【文档说明】2023-2024学年高一数学人教A版2019必修第一册同步备课试题 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（6大题型） Word版含解析.docx，共(29)页，2.234 MB，由小赞的店铺上传

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第二章一元二次函数、方程和不等式2.3二次函数与一元二次方程、不等式（6大题型）分层作业题型目录考查题型一：解不含参数的一元二次不等式考查题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇考查题型三：含有参数的一元二次不等式的解法考查题型

四：一次分式不等式的解法考查题型五：实际问题中的一元二次不等式问题考查题型六：不等式的恒成立问题考查题型一：解不含参数的一元二次不等式1．（2023·全国·高一专题练习）求下列不等式的解集：(1)(2)(3)0xx+−；(2)23710xx−；(3

)2440xx−+−；(4)2104xx−+；(5)223xx−+−；(6)2340xx−+.【解析】（1）由(2)(3)0xx+−，可得<2x−或3x，故不等式(2)(3)0xx+−的解集为2xx−或3x.（2）由23710x

x−，得()()31010xx−+，解得1013x−，故不等式23710xx−的解集为1013xx−.（3）由2440xx−+−，可得2440xx−+，即()220x−，解得2x，故不等式244

0xx−+−的解集为2xx.（4）由2104xx−+，可得2102x−，解得12x=，故不等式2104xx−+的解集为12xx=.（5）由223xx−+−，可得2230xx−−，即()()2310xx−+，解得1x−或32x，故不等式223x

x−+−的解集为1xx−或32x.（6）因为223734024xxx−+=−+恒成立，所以不等式2340xx−+的解集为R.2．（2023·江苏无锡·高一江苏省南菁高级中学校考开学考试）解下列不等式：(

1)2450xx−++(2)20252xx−+(3)2690xx−+(4)290x−【解析】（1）由2450xx−++得：()()245150xxxx−−=+−，解得：1x−或5x，不等式2450xx−++的解

集为1xx−或5x.（2）()()22522120xxxx−+=−−，122x，不等式20252xx−+的解集为122xx.（3）由2690xx−+得：()230x−，解得：3x=，不等式2690xx−+的解集为3xx=.（4）由

290x−得：()()29330xxx−=+−，解得：3x−或3x，不等式290x−的解集为3xx−或3x.3．（2023·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考开学考试）解下列不等式：(1)2320xx−+−；(2)134xx−+−；(3)11.21xx−+【解析】（

1）2320xx−+−可化为2320,(1)(2)0xxxx−+−−，所以解为12.x（2）当1x时，不等式可化为134xx−+−+，此时不等式解为0x；当13x时，不等式可化为134xx−−+，此时不等式无解；当3x时，不等式

可化为134xx−+−，此时不等式解为4x；综上：原不等式的解为0x或4x.（3）原不等式可化为211021xxx+−++，与()()2120210xxx+++同解，所以不等式的解为：2x−或12x−.4．（

2023·高一课时练习）解下列不等式．(1)28150xx−+；(2)223xx−−−；(3)22333xxx−−+−．【解析】（1）方程28150xx−+=的两根分别为13x=，25x=，函数2815yxx=−+的图象是开口向上的抛物线，与x轴有两个交点()3,0和()5,0，如图所示

，观察图象可知，不等式的解集为3xx或5x．（2）原不等式可化为2230xx+−；方程2230xx+−=的两根分别为13x=−，21x=，函数223yxx=+−的图象是开口方向向上的抛物线，与x轴有两个交点()3,0−和

()1,0，如图所示，观察图象可知，不等式的解集为31xx−.（3）原不等式移项整理得23530xx−+；()25433110=−−=−，方程23530xx−+=无实根，函数2353yxx=−+的图象是开口方向向上的抛物线，与x轴无

交点，如图所示，观察图象可知，不等式的解集为R．考查题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇5．（多选题）（2023·全国·高一专题练习）不等式20axbxc++的解集是12xx−，则下列结论正确的是（）A．0ab+=B．0abc++C．0cD．0b【

答案】ABC【解析】因为不等式20axbxc++的解集是12xx−，可得a<0，且121020baca−=−+==−，所以00bbac=−，所以0,0,0abcb+=

，所以A、C正确，D错误．因为二次函数2yaxbxc=++的两个零点为1,2−，且图像开口向下，所以当1x=时，0yabc=++，所以B正确．故选：ABC．6．（多选题）（2023·福建福州·高一校考开学考试）已知关于x的不等式20ax

bxc++的解集为3xx或4x，则下列结论中，正确结论的序号是（）A．0aB．不等式0bxc+的解集为4xx−C．不等式20cxbxa−+的解集为14xx−或13xD．0abc++【答案】AD【解析】由20axbxc

