【文档说明】2023-2024学年高一数学苏教版2019必修第二册同步备课试题 13.2.3直线与平面位置关系（3）直线与平面所成角 Word版含解析.docx，共(17)页，1.367 MB，由小赞的店铺上传

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13.2.3直线与平面位置关系（3）直线与平面所成角一、单选题1．点P是平面ABC外一点，且PAPBPC==，则点P在平面ABC上的射影一定是ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心【答案】A【解析】【分析】过点P作PO⊥平面

ABC，因为PAPBPC==，得到OAOBOC==，即可求解.【详解】如图所示，过点P作PO⊥平面ABC，可得222222,,OAPAPOOBPBPOOCPCPO=−=−=−因为PAPBPC==，可得OAOBOC==，所以O为ABC的外心.故选：A.2．设直线l平面，过

平面外一点A与l，都成30°角的直线有（）A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】B【解析】【分析】根据线面角的定义，结合题意，画出示意图，即可求得结果.【详解】和成30°角的直线一定是以A为顶点的圆锥的

母线所在直线，如下所示：当ABC＝ACB＝30°且BC∥l时，直线AC，AB都满足条件．故选：B.3．直线l与平面α所成的角为70°，直线l∥m，则m与α所成的角等于（）A．20°B．70°C．90°D．110°【答案】B【解析】【分析】由直线与平面所成角的概念求解【详解】∵l∥m，∴

直线l与平面α所成的角等于m与α所成的角，又直线l与平面α所成的角为70°，∴m与α所成的角为70°故选：B4．空间中两条直线l，m和平面，下列条件中能得到//lm的是（）A．l，m与平面所成角相等B．l，m在平面内的射影分别平行C．//

l，//mD．l⊥，m⊥【答案】D【解析】【分析】ABC举出反例即可说明不能推出//lm，排除法即可得出结果.【详解】A：如图满足l，m与平面所成角相等，但l，m不平行，故A错误；B：如图，11,lm分别是l，m在平面内的射影

，满足l，m在平面内的射影分别平行，但l，m不平行，故B错误；C：如图满足//l，//m，但l，m相交，故C错误；故有排除法可知选D，故选：D.5．在边长为1的正方体1111ABCDABCD−中，点M，N分别为AB，BC的中点，则直线MN与平面1DCA所

成角的大小为（）A．6B．4C．3D．2【答案】A【解析】【分析】由正方体性质可得1AD⊥平面1DCA，可得ACO为直线MN与平面1DCA所成角，即求.【详解】如图，连接AC，1AD交1AD于O，连接OC，∵点M，N分别为AB，BC的中点，∴MN∥AC，由正方体的性质可知

CD⊥平面11ADDA，∴1CDAD⊥又11ADAD⊥，1ADDCD=，∴1AD⊥平面1DCA，∴ACO为直线AC与平面1DCA所成角，也即为直线MN与平面1DCA所成角，在直角三角形ACO中，2,22AOAC==∴6ACO=.故选：A6．日晷

是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为

北纬30°，则晷针与点A处的水平面所成角为（）A．15°B．30°C．60°D．90°【答案】B【解析】【分析】由纬度的定义和线面角的定义，结合直角三角形的性质，即可求得晷针与点A处的水平面所成角.【详解】画出

截面图如下图所示，其中CD是赤道所在平面的截线，l是点A处的水平面的截线，AB是晷针所在直线，m是晷面的截线.依题意可知OAl⊥，//mCD，ABm⊥，且晷针与点A处的水平面所成角为BAE.由于30,//AOCmCD=，所以30O

AGAOC==.由于90OAGGAEBAEGAE+=+=，所以30BAEOAG==，也即晷针与点A处的水平面所成角为30BAE=.故选：B7．在正三棱柱111ABCABC−中，若1:2:1ABBB=，则1AB与平面11BBCC所成角为（）A．45B．60C．30D．7

5【答案】A【解析】【分析】取BC的中点D，设12BB=，连接AD、1BD，证明出AD⊥平面11BBCC，可得知1AB与平面11BBCC所成角为1ABD，计算出AD、1AB的长，可计算出1sinABD，即可求得1A

BD的值，即为所求.【详解】取BC的中点D，连接AD、1BD，设12BB=，则22AB=，因为ABC为等边三角形，D为BC的中点，则ADBC⊥，在正三棱柱111ABCABC−中，1BB⊥平面ABC，ADQ平面ABC，1ADBB⊥，1BCBBB=QI，AD⊥平面11BBCC，所以，

1AB与平面11BBCC所成角为1ABD，1BD平面11BBCC，1ADBD⊥，易知sin606ADAB==，221123ABABBB=+=，所以，112sin2ADABDAB==，故145ABD=.故选：A.8．如图，某人在垂直于水平地

面ABC的墙面前的点A处进行射击训练，已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角的大小，若15,25,30ABcmACcmBCM===，则tan的最大

值是（）.（仰角为直线AP与平面ABC所成的角）A．305B．3010C．439D．539【答案】D【解析】【分析】由题可得，20BC=，过P作PPBC⊥，交BC于P，连接AP，则tanPPAP=，

