误；C选项，12120nnnn⊥⊥=，C正确；D选项，11111lunun

⊥=∥，D正确.故选：B8．已知正方体1111ABCDABCD−，P是线段1AC上一点，下列说法正确的是（）A．若1113APAC=，则直线AP平面1BCDB．若1112APAC=，则直线AP平面1BCDC．若1113APAC=，则直线BP⊥平面1ACDD．若1112APAC

=，则直线BP⊥平面1ACD【答案】A【分析】以D为坐标原点，DA，DC，1DD的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，1为单位长度，利用直线和平面法向量的关系判断各选项即可.【解析】以D为坐标原点，DA，DC，1DD的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，1为单位长度，建立如图

所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则()1,0,0A，()11,0,1A,()1,1,0B，()0,1,0C，()10,1,1C，()0,0,0D，1(0,0,1)D,则()10,0,1AA=，()11,1,1AC=−−，()0,1,0BA=−，()1,1,0DB=，()10,1,

1DC=，(1,1,0)AC=−,1(1,0,1)AD=−当1113APAC=时，()()1111111120,0,11,1,1,,33333AAPAAPAAAC=+=+=+−−=−，设平面1BCD的法向量为(),,mxy

z=，则100mDBxymDCyz=+==+=取1x=，则1y=−，1z=，则()1,1,1m=−ur为平面1BCD的一个法向量，因为1120333APm=−−+=，所以APm⊥，又因为AP平面1BCD，所以直线AP平面1BCD，故A正确，B不正确．当1

113APAC=时，()()()1111111220,1,00,0,11,1,1,,33333BPBAAAAPBAAAAC=++=++=−++−−=−−，设平面1ACD的一个法向量为(,,)nxyz=，则100nACxynADxz=−+==−+=，取1x=则1y=

，1z=，则()1,1,1n=为平面1ACD的一个法向量，因为BP与n不共线，所以直线BP与平面1ACD不垂直，故C不正确；当1112APAC=时，()()()1111111110,1,00,0,11,1,1,,222

22BPBAAAAPBAAAAC=++=++=−++−−=−−，因为BP与n不共线，所以直线BP与平面1ACD不垂直，故D不正确．故选：A．9．如图，在正四棱柱1111ABCDABCD−中，O是底面ABCD的中心，,EF分别是

11,BBDD的中点，则下列结论正确的是（）A．1AO//EFB．1AOEF⊥C．1AO//平面1EFBD．1AO⊥平面1EFB【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明，逐项分析、判断作答.【解析】在正四棱柱1111ABCDABCD−

中，以点D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，令12,2(0,0)ABaDDbab==，O是底面ABCD的中心，,EF分别是11,BBDD的中点，则11(,,0),(2,0,2),(2,2,),(2,2,2

),(0,0,)OaaAabEaabBaabFb，1(,,2)OAaab=−，1(2,2,0),(0,0,)FEaaEBb==，对于A，显然1OA与FE不共线，即1AO与EF不平行，A不正确；对于B，因12()2020OAFEaaaab=+−+=，则1OAFE⊥，即1AOE

F⊥，B正确；对于C，设平面1EFB的法向量为(,,)nxyz=，则12200nEFaxaynEBbz=+===，令1x=，得(1,1,0)n=−，120OAna=，因此1OA与n不垂直，即1AO不平行于平面1EFB，C不正确；

对于D，由选项C知，1OA与n不共线，即1AO不垂直于平面1EFB，D不正确.故选：B10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝23A1D，AF＝13AC，则（）A．EF至多与A1D，AC中的一

个垂直B．EF⊥A1D，EF⊥ACC．EF与BD1相交D．EF与BD1异面【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法判断两直线的位置关系；【解析】解：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴

，建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为1，则()11,0,1A，()0,0,0D，()1,0,0A，()0,1,0C，11,0,33E，21,,033F，()1,1,0B，()10,0,1

D，∴()11,0,1AD=−−，()1,1,0AC=−，111,,333EF=−，()11,1,1BD=−−，∴113EFBD=−，10ADEF=，0EAFC=，从而1//EFDB，1ADEF⊥，ACEF⊥，故选：B．11．在正方体1111ABCD

