【文档说明】【精准解析】陕西省西安市西北工业大学附属中学2019-2020学年高二下学期5月月考数学（理）试题.doc，共(19)页，1.388 MB，由小赞的店铺上传

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高二数学月考（理科）试题一、选择题1.设复数21izi=+（其中i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】试题分析：，对应的点为，在第一象限，故答案为A.考点：复数的四则运算及几何

意义.2.在同一坐标系中，将曲线C：2sinyx=变为曲线C：sin2yx=的伸缩变换是（）A.2,12xxyy==B.1,212xxyy==C.1,22xxyy==D.2,2xxyy==【答案】B

【解析】【分析】根据三角函数图象伸缩变换原则可知横坐标缩小到原来的12倍，纵坐标缩短为原来的12，从而可得结果.【详解】将2sinyx=变为sin2yx=需将：2sinyx=的横坐标缩小到原来的12倍，纵坐标缩短为原来的12，1212xxyy==，故选：B

.【点睛】本题考查曲线的伸缩变换，涉及到三角函数伸缩变换原则，属于基础题.3.经抽样调查知，高二年级有14的学生数学成绩优秀.如果从全年级随机地选出50名学生，记其中数学成绩优秀的学生数为随机变量X，则其期望()EX的值为（）A.14B.252

C.25D.758【答案】B【解析】【分析】由已知得：随机变量1504XB，，由二项分布的期望公式可得选项.【详解】由题意得：1504XB，，所以()1255042EX==，故选：B.【点睛】本题考查二项分布的定义和其期望的计算公式，属于基础题.4.2020年初，湖北出现

由新型冠状病毒引发的肺炎.为防止病毒蔓延，各级政府相继启动重大突发公共卫生事件一级响应，全国人心抗击疫情.下图表示1月21日至3月7日我国新型冠状病毒肺炎单日新增治愈和新增确诊病例数，则下列中表述错误．．的是（）A.2月下旬新增确诊人数呈波动下降趋势B.随着全国医疗救治力度逐渐加大，2月下旬单

日治愈人数超过确诊人数C.2月10日至2月14日新增确诊人数波动最大D.我国新型冠状病毒肺炎累计确诊人数在2月12日左右达到峰值【答案】D【解析】【分析】根据新增确诊曲线的走势可判断A选项的正误；根据新增确诊曲线与新增治愈曲线的位置关系可判断B选项的正误；根据2月10日至2月14日新增确诊曲线的

走势可判断C选项的正误；根据新增确诊人数的变化可判断D选项的正误.综合可得出结论.【详解】对于A选项，由图象可知，2月下旬新增确诊人数呈波动下降趋势，A选项正确；对于B选项，由图象可知，随着全国医疗救治力度逐渐加大，2月下旬单日治愈人数超过确诊人数，B选项正确；对于C选项

，由图象可知，2月10日至2月14日新增确诊人数波动最大，C选项正确；对于D选项，在2月16日及以前，我国新型冠状病毒肺炎新增确诊人数大于新增治愈人数，我国新型冠状病毒肺炎累计确诊人数不在2月12日左右达到峰值，D选项错误.故选：D.【点睛】本题

考查统计图表的应用，考查数据处理能力，属于基础题.5.已知在正三角形ABC中，若D是BC边的中点，G是三角形ABC的重心，则2AGGD=.若把该结论推广到空间，则有：在棱长都相等的四面体ABCD中，若三角形BCD的

重心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则AOOM等于（）A.4B.3C.2D.1【答案】B【解析】【分析】利用类比推理把平面几何的结论推广到空间中.【详解】因为O到四面体各面的距离都相等，所以O为四面体内切球的球心，设四面体的内切球半径为

r，则43VSr=，其中V表示四面体的体积，S表示一个面的面积；所以1433VSAMSr==,即14rAM=，所以34314AMAOOMAM==.故选B.【点睛】本题主要考查类比推理，平面性质类比到空间时注意度量关系的变化.6.某饮料店的日销售收入y（单位：百

元）与当天平均气温x（单位：度）之间有下列数据：x–2–1012y54221甲、乙、丙三位同学对上述数据进行了研究，分别得到了x与y之间的三个线性回归方程：①y=−x+2.8，②y=−x+3，③y=−1.2x+2

.6；其中正确的是A.①B.②C.③D.①③【答案】A【解析】【分析】由样本数据可得，x=0，y=2.8，利用点（0，2.8）满足线性回归方程，即可得出结论．【详解】由题意知210125x−−+++==0，542215y++++==2.8，∵线性回归方程过这组数据的样本中心点，∴点（0，2.8）满

足线性回归方程，代入检验只有①符合．故答案为A【点睛】本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键,是基础题7.某校1000名学生的某次数学考试成绩X服从正态分布，正态分布密度曲线如图所示，则成绩X位于区间(51，69]的人数大约是（）A.997B.