设(0)BPxx=，分类讨论，若P在线段BC上，则20CPx=−，可求出PP和AP，从而可得出2320tan3225xx−=+，利用函数的单调性，可得出0x=时，取得最大值；若P在CB的延长线上，同理求出PP和AP，可得出2320tan3225xx+=+，可得当454x=时，

函数取得最大值；结合两种情况的结果，即可得出结论．【详解】解：15,25ABcmACcm==，ABBC⊥，由勾股定理知，20BC=，过点P作PPBC⊥交BC于P，连结AP，则tanPPAP=

，设(0)BPxx=，若P在线段BC上，则20CPx=−，由30BCM=，得3tan30(20)3PPCPx==−，在直角ABP△中，2225APx=+，2320tan3225xx−=+，令220225xyx−=+，

则函数在[0x，20]单调递减，0x=时，取得最大值为20343459=；若P在CB的延长线上，3tan30(20)3PPCPx==+，在直角ABP△中，2225APx=+，2320tan3225xx+

=+，令22(20)225xyx+=+，则0y=可得454x=时，函数取得最大值539.故答案为：539．二、多选题9．在正方体1111ABCDABCD−中，点E是线段AC上的动点，则下列说法正确的是（

）A．当1DE与1BD相交时，交点为1BD的中点B．当点E在AC上移动时，1//DE平面11ACB始终成立C．当点E在AC上移动时，11DEDB⊥始终成立D．当1DE最短时，直线1DE与正方体1111AB

CDABCD−所有面所成角都相等【答案】BC【解析】【分析】当E为AC中点时，1DE与1BD相交，设交点为O，可判断交点O不是1BD的中点，即可判断A；证明平面1//ACD平面11ACB，1DE平面1ACD可判断B；

证明1DB⊥平面1ACD，由1DE平面1ACD，可判断C；E为AC的中点，分别求直线1DE与面ABCD和面11ADDA所成的角的正弦值，可判断D，进而可得正确选项.【详解】对于A，当E为AC中点时，1DE与1BD相交，设交点为O，由11//DEDB，1112DED

B=，故112DOOB=，此时交点O不是1BD的中点，故选项A错误；对于B，当点E在AC上移动时，1DE平面1ACD，因为11//ACAC，AC面11ACB，11AC面11ACB，可得//AC面11ACB，同理可证1//AD面11ACB，因为1AC

ADA=I，所以平面1//ACD平面11ACB，因为1DE平面1ACD，所以1//DE平面11ACB始终成立，故选项B正确；对于C：因为1BBAC⊥，BDAC⊥，1BBBDB=，所以AC⊥面1BDB，因为1DB面1BDB，所以1DBAC⊥，同理可证：11DBAD⊥，因为1

ACADA⊥=，所以1DB⊥平面1ACD，因为1DE平面1ACD，所以11DEDB⊥始终成立，故选项C正确；对于D：设正方体棱长为2，当1DE最短时，E为AC的中点，因为1DD⊥面ABCD，所以1D

ED即为直线1DE和平面ABCD所成的角，2DE=，12DD=，()221226DE=+=，此时11126sin36DDDEDDE===，取AD的中点H，连接1,EHDH，则EH⊥面11ADDA，所以1EDH即为直线1DE和平面11ADDA所成的角，且16DE=，1HE=，1

116sin66EHEDHDE===，所以而和平面11ADDA所成角的正弦值为66.直线1DE与正方体1111ABCDABCD−所有面所成角都相等不正确，故选项D不正确；故选：BC.10．如图，在四棱锥PABCD−中，底

面ABCD为平行四边形，3DAB=，22ABADPD==，PD⊥底面ABCD，则（）A．PABD⊥B．BC⊥平面PBD．C．异面直线AB与PC所成角的余弦值为55D．PB与平面ABCD所成角为π3【

答案】AB【解析】【分析】利用勾股定理得到ADBD⊥，再由PD⊥平面ABCD，得到BDPD⊥，结合线面垂直判定定理，证得BD⊥平面APD，即可判定A正确；由//ADBC，得到BCBD⊥，结合BCPD⊥，即可证得BC⊥平面APD，可判定B正确

；把异面直线AB与PC所成角转化为CD与PC所成角，在直角PCD，可判定C不正确；根据线面角的定义，得到PBD为PB与平面ABCD所成角，在直角PBD△中可判定D不正确.【详解】根据题意，设1PDAD==，则2AB=，对于A中，由余弦定理可得14212c

os33BD=+−=，所以222ADBDAB+=，所以ADBD⊥，因为PD⊥平面ABCD，且BD平面ABCD，可得BDPD⊥，又由ADPDD=I且,ADPD平面APD，所以BD⊥平面APD，因为PA平面A

PD，所以PABD⊥，所以A正确；对于B中，由ADBD⊥，因为//ADBC，可得BCBD⊥，又由PD⊥平面ABCD，且BC平面ABCD，可得BCPD⊥，又由BDPDD=且,BDPD平面PBD，所以BC⊥平面APD，所以B正确；对于C中，由底面ABCD为平行四边形

