【文档说明】2023-2024学年高二数学苏教版2019选择性必修第二册同步试题 8.2.1随机变量及其分布列 Word版含解析.docx，共(17)页，646.001 KB，由小赞的店铺上传

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8.2.1随机变量及其分布列一、单选题1．下列结论中，正确的是（）A．随机事件个数与随机变量一一对应B．随机变量与区间一一对应C．随机变量的取值是实数D．随机变量与自然数一一对应【答案】C【分析】根据随机变量的定义直接得到答案.【解析】根据随机变量

的定义知：随机变量的取值是实数，C正确；随机事件个数与随机变量不一定是一一对应的，A错误；离散型随机变量与区间不是一一对应的，B错误；连续型随机变量与自然数不是一一对应，D错误.故选：C.2．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，则可以作为随机变量的是（）．A．至少

取到1个白球B．取到白球的个数C．至多取到1个白球D．取到的球的个数【答案】B【分析】根据随机变量的定义进行求解.【解析】根据随机变量的定义，选项B是随机变量，其可能取值为0,1,2,其他三个选项均不能作为随机变量.故选：B3．袋中装有大小相同的5个球

，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回的条件下依次取出两个球，设两个球的号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能取值的个数是（）A．25B．10C．15D．9【答案】D【分析】根据有放回抽样，将号码之和可能的情况列举求解.【解析】由题意得：两个球的号码之和可能为2，3，4，5，6，7

，8，9，10，共9个.故选：D4．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则3=表示（）A．甲赢三局B．甲赢一局输两局C．甲、乙平局二次D．甲赢一局输两局

或甲、乙平局三次【答案】D【分析】列举出3=的所有可能的情况，即得.【解析】因为甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，故3=表示两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．故选：D．5．设X是一个离散型随机变量，其分布列为X1−01P1212q−2q则q等于（）A

．1B．12C．212−D．212+【答案】C【分析】根据分布列的知识列方程来求得q.【解析】依题意，2211121,2022qqqq+−+=−+=，解得124422122q+−==+（大于1，舍去）或124422122q−−==−.故选：C6．袋中

有大小相同的6个黑球，5个白球，从袋中每次任意取出1个球且不放回，直到取出的球是白球，记所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为（）A．1,2,3,,6B．1,2,3,,7C．0,1,2,,5D．1,2,,5【答案】B【分析】利用随机变量的定义求解

.【解析】因为取到白球时停止，所以最少取球次数为1，即第一次就取到了白球；最多次数是7次，即把所有的黑球取完之后才取到白球．所以取球次数可以是1，2，3，∙∙∙，7．故选：B．7．随机变量ξ的所有可能的取值为1，2，3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak(

k＝1，2，…，10)，则a的值为（）A．1110B．155C．110D．55【答案】B【分析】根据随机变量的概率和为1,列出方程即可求解【解析】∵随机变量ξ的所有可能的取值为1，2，3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1，2，…，10)，∴a＋2a＋3a＋…＋10a＝1，∴55a＝1，∴a＝

155故选：B.8．已知随机变量ξ只能取三个值x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则该等差数列公差的取值范围是（）A．10,3B．11,33−C．[－3，3]D．[0，1]【答案】B【分析】根据等差数列的性质和分布列的性质可求解.【解析】解：由题意得：设随机变量ξ取x1

，x2，x3的概率分别为a－d，a，a＋d，则由分布列的性质得(a－d)＋a＋(a＋d)＝1，故13a＝，由103103dd−+，解得1133d−.所以公差d的取值范围是11,33−.故选：B9．某一随机变量的概率分布如下表，且2

1.2mn+=，则2nm−的值为（）0123P0.1mn0.1A．0.2−B．0.2C．0.1D．0.1−【答案】B【分析】根据离散型随机变量分布列的性质和已知条件得出关于m、n的方程组，解出这两个未知

数的值，由此可求得2nm−的值.【解析】由离散型随机变量分布列的性质以及已知条件得0.2121.2mnmn++=+=，解得0.4mn==，因此，0.22nm−=.故选：B.10．若实数x∈R，记

随机变量ξ＝1,(0,)0,01,(,0)xxx+=−−，则不等式1x≥1的解集所对应的ξ的值为（）A．1B．0C．－1D．1或0【答案】A【分析】先解不等式1x≥1，再根据随机变量ξ求解.【解析】不等式1x≥1，可化为不等式10xx−，即(1

)00xxx−，解得0<x≤1.而当x∈(0，1]时，ξ＝1.故选：A.11．已知集合1,2,3,4A=，1,2,3,4,5B=，从集合A中任取3个不同的元素，其中最小的元素用a表示，从集合B中任取3个不同的元素，其中最大的元素用b表示，记Xba=−，则(