++的解集为3xx或4x得22(3)(4)(712)axbxcaxxaxx++=−−=−+，故0,7,12,abaca=−=故A正确，60abca++=，故D正确，对于B，0bxc+，解得127x，故B错误，对于C，20cxb

xa−+为21270axaxa++，解得1134x−−，故C错误.故选：AD7．（多选题）（2023·全国·高一专题练习）已知不等式20axbxc++的解集为122xx−，则下列结论正确的是（）A．0bB．0cC．0abc++D．0abc−+【

答案】ABC【解析】由题意可知，方程20axbxc++=的解为121,22xx=−=，且a<0，则1232bxxa−=+=，121cxxa==−，解得32ba=−，ca=−，令()()22302fxaxbxcaxaxaa=++=−

−；对于A，302ba=−，故A正确；对于B，0ca=−，故B正确；对于C，()331022abcfaaaa++==−−=−，故C正确；对于D，()331022abcfaaaa−+=−=+−=，故D错误.故选：ABC.8．（多选题）（

2023·全国·高一专题练习）已知不等式20axbxc++的解集为{|1xx−或3}x，则下列结论正确的是（）A．0aB．0abc++C．0cD．20cxbxa−+的解集为1{|3xx−或1}x【答案】ABC【解析】由不等式和解集的形式可知

，a<0，且方程20axbxc++=的实数根为=1x−或3x=，那么1313baca−=−+=−，所以23baca=−=−，所以40abca++=−，且30ca=−，故ABC正确；不等式220320cxbx

aaxaxa−+−++，即23210xx−−，解得:113−x,所以不等式的解集为113xx−，故D错误.故选：ABC9．（多选题）（2023·江苏南通·高一校考阶段练习）已知关于x的不等式20axbx

c++的解集为|2xx−或3x，则下列说法正确的是（）A．0aB．不等式0bxc+的解集是6xxC．0abc++D．不等式20cxbxa−+的解集是1|3xx−或12x【答案】ACD【解析】由题意不等式20axbxc++的解集为|2xx−或3x，则可知

0a，即A正确；易知，2−和3是方程20axbxc++=的两个实数根，由韦达定理可得2323baca−+=−−=，则,6baca=−=−；所以不等式0bxc+即为60axa−−，解得6x−，所以B错误；易知60abca++=−，所以C正确；不等式20cxb

xa−+即为260axaxa−++，也即2610xx−−，解得1|3xx−或12x，所以D正确.故选：ACD10．（多选题）（2023·浙江杭州·高一校考期末）已知关于x的不等式20axbxc++的解集为

32xx−，则（）A．0aB．0abc++C．不等式0bxc+的解集为6xxD．不等式20cxbxa++的解集为1132xx−【答案】ABD【解析】由于不等式20ax

bxc++的解集为32xx−，所以3x=−和2x=是20axbxc++=的两个实数根，所以32320bacaa−+=−−=，故,6baca==−，640abcaaaa++=+−=−，故AB正确，对于C,不等式0bxc+为60axa−，故606

xx−，故C错误，对于D,不等式20cxbxa++可变形为2260610axaxaxx−++−−，解得1132x−，故D正确，故选：ABD11．（多选题）（2023·高一课时练习）若不等式22520axx−+的解集

是122xx，则a的值为（）A．－2B．12C．－2D．2【答案】CD【解析】因为不等式22520axx−+的解集是122xx，所以12和2为方程22520axx−+=的两根，所以根据根与系数的关系可得221222152

2aa=+=，所以2a=.故选：CD12．（多选题）（2023·全国·高一专题练习）已知关于x的不等式230axbx++，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确的是（）A．不等式230axbx++的解集可以是3xxB．

不等式230axbx++的解集可以是RC．不等式230axbx++的解集可以是D．不等式230axbx++的解集可以是13xx−【答案】BD【解析】在A中，若结论正确，依题意得0330ab=+=，解得01ab==−，

则不等式为30x−+，解得3x，与解集3xx矛盾，故A错误；在B中，取1a=，2b=，得()2223120xxx++=++，解集为R，故B正确；在C中，当0x=时，2330axbx++=，不等式成立，解集不为，故C错误；在D中，依题意得a<0，且13

313baa−+=−−=，解得12ab=−=，符合题意，故D正确．故选：BD考查题型三：含有参数的一元二次不等式的解法13．（2023·全国·高一专题练习）解下列关于x的不等式：20xxa++（Ra