，可得//ABCD，所以异面直线AB与PC所成角，即为CD与PC所成角，设PCD，在直角PCD，可得225PCPDCD=+=，所以25cos5CDPCDPC==.所以C不正确；对于D中，因为PD⊥底面ABCD，所以PBD为PB与平面

ABCD所成角，可得3tan3PDPBDBD==，所以6PBD=，即直线PB与平面ABCD所成角为6，所以D不正确.故选：AB.三、填空题11．如图，在正方体1111ABCDABCD−中，,,,EFGH分别为棱111

111,,,AABCCDDD的中点，则GH与平面EFH所成角的余弦值为______.【答案】31010【解析】【分析】连结11,EBCH，过G作1GMCH⊥于M，1GHC即为GH与平面EFH所成的角，在1HCG中利用余弦定理求出1cosGHC【详解】解：连结11,EBC

H，则平面EFH即为平面11EHCB，过G作1GMCH⊥于M，则MG⊥平面EFH，1GHC即为GH与平面EFH所成的角，设正方体棱长为2，则111,2,5CGGHCH===，2221111251310cos210225GHCHCGGHCGHCH+−+−===.故

答案为：31010.【点睛】本题考查了直线与平面所成角的求解，关键是找到线面角的平面角，属于中档题.12．如图，∠ACB=90°，平面ABC外有一点P，PC=4cm，点P到角的两边AC，BC的距离都等于23cm，则P

C与平面ABC所成角的大小为___.【答案】45°【解析】【分析】过P作PO⊥平面ABC于点O，连接CO，由线面角的定义可得∠PCO为PC与平面ABC所成的角，解三角形可求得答案.【详解】解：过P作P

O⊥平面ABC于点O，连接CO，则CO为∠ABC的平分线，且∠PCO为PC与平面ABC所成的角，设其为θ，连接OF，则CFO△为直角三角形.又PC=4，PF=23，∴CF=2，∴CO=22，在RtPCO△中，c

osθ=22COPC=，∴θ=45°.故答案为：45°.四、解答题13．如图所示，三棱台ABCEFG−中，ACBC⊥，EA⊥底面ABC，2ABEF=.（1）证明：BCAG⊥；（2）若ACBC=，AEAC=，问为何值时，直线EF与平面AGF所成的角为6？【答案

】（1）证明见解析；（2）12=.【解析】【分析】（1）证明EABC⊥，ACBC⊥，由线面垂直得判定定理即可证得BC⊥平面AEGC，再利用线面垂直得性质即可证得BCAG⊥；（2）由（1）可得FG⊥平面AEGC，过点E作EHAG⊥交AG于H，则EH⊥平面AFG，连接FH，则EFH即为直线EF与平

面AGF所成的角或补角，然后设2ACBCa==，根据条件即可得出答案.【详解】（1）证明：∵EA⊥底面ABC，BC面ABC，EABC⊥又ACBC⊥，ACEAA=，∴BC⊥平面AEGC，又∵AG平面AEGC，∴BCAG⊥；（2）解：由在三棱台ABCEFG−中，//FGBC，由第

一问有，BC⊥平面AEGC，所以FG⊥平面AEGC，又FG平面AFG，所以平面AFG⊥平面AEGC，又平面AFG平面AEGCAG=，连接AG，过点E作EHAG⊥交AG于H，则EH⊥平面AFG，连接FH，则EFH即为直线EF与平面AGF所成的角或补角，设2

ACBCa==，由222ABEFa==，则2EFa=，由AEAC=，则2AEa=，FGGEa==，214GAa=+，所以2214GEEAaEHGA==+，所以22114sinsin622aEHEFHEFa+====，解得12=.14．

如图，AB是O的直径，PA垂直于O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点．（1）证明：PBC是直角三角形；（2）若2PAAB==，且当直线PC与平面ABC所成角的正切值为2时，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）33.【解析】

【分析】（1）由题意，可得BCAC⊥，BCPA⊥，即BC⊥平面PAC，即得证；（2）可证明ABH是直线AB与平面PBC所成的角，PCA即是PC与平面ABC所成的角，结合题干的长度数值，即得解【详解】（1）证明：∵AB是O的直径，C是

圆周上不同于A，B的一动点．∴BCAC⊥，∵PA⊥平面ABC，∴BCPA⊥，又PAACA=，PA，AC平面PAC，∴BC⊥平面PAC，∴BCPC⊥，∴BPC△是直角三角形．（2）如图，过A作AHPC⊥于H，∵BC⊥平面PAC，∴BCAH⊥，又PCBCC=，PC，BC平面

PBC，∴AH⊥平面PBC，∴ABH是直线AB与平面PBC所成的角，∵PA⊥平面ABC，∴PCA即是PC与平面ABC所成的角，∵tan2PAPCAPC==，又2PA=，∴2AC=，∴在RtPAC△中，22233PAACAHPAAC==+，∴在RtABH

△中，2333sin23AHABHAB===，即直线AB与平面PBC所成角的正弦值为33．