【文档说明】2023-2024学年高一数学苏教版2019必修第二册同步备课试题 10.3几个三角恒等公式 Word版含解析.docx，共(9)页，201.256 KB，由小赞的店铺上传

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10.3几个三角恒等公式一、单项选择题：1、𝑠𝑖𝑛20°+𝑠𝑖𝑛40°+𝑠𝑖𝑛60°−𝑠𝑖𝑛80°=()A.12B.√22C.√32D.1【答案】C【分析】本题利用和差化积公式化简求值，属

基础题．直接利用和差化积公式即可求解．解：原式=sin20°−sin80°+sin40°+sin60°=2𝑐𝑜𝑠50°sin(−30°)+cos50°+𝑠𝑖𝑛60°=sin60°=√32．故选

C．2、cos15°sin105°＝()A．34＋12B．34－12C．32＋1D．32－1答案：A解析：[cos15°sin105°＝12[sin(15°＋105°)－sin(15°－105°)]＝12[sin120°－sin(－90°)]＝12×32＋12×1＝3

4＋12.]3、sin(𝜋4+𝛼)cos(𝜋4+𝛽)化成和差的形式为（）A.12sin(𝛼+𝛽)+12cos(𝛼−𝛽)B.12cos(𝛼+𝛽)+12sin(𝛼−𝛽)C.12sin(𝛼+𝛽)+12si

n(𝛼−𝛽)D.12cos(𝛼+𝛽)+12cos(𝛼−𝛽)【答案】B【分析】本题考查积化和差公式，属基础题．运用公式展开变换即可．【解答】解：sin(𝜋4+𝛼)cos(𝜋4+𝛽)=12[sin(�

�4+𝛼+𝜋4+𝛽)+sin(𝜋4+𝛼−𝜋4−𝛽)]=12[sin(𝜋2+𝛼+𝛽)+sin(𝛼−𝛽)]=12cos(𝛼+𝛽)+12sin(𝛼−𝛽)．故选B．4、若𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑠𝑖𝑛𝑦=√22，𝑐𝑜𝑠𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑦=√6

2，则sin(𝑥+𝑦)等于（）A.√22B.√32C.√62D.1【答案】B【分析】本题考查两角和差的三角函数的应用，考查和差化积公式的应用，属于基础题．两个式子平方相加可得cos(𝑥−𝑦)=0，相乘可得s

in(𝑥+𝑦)+sin(𝑥+𝑦)cos(𝑥−𝑦)=√32，继而可求得结果．【解答】解：把两个式子平方相加得cos(𝑥−𝑦)=0，把两个式子相乘得(sin𝑥cos𝑦+sin𝑦cos𝑥)+(sin𝑥cos𝑥+sin𝑦cos𝑦)=√32，所以sin(𝑥+𝑦)+si

n(𝑥+𝑦)cos(𝑥−𝑦)=√32．即sin(𝑥+𝑦)=√32．故选B．5、已知函数𝑓(𝑥)=cos2𝑥+sin2(𝑥+𝜋6)，则（）A.𝑓(𝑥)的最小正周期为2𝜋，最小值为−12B.𝑓(𝑥)的最小正周期为𝜋，最小值为−12

C.𝑓(𝑥)的最小正周期为2𝜋，最小值为12D.𝑓(𝑥)的最小正周期为𝜋，最小值为12【答案】D【分析】本题考查三角恒等变形以及正弦函数的性质，属于基础题．首先根据三角恒等变形，函数化简为

𝑓(𝑥)=12sin(2𝑥+𝜋6)+1，然后通过正弦函数性质逐个判断即可．【解答】解：由题意得，𝑓(𝑥)=cos2𝑥+sin2(𝑥+𝜋6)=12(1+cos2𝑥)+12[1−cos(2𝑥+𝜋3)]=12+12cos2𝑥+1

2−12(12cos2𝑥−√32sin2𝑥)=14cos2𝑥+√34sin2𝑥+1=12sin(2𝑥+𝜋6)+1，则函数𝑓(𝑥)的最小正周期为2𝜋2=𝜋，最小值为−12+1=12．故选D．6、若cosxcosy＋sinxsiny＝12，sin2x＋sin2y＝23，则sin(x

＋y)＝()A．23B．－23C．13D．－13答案：A解析：[因为cosxcosy＋sinxsiny＝12，所以cos(x－y)＝12，因为sin2x＋sin2y＝23，所以2sin(x＋y)cos(x－y)＝23，所以2sin(x＋y)

