【文档说明】《【同步题型讲义】2023学年高一数学同步教学题型讲义（人教A版2019必修第一册）》第11讲 函数的概念与表示（解析版）.docx，共(29)页，1.406 MB，由envi的店铺上传

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第11讲函数的概念与表示【知识点梳理】1、函数的概念设A、B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数()fx和它对应，那么称:fAB→为从集合A到集合B的一个函数，记作()yfx=，xA.其中：x叫做自变量，x的取值范围A

叫做函数的定义域与x的值相对应的()fx值叫做函数值，函数值的集合{()|}fxxA叫做函数的值域．2、同一（相等）函数函数的三要素：定义域、值域和对应关系．同一（相等）函数：如果两个函数的定义和对应关系完全一致，则这两个函数相等，

这是判断两函数相等的依据．3、函数的表示函数的三种表示法解析法（最常用）图象法（解题助手）列表法就是把变量x，y之间的关系用一个关系式()yfx=来表示，通过关系式可以由x的值求出y的值.就是把x，y之间的关系绘

制成图象，图象上每个点的坐标就是相应的变量x，y的值.就是将变量x，y的取值列成表格，由表格直接反映出两者的关系.4、分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．题型目录：题型一：函数的概念题型二：函数定义域1.已知函数解析式

，求定义域2.抽象函数定义域3.给定义域求参数题型三：函数的解析式的求法1.待定系数法求函数解析式2.换元法求函数解析式3.赋值法4.方程组法求函数解析式题型四：分段函数【典型例题】题型一：函数的概念【例1

】（2022·宁夏·银川一中高二期中（文））下列四个图形中，不是以x为自变量的函数的图象是（）A．B．C．D．【答案】C由函数定义：定义域内的每一个x都有唯一函数值与之对应，A、B、D选项中的图象都符合；C项中对于大于

零的x而言，有两个不同的函数值与之对应，不符合函数定义.故选：C【例2】（2022·湖南·高一课时练习）设集合02Mxx=，02Nyy=，那么下列四个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有（）A

．①②③④B．①②③C．②③D．②【答案】C由题意，函数的定义域为02Mxx=，对于①中，函数的定义域不是集合M，所以不能构成集合M到集合N的函数关系；对于②中，函数的定义域为集合M，值域为集合N

，所以可以构成集合M到集合N的函数关系；对于③中，函数的定义域为集合M，值域为集合N，所以可以构成集合M到集合N的函数关系；对于④中，根据函数的定义，集合M中的元素在集合N中对应两个函数值，不符合函数的定义，所

以不正确.故选：C【例3】（2022·黑龙江·鹤岗一中高一期末）设集合02Axx=，12Byy=，若对于函数()yfx=，其定义域为A，值域为B，则这个函数的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】D对于A，函数的定义域为0,1，不满足题意，故A不正确；对

于B，一个自变量对应多个y值，不符合函数的概念，故B不正确；对于C，函数的值域为0,2，不符合题意，故C不正确；对于D，函数的定义域为0,2，值域为1,2，满足题意，故D正确.故选：D【例4】（2022·全国·高一单元测试

）下列各式为y关于x的函数解析式是（）A．()3yxx=−−B．21yxx=−+−C．1,01,0xxyxx−=+D．0,1,xyx=为有理数为实数【答案】C【分析】根据函数的定义逐个分析判

断即可【详解】A项，()33yxx=−−=，定义域为R，定义域内每个值按对应法则不是唯一实数与之对应，所以不是函数，A项错误；B项，21yxx=−+−，定义域为2010xx−−，无解，所以不是函数，B项错误；C项，1,01,0xxyxx−=+，定义域为R，对于定义域内

每一个值都有唯一实数与之对应，所以是函数，C项正确；D项，0,1,xyx=为有理数为实数，当1x=时，y有两个值0，1与之对应，所以不是函数，D项错误.故选：C.【题型专练】1.（2022·全国·高一）下列

图象中不能作为函数图象的是（）A．B．C．D．【答案】B能作为函数图象,需满足：按照图像得出的对应关系，对于自变量x的取值范围内的每一个值，按照图像得出的对应关系，都有唯一的一个y值和它对应；从图像直观来看，平行与y轴的直线与图像至多有一个交