954C.800D.683【答案】D【解析】【分析】由题图知，()2~,XN，其中60=，9=，∴()()51690.6827PxPx−+=，从而可求出成绩位于区间(51,69的人数.【详解】由题图知，()2~,XN，其中

60=，9=，∴()()51690.6827PxPx−+=，∴人数大约为0.6827×1000≈683.故选：D.【点睛】此题考查正态分布曲线的特点及曲线表示的意义，属于基础题.8.参数方程21sincos42xy

=+=−（为参数，02）所表示的曲线是（）A.椭圆的一部分B.双曲线的一部分C.抛物线的一部分，且过点11,2−D.抛物线的一部分，且过点11,2【答

案】D【解析】【分析】根据余弦的二倍角公式得sin21y=−，又由1sinx=+得21sinx−=，可得普通方程，再由1sin0,2x=+，可得选项.【详解】由21cos1sin2cos4222y+−+=−==，得sin21y=−，由

1sinx=+得21sinx−=，∴参数方程可化为普通方程22xy=.又1sin0,2x=+，所以当12y=时，1>0x=，故选：D.【点睛】本题考查参数方程化为普通方程，注意不可改变参数的范围，属于中档题.9.如图所示,在

柱坐标系中,长方体的两个顶点坐标为()114,0,5,6,,52AC，则此长方体外接球的体积为()A.7777π3B.7777π6C.7777π4D.7777π12【答案】B【解析】【分析】根据所给长方体顶点的坐标求出长方体的长宽高，然后由

长方体的体对角线即为长方体外接球的直径可得求得半径，进而可得外接球的体积．【详解】如图，由长方体的两个顶点坐标为()114,0,5,6,,52AC，可得14,6,5OAOCOO===，所以长方体的体对角线的长为22245677+

+=．设长方体外接球的半径为R，则277R=，∴772R=，∴外接球的体积为3344777777π3326VR===．故选B．【点睛】解答本题的关键有两个，一是由给定的顶点的坐标求出长方体的长宽高；二

是要明确长方体的外接球的直径即为长方体的体对角线，由此可得到外接球的半径，进而可得球的体积．10.已知抛物线24yx=的准线与x轴相交于点P，过点P且斜率为()0kk的直线l与抛物线交于A，B两点，F为抛物线的焦点，若2FBFA=，则AB的长度为（）A.32B.2C.172D.

17【答案】C【解析】【分析】设()()1122,,ABxyxy，，由抛物线的定义得2121xx=+①，再由AB的方程为ykxk=+；与24yx=联立，得()2222240kxkxk+−+=，由根与系数的关系得21211kxx=，②，联立①

②可求得1x，从而求得k，根据弦长公式计算可得选项.【详解】依题意知()()1010PF−，，，，设()()1122,,ABxyxy，，由2FBFA=得()21121xx+=+，即2121xx=+①，因为()10P−，，则AB的方程为ykxk=+；与24yx=联立，得()2222240kxkx

k+−+=，则()2242440kk=−−，即21211kxx=，②，由①②得112x=，则122A，，所以()20221312k−==−−，所以125+2xx=，()22121222171++432ABxxxx=−=，故选

：C.【点睛】本题考查了抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系弦长公式考查考生的运算求解能力以及数形结合思想，属于中档题.11.在二项式412nxx+的展开式，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为（）A.16B.14C.512D.13【答案】

C【解析】【分析】先根据前三项的系数成等差数列求n，再根据古典概型概率公式求结果【详解】因为412nxx+前三项的系数为1212111(1)1,,112448nnnnnnCCCCn−=+−=163418118,0,1,2,82rrrrnnTCxr−+