·12＝23，所以sin(x＋y)＝23，故选A．]二、多项选择题：7、下列关系式中，正确的是()A.sin5𝜃+sin3𝜃=2sin4𝜃cos𝜃B.cos3𝜃−cos5𝜃=−2sin4𝜃sin𝜃C.

sin3𝜃−sin5𝜃=−12cos4𝜃cos𝜃D.sin𝜃·sin𝛼=12[cos(𝜃−𝛼)−cos(𝜃+𝛼)]【答案】AD【解析】【分析】本题考查和差化积公式，利用两角和与差的正弦余弦公式相加减后可得和差化积公式，注意和差化积公式是同名函数的和差才能化积．由5𝜃

=4𝜃+𝜃，3𝜃=4𝜃−𝜃，利用两角和与差的正弦、余弦公式展开后可判断ABC，D项等号右边化简可判断正误．【解答】解：由sin5𝜃=sin(4𝜃+𝜃)=sin4𝜃cos𝜃+cos4𝜃sin𝜃，sin3𝜃=sin(4𝜃−𝜃)=si

n4𝜃cos𝜃−cos4𝜃sin𝜃，cos5𝜃=cos(4𝜃+𝜃)=cos4𝜃cos𝜃−sin4𝜃sin𝜃，cos3𝜃=cos(4𝜃−𝜃)=cos4𝜃cos𝜃+sin4𝜃sin𝜃，代入前三项，得sin5𝜃+sin3𝜃=2sin4𝜃cos𝜃，A正确，B错

误，右边应是2sin4𝜃sin𝜃;C错误，右边应是−2cos4𝜃sin𝜃;选项D，等号右边=−12[cos(𝜃+𝛼)−cos(𝜃−𝛼)]=−12[(cos𝜃cos𝛼−sin𝜃sin�

�)−(cos𝜃cos𝛼+sin𝜃sin𝛼)]=−12(−2sin𝜃sin𝛼)=sin𝜃sin𝛼，故选项D正确，故选AD．8、下列四个关系式中错误的是()A.sin5𝜃+sin3𝜃=2sin4𝜃cos𝜃B.cos3𝜃−cos5𝜃=−2si

n4𝜃sin𝜃C.sin3𝜃−sin5𝜃=−12cos4𝜃cos𝜃D.sin5𝜃+cos3𝜃=2sin4𝜃cos𝜃【答案】BCD【解析】【分析】本题主要考查两角和与差的正弦余弦公式，由5𝜃=4𝜃+𝜃、3𝜃=4𝜃−𝜃，利用两角和与差的正弦、余

弦公式展开后所得相加减，求解即可．【解答】解：sin5𝜃=sin(4𝜃+𝜃)=sin4𝜃cos𝜃+cos4𝜃sin𝜃，sin3𝜃=sin(4𝜃−𝜃)=sin4𝜃cos𝜃−cos4𝜃sin𝜃，cos5𝜃=cos(4𝜃+𝜃)=cos4𝜃

cos𝜃−sin4𝜃sin𝜃，cos3𝜃=cos(4𝜃−𝜃)=cos4𝜃cos𝜃+sin4𝜃sin𝜃，代入各选项，对于A：sin5𝜃+sin3𝜃=2sin4𝜃cos𝜃，故A正确；对

于B：cos3𝜃−cos5𝜃=2sin4𝜃sin𝜃，故B错误；对于C：sin3𝜃−sin5𝜃=−2cos4𝜃sin𝜃，故C错误；对于D：sin5𝜃+cos3𝜃=sin4𝜃cos𝜃+cos4𝜃sin𝜃+cos4𝜃cos𝜃+

sin4𝜃sin𝜃，故D错误；故选BCD．9、已知函数𝑦=𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥，𝑦=2sinxcosx，则下列结论中正确的是()A.两函数的图象均关于点(−，0)成中心对称B.两

函数的图象均关于直线𝑥=−成轴对称C.两函数在区间(−，)上都是单调增函数；D.两函数的最大值相同【答案】CD【解析】【分析】本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数的化简以及三角函数的对称性，单调性，周期性，最值性，综合考查三角函数的性质．将两个函数进行化简，结合

三角函数的对称性，单调性，周期性，最值分别进行判断即可．【解答】A、令𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥=√2sin(𝑥+𝜋4)，𝑔(𝑥)=√2𝑠𝑖𝑛2𝑥，因为𝑓(−𝜋4)=√2sin(−𝜋4+