点.则B不能作为函数图象.故选B2．（2022·全国·高一单元测试）若函数()yfx=的定义域为|38,5xxx−，值域为|12,0yyy−，则()yfx=的图象可能是（）A．B．C．D．【

答案】B【分析】利用函数的定义，数形结合即可对选项进行判断.【详解】选项A中，当8x=时，0y=，不符合题意，排除A；选项C中，存在一个x对应多个y值，不是函数的图象，排除C；选项D中，x取不到0，不符合题意，排除D.故选

：B.3．（2022·全国·高一课时练习）下列图形能表示函数()yfx=的图象的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】由函数的定义判断即可.【详解】由函数的定义：对于集合A中任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数()fx和它对应，那么就称为A→B从集合A到集合B的一个函数可知，只

有B选项能表示函数()yfx=的图象.故选：B题型二：函数定义域1.已知函数解析式，求定义域(1)分式型函数：分母不等于零.(2)偶次根型函数：被开方数大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R(4)0()fxx=的定义域是{|0}xx.【例1】（2022·新疆喀什·高一期末）函

数2xyx−=中，自变量x的取值范围是（）A．2xB．2xC．2x且0xD．0x【答案】B由题意知，200xx−，解得2x，即函数2xyx−=的定义域为[2,)+.故选：B【例2】（2022·宁夏·银川一中高二期

中（文））函数421yxx=+−的定义域为（）A．)0,1B．()1,+C．()()0,11,+D．)()0,11,+【答案】D由题意得2010xx−，解得0x且1x，故选：D【例3】（

2022·全国·高三专题练习）函数y=23x−＋13x−的定义域为（）A．3,2+B．(－∞，3)∪(3，＋∞)C．3,32(3，＋∞)D．(3，＋∞)【答案】C要使函数y=23x−＋13x−有意义，

则所以xx−−23030，解得32x且3x，所以函数y=23x−＋13x−的定义域为3,32∪(3，＋∞).故选：C.【例4】（2022·全国·高一阶段练习）函数()2021213xyxx+=+−−的定义域为

（）A．1,2−B．1,2+C．11,,322−D．11,,322−【答案】C要使函数()2021213xyxx+=+−−有意义，则有30210xx−

−，解得3x且12x，所以其定义域为11,,322−．故选：C.【题型专练】1．（2022·全国·高一单元测试）函数32xyx+=的定义域是（）A．[-3，+∞）B．（0，+∞）C．（-3，+∞）D

．)()3,00,−+【答案】D【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案.【详解】依题意3030xxx+−且0x，所以函数32xyx+=的定义域是)()3,00,−+.故选：D2.（2022·全国

·高一单元测试）函数()()0132fxxx=−−−的定义域是（）A．)2,+B．()2,+C．()()2,33,+D．)3,+【答案】C【分析】由分母中根式内部的代数式大于0，0指数幂的底数不为0联立不等式组求解．【详解】由2030xx−

−，解得2x且3x．函数01()(3)2fxxx=−−−的定义域为(2,3)(3,)+．故选：C．3．（2012·广东·高考真题（文））函数()1xfxx+=的定义域是______.【答案】)()1,00,−+【分析】

由根式内部的代数式大于等于0且分式的分母不等于0，联立不等式组求解x的取值集合得答案.【详解】由100xx+，得1x−且0x，函数1()xfxx+=的定义域为)()1,00,−+；故答案为：)()1,00,−+.2.抽象函数定义域记住两句换：①等价②定义域对x来说【

例1】（2022·全国·高三专题练习）已知函数()fx的定义域为0,1，值域为1,2，那么函数()2fx+的定义域和值域分别是（）A．0,1，1,2B．2,3，3,4C．2,1−−，1,2D．1,2−，3,4【答案】C【详解】令20,1x+得

2,1x−−，即为函数()2yfx=+的定义域，而将函数()yfx=的图象向左平移2个单位即得()2yfx=+的图象，故其值域不变．故选：C．【例2】（2022·贵州毕节·高一期末）已知函数(1)fx+的定义域为