ABCD−中，Q为1AA上一动点，则下列各选项正确的是（）A．存在点Q使得BQ与平面1BCD垂直B．存在点Q使得DQ与平面1BCD垂直C．存在点Q使得1BQ与平面1BCD垂直D．存在点Q使得1DQ与平面1BCD垂直【答案】D【分析】如图，以D为原点，以1,,D

ADCDD分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，求出平面1BCD的法向量，设(1,0,)(01)Qtt，然后逐个分析判断即可.【解析】如图，以D为原点，以1,,DADCDD分别为,,xyz轴建立空间直

角坐标系，设正方体的棱长为1，则11(0,0,0),(1,1,0),(1,1,1),(0,1,0),(0,0,1)DBBCD，所以1(0,1,0),(1,1,1)DCDB==，设平面1BCD的法向量为(,,)mxyz=，则100mDCymDBxyz===++=，令1x=，则(

1,0,1)m=−，设(1,0,)(01)Qtt，对于A，(0,1,)BQt=−，若BQ与平面1BCD垂直，则BQ与m共线，则存在唯一，使BQm=，则(0,1,)(1,0,1)t−=−，所以010t

=−==−，方程组不成立，所以BQ与m不共线，所以BQ与平面1BCD不垂直，所以A错误，对于B，(1,0,)DQt=，若DQ与平面1BCD垂直，则DQ与m共线，则存在唯一，使DQm=，则(1,0,)(1,0

,1)t=−，所以100t===−，得1t=−不合题意，所以DQ与m不共线，所以DQ与平面1BCD不垂直，所以B错误，对于C，1(0,1,1)BQt=−−，若1BQ与平面1BCD垂直，则1BQ与m共线，则存在唯一1，使11BQm=，则1(0,1,1)(1,0,

1)t−−=−，所以110101t=−=−=−，方程组不成立，所以1BQ与m不共线，所以1BQ与平面1BCD不垂直，所以C错误，对于D，1(1,0,1)DQt=−，若1DQ与平面1BCD垂直，则1DQ与m共线，则存在唯一1，使11DQm=，则1(1,0,1)(1,

0,1)t−=−，所以111001t==−=−，得0=t符合题意，所以当(1,0,0)Q时，1DQ与m共线，此时1DQ与平面1BCD垂直，所以D正确，故选：D12．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧

棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，D是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点.若点Q在线段B1P上，则下列结论正确的是（）A．当点Q为线段B1P的中点时，DQ⊥平面A1BDB．当点Q为线段B1P

的三等分点时，DQ⊥平面A1BDC．在线段B1P的延长线上，存在一点Q，使得DQ⊥平面A1BDD．不存在点Q，使得DQ⊥平面A1BD【答案】D【分析】以点A1为坐标原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别

为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量逐个求解判断即可【解析】以点A1为坐标原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则由已知得A1(0，0，0)，B1(1，0，0)，C1(0，1，0)，B(1，0

，1)，D1012，，，P(0，2，0)，则1ABuuur=(1，0，1)，111012(1,2,0)ADBP==−，，，，111,1,2DB=−−.设平面A1BD的一个法向量

为(,,)nxyz=，则11·01·0.2nABxznADyz=+==+=，取2z=−，则x=2，y=1，所以平面A1BD的一个法向量为(2,1,2)n=−.假设DQ⊥平面A1BD，且1BQ=λ1(1,2,0)(,2,0)BP=−=−，则1111,12,2DQDB

BQ=+=−−+−.因为DQ也是平面A1BD的一个法向量，所以(2,1,2)n=−与11,12,2DQ=−−+−共线，则1112122124−−−+===−成立，所以11221124−=−+−+

=，，但此关于λ的方程组无解.故不存在点Q，使得DQ⊥平面A1BD.故选：D.【点睛】此题考查了利用空间向量判断线面垂直的方法，属于中档题.二、多选题13．以下命题正确的是（）A．直线l的方向向量为(1,1,2)a=−，直线m的方向向量()