）；【解析】14a=−，当14a时，Δ0，20xxa++无实数解，当1=4a时，=0，20xxa++的无实数解，当14a时，0，20xxa++的解为11411422aax−−−−+−，综上，当14a时，原不等式的解集为，当14a时，原不等式的解集为1141

14{|}22aaxx−−−−+−.14．（2023·全国·高一专题练习）解下列关于x的不等式：2(1)10axax−++(Ra).【解析】不等式2(1)10axax−++化为：(1)(1)0axx−−，当0a=，原不等式化为1

0x−+，解得1x，当a<0，原不等式化为1()(1)0xxa−−，解得1xa或1x，当0a，原不等式化为1()(1)0xxa−−，当01a时，解得11xa，当1a=时，不等式无解，当1a时，解得11xa，所以当a<0，原不等式的解集为1{|1}xxx

a或，当0a=时，原不等式的解集为{|1}xx；当01a时，原不等式的解集为1{|1}xxa；当1a=时，原不等式的解集为；当1a时，原不等式的解集为1{|1}xxa.15．（20

23·山东枣庄·高一校考阶段练习）解关于x的不等式:2(21)20axax−++.【解析】原不等式可化为(1)(2)0axx−−.(*).（1）当0a=时，有(2)02xx−−−.（2）当0a时，(*)式1(2

)0xxa−−，∵1122aaa−−=，①当102a时，12a，∴12xa.②当12a=时，12a=，2(2)0x−，此时解集为.③当12a时，12a.∴12xa.（3）当0a时，(*)式1(2)0xxa−−，∵0a，∴12a

.∴1xa或2x.综上所述，原不等式的解集为:当0a时，为1|xxa或2x；当0a=时，为|2xx；当102a时，为1|2xxa；当12a=时，为；当12a时，为1|2xxa.16．（

2023·高一课时练习）求不等式2(2)20axax−++的解集.【解析】2(2)20axax−++可转化为(2)(1)0axx−−①当0a=时，原不等式可化为10x−，解得1x.所以不等式的解集为1xx；②当0a时，原不等式可化为2()(

1)0xxa−−，当21a，即02a时，不等式的解集为2,1xxxa或；当21a=，即2a=时，不等式的解集为R；当21a，即2a时，不等式的解集为21,xxxa

或；③当a<0时，原不等式可化为2()(1)0xxa−−，所以不等式的解集为21xxa.综上：当a<0时，不等式的解集为21xxa；当0a=时，不等式的解集为1xx；当02a时，不等式的解集为2,1xxxa或；当2a=时，不等式的

解集为R；当2a时，不等式的解集为21,xxxa或.17．（2023·高一课时练习）解关于x的不等式：2(1)10(R)axaxa−−−．【解析】原不等式可化为(1)(1)0axx+−，当0a=时，10x−，得1x

，当0a时，由(1)(1)0axx+−，得1(1)0xxa+−，解得11xa−，当1a=−时，(1)(1)0xx−+−，得2(1)0x−，解得1x，当10a−时，由(1)(1)0axx+−，得1(1)0xxa+−，此时，11a−，所以解得1x

a−，或1x，当1a−时，由(1)(1)0axx+−，得1(1)0xxa+−，此时11a−，所以解得1xa−，或1x，综上所述，当0a=时，原不等式的解集为1xx；当0a时，原不等式的解集为11xxa−；当1a=−时，原不等式的解集为

1xx；当10a−时，原不等式的解集为1xx或1xa−；当1a−时，原不等式的解集为1xxa−或1x．18．（2023·浙江宁波·高一校联考期中）设函数()223yaxbx=

+−+(1)若不等式0y的解集为{13}xx∣，试求,ab的值；(2)若0,2aba=−，求不等式1y−的解集.【解析】（1）由题意知1和3是方程()2230axbx+−+=的两个根，且0a，即有2133130baaa−+=−

=，解得1,2ab==−.（2）2ba=−，则不等式1y−，即()22231axax+−−+−即()22240axax−++，因为0a，方程()22240axax−++=的两根为2a和2，所以：①当22a，即01a时，不等式的解集为22xxa

∣；②当22a=，即1a=时，不等式的解集为2xx=∣；③当0a且22a，即1a时，不等式的解集为22xxa∣.19．（2023·天津滨海新·高一校考期中）（1）当k取什么值时，一元二次不等式23208kxkx+−对一切实数x都成立