[1,5]，则(2)fx的定义域为（）A．[1,3]B．[1,4]C．[2,5]D．[2,6]【答案】A【详解】∵函数(1)fx+的定义域为[1,5]，∴15x≤≤，则216x+，即()fx的定义域为[2,6]，由226

x，得13x，∴(2)fx的定义域是[1,3]，故选：A【例3】（2022·全国·高三专题练习）若函数()fx的定义域为1,2−，则函数()()21fxgxx−=−的定义域是（）A．1,4B．(1,4C．1,2D．(1,2【答案】B由于函数()fx的定义域为

1,2−，对于函数()()21fxgxx−=−，有12210xx−−−，解得14x.因此，函数()()21fxgxx−=−的定义域是(1,4.故选：B.【例4】（2018·重庆一中高二期末（理

））已知函数()fx的定义域为()0,+，则函数()2134fxyxx+=−−+的定义域是（）A．()1,1−B．1,1−C．)1,1−D．(1,1−【答案】A【详解】因为函数()fx的定义域是()+,0，所以110431043012

2−−+−+−−+xxxxxxx【例5】（2019·全国）若函数()21fx−的定义域为0,2，且函数()241fxx−+−的定义域为0,m，则实数m的取值范围是______．答案：42m【详解】因为函数)12(−xf的定义域是]2

0[，，所以20x，所以3121−−x，所以函数)(xf的定义域为]31[，−，函数()241fxx−+−的定义域为0,m，相当于当mx,0时，142−+−=xxt的值域为]31[，−，由142−+−=xxt的图象可得m的取值范围是为42

m【题型专练】1．（2022·全国·高一课时练习）已知函数(1)fx+的定义域为(－2,0)，则(21)fx−的定义域为（）A．(－1,0)B．(－2,0)C．(0,1)D．1,02−【答案】

C【分析】由题设函数的定义域，应用换元法求出()ft的定义域，进而求(21)fx−的定义域即可.【详解】由题设，若1tx=+，则(1,1)t−，∴对于(21)fx−有21(1,1)x−−，故其定义域为(0,1).故选：C2.（2023·全国·高三专题

）已知函数()fx的定义域为()0,1，若10,2c，则函数()()()gxfxcfxc=++−的定义域为（）A．(),1cc−−B．(),1cc−C．()1,cc−D．(),1cc+【答案】B【分析】由已知函数的定义域有0101xcxc+−，即可求复合函数的定义域

.【详解】由题意得：0101xcxc+−，即11cxccxc−−+，又10,2c，∴1cxc−．故选：B3．（2023·全国·高三专题）已知()21fx−的定义域为3,

3−，则()fx的定义域为（）A．22−,B．0,2C．1,2−D．3,3−【答案】C【分析】由33x−求出21x−的范围，然后可得答案.【详解】因为2(1)fx−的定义域为[3,3]−，所以33x−，所以2112

x−−，所以()fx的定义域为[1,2]−．故选：C4.（2019重庆市巴蜀中学高一上期中）已知函数()yfx=的定义域为8,1−，则函数()()212fxgxx+=+的定义域是（）A．()(,22,3−−−UB．)(8,22,1−−−UC．(9,22,02

−−−UD．9,22−−【答案】C【分析】解不等式8211x−+剟和20x+即得解.【详解】解：由题意得：8211x−+剟，解得902x−剟，由20x+解得2x−，故函数的定义域是9,2)(2,02

−−−.故选：C5.（2022·全国·高一单元测试）已知函数()1fx+的定义域为()1,1−，则()fx的定义域为（）A．()2,2−B．()()2,00,2−C．()()1,00,1−UD．1,02−【答案】B【

分析】根据抽象函数定义域的求法求得正确答案.【详解】依题意函数()1fx+的定义域为()1,1−，11012xx−+，所以02x，解得20x−或02x，所以()fx的定义域为()()2,00,2−.故选：B6.（2021·江西·赣州市赣县第三中学高一阶段练习

）若函数()1fx+的定义域为1,15−，则函数()()21fxgxx=−的定义域为（）A．1,4B．(1,4C．1,14D．(1,14【答案】B【分析】首先根据函数()1fx+的定义域求出函数()yfx=的定义域，然后再列出()()21fx

gxx=−有意义时x所满足的条件，从而可求出函数()()21fxgxx=−的定义域.【详解】因为函数()1fx+的定义域为1,15−，所以115x−，所以0116x+，所以函数()yfx=的定义域为0,16，所以要使函数()()21fxgxx=−