===，当0,4,8r=时，为有理项，从而概率为636799512AAA=,选C.【点睛】本题考查二项式定理以及古典概型概率，考查综合分析求解能力，属中档题.12.已知()fx是定义在R上的减函数，其导函数()'fx满足()()1'fx

xfx+，则下列结论正确的是（）A.对于任意Rx，()0fxB.对于任意Rx，()0fxC.当且仅当(),1x−，()0fxD.当且仅当()1,x+，()0fx【答案】B【解析】【分析】取特殊值，令1x=，结合题目所给不等式，对选项进行排除，由此得出正确选项.【详解】从选

择支看，只需判断()1f的符号，1x=，()()()()11110'1'1ffff+，()10f，排除A、C、D，故本小题选B.【点睛】本小题主要考查函数的单调性与导数，考查特殊值法解选择题，属于基础题.二、填

空题13.已知z是纯虚数，21zi+−是实数，那么z=______.【答案】2i−【解析】【分析】设(),0zbibRb=，根据复数代数形式的除法运算将21zi+−化简，由21zi+−是实数得到方程求出参数b，即可得解；【详解】解：设(),0zbibRb=，则

22211111zbibiiiiii++++==−−−+()()222bbi−++=2222bbi−+=+是实数，所以20b+=，2b=−，所以2zi=−.故答案为：2i−【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，以及复数的相关概念，属于基础题.14.体积为16的圆柱，当它的半径

为______时，圆柱的表面积最小.【答案】2【解析】【分析】设圆柱底面半径为r，母线长为l.由圆柱的体积公式可得216lr=.再表示圆柱的表面积2322Srr=+，求导，研究其导函数的取得正负的区间，从而得出原函数的单调性，由此可得答

案.【详解】设圆柱底面半径为r，母线长为l.∴216rl=，即216lr=.则圆柱的表面积2222163222222Srrlrrrrr=+=+=+，由23240Srr=−=，得2

r=.当02r时，0S，S单调递减；当2r时，0S，S单调递增.∴当2r=时，圆柱的表面积最小.故答案为：2.【点睛】本题考查圆柱的体积一定时，求其表面积的最值，运用一个变量表示圆柱的表面积，再运算导函数研究其最值是关键，属于中档题.15.椭圆规是画椭圆的一种工具，如图1所示

，在十字形滑槽上各有一个活动滑标M，N，有一根旋杆将两个滑标成一体，4MN=，D为旋杆上的一点且在M，N两点之间，且3NDMD=，当滑标M在滑槽EF内作往复运动，滑标N在滑槽GH内随之运动时，将笔尖放置于D处可画出椭圆，记该椭圆为C.如图2所示，设EF与GH交于点O，以EF所在的直线为x轴，以

GH所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系.则椭圆C的普通方程为______.【答案】2219xy+=【解析】【分析】由已知得出椭圆C的长半轴长为3，短半轴长为1，可得出椭圆的方程.【详解】由题意得：3ND=，1MD=，所以椭圆C的长半轴长为3，短半轴长

为1，所以椭圆C的普通方程为2219xy+=，故答案为：2219xy+=.【点睛】本题考查求椭圆的方程，关键在于将生活中的数据转化为椭圆的长半轴长和短半轴长，属于基础题.16.数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线C：()32

22216xyxy+=恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论：①曲线C经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2；③曲线C围成区域的面积大于4；④方程()()3222

2160xyxyxy+=表示的曲线C在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是______.【答案】②④【解析】【分析】利用基本不等式得224xy+，可判断②；224xy+=和()3222216xyxy+

=联立解得222xy==可判断①③；由图可判断④.【详解】作出圆224xy+=和四叶玫瑰线()3222216xyxy+=的图示如下图所示：()2223222216162xyxyxy++=，解得224xy+（当且仅当2xy==时取等号），则②正确；将224xy+=和()322221

6xyxy+=联立，解得222xy==，即224xy+=与曲线C相切于点()2,2，()2,2−，()2,2−−，()2,2−，则①和③都错误；由0xy，得④正确.综上，正确命题为：②④.故答案为：②④【点睛】本题考查

曲线与方程的应用，根据方程，判断曲线的性质及结论，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.三、解答题17.已知在极坐标系中，直线l的极坐标方程为31cos()62−+=，曲线C的极坐标方程为2(1cos)2cos0−−=，以极点为

