【文档说明】2023-2024学年高一数学苏教版2019必修第二册同步备课试题 13.3.2空间图形的体积 Word版含解析.docx，共(11)页，851.923 KB，由小赞的店铺上传

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13.3.2空间图形的体积一、单选题1．如图，正方体1111ABCDABCD−中，E，F分别为棱AB，BC的中点，过1A，E，F三点的平面将正方体分割成两部分，两部分的体积分别为1V，()212VVV，则12:VV=（）A．

519B．524C．717D．724【答案】C【解析】【分析】结合台体体积公式、正方体体积公式求得正确答案.【详解】由于11////EFACAC，所以11,,,EFCA共面，111BEFBAC，所以111BEFBAC−是台体，设正方体的边长为2，111111117111122222322223

BEFBACV−=++=，所以127737172223VV==−.故选：C2．正四棱台的上，下底面的边长分别为2，4，侧棱长2，则其体积为（）A．20123+B．563C．2823D．562【答案】C【

解析】【分析】由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解.【详解】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，所以该棱台的高()2

222222h=−−=，下底面面积116S=，上底面面积24S=，所以该棱台的体积()()121211282216464333VhSSSS=++=++=.故选：C.3．《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭.如图，现有一

方亭ABCDEFHG−，其中上底面与下底面的面积之比为1:4，方亭的高hEF=，62BFEF=，方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形，已知方亭四个侧面的面积之和125，则方亭的体积为（）A．24B．643C．563D．16【答案】C【解析】【分析】分析可知

12EFAB=，设2EFx=，则4ABx=，6BFx=，过点E、F在平面ABFE内分别作EMAB⊥，FNAB⊥，垂足分别为点M、N，根据正四棱台的侧面积计算出x的值，再利用台体的体积公式可求得结果.【

详解】由题意得12EFAB=，设2EFx=，则4ABx=，6BFx=.过点E、F在平面ABFE内分别作EMAB⊥，FNAB⊥，垂足分别为点M、N，在等腰梯形ABFE中，因为//EFAB，EMAB⊥，FNAB⊥，则四边形MNFE为矩形，所以，2MNEFx==，EMFN=，因为AEBF

=，EMFN=，90AMEBNF==，所以，RtAMERtBNF△≌△，所以，2ABEFAMBNx−===，所以，225FNBFBNx=−=，所以等腰梯形ABFE的面积为224535352xxSxx+===，得1x

=.所以，22EFx==，44ABx==，故方亭的体积为()15624166433++=.故选：C.4．长方体长宽高分别为3，4，12，那么该长方体外接球的表面积为（）A．169B．1694C．21976D．13【答案】A【解析】【分

析】先利用长方体的棱长，求出它的体对角线即求出外接球的直径，由此据球的表面积公式即可求出球的表面积．【详解】解：长方体长宽高分别为3，4，12，所以长方体的体对角线为222341213++=，所以长方体外接球的直径2222341213R=++=，故外接球的表面积为241

69SR==．故选：A5．如图，圆锥PO的底面直径和高均为4，过PO的中点O作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的体积是（）A．10B．103C．2D．23【答案】B【解析】【分析】用锥体体积减去柱体体积.【详解】由题意知，因为O为PO的中点，所以挖去圆

柱的半径为1，高为2，剩下几何体的体积为圆锥的体积减去挖去小圆柱的体积，所以22110241233V=−=.故选：B6．如图1，在高为h的直三棱柱容器111ABCABC−中，2ABAC==，A

BAC⊥．现往该容器内灌进一些水，水深为2，然后固定容器底面的一边AB于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好为11ABC（如图2），则容器的高h为（）A．3B．4C．42D．6【答案】A【解析】【分析】利用两个图形装水的体积相等即可求解.【详解】在图1中1222

42V==水，在图2中，1111111114=22222323ABCABCCABCVVVhhh−−−=−=水，44,33hh==.故选：A.二、多选题7．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所

示的圆台12OO，在轴截面ABCD中，2cmABADBC===，且2CDAB=，下列说法正确的有（）A．30ADC=B．该圆台轴截面ABCD面积为233cmC．该圆台的体积为373cm3D．沿着该圆台表面，从点C到AD中点的最短距离为5cm【答案】BCD【解析】【分析】

A由圆台轴截面的性质求母线与底面直线所成角大小即可；B应用梯形面积公式求轴截面面积；C利用圆台的体积公式求体积；D将圆台侧面展开，结合对应圆锥侧面展开图性质及勾股定理求两点的最短距离.【详解】A：由已知及题图知：1cos2ADC=且02πADC，故60AD

C=，错误；B：由A易知：圆台高为2sin603h==，所以圆台轴截面ABCD面积1(24)3332S=+=2cm，正确；C：圆台的体积2222173(1122)333V=++=3cm，正确；D：将圆台一半侧面展开，如下图中ABCD且E为AD中点，而圆台