有意义，需满足201610xx−，解得14x，所以函数()()21fxgxx=−的定义域为(1,4.故选：B．3给定义域求参数【例1】若函数2()1fxmxmx=++的定义域为R，则实数m的取值范围是（）(

A)04m(B)04m(C)4m(D)04m【答案】B【详解】由题意知012++mxmx在Rx上恒成立当0=m时，0112=++mxmx，恒成立，满足题意当0m时，则−=0402mmm，解

得40m综上可知实数m的取值范围是04m【例2】已知函数24()43xfxmxmx−=++的定义域为R，则实数m的取值范围是.【答案】430m【详解】由题意知0342++mxmx在Rx上恒成立当0=m时，03342=

++mxmx，恒成立，满足题意当0m时，0342++mxmx在Rx上恒成立，等价于0342=++mxmx在Rx上恒成立无实数根，则012162−=mm，解得430m综上可知实数m的取值范围是430m【题型专练】1.（

2022·福建·厦门一中高一期中）函数21()31fxaxax=++的定义域是R，则实数a的取值范围为________．【答案】40,9【分析】由题知不等式2310axax++恒成立，进而分0a=和0a两种情况讨论求解即可.【详解】解：因为函数()

fx的定义域是R.所以不等式2310axax++恒成立．所以，当0a=时，不等式等价于10，显然恒成立；当0a时，则有0Δ0a，即20940aaa−，解得409a.综上，实数a的取值范围为40,9.故答案为:40,9题型三：函数的解析式的求法

1.待定系数法求函数解析式【例1】(2021•朝阳区校级月考)已知()fx是二次函数且(0)2f=，(1)()1fxfxx+−=−，求()fx;【答案】()223212+−=xxxf【详解】设()()02++=acbx

axxf，由题意可知()20==cf，()()()cbbxaaxaxcxbxaxf+++++=++++=+211122所以()()121−=++=−+xbaaxxfxf有待定系数可知−=+=112baa，解得−==232

1ba，所以()223212+−=xxxf【例2】若)(xf是一次函数，14)]([−=xxff且，则)(xf=_________________。【答案】()312−=xxf或()12+−=xxf【详解】设()()0+=kbkxxf，由题意可知()()()()

142−=++=++=+=xbkbxkbbkxkbkxfxff有待定系数可知−=+=142bkbk，解得−==312bk或者=−=12bk，所以()312−=xxf或者()12+−=xxf【题型专练】1．（2022·全国·高一单元测试）一次函数()fx满足：(

())43ffxx=+，则()fx的解析式可以是（）A．()fx=21x+B．()fx=12x−C．()fx=23x−D．()fx=23x−−【答案】AD【分析】根据待定系数法，设出()()0fxkxbk=+，可得()(())43ffxkkxbbx=++=+，

再根据对应项系数相等即可求出．【详解】设()()0fxkxbk=+，则()2(())43ffxkkxbbkxkbbx=++=++=+，所以243kkbb=+=，解得21kb==或23kb=−=−，即()21f

xx=+或()23fxx=−−．故选：AD．2．（2021·全国·高一课时练习）已知()fx是二次函数．且()()21124fxfxxx++−=−．则()fx=________．【答案】221xx−−【分析】设()()

20fxaxbxca=++,化简整理对应系数得到2224220abac==−+=，解方程组即可求出结果.【详解】设()()20fxaxbxca=++，则()()()()221112fxaxbxca

xabxabc+=++++=+++++，()()()()221112fxaxbxcaxabxabc−=−+−+=+−++−+，所以()()2112222fxfxaxbxac++−=+++，又()()21124fxfxxx++−=−，因此22242

20abac==−+=，解得121abc==−=−，所以()221fxxx=−−，故答案为：221xx−−.3．（2021·全国·高一专题练习）已知()fx是一次函数，且满足()()3121217fxfxx+−−=+，