)3PX=为（）A．920B．154C．38D．4【答案】C【分析】列举法确定分别从集合A、B中取3个元素后对应的最小、最大元素及所有组合，再由题设知X的取值为1,2,3,4，利用古典概型的概率求法求()3PX=即可.【解析】根据题意，从集

合A中任取3个不同的元素有4种：1,2,3,1,2,4,1,3,4,2,3,4，其中最小的元素a取值分别为1,2，从集合B中任取3个不同的元素有10种：1,2,3,1,2,4,1,2,5,1,3,4,1,3,5,1,4,5

,2,3,4,2,3,5,2,4,5,3,4,5，其中最大的元素b的取值分别为3,4,5，由Xba=−，随机变量X的取值为1,2,3,4，故3X=对应{(,)|(1,4),(2,5)}ab，∴33163(3)4108PX+===，故选：C

.12．信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量X所有可能的取值为1，2，…，n，且1()0(1,2,,),1niiiPXipinp=====，定义X的信息熵21()(log)niiiHXpp==−．命题1：若1(1,2,,)ipinn==，则()HX随着n

的增大而增大；命题2：若2nm=，随机变量Y所有可能的取值为1，2，…，m，且21()(1,2,,)jmjPYjppjm+−==+=，则()()HXHY．则以下结论正确的是（）A．命题1正确，命题2错误B．命题1错误，命题2正确C．两个命题都错

误D．两个命题都正确【答案】A【分析】根据信息熵公式，利用对数的运算性质及对数函数的单调性判断命题1；由已知公式得到(),()HXHY关于ip的展开式，应用作差法及对数的性质判断(),()HXHY的大小判断命题2

.【解析】若1(1,2,,)ipinn==，则2211()loglogHXnnnn=−=，故()HX随着n的增大而增大，命题1正确；()0(1,2,,)iPXipin===，则121222222()(log

log...log)mmHXpppppp=−+++，而2nm=，21()(1,2,,)jmjPYjppjm+−==+=，122122212221121()[()log()()log()...()log()]mmmmmmmmHYpppppppppppp−−++=−++++++++

+1212222212221[log()log()...log()]mmmmppppppppp−=−++++++，所以1221212112222222()()loglog...log0mmmmmpppppppppHXHYppp−+++−=+++

，故()()HXHY，命题2错误；故选：A二、多选题13．设离散型随机变量ξ的分布列如下表所示：ξ－10123P110151101525则下列各式不正确的是（）A．P(ξ＜3)＝25B．P(ξ＞1)＝45C．P(2＜ξ＜4)＝25D．P(ξ＜0.5)＝

0【答案】ABD【分析】利用分布列和概率的性质求出概率，逐一验证即可.【解析】P(ξ＜3)＝110＋15＋110＋15＝35，A错误；P(ξ＞1)＝15＋25＝35，B错误；P(2＜ξ＜4)＝P(ξ＝3)＝25，C正确

；P(ξ＜0.5)＝110＋15＝310，D错误．故选：ABD．14．已知随机变量的分布列为：2−1−0123P16131616112112若()223Px=，则实数x的值可能是（）A．1B．2C．3

D．4【答案】BCD【分析】求出2的分布列，对各选项依次判断即可.【解析】由随机变量的分布列可知，随机变量2的可能取值为0，1，4，9，2的分布列为：()()21006PP====，()()()2111111362PPP

===−+==+=，()()()21114226124PPP===−+==+=，()()219312PP====，用表格表示为20149P161214112∴对于A，1x=时，()()22121063PP===，故选项A错误；对于

B，2x=时，()()()222112201623PPP==+==+=，故选项B正确；对于C，3x=时，()()()222112301623PPP==+==+=，故选项C正确；对于D，4x=时，()()()222112401623PPP==+==+

=，故选项D正确.故选：BCD.15．一盒中有7个乒乓球，其中5个未使用过，2个已使用过．现从盒子中任取3个球来用，用完后再装回盒中．记盒中已使用过的球的个数为X，则下列结论正确的是（）A．X的所有可能取值是3，4，5B．X最有可能的取值是5C．X等于3的概率为17D．X等于4的

概率为17【答案】AC【分析】求出随机变量X的可能取值，然后求出其对应的概率，即得.【解析】记未使用过的乒乓球为M，已使用过的为N，任取3个球的所有可能是：1个M球和2个N球，2个M球和1个N球，3个M球．M球使用后成为N球，故X的所有可能取值是3，4，5，所以选项

A正确；又()125237CC13C7PX===，()215237CC44C7PX===，()3537C25C7PX===，所以X最有可能的取值是4，所以选项B，D错误，选项C正确．故选：AC．16．乒乓球（tab

letennis），被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目，是推动外交的体育项目，被誉为“小球推动大球”．某次比赛采用五局三胜制，当参赛甲、乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束．每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受