1,2,1b=，则l不能与m垂直B．直线l的方向向量()0,1,1a=−，平面的法向量()1,1,1n=−−，则l⊥C．两个不同平面，的法向量分别为()12,1,0n=−，()24,2,0n=−，则//D．平面经过三点()1,0,1A−，()0,1,0B

，()1,2,0C−，向量()1,,=rnut是平面的法向量，则1ut+=【答案】ACD【分析】由空间位置关系的向量证明判断A，B，C；利用平面的法向量计算判断D作答.【解析】对于A，(1,1,2)a=−，()1,21b=，，则10ab=，则有,ab不垂直，即直线l与m不垂直，

A正确；对于B，因()0,1,1a=−，()1,1,1n=−−，则0an=，有an⊥，于是得//a，直线l与平面不垂直，B不正确；对于C，由()12,1,0n=−，()24,2,0n=−得，212nn=−，即1n与2n共线，则//，C

正确；对于D，点(1,0,1)A−，(0,1,0)B，(1,2,0)C−，则()1,1,1AB=−，()1,1,0BC=−uuur，又向量(1,,)nut=是平面的法向量，则1010nAButnBCu=−++==−+=，

解得1ut+=，D正确.故选：ACD14．在正方体1111ABCDABCD−中，E、F、G、H分别为AB、1CC、11AD、11CD的中点，则下列结论中正确的是（）A．11AEAC⊥B．//BF平面11ADDAC．BFDG⊥D．1//AECH【答案】BCD【分析】设正方体的棱

长为1，以D为原点，DA、DC、1DD所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建系，写出所需点的坐标，可求得所需向量的坐标，逐一检验各个选项即可得答案.【解析】设正方体的棱长为1，以D为原点，DA、DC、1DD所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则1

1(1,0,1),1,,0,(0,1,0)2AEC，1110,1,,(0,1,1),0,,122FCH，1,0,1,(1,0,0),(1,1,0)2GAB，则1111110,,1

,(1,1,1),1,0,,,0,1,0,,12222AEACBFDGCH=−=−=−==−，所以1112AEAC=−，所以1AE与1AC不垂直，故A错误；显然平面11ADDA的一个法向量(0,

1,0)v=.所以0BFv=，所以//BF平面11ADDA，故B正确；0BFDG=，所以BFDG⊥，故C正确；1AECH=−，所以1//AECH，故D正确.故选：BCD.【点睛】本题考查利用空间向量判断线线垂直、线线平行、线面平行，考查学生对基础知识

的掌握程度，属基础题.15．在长方体1111ABCDABCD−中，23AB=，12ADAA==，P、Q、R分别是AB、1BB、1AC上的动点，下列结论正确的是（）A．对于任意给定的点P，存在点Q使得1DPCQ⊥B．对于任意给定的点Q，

存在点R使得1DRCQ⊥C．当1ARAC⊥时，1ARDR⊥D．当113ACAR=时，1//DR平面1BDC【答案】ABD【分析】本题先建立空间直角坐标系，再运用空间向量在立体几何中的应用逐一判断即可.【解

析】如图所示，建立空间直角坐标系，设(2,,0)Pa，023a，，(2,23,)Qb，0,2b，设11ARAC=，得到(22,23,22)R−−，0,1.1(2,,2)DPa=−，(2,0,)CQb=，142DPCQb=−，

当2b=时，1DPCQ⊥，A正确；1(22,23,2)DR=−−，12(22)2DRCQb=−−，取22b=+时，1DRCQ⊥，B正确；1ARAC⊥，则1(2,23,22)(2,23,2)412440ARAC

=−−−−=+−+=，解得：15=，此时122388232(,,)(,,)0555555ARDR−−=，1ARDR⊥不成立，C错误；113ACAR=，则4234(,,)333R，14232(,,)333DR=−，设平面1BDC的法向量为(,,)nxyz=，则100nBD

nDC==，解得(3,1,3)n=−，故10nDR=，故1//DR平面1BDC，D正确.故选：ABD.【点睛】本题考查了空间向量在立体几何中的应用，是偏难题.16．如图，在正方体1111ABCDABCD−中，点O在线