对应的圆锥体侧面展开为COD且4OC=，又242COD==，所以在Rt△COE中22435CE=+=cm，即C到AD中点的最短距离为5cm，正确.故选：BCD8．矩形ABCD中，2AB=，1BC=，将此矩形沿着对角线BD折成一个三棱锥CBDA−，则以下说法正

确的有（）A．三棱锥CBDA−的体积最大值为2515B．当二面角CBDA−−为直二面角时，三棱锥CBDA−的体积为2515C．当二面角CBDA−−为直二面角时，三棱锥CBDA−的外接球的表面积为5D．当二面角CBDA−−

不是直二面角时，三棱锥CBDA−的外接球的表面积小于5【答案】ABC【解析】【分析】求出点C到平面ABD的最大距离即可计算棱锥的最大体积判断选项A，B；求出三棱锥CBDA−的外接球的半径即可判断选项C，D作答.【详解】过C作CEBD⊥于E，

在平面DBA内过E作BD的垂线EG，则CEG为二面角CBDA−−的平面角，如图，平面CEG⊥平面DBA，过C作CF⊥EG于F，则CF⊥平面DBA，在直角BCD△中，90BCD=，251,2,5BCCDBCCDCEBD====，显然CFCE，当且仅当点E与F重合时取“=”，即点C到平

面ABD距离的最大值为255CE=，而112DBASABAD==，则三棱锥CBDA−的体积最大值为125315DBACES=，A正确；当CF取最大值255时，CF平面BCD，又CF⊥平面DBA，则平面BCD⊥平面

DBA，即二面角CBDA−−为直二面角，三棱锥CBDA−的体积为2515，B正确；取BD中点O，连接AO，CO，显然有12AOCOBDBODO====，于是得点A，B，C，D在以O为球心，AO52=为半径的球面上，显然，无论二面角CBDA−−如何变

化，点A，B，C，D都在上述的球O上，其表面积为5，C正确，D不正确.故选：ABC三、填空题9．如图，已知圆锥PO的底面半径OA的长度为1，母线PA的长度为2，半径为1R的球1O与的圆锥侧面相切，并与底面相切于点O，若球2O与

球1O、圆锥的底面和侧面均相切，则球2O的表面积为______．【答案】427【解析】【分析】先求球1O半径1R，再求2O半径后求解【详解】由题意得PAB△为边长为2的等边三角形，故113333R==，则1233AO=，而1221AOAOOO=+，即22233233RR=++，解得239R

=，球2O的表面积224427SR==．故答案为：42710．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下､左右､

前后完全对称.从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来，如图，若正四棱柱体的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为___________.（容器壁的厚度忽略不计）【答案】41【解析】【分析】转化为几何体的外接球问题，求出

外接球的半径和表面积即可.【详解】由题可知，当鲁班锁的顶点与球面相接时，球的体积最小，此时222262141R=++=，所以412R=，2441SR==.故答案为：41.四、解答题11．如图一个半球，挖掉一个

内接直三棱柱111ABCABC−（棱柱各顶点均在半球面上），,ABAC=棱柱侧面11BBCC是一个长为4的正方形.(1)求挖掉的直三棱柱的体积；(2)求剩余几何体的表面积.【答案】(1)16(2)241628+−【解

析】(1)记球心为O，BC中点为E，连接AO，OE，AE，由球的性质知BC是ABC所在小圆直径，又11BBCC是一个长为4的正方形，因此2OEAE==，球半径为2222RAOAEOE==+=，挖掉的直三棱

柱的体积11424162ABCVSBB===!；(2)由（1）知2222ACAEEC=+=，111122482ACCAABBASS===，14242ABCS==，1116BCCBS=，S半球

表面积＝222(22)(22)24+=，所以剩余几何体表面积为SS=半球表面积－1111112BCCBAACCABBAABCSSSS+++!＝241628224241628−++=+−．12．如图，如图，在四棱

锥PABCD−中，底面ABCD为平行四边形，22ABAD==，3PDBDAD==，且PD⊥底面ABCD．(1)证明：BC⊥平面PBD；(2)求A到平面PBC的距离．【答案】(1)证明见解析；(2)62.【解析】【分析】（1）利用勾股定理逆定理证得BCBD⊥，再利用线面垂直的判定推理作答

.（2）将A到平面PBC的距离转化为D到平面PBC的距离，再利用等体积法计算作答.(1)在四棱锥PABCD−中，PD⊥底面ABCD，BC平面ABCD，则PDBC⊥，在ABCD中，2,1CDABBCAD====，而3BD=，即有2224BCBDCD+==

，则有BDBC⊥，因PDBDD=，,PDBD平面PBD，所以BC⊥平面PBD.(2)由（1）可得BCPB⊥，PDBD⊥，因3PDBD==，则226PBPDBD=+=，1622PBCSBCPB==，1322BCDSBCBD==，令D到平面PBC的距离为h，由DPBCPBCDVV−−=

，即1133PBCBCDShSPD=得：63322h=，解得62h=，因//ADBC，BC平面PBC，AD平面PBC，于是得//AD平面PBC，所以A到平面PBC的距离等于D到平面PBC的距离62.