之前已赛结果影响．假设甲在任一局赢球的概率为()01pp，实际比赛局数的期望值记为()fp，下列说法正确的是（）A．三局就结束比赛的概率为()331pp+−B．()fp的常数项为3C．1435ffD．13328f=【答案】ABD【分析】设实际比赛局数为

x，先计算出x可能取值的概率，即可判断A选项；进而求出期望值()fp，即可判断BCD选项.【解析】设实际比赛局数为x，则()()3331Pxpp==+−，()()()3131334C1C1Pxpppp==−+−，()()22245C1Pxpp==−，因此三局就结束比赛的概率为()331pp

+−，则A正确；则()()()()()332313122432334314C1C15C1612333fppppppppppppp=+−+−+−+−=−+++，由()03f=，则常数项为3，则B正确；由13328f=，则D正确；由()()(

)322243663321441fppppppp=−++=−−−，01p，所以24410pp−−，令()0fp，则102p；令()0fp，则112p，则函数()fp在10,2上单调递

增，在1,12上单调递减，因为()()()()()()33323113223341314C1C15C1fpppppppppfp−=−+−+−+−+=，所以()fp关于12p=对称，且p越极端，越可能快结束，

有11412352−−≤，得1435ff，则C不正确.故选：ABD.三、填空题17．已知随机变量()2,XBp，若()7116PX=，则p＝_____．【答案】14##0.25【分析】由()7116PX=可得()212PX

pp=−≥，进而可求解答案.【解析】已知X～B（2，p），则()()()01222221C1C12PXpppppp=−+−=−≥，∴27216pp−=，解得14p=或74p=（因为0＜p＜1，故舍去）．故答案为：14．18．设随机变量的

分布列为()12iPia==，（1i=，2，3），则a的值为___________.【答案】87##117【分析】利用离散型随机变量分布列的性质，列式计算作答.【解析】依题意，712488aaaa++==，

解得87a=，所以a的值为87.故答案为：8719．设X是一个离散随机变量，其分布列为：X－101P121q−2qq−则实数q的值为______.【答案】22##122【分析】根据概率和为1，结合概率的范围列式求解即可.【解析】由离散型随机变量分布列的性质，知2

1112qqq+−+−=，故212q=，因为0q，解得22q=.故答案为：2220．设随机变量的概率分布为()2kaPk==，a为常数，1k=，2，3，4，则=a______．【答案】1615【分析】由概率之和为1以及数列求和公式即可求解.【解析】由题意

知：随机变量的所有可能取值的概率和为1，即23412222aaaa+++=，则2341111()12222a+++=，由等比数列的求和公式，得423411122111115122221612−+++==−，所以15116a=，得1615a=.故答

案为：1615四、解答题21．一个袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1、2、3、4、5、6，从中随机取出3个球，以X表示取出球的最大号码．(1)求X的分布；(2)求X的取值不小于4的概率．【答案】(1)答案见解析(2)1920【分析】（1）随机变量X的可能取值为3、4、5、6，计算对

应概率得到分布列.（2）()()()()4456PXPXPXPX==+=+=，计算得到答案.【解析】（1）随机变量X的可能取值为3、4、5、6，且()2236C13C20PX===，()121336CC34C20PX===，()121436CC35C10PX===，()121536CC16C

2PX===，所以X的分布为：X3456p12032031012（2）X的取值不小于4的概率为：()()()()3311944562010220PXPXPXPX==+=+==++=．22．设随机变量X的概率分布6kPXak==，1,2,3,4,5,6k=．(1)求常数a的值；(

2)求23PX和2677PX的值．【答案】(1)121a=(2)57；23【分析】（1）（2）由分布列的性质求解即可；【解析】（1）解：由234561aaaaaa+++++=，得121a=．（2）解：由题知：2456545615366

67PXPXPXPXaaaa==+=+==++==．26234522345147766663PXPXPXPXPXaaaaa==+=+=+==

+++==．23．某机构对于某地区的10000户家庭的年可支配收入的调查中，获得如下的统计数据：60%的家庭将年可支配收入用来购买银行结构性存款，20%的家庭将

年可支配收入存入银行，其余家庭将年可支配收入用于风险投资.已知银行结构性存款获得的年收益率为5%的概率为95%，获得的年收益率为-2%的概率为5%，存入银行的年收益率为2%，风险投资的平均年收益率为3%.把频率当作概率，假设该地区的每户家庭的年可支配收入

均为10万元.(1)求这些家庭将年可支配收入不存入银行的概率；(2)每户家庭获得的年收益为X万元，求X的分布列.【答案】(1)80%(2)分布列见解析【分析】（1）利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率.（2）计算出随机变量X的可能取值，求出每个随机变量X的可能取值

，列出随机变量X的分布列.（1）由已知得，这些家庭将年可支配收入不存入银行的概率为120%80%−=.（2）由已知得，X的可能取值为105%0.5=，()102%0.2−=−，102%0.2=，103%0.3=，()0.560%95%0.57PX===，()0.260%5