?（2）解含参数a的不等式22230xaxa+−.【解析】（1）因为一元二次不等式23208kxkx+−对一切实数x都成立，所以()203Δ4208kkk=−−，解得30k−.即当30k−时，一元二次不等式23208kxkx+−对一切实数x都成立.（

2）解方程22230xaxa+−=得12,3xaxa==−，当3aa=−，即0a=时，不等式22230xaxa+−的解集为；当3aa−，即0a时，不等式22230xaxa+−的解集为3xaxa−；当3aa−，即a<0时，不等式22

230xaxa+−的解集为3xaxa−；综上，当0a=时，不等式22230xaxa+−的解集为；当0a时，不等式22230xaxa+−的解集为3xaxa−；当a<0时，不等式22230xaxa+−的解集为3xaxa−.考查题型四：一次分

式不等式的解法20．（2023·全国·高一专题练习）解不等式2111xx+−.【解析】因为2111xx+−，所以21101xx+−−，即301xx−，所以()31010xxx−−，解得0x或1x，所以原不等式的解集为{|0xx或1}x.

21．（2023·全国·高一课堂例题）不等式22xx−的解集为.【答案】()()20xx−/()2,0−【解析】方法一：原不等式220xx−−20xx+()20,0xxx+即2

0,0xx−，故20x−.故答案为：20xx−.方法二：原不等式可化为220xx−−，即20xx+.原不等式等价于20,0xx+或20,0xx+，解得20x−.故答案为：20xx−.22．（2023·甘肃

临夏·高一校考期中）不等式2502xx−+−的解集为.【答案】5|22xx【解析】不等式2502xx−+−等价于()()2520xx−+−，即()()2520xx−−，解得522x，所以不等式2502xx−+

−的解集为5|22xx.故答案为：5|22xx23．（2023·云南曲靖·高一校考阶段练习）不等式302xx++的解集是．【答案】2xx−或3x−【解析】302xx++等价于()()320x

x++，解得2x−或3x−，故解集为2xx−或3x−.故答案为：2xx−或3x−24．（2023·全国·高一专题练习）不等式221xx+−的解集为.【答案】{|14}xx【解析】原不等式可化为0212xx+−−，即()()22101xxx+−−

−，即401xx−−，即1)(4)0xx−−(，解得14x，∴原不等式的解集为{|14}xx，故答案为：{|14}xx考查题型五：实际问题中的一元二次不等式问题25．（2023·全国·高一专题练习）某景区旅馆共有200张床位，若每床每晚

的定价为50元，则所有床位均有人入住；若将每床每晚的定价在50元的基础上提高10的整数倍，则入住的床位数会减少10的相应倍数.若要使该旅馆每晚的收入超过1.54万元，则每个床位的定价应为（元）.【答案】1

20或130【解析】设每个床位的定价应为x元，则每晚上有()20050250xx−−=−张床位有人入住，所以，旅馆每晚的收入为()2250250xxxx−=−+元，因为要使该旅馆每晚的收入超过1.54万元，所以，225015400x

x−+，即2250154000xx−+，解得110140x，因为x是10的整数倍，所以，每个床位的定价应为120或130元.故答案为：120或13026．（2023·高一课时练习）某商店的圆珠笔以每支3元的价格销售，每年可以售出6万支．根据市场调查，该圆珠笔的单价每提高0.1元，

销售量就减少1000支．设每支圆珠笔的定价为x（36x且*10xN）元，要使得提价后的年总销售额比原来至少多2万元，则x的最小值为．【答案】4【解析】当定价为x元时，销售数量为360.10.1x−−所以总销售额而2360.190.1xxxx−−=−由题意得：

229209200xxxx−−+（36x）解的：45x则x的最小值为：4故答案为：4.27．（2023·上海奉贤·高一校考阶段练习）假设在某次交通事故中，测得肇事汽车的刹车距离大于20m，在一般情况下

，我们可以采用如下数学模型来描述某种型号的汽车在常规水泥路面上的刹车距离d（单位：m）与刹车前的车速v（单位：km/h）之间的关系：20.20850.0064dvv=+.试判断该汽车在刹车前的车速（填“超过”或“没有超过”）该水泥道路上机动车的限速30km/h.【答案】超

过【解析】画出函数20.20850.0064dvv=+和20d=的图像，如下：所以函数20.20850.0064dvv=+在(0,)+上递增，而当30v=时，12.01520d=所以该汽车在刹车前的车速超过该水泥道路上机动车的限速30km/h.故答案为：超过28．（2023·全国·高一专