原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系.（1）写出直线l和曲线C的直角坐标方程；（2）若直线'l：3(2)yx=−与曲线C交于,PQ两点，(2,0)M，求22||||MPMQ+的值.【答案】（1）22yx=；（2）1129.【解析】【分析】（1）

利用极坐标与直角坐标互化公式即可求解；（2）写出l'的参数方程，代入曲线C，利用韦达定理及参数t的意义即可求解【详解】（1）因为直线l：π31ρcosθ62−+=，故3ρcosθρsinθ310−−+=，即直线l的直角坐标方程：3xy310−−+=；因为曲线C：()2

ρ1cosθ2cosθ0−−=，则曲线C直角坐标方程：2y2x=.（2）设直线l'参数方程为()122t32xtyt=+=为参数将其代入曲线C的直角坐标系方程得23t4t160−−=，设P,Q对应的参数分别为12t,t,则1212164tt,tt,33=−+=()2

2222121212112MP|MQ|t|t|tt2tt9+=+=+−=.【点睛】本题考查极坐标与直角坐标互化，直线参数方程，直线与抛物线的位置关系，弦长公式，准确计算是关键，是基础题.18.（1）把

曲线C的参数方程2221121txttyt−=+=+（t为参数）化为普通方程；（2）设()11,Pxy为（1）中曲线C上一个动点，求动点()221111,Mxyxy−的轨迹的普通方程，并说明它表示何种曲线.【

答案】（1）221xy+=（除()1,0−外）；（2）动点M轨迹的普通方程为22114yx+=，并它表示中心在原点、焦点在x轴上、长半轴长1、短半轴长为12的椭圆.【解析】【分析】（1）由222222212111ttxytt−+=

+=++，可求得其普通方程；（2）设11cossinxy==，(),Mxy，可得2211111cos21sin22xxyyxy=−===，由22sin+cos1=可消去，得动点M轨迹的普通方

程，可得答案.【详解】解：（1）222222212111ttxytt−+=+=++，又()2221221111txtt−++==−+−++，故所求普通方程为221xy+=（除()1,0−）外，（2）设11cossi

nxy==，(),Mxy，则2211111cos21sin22xxyyxy=−===，消去，得2241xy+=，即22114yx+=.∵()()11,1,0xy−，但()()11,1,0xy=时，()(),1,0xy=，故动点M轨迹的普通方程为2

2114yx+=，它表示中心在原点、焦点在x轴上、长半轴长1、短半轴长为12的椭圆.【点睛】本题考查参数方程向普通方程的转化，关键在于运用相应的关系，消去参数，注意在消参时，不可改变变量的范围，属于中档题.19.为了加强环保

知识的宣传，某学校组织了垃圾分类知识竞赛活动.活动设置了四个箱子，分别写有“厨余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”、“其它垃圾”；另有卡片若干张，每张卡片上写有一种垃圾的名称.每位参赛选手从所有卡片中随机抽取

20张，按照自己的判断，将每张卡片放入对应的箱子中.按规则，每正确投放一张卡片得5分，投放错误得0分.比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子，得5分，放入其它箱子，得0分.从所有参赛选手中随机抽取20人，将他们的得分按照[0，20]，(20，40]

，(40，60]，(60，80]，(80，100]分组，绘成频率分布直方图如图：（1）分别求出所抽取的20人中得分落在组[0，20]和(20，40]内的人数；（2）从所抽取的20人中得分落在组[0，40]的选手中随机选取3名选手，以X表示这3名选手中得分不超过20分

的人数，求X的分布列和数学期望.（3）为了解活动效果，从全校随机调查了300名学生以了解对垃圾分类的认识情况，其中有参加过竞赛的学生100人，按回答的总得分是否大于60分，分为“能分清”和“分不清”两类，得到的部分数据如下表：能分清分不清参加竞赛学生5050未参加竞

赛学生50问：是否有99.9%的把握认为，“是否参加该知识竞赛”与“对垃圾分类的认识明确程度”有关？参考公式：()()()()()22nadbcKabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++.临界值表：()20PKk

0.1000.0500.0250.0100.0010k2.7063.8415.0246.63510.828【答案】（1）得分落在组[0，20]的人数有2人，得分落在组(20，40]的人数有3人；（2）分布列见解析；期望为1.2；（3）有.