段AC上移动，M为棱1BB的中点，则下列结论中正确的有（）A．1//DO平面11ABCB．1DOM的大小可以为90C．直线1DO与直线1BB恒为异面直线D．存在实数，使得()111312DMCBDCAB−−−=成立【答案】ABD【分析】以D为坐标原点，建立空间直角坐标系,

Dxyz−利用空间向量的方法逐一计算各个选项.【解析】以D为坐标原点，建立空间直角坐标系,Dxyz−如图所示，设正方体的棱长为2，设()()()()11,2,0,02,0,0,2,2,2,0,2,2,2,OxxxDBB−剟所以()()11,2,

2,2,2,2.ODxxDB=−−=又1DB⊥平面11,ABC所以平面11ABC的法向量为()12,2,2.DB=因为110,ODDB=所以11,ODDB⊥所以1//DO平面11,ABC故A正确;对于B

，当O为AC的中点时()()()(),1,1,0,2,2,1,2,0,0,0,2,0,OMAC所以()()()11,1,2,2,2,0,0,2,1,ODACAM=−−=−=1110,0,0,ODACODACODAM===所以11,ODACODAM

⊥⊥所以1OD⊥平面,MAC所以1DOM的大小可以为90，故B正确；对于,C当O为线段AC的中点时，直线1DO与1BB共面，故C不正确对于,,,DAOC三点共线111(1)DODADC=+−111113(1),2DMCBD

CDMDOOMAB−−−=−=…故D正确.故选:ABD.三、填空题17．已知1v､2v分别为不重合的两直线1l､2l的方向向量，1n､2n分别为不重合的两平面､的法向量，则下列所有正确结论的序号是___________.①2121////vvll；②2121vllv

⊥⊥；③12////nn；④12nn⊥⊥.【答案】①②③④【分析】根据直线的方向向量与平面向量的法向量的定义判断即可；【解析】解：因为1v､2v分别为不重合的两直线1l､2l的方向向量，1n､2n分别为不重合的两平面､的法

向量；直线1l，2l的方向向量平行（垂直）等价于直线1l､2l平行（垂直），故①、②正确；平面，的法向量平行（垂直）等价于平面，平行（垂直）、故③、④正确；故答案为：①②③④18．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD

⊥底面ABCD，且PD＝1，若E，F分别为PB，AD中点，则直线EF与平面PBC的位置关系是________.【答案】垂直【分析】以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出EF与平面PBC的一个法向量坐标，利用数量积为零

即可作出判断.【解析】以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则E111,,222，F1,0,02，∴EF＝110,,22−−，平面PBC的

一个法向量n＝(0,1,1)．∵EF＝－12n，∴EF∥n.∴EF⊥平面PBC．故答案为：垂直【点睛】本题考查线面垂直的判定，考查向量数量积与垂直的关系，考查逻辑推理与计算能力，属于中档题.19．如图，直三棱

柱ABC一111ABC中，侧棱长为2，1ACBC==，90ACB=，D是11AB的中点，F是1BB上的动点，1AB，DF交于点E，要使1AB⊥平面1CDF，则线段1BF的长为____.【答案】12##0.5【分析】构建空间直角坐

标系，由已知确定相关点的坐标并设(0,1,)Ft，进而得到1CD、1AB、1CF的坐标，根据线面垂直有111100ABCDABCF==求参数t，即可知线段1BF的长.【解析】以1C为原点，11CA为x轴，11CB为y轴，1CC为z轴，建立空间直角坐标

系，由题意，1(1,0,0)A，1(0,1,0)B，11(,,0)22D，1(0,0,0)C，(1,0,2)A，设(0,1,)Ft，02t，∴111(,,0)22CD=，1(1,1,2)AB=−−，1(0,1,)CFt=，1AB⊥平面1CDF

，∴111100ABCDABCF==，即()1111020220120t−++−=+−=，120t−=，解得1.2t=线段1BF的长为1.2故答案为：1.220．如图，在四棱锥EABCD−中，平面ADE⊥平面ABCD，O，M分别为AD，DE的

中点，四边形BCDO是边长为1的正方形，AEDE=，AEDE⊥．点N在直线AD上，若平面BMN⊥平面ABE，则线段AN的长为_________．【答案】53##213【分析】连接EO，证明OB，OD，OE