题练习）某商品在最近30天内的价格m与时间t(单位：天)的函数关系是10(030,N)mttt=+；销售量y与时间t的函数关系是35(030,N)yttt=−+，则使这种商品日销售金额不小于500元的t的范

围为（）A．{|1520,N}tttB．{|1015,N}tttC．{|1015,N}tttD．{|010,N}ttt【答案】B【解析】由日销售金额为(10)(35)500(N)ttt+−+，即2

251500(N)ttt−+，解得1015(N)tt.故选：B29．（2023·江苏·高一专题练习）某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x（件）与单价P（元）之间的关系为1602Px=−，生产x件所需成本为C（元），其中50030C

x=+元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x的取值范围是（）A．20≤x≤30B．20≤x≤45C．15≤x≤30D．15≤x≤45【答案】B【解析】设该厂每天获得的利润为y元，则y＝(160－2x)x－(500＋30x)＝－2x

2＋130x－500(0＜x＜80)．由题意，知－2x2＋130x－500≥1300，即x2－65x＋900≤0，解得：20≤x≤45，所以日销量x的取值范围是20≤x≤45．故选：B．30．（2023·全国·高一专题练习）某种汽车在水泥路面上的刹车距

离s（单位：m）和汽车刹车前的车速v（单位：km/h）之间有如下关系：21120160svv=+，在一次交通事故中，测得这种车刹车距离大于40m，则这辆汽车刹车前的车速至少为（）（精确到1km/h）A．76km/hB．77km/hC．78km/hD．80km/

h【答案】B【解析】设这辆汽车刹车前的车速为km/hv，根据题意，有2114020160svv=+，移项整理，得28401600vv−+，0v解得4440176.09v−+．所以这辆汽车刹车前的速度至少为77km/h．故选：

B31．（2023·全国·高一专题练习）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入．则这批台灯的销售单价x（单位：元

）的取值范围是（）A．{1520}xx∣B．{1218}xx∣C．{1020}xx∣D．|1016xx【答案】A【解析】结合题意易知，[302(15)]400xx−−,即2302000xx−+，解得1020x

，因为15x，所以1520x，这批台灯的销隹单价x的取值范围是{1520}xx∣，故选：A.32．（2023·江苏连云港·高一校考阶段练习）某地每年销售木材约20万立方米，每立方米价格为2400元，为了减少木材消耗，决定按销售收入的%t征收木材税，这样每年的木材销售

量减少52t万立方米.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是（）A．|3ttB．5|3ttC．{|35}ttD．|5tt【答案】B【解析】由题设52400%(20)9002tt−且08t

，整理得28150tt−+，可得35t.故选：B33．（2023·全国·高一专题练习）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏

，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入．则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（）A．1016xxB．1218xxC．1520xxD．1020xx

【答案】C【解析】结合题意易知，()30215400xx轾--?臌，即2302000xx−+，解得1020x，因为15x，所以1520x，这批台灯的销售单价x的取值范围是1520xx，故选：C.考查题型六：不等式的恒成立问

题34．（2023·高一课时练习）已知()2224yxax−+=+.(1)如果对一切xR，0y恒成立，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a，使得对任意31xxx−，0y恒成立？若存

在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.【解析】（1）由题意知：只有当二次函数()2224yxax−+=+与直角坐标系中的x轴无交点时，才能满足题意；其相应方程()22240xax+−+=此时应满足

()242160a=−−，解得：04a，实数a的取值范围为04aa.（2）若对任意31xxx−，0y恒成立，则满足题意的函数()2224yxax−+=+的图象如图所示，由图象可知，此时a应该满足()()()29624012240Δ42160aaa−−++

−+=−−，则2561204aaaa−或，不等式组无解，不存在实数a满足：对任意31xxx−，0y恒成立.35．（2023·全国·高一课堂例题）当1x时，不等式290xax++恒成立，则实数a的取值范围为.【答案】6aa−【解

析】方法一∵当1x时，不等式290xax++恒成立，∴只需求出函数()291yxaxx=++的最小值，令最小值大于0即可.二次函数29yxax=++的图象的对称轴为2ax=−.当12a−，即2a

−时，函数在1x=处取得最小值10a+，则100a+，10a−，∴2a−.当12a−，即2a−时，函数在2ax=−处取得最小值22299224aaa−−+=−，∴2904a−，解得66a−，∴62a−−.综上，实数a的取值范围

为6aa−.方法二:∵1x，∴由290xax++得9axx−+.∵9926xxxx+=，当且仅当9xx=，即3x=时等号成立，∴9xx−+的最大值为6−，∴6a−.故a的取值范围为