【解析】【分析】（1）由频率直方图可得出所抽取的20人中得分落在组[0，20]的人数和得分落在组(20，40]的人数.（2）X的所有可能取值为0，1，2，分别计算()0PX=，()1PX=，()2PX=，得以X的分布列，从而得X的期望.（3）依题意完善二联表，再计算2k的观测值，比较可得结论.【

详解】解：（1）由题意知，所抽取的20人中得分落在组[0，20]的人数有0.0050×20×20=2(人)，得分落在组(20，40]的人数有0.0075×20×20=3(人).所以所抽取的20人中得分落在组[0，20]的人数有2人，得分落在组(20，40]的人

数有3人.（2）X的所有可能取值为0，1，2，()33351010CPXC===，()1223356110CCPXC===，()1223353210CCPXC===所以X的分布列为X012P110610310所以X的期望163

0121.2101010EX=++=（3）依题意完善表格如下：能分清分不清合计参加竞赛学生5050100未参加竞赛学生50150200合计100200300计算2k的观测值为()2230015050505018.7

510.828100200200100k−==故有99.9%的把握认为“是否参加该知识竞赛”与对垃圾分类认识的明确程度有关.【点睛】本题考查识别频率直方图，计算样本，求离散型随机变量的分布列，期望，以及独立性检验，属于中档题.20.设函数()2axfxexax=+

−，e是自然对数的底数，R?a是常数．（1）若1a=，求()fx的单调递增区间；（2）讨论曲线()yfx=与22?yxx=+公共点的个数．【答案】（1）()fx的单调递增区间为()0+，（或)0+，）；（2）2?a−

或21ae−时，两曲线无公共点；20?a−或21ae=−时，两曲线有一个公共点；20?1ae−时，两曲线有两个公共点.【解析】【分析】（1）将参数值代入表达式，对函数求导得到函数的单调性进而得到函数的增区间；（2）曲线()yfx=与22yxx=+公共点的个数即函数()(

)()()222axgxfxxxeax=−+=−+零点的个数，对函数求导分情况讨论即可.【详解】（1）()/21xfxex=+−,当0x=时，()/0fx=，当0x时，()/0fx，当0x时，()/0fx,()fx的单调递增区间为()0+，（或)0+，

）.（2）曲线()yfx=与22yxx=+公共点的个数即函数()()()()222axgxfxxxeax=−+=−+零点的个数，()()/2axgxaea=−+.（I）0a=时，()12gxx=−有一个零点.(II)0a时，由()/0gx=解得，12ln1xaa=+

．当12ln1xaa+时，()/0gx；当12ln1xaa+时，()/0gx，()gx在12ln1xaa=+取最小值()min221ln1agxaa+=−+

,①21ae=−时，()min221ln10agxaa+=−+=，()gx有一个零点.②21ae−时，()min221ln10agxaa+=−+，()gx无零点.③201

ae−时，()min221ln10agxaa+=−+，由()010g=知，()gx在120ln1aa+，有一个零点，即在12ln1aa，−+有一个零点；由指数函数与幂函数单调性比较知，当012ln1xaa+

且充分大时，()00gx，所以()gx在012ln1xaa+，有一个零点，即在12ln1aa++，有一个零点．从而()gx有两个零点.（III）20a−时，()()/20axgxaea=−+，()gx单

调递减，()010g=，21102aagea+=−+，所以()gx在102a+，有一个零点，从而在定义域内有一个零点.（IIII）2a=−时，()2xgxe−=无零点.（IIIII）2a−时，由()/0gx=解得，12ln1xaa=+．当12l

n1xaa+时，()/0gx；当12ln1xaa+时，()/0gx，()gx在12ln1xaa=+取最小值()min221ln1agxaa+=−+

．因为2a−，210a−，2011a+，21ln10a−+，()()min0gxgx，()gx无零点．综上所述，2a−或21ae−时，两曲线无公共点；20a−或21ae=−时，两曲线有一个公共点；201ae−时，两曲线

有两个公共点.【点睛】有关函数零点(方程根)的问题，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中

，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数()(),ygxyhx==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),yaygx==的交点个数的图象的交点个数问题．