两两垂直，再建立空间直角坐标系，借助空间向量计算作答.【解析】连接EO，因AEDE=，则⊥EOAD，而EO平面ADE，且平面ADE⊥平面ABCD，平面ADE平面ABCDAD=，于是得EO⊥平面ABCD，又OB平

面ABCD，OD平面ABCD，即有EOOB⊥，EOOD⊥，而四边形BCDO是边长为1的正方形，以O为原点，,,OBODOE的方向分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图，因AEDE=，AEDE⊥，则1OEOAODOB====，则11(0

,0,0),(0,,),(0,1,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0)22OMAEDB−，设(0,,0)N，11(1,,0),(1,,),(0,1,1)22NBMBAE=−=−−=，(1,0,1)BE=−，设平面BMN的一个法向量

(,,)nabc=，则110220nMBabcnNBab=−−==−=，令a=，得(,1,21)n=−，设平面ABE的一个法向量(,,)mxyz=，则00mAEyzmBExz=+==−+=，令1x=，得(

1,1,1)m=−，因为平面BMN⊥平面ABE，则有0mn=，即1210−+−=，解得23=，所以线段AN的长为53．故答案为：53四、解答题21．如图，在四棱锥PABCD−中，PA⊥底面ABCD

，//ABDC，DAAB⊥，2ABAP==，1DADC==，E为PC上一点，且23PEPC=．(1)求证：⊥AE平面PBC；(2)求证：//PA平面BDE．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）以A为原点，AB→，AD→，AP→的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直

角坐标系，证明AEPC→→⊥，AECB→→⊥，原题即得证；（2）设平面BDE的法向量为()111,,nxyz→=，证明PAn→→⊥即得证.（1）证明：如图，以A为原点，AB→，AD→，AP→的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐

标系，则()0,0,0A，()2,0,0B，()1,1,0C，()0,1,0D，()002P,,，所以()1,1,2PC→=−，()0,0,2AP→=，()1,1,0CB→=−，因为23PEPC=，所以224,,333

PE→=−，所以222,,333AEAPPE→→→=+=，所以2240333AEPC→→=+−=，220033AECB→→=−+=，所以AEPC→→⊥，AECB→→⊥，即AEPC⊥，AECB⊥，又因为PCBCC=，,PCBC平面PBC．所以⊥AE平面PBC

．（2）证明：由（1）可得()222422,,2,0,0,,333333BEAEAB→→→=−=−=−，()0,0,2PA→=−，()2,1,0BD→=−．设平面BDE的法向量为()111,,nxyz→=，则·0·0BDn

BEn==，即1111120,4220,333xyxyz−+=−++=令11x=，得12y=，10z=，则()1,2,0n→=是平面BDE的一个法向量，因为()()0,0,21,2,00PAn→→=−=，所以

PAn→→⊥，因为PA平面BDE，所以PA∥平面BDE．22．如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，ADCD⊥，//ABCD，2ABAD==，4CD=，M为CE的中点.请用空间向量知识解决

下列问题：(1)求证：BMDC⊥；(2)求证：BC⊥平面BDE.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）先由面面垂直的性质定理及正方形ADEF的性质推得,,DADCDE两两垂直，从而建立空间直角坐标系，求得BM，DC，由此利用空间向量垂直的坐标表示即可得证；（2

）结合（1）中结论得到BC，DB，DE，从而利用空间向量垂直的坐标表示证得BCDB⊥，BCDE⊥，由此利用线面垂直的判定定理证得BC⊥平面BDE.【解析】（1）因为面ADEF⊥面ABCD，面ADEF面ABCDAD=，ADCD⊥，CD面ABCD，所以CD⊥面ADEF，又DE面ADEF，所以

CDDE⊥，又因为在正方形ADEF中，ADDE⊥，所以,,DADCDE两两垂直，以D为原点，,,DADCDE分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0D，()2,2,0B，()0,4,0C，()0,0,2E，因为M为EC的中