𝜋4)=√2𝑠𝑖𝑛0=0，所以𝑓(𝑥)关于点(−𝜋4,0)成中心对称，因为𝑔(−𝜋4)=√2sin[2×(−𝜋4)]=√2sin(−𝜋2)=−√2≠0，所以𝑔(𝑥)关于点(−𝜋4,0)不对称，故A错误；B、𝑓(𝑥)关于点(−𝜋4,0)成中心对称，𝑔(𝑥

)关于直线𝑥=−𝜋4成轴对称，故B错误；C、当−𝜋4<𝑥<𝜋4，则0<𝑥+𝜋4<𝜋2，此时函数𝑓(𝑥)为增函数，当−𝜋4<𝑥<𝜋4，则−𝜋2<2𝑥<𝜋2，此时函数𝑔(𝑥)为增函数，即两函数在区间(−𝜋4,𝜋4)上都是单调增函数，故C正确；D、两函数的最大值

相同，都为√2，故D正确．故选：CD．三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分）10．函数y＝cosx＋π3cosx＋2π3的最大值是________．答案：34解析：[y＝cosx＋π3cos

x＋2π3＝12cos(2x＋π)＋cos－π3＝1212－cos2x，当cos2x＝－1时，y取最大值34.11、已知𝑠𝑖𝑛𝛼+𝑠𝑖𝑛𝛽=14,𝑐𝑜𝑠𝛼+𝑐𝑜𝑠𝛽=13，则tan(𝛼+

𝛽)的值为______．【答案】247【解析】解：由𝑠𝑖𝑛𝛼+𝑠𝑖𝑛𝛽=14，得2𝑠𝑖𝑛𝛼+𝛽2cos𝛼−𝛽2=14，由𝑐𝑜𝑠𝛼+𝑐𝑜𝑠𝛽=13，得2𝑐𝑜𝑠𝛼+𝛽2cos𝛼−𝛽2=13，两式

相除，得tan𝛼+𝛽2=34，则tan(𝛼+𝛽)=2𝑡𝑎𝑛𝛼+𝛽21−tan2𝛼+𝛽2=2×341−(34)2=247故答案为：247根据三角函数的和差化积把已知条件化简得到两个式子，然后把两式相除得到𝛼+𝛽2的正切值，然后把所求的式

子利用二倍角公式化简，代入即可求出值．考查学生灵活运用三角函数的和差化积公式化简求值，灵活运用二倍角的正切函数公式化简求值，学生做题时应利用整体代入的方法求值．12、已知sinα＋sinβ＝12，cosα＋cosβ＝13，则tan(α＋β)

＝________，cos(α－β)＝________.答案：－125－5972解：[由sinα＋sinβ＝12，cosα＋cosβ＝13，得2sinα＋β2cosα－β2＝12，2cosα＋β2cosα－β2＝13，两式相除得tanα＋β2＝32，则tan(α＋

β)＝2tanα＋β21－tan2α＋β2＝2×321－322＝－125.(sinα＋sinβ)2＝sin2α＋sin2β＋2sinαsinβ＝14，(cosα＋cosβ)2＝cos2α＋cos2β＋2cosαcosβ

＝19，则cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－5972.]四、解答题：（本题共3小题，共35分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）13、计算:sin20°cos70°+sin

10°sin50°.解析：sin20°cos70°+sin10°sin50°==12[sin(20°+70°)+sin(20°-70°)]-12[cos(10°+50°)-cos(10°-50°)]=12(sin90°-sin50°)-12(cos60°-cos40°)=12−12

sin50°-14+12cos40°=12−12sin50°-14+12sin50°=14.14、求证：tan3x2－tanx2＝2sinxcosx＋cos2x.[证明]法一：因为tan3x2－tanx2＝sin3x2cos3x2－sinx2cosx2＝sin3x2cosx2－cos3x2

sinx2cos3x2cosx2＝sin3x2－x2cos3x2cosx2＝sinxcos3x2cosx2＝2sinxcos3x2＋x2＋cos3x2－x2＝2sinxcosx＋cos2x.所以原式成立．法二：因为2sinxcosx＋

cos2x＝2sin3x2－x2cos3x2－x2＋cos3x2＋x2＝2sin3x2cosx2－cos3x2sinx22cos3x2cosx2＝sin3x2cos3x2－sinx2cosx2＝tan3x2－tanx2.所以

原式成立．