6aa−.故答案为：6aa−36．（2023·四川·高一校考阶段练习）已知不等式﹣2x2+bx+c＞0的解集{x|﹣1＜x＜3}，若对任意﹣1≤x≤0，不等式2x2+bx+c+t≤4恒成立.则t的取值范围是.【答案】2tt−【解析】因为不等式﹣2

x2+bx+c＞0的解集{x|﹣1＜x＜3}，所以()132132bc−+=−=−，解得46bc==，因为对任意﹣1≤x≤0，不等式2x2+bx+c+t≤4恒成立，所以为对任意﹣1≤x≤0，不等式2242txx−−−

恒成立，令2242yxx=−−−，()2212x=−+−，所以2t−，故答案为：2tt−37．（2023·江苏·高一专题练习）若1x时，24(32)370xaxa−+++恒成立，则a的取值范围为.【答案】6a【解析】1x时，24(32)3

70xaxa−+++恒成立，即()231427axxx−−+恒成立，即()242731xxax−+−恒成立.令1xt−=（0t），则1xt=+，()()()2241217427191946246631333ttxxttxttt+−++−+==+++=

−，当且仅当94tt=，即32t=，等号成立，故6a，即a的取值范围为6a.38．（2023·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考期中）设a<0，若关于x的不等式()()230xaxb++对任意的(),xa

b恒成立，则ba−的最大值为．【答案】3.【解析】因为()()230xaxb++对任意的(),xab恒成立，所以230xa+，0xb+或230xa+，0xb+，①若0xb+对任意的(),xab恒成立，则0ab+即0ba−，当0x=时，

2330xaa+=不成立，②若0xb+对任意的(),xab恒成立，则0bb+，即0b，若230xa+对任意的(),xab恒成立，则230aa+，得30a−，所以ba−的最大值为0(3)3−−=，故答案为：3.3

9．（2023·黑龙江大庆·高一大庆市东风中学校考阶段练习）已知当23x时,不等式2290xxa−+恒成立.求a的取值范围（集合形式作答）.【答案】<9aa【解析】转化为当23x时,229axx−+恒成立,设2()29fxxx=−+,则()minafx.函数()fx的

对称轴为94x=,函数()fx的最小值为()2323939f=−+=.a的取值范围为<9aa.故答案为:<9aa.40．（2023·河南郑州·高一校考阶段练习）当13x时，不等式240xmx−+恒成立，则实数m的取值范围为．

【答案】4m【解析】当13x时，224404xmxmxxmxx−+++，因此，当13x时，不等式240xmx−+恒成立，即4mxx+恒成立，而当13x时，4424xxxx+=，当且仅当4xx=，即2x=时取等号，于是得4m，所以实数m的取值范围为

4m.故答案为：4m1．（2023·江苏泰州·高一兴化市周庄高级中学校考开学考试）已知函数23yxbx=++（其中b是实数）中，y的取值范围是0y，若关于x的不等式23xbxc++的解集为8mxm−，则实数c的值为（）A．16B．25C．9D．8【答案】A【解析】因为y的取值范围

是0y，则2120b−=，且02b−，解得23b=−，因为不等式23xbxc++的解集为8mxm−，则令23xbxc++=，即230xbxc++−=，两根128,xmxm=−=，则()()222112124438xxxxxxbc−=+−=−−=

，即()12438c−−=，且判别式()()24312430bcc=−−=−−，解得16c=，故选：A.2．（2023·全国·高一专题练习）设a是实数，则5a成立的一个必要条件是（）A．6aB．4aC．225a

D．115a【答案】A【解析】因为56aa，反之不一定成立，所以6a是5a成立的一个必要条件；同理4a是5a成立的一个充分条件；由22555aa−是5a成立的一个充分条件；由11500555aaaa−是5a成立的一个充分条件；故选：

A3．（2023·全国·高一专题练习）已知不等式210axbx++的解集为11{|}32xx−，则不等式20xbxa−+的解集为（）A．{|32}xxx−−或B．{|32}xx−−≤≤C．{|23}xx−D．{|23}xxx

−或【答案】D【解析】由不等式210axbx++的解集为11,32−，知132,1−是方程210axbx++=的两实数根，由根与系数的关系，得113211132baa−+=−−=，解得：6,1ab=−=，所以不等式20

xbxa−+可化为260xx−−，解得：3x或2x−，故不等式20xbxa−+的解集为：(2][3),,−−+.故选：D.4．（2023·全国·高一专题练习）不等式()()22200axaxa−++的解集为（）A．2{|1}xxaB．1{|1}

xxaC．2{|1}xxxa或D．2{|1}xxxa或【答案】A【解析】原不等式可以转化为：()()120xax−−≥，当a<0时，可知2()(1)0xxa−−，对应的方程的两根为1，2a，21a所以不等式的解集为：21xxa.故选：A