点，所以()0,2,1M，故()2,0,1BM=−，()0,4,0DC=，所以0BMDC=，故BMDC⊥即BMDC⊥.（2）由（1）得()2,2,0BC=−，()2,2,0DB=，()0,0,2DE=，所以440BCDB=−+

=，则BCDB⊥即BCDB⊥，又0BCDE=，故BCDE⊥即BCDE⊥，又DEDBD=，,DEDB平面BDE，所以BC⊥平面BDE.23．已知在正四棱柱1111ABCDABCD−中，1AB=,12AA=，点E为1CC的中点，点F为1BD的中点．(1)求证：1EFBD⊥

且1EFCC⊥；(2)求证：EFAC∥．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法分别证明（1）和（2）.【解析】（1）在正四棱柱1111ABCDABCD−中，可以建立如图所示的空间直角

坐标系，则()000C,,，()0,1,0B，()11,0,2D，11,,122F，()10,0,2C，()0,0,1E，()1,1,0A．（1）由11,,022EF=，()10,0,2CC=，()11,1,2BD=−，得10000EFCC=++=且1110022E

FBD=−+=，所以1EFBD⊥且1EFCC⊥．（2）()1,1,0AC=−−，由于11,,022EF=，显然12EFAC=−，故EFAC∥．24．如图，在三棱锥−PABC中，PB⊥平面

ABC，ABBC⊥，2ABPB==，23BC=，E、G分别为PC、PA的中点．(1)求证：平面BCG⊥平面PAC；(2)在线段AC上是否存在一点N，使PNBE⊥？证明你的结论．【答案】(1)证明见解析(2)存在，证明见解析【

分析】（1）由线面垂直得到BCPB⊥，再由ABBC⊥，即可得到BC⊥平面PAB，从而证得PABC⊥，又RtPAB为等腰直角三角形，故BGPA⊥，从而得PA⊥平面BCG，结论可证；（2）以点B为坐标原点，BA为x轴，BC为y轴，BP为z轴建立空间直角坐

标系，可求得E点，N点的坐标，从而得BE、PNuuur的坐标，由空间向量的坐标运算0BEPN=即可得到答案．（1）证明：PB⊥平面ABC，BC平面ABC，BCPB⊥，又ABBC⊥，ABBPB=，,ABBP平面PABBC⊥平面PAB，PA平面PAB，BCPA

⊥．又2ABPB==，PAB为等腰直角三角形，G为斜边PA的中点，BGPA⊥，又BGBCB=，,BGBC平面BCG，PA⊥平面BCG，PA平面PAC，平面BCG⊥平面PAC；（2）解：以点B为坐标原点，BA为x轴，BC为y轴，BP为z轴建立空间直角坐标系，则()2,0,0A，()0,

23,0C，()002P,,，()0,3,1E，设存在点NAC，使PNBE⊥，点N的坐标设为()00,,0Nxy，所以()0,3,1BE=，()00,,2PNxy=−，由相似三角形得002||||xyABBC

−=，即002223xy−=，00233yx=−．()00,,2233PNxx=−−，又PNBE⊥，0BEPN=．0003(233)1(2)0xx+−+−=，040,23x=，故存在点NAC，使PNBE⊥．25

．如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，3AB=，=1BC，=2PA，E为PD的中点．(1)求直线AC与PB所成角的余弦值；(2)在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC．【答案】(1)3714(2)答案见

解析【分析】（1）设ACBDO=，则OEPB∥，根据异面直线所成角的定义可知EOA即为AC与PB所成的角或其补角，在AOE△中利用余弦定理，求解即可；（2）建立空间直角坐标系，设()0,,Nyz，由于NE⊥平面PAC，利用空间互相垂直的向量数

量积为零，建立关于x、y的方程组，求出点N的坐标，即可得解．（1）设ACBDO=，连OE、AE，则OEPB∥，∴EOA即为AC与PB所成的角或其补角．在AOE△中，1AO=，1722OEPB==，1522AEPD==，∴2227513744cos2147212OEAOAEEOAOEAO+−+−

===．即AC与PB所成角的余弦值为3714．（2）分别以AD、AB、AP为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图，则可得()0,0,0A、()0,3,0B、()1,3,0C、()1,0,0D、()0,0,2P、1,0,12E，()0,0,2AP=，()1,3,0AC=设