%0.03PX=−==，()0.220%0.2PX===，()0.3160%20%20%0.2PX==−−==，所以X的分布列为X0.2−0.20.30.5P0.030.20.20.5724．近日，某调查公司在一家

大型超市进行了顾客使用移动支付情况的调查．调查人员从年龄在20岁到60岁的顾客中随机抽取了200人，得到如下数据：年龄人数类型)20,30)30,40)40,5050,60使用移动支付45402

515不使用移动支付0102045(1)现从这200人中随机依次抽取2人，已知第1次抽到的人使用移动支付的条件下，求第2次抽到的人不使用移动支付的概率；(2)在随机抽取的200人中对使用移动支付的人群采用分层随机抽样的方式抽取25人做进一步的问卷调查，再从这25人中随机选出3人

颁发参与奖，设这3人中年龄在)40,50之间的人数为X，求X的分布列．【答案】(1)75199(2)分布列见解析【分析】（1）利用条件概率即可得解；（2）写出随机变量X的所有取值，求出对应概率，再写出分布列即可.（1）解：记事件A：第1次抽到的人使用移动支付，事件B：第2

次抽到的人不使用移动支付，所以()()()1257575125199199nABPBAnA===；（2）解：在年龄段)40,50中抽取的人数为25255125=，则X的可能取值为0，1，2，3，且()320325C570

C115PX===，()21205325CC191C46PX===，()12205325CC22C23PX===，()03205325CC13C230PX===，则X的分布列为X0123P571151946223123025．近

日，某调查公司在一家大型超市进行了顾客使用移动支付情况的调查．调查人员从年龄在20岁到60岁的顾客中随机抽取了200人，得到如下数据：年龄人数类型)20,30)30,40)40,5050,60使用移动支付4

5402515不使用移动支付0102045(1)现从这200人中随机依次抽取2人，已知第1次抽到的人使用移动支付的条件下，求第2次抽到的人不使用移动支付的概率；(2)在随机抽取的200人中对使用移动支付的人群采用分层随机抽样的方式抽取25人做进一步的问卷调查，再从这25人中随机选出3人颁发

参与奖，设这3人中年龄在)40,50之间的人数为X，求X的分布列．【答案】(1)75199(2)分布列见解析【分析】（1）利用条件概率即可得解；（2）写出随机变量X的所有取值，求出对应概率，再写出分布列即可.（1）解：记事件A

：第1次抽到的人使用移动支付，事件B：第2次抽到的人不使用移动支付，所以()()()1257575125199199nABPBAnA===；（2）解：在年龄段)40,50中抽取的人数为25255125=，则X的可能取值为0，1，2，3，且()320325C570C115PX===，()

21205325CC191C46PX===，()12205325CC22C23PX===，()03205325CC13C230PX===，则X的分布列为X0123P571151946223123026．某

高校对该校学生进行了一次“身体素质测试”，包括铅球、50米跑、立定跳远三项．现将这三项的指标分别记为x，y，z，并对它们进行量化：0表示不合格，1表示合格，2表示优良，再用综合指标xyz=++的值评定身体素质等级，若4，则为一

级；若23，则为二级；若01，则为三级．为了了解该校学生身体素质的情况，随机抽取了10人的测试成绩，得到如下表所示结果：编号1A2A3A4A5A(),,xyz()0,1,0()1,2,1()2,1,1(

)2,2,2()0,1,1编号6A7A8A9A10A(),,xyz()1,1,2()2,1,2()2,0,1()2,2,1()0,2,1（1）在这10人中任取2人，求抽取的2人指标z相同的概率；（2）从等级是一级的人中任取1人，其综合指标记为m，从等级不是一级的人中任取1人，其综合指标记为n，记随

机变量Xmn=−，求X的分布列．【答案】（1）25；（2）分布列见解析.【解析】（1）由表可知，指标z为0的有1A，指标z为1的有2A，3A，5A，8A，9A，10A，指标z为2的有4A，6A，7A．在这10人中任取2人，所有的情况种数为210C45=，抽取的2人指标z相同包含的情况种

数为2263CC18+=，所以抽取的2人指标z相同的概率182455P==．（2）由题意得10人的综合指标如表：编号1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A综合指标1446245353其中等级是一级的有2

A，3A，4A，6A，7A，9A，共6个，等级不是一级的有1A，5A，8A，10A，共4个．随机变量X的取值范围为1,2,3,4,5，()11321164CC11CC4PX===，()111131221164CCCC72CC24PX+=

==，()1111113112211164CCCCCC73CC24PX++===，()111121111164CCCC14CC8PX+===，()11111164CC15C2C4PX===，所以X的分布列为：X12345P1472472418124