.5．（2023·高一单元测试）不等式2220xaxyy−+，对于任意12x及13y恒成立，则实数a的取值范围是（）A．|22aaB．|22aaC．1|3aaD．9|2aa【答案】A【解析】由1,3y，则不等式2

220xaxyy−+两边同时乘以21y不等式可化为：2210xxayy骣骣鼢珑???珑鼢珑鼢珑桫桫，令xty=，则不等式转化为：2210tat−+，在1,23t上恒成立，由2210tat−+可得221tat+£即min12att轾犏?犏臌，又1122222tt

tt+=，当且仅当22t=时取等号，所以当22t=时，12tt+取得最小值22，故可得22a.故选：A．6．（2023·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考开学考试）已知不等式2220xxaa−+−−恒成立，则实数a的取值范围是（）A．11311322a−+B．12a−

C．1132a−或1132a+D．1a−或2a【答案】C【解析】不等式2220xxaa−+−−恒成立，所以222aaxx−−−+，则()2max22aaxx−−−+，令xt=，0t，则222xxtt−+=−+，当1t=时，取得最大值，最大

值为1，所以221aa−−，解得1132a−或1132a+.故选：C.7．（2023·辽宁朝阳·高一建平县实验中学校考阶段练习）在R上定义运算：abadbccd=−，若不等式1211xaax−−+对任意实数x恒成立，则实数a的最小值为（）A．12−B．32−C．12D．

32【答案】A【解析】因为在R上定义运算：abadbccd=−，所以()()()121121xaxxaaax−−=−−+−+，所以不等式1211xaax−−+对任意实数x恒成立，即()()()1121xxaa−−+−对任意实

数x恒成立，则()()()1211aaxx+−−−对任意实数x恒成立，令()()11fxxx=−−，则()()min12()aafx+−即可.min5()4fx=−，所以()()5124aa+−−，解得1322a−.所以实数a的最小值为1

2−.故选：A.8．（2023·全国·高一专题练习）已知一元二次不等式()20,,Raxbxcabc++的解集为{13}xx−∣，则1bca−+的最大值为（）A．-2B．-1C．1D．2【答案】A【解析】20axbx

c++的解集为()1,3−，故1,3−为方程20axbxc++=的两个根，且()1321110,2313bbaaabcaaccaaaaa−+=−=−−+=+=−−−−=−−=，（当且仅当1,0,1aaaa==−时等号成立）.故选：A.9．（

多选题）（2023·福建福州·高一校考开学考试）已知关于x的不等式20axbxc++的解集为3xx或4x，则下列结论中，正确结论的序号是（）A．0aB．不等式0bxc+的解集为4xx−C．不等式20cxbxa−+

的解集为14xx−或13xD．0abc++【答案】AD【解析】由20axbxc++的解集为3xx或4x得22(3)(4)(712)axbxcaxxaxx++=−−=−+，故0,7,12,abaca=−=故A正确，60abca++=，故D正确，对

于B，0bxc+，解得127x，故B错误，对于C，20cxbxa−+为21270axaxa++，解得1134x−−，故C错误.故选：AD10．（多选题）（2023·云南昆明·高一昆明一中校考开学考试）如图，二次函数2(0)yaxbxca=++的图象与x轴交于A､B两点，与y轴交

于点C，且2OCOB=，则下列结论正确的为（）A．0abcB．0abc++C．240acb−+=D．cOAOBa=−【答案】CD【解析】对于A，根据图象，可知0,0ac，又对称轴02bxa=−，则0b，则0abc<，故A错误；对于B，当1x

=时，yabc=++，不能说明y的值是否大于0，故B错误；对于C，设()()()()1122,00,,00AxxBxx，22112,2,,,022OCOBxcxcBc=−==−−，将点B代入函数，得211042acbcc-+=，故240acb−+=，故C正

确；对于D，当0y=时，20axbxc++=，方程的两个根()1212,0,0xxxx，所以12cOAOBxxa=−=−，则D正确.故选：CD.11．（多选题）（2023·江苏南通·高一校考阶段练习）已知关于x的不等式20axbxc++的解集为|2xx−或3

x，则下列说法正确的是（）A．0aB．不等式0bxc+的解集是6xxC．0abc++D．不等式20cxbxa−+的解集是1|3xx−或12x【答案】ACD【解析】由题意不等式20axbxc++的解集为|2xx−或3x，则可知0a，即A正