()0,,Nyz，则1,,12NEyz=−−，由于NE⊥平面PAC，所以=0=0NEAPNEAC，化简得22=013=02zy−−，可得36y=，1z=，因此，点N的坐

标为30,,16，从而侧面PAB内存在一点N，当N到AB、AP的距离分别为1和36时，NE⊥平面PAC．26．如图所示，在直三棱柱111ABCABC-中，3AC=，4BC=，5AB=，14AA=.(1)求证：1ACBC⊥；

(2)在AB上是否存在点D，使得1//AC平面1CDB，若存在，确定D点位置并说明理由，若不存在，说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)在AB上存在点D使得1//AC平面1CDB，且D为AB的中点．【分析】（1）本题首先以C为坐标原点

建立空间直角坐标系，然后得出()3,0,0AC=−、()10,4,4BC=−，最后根据10ACBC=即可证得1ACBC⊥；（2）本题可假设点D存在，则()3,4,0ADAB==−，然后通过111ACmBDnBC=+得出()()3330444444mmnmn

−=−=−−=−−，最后求出的值，即可得出结论.【解析】（1）因为3AC=，4BC=，5AB=，所以90ACB=，如图所示，在直三棱柱111ABCABC-中，以C为坐标原点，直线CA、CB、1CC分别为x轴、y轴、z轴，建立空

间直角坐标系，则()0,0,0C，()3,0,0A，()10,0,4C，()0,4,0B，()10,4,4B，因为()3,0,0AC=−，()10,4,4BC=−，所以10ACBC=，1ACBC⊥，即1ACBC⊥.（2）若存在点D使1

//AC平面1CDB，则()3,4,0ADAB==−，01≤≤，()33,4,0D−，()133,44,4BD=−−−，()10,4,4BC=−−，()13,0,4AC=−，因为1//AC平面

1CDB，所以存在实数m、n，使111ACmBDnBC=+成立，则()()3330444444mmnmn−=−=−−=−−，解得12=，故在AB上存在点D使1//AC平面1CDB，此时点D为AB中点.27．如图1，在

边长为2的菱形ABCD中，60,BADDEAB=⊥于点E，将ADE△沿DE折起到1ADE△的位置，使1ADBE⊥，如图2．(1)求证：1AE⊥平面BCDE；(2)在线段BD上是否存在点P，使平面1AEP⊥平面1ABD？若存在，求BPB

D的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在，14BPBD=【分析】（1）根据线面垂直先证得1AEBE⊥，再结合1AEED⊥可证得结论；（2）设()=01BPBD剟，根据平面1AEP与平面1ABD的法向量垂直建立等量关系求得即可．（1）证明：DEAB⊥，BE

DE⊥，又11,=,BEADDEADDDE⊥平面11,ADEAD平面1ADE，所以BE⊥平面1ADE，1AE平面1ADE，1AEBE⊥，又1,=,AEDEBEDEEBE⊥平面,BCDEDE平面BCDE，1AE⊥平面BCDE；（2）解：存在，理由

如下：1AE⊥平面,BCDEBEDE⊥，∴以E为原点，分别以1,,EBEDEA所在直线为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，则()()()11,0,0,0,3,0,0,0,1BDA，假设在线段BD上存在一点P，使得平面1AEP⊥平面

1ABD，设()(),,,01PxyzBPBD=剟，则()()1,,1,3,0xyz−=−，()1,3,0P−，()()1=0,0,1,=1,3,0EAEP−，设平面1AEP的法向量()111,,mxyz=，由1111==0=(1)+3=0mEAz

mEPxy−，得111=0(1)=3zxy−−，令13x=，得()3,1,0m=−．设平面1ABD的法向量为()222,,nxyz=，()()111,0,1,0,3,1ABAD=−=−，故122122==0=3=0nABxznADyz−−

，取23x=，得()3,1,3n=．因为平面1AEP⊥平面1ABD，所以310mn=+−=，解得10,14=，所以在线段BD上存在点P，使得平面1AEP⊥平面1ABD，且14BPBD=．