确；易知，2−和3是方程20axbxc++=的两个实数根，由韦达定理可得2323baca−+=−−=，则,6baca=−=−；所以不等式0bxc+即为60axa−−，解得6x−，所以B错误；易知60abca++=−，所以C正确；不等式20cxbxa−+即为260

axaxa−++，也即2610xx−−，解得1|3xx−或12x，所以D正确.故选：ACD12．（多选题）（2023·福建泉州·高一统考期中）若关于x的不等式()240xaxa+−+的解集中恰有两

个整数，则a的值可能为（）A．0B．34C．1D．43【答案】BC【解析】()240xaxa+−+可化为()214axxx+−+，因为关于x的不等式()240xaxa+−+的解集中恰有两个整数，由一次函

数()1yax=+和二次函数24yxx=−+的图象可知1x=和2x=为不等式()240xaxa+−+的解集中的两个整数，所以()()014042409340aaaaaaa+−++−++−+解得3443a，故选：BC13．（2023·全国·高一专题练习）

命题“xR，()()22210axax+++−”为假命题，则实数a的取值范围为.【答案】62a−−【解析】命题“xR，()()22210axax+++−”的否定为：“xR，()()

22210+++−axax”，因为原命题为假命题，所以其否定为真，所以当20a+=即2a=−时，10−恒成立，满足题意；当20a+即2a−时，只需()()22<0Δ2420aaa+=+++，解得：62

a−−.综上所述，实数a的取值范围是62a−−.故答案为：62a−−.14．（2023·重庆·高一开学考试）若一元二次不等式20axbxc++的解集是11{|}54xx，那么不等式2220cxbxa−−的解集是.【答案】{|

10xx−或1}x【解析】20axbxc++的解集是11{|}54xx，所以方程20axbxc++=的解是15和14，且a<0，由根与系数的关系可得：920ba−=，120ca=，解得920ba=−，120c

a=，所以不等式2220cxbxa−−变形为21901010axaxa+−，即29100xx+−，其解集是{|10xx−或1}x．故答案为：{|10xx−或1}x15．（2023·广东佛山·高一校联考期中）关于x的不等式2212

0xaxa−−的任意两个解的差不超过14，则a的最大值与最小值的差是.【答案】4【解析】若0a=，则20x无解，不符合题意；若0a，由22120xaxa−−得(4)(3)0xaxa−+，当0a时，得34axa−，依题意4(3)

14aa−−，得02a，当a<0时，得43axa−，依题意得3414aa−−，得20a−，综上所述：a的取值范围为20a−或02a.所以a的最大值与最小值的差是2(2)4−−=.故答案为：416．（2

023·全国·高一专题练习）已知0x，0y，且()()11224xyxy++=++，则xy的最小值为．【答案】9【解析】由()()11224xyxy++=++，0,0xy，得323xyxyxy=+++，当且仅

当xy=时取等号，因此2()230xyxy−−，解得3xy，即9xy，由3xyxyxy==++，而0,0xy，解得3xy==，所以当3xy==时，xy取得最小值9.故答案为：917．（2023·海南·高一校考期中

）已知不等式20axbxc++的解集为3xx−或4x，求不等式2230bxaxcb+−−的解集.【解析】因为不等式20axbxc++的解集为3xx−或4x，则a<0，且关于x的方程20a

xbxc++=的两根分别为3−、4，由韦达定理可得34ba−+=−，34ca−=，所以，=−ba，12ca=−，所以，不等式2230bxaxcb+−−即为22150axaxa−++，化简可得22150xx

−−，解不等式22150xx−−可得35x−，因此，不等式2230bxaxcb+−−的解集为35xx−.18．（2023·吉林长春·高一长春市解放大路学校校考期末）已知函数()22fxxax=−+，(

)0fx的解集为{|1xx或}xb．(1)求实数a，b的值；(2)0x，0y，当6abxy+=时，有223xyk+成立，求实数k的取值范围．【解析】（1）由已知112bab+==，解得32ab==；（2）由（1）知326xy+=，0,0xy，()

1321491492323121224666xyxyxyxyxyyxyx+=++=+++=，当且仅当49xyyx=，即21,3xy==时等号成立，所以23xy+的最小值是4，存在0,0xy，使得223xyk+成立，

则24k，解得2k−或2k．