求()fx=_____．【答案】27x+【分析】设()()0fxaxba=+，根据已知条件列方程，由对应系数相等求出a和b的值即可求解.【详解】因为()fx是一次函数，设()()0fxaxba=+，因为()()3121217

fxfxx+−−=+，所以()()3121217axbaxbx++−−+=+，整理可得5217axabx++=+，所以2517aab=+=，可得27ab==，所以()27fxx=+，故答案为：27x+.4．（2021·全国·高一单

元测试）已知二次函数()fx满足(0)2f=，()(1)21fxfxx−−=+，则函数2(1)fx+的最小值为__________．【答案】5．【分析】根据()fx为二次函数可设2()(0)fxaxbxca=++

，由(0)2f=可得2c=，再根据()(1)21fxfxx−−=+，比较对应项系数即可求出,ab，再根据二次函数的性质即可得到函数2(1)fx+的最小值．【详解】()fx为二次函数，可设2()(0)fxaxb

xca=++，(0)2fc==，因为()(1)21fxfxx−−=+22(1)(1)21axbxcaxbxcx++−−−−−=+，即221axabx−+=+，221aba=−=，解得12ab==，2()22fxxx=++，令21tx=+，则1t，函

数2(1)fx+即为()ft=2222(1)1ttt++=++．()ft的图象开口向上，图象的对称轴为直线1t=−，()ft在)1,+上单调递增，min()(1)5ftf==，即2(1)fx+的最小值为5．故答案为：5．5．（2022·江苏·高一）（1）已知()fx是

一次函数，且(())41ffxx=−，求()fx；（2）已知()fx是二次函数，且满足(0)1,(1)()2ffxfxx=+−=，求()fx.【答案】（1）1()23fxx=−或()21fxx=−+；（2）2()1fxxx=−+.【分析】（1）设()(0)f

xaxba=+，代入(())ffx，整理，得恒等式，求出,ab即可；（2）设2()(0)fxaxbxca=++，代入条件，求出,,abc即可【详解】（1）设()(0)fxaxba=+，则2(())()()ffxfaxbaaxbbaxabb=+=++=++因为(())41ffxx=

−，所以241axabbx++=−所以241aabb=+=−解得213ab==−或21ab=−=所以1()23fxx=−或()21fxx=−+（2）设2()(0)fxaxbxca=++由(0)1f=，得1c=由(1)()2fx

fxx+−=得22(1)(1)112axbxaxbxx++++−−−=整理，得22axabx++=所以220aab=+=所以11ab==−所以2()1fxxx=−+2.换元法求函数解析式【例1】（2021·全国·高一课时练习）已知111fx

x=+，则函数()fx的解析式是（）A．()()11xfxxx=−+B．()1fxxx=+（1x−且0x）C．()1fxxx=+D．()1fxx=+【答案】B【分析】根据换元法求解析式即

可.【详解】解：由题知0x且1x−，令1tx=，则1xt=（0t且1t−），∴()1111tfttt==++（1t−且0t），∴()1=+xfxx（1x−且0x）．故选：B．【例2】（2021·全国·高一课时

练习）设函数()45fxx=−，()()21gxfx+=，则函数()gx的解析式是（）A．()21gxx=+B．()21gxx=−C．()25gxx=+D．()27gxx=−【答案】D【分析】用配凑法求解析式.【详解】∵()()21452217gxxx+=−=+−，∴

()27gxx=−．故选：D．【例3】（2021·全国·高一课时练习）已知函数221111xxfxx−−=++，则()fx的解析式为（）A．()()2211xfxxx=−+B．()()2211xfxxx=−−+

C．()()211xfxxx=−+D．()()211xfxxx=−−+【答案】A【分析】令11xtx−=+，则11txt−=+，代入已知解析式可得()ft的表达式，再将t换成x即可求解.【详解】令11xtx−=+，则11txt

−=+，所以()()222112111111tttfttttt−−+==−+−++，所以()()2211xfxxx=−+，故选：A.【例4】（2021·江苏·高一单元测试）已知函数2211fxxxx−=+，则23f=

（）．A．229B．4C．72D．9736【答案】A【分析】求出函数的解析式，然后求解函数值即可．【详解】函数2221112fxxxxxx−=+=−+，所以()22fxx=+，42229923f=+=

．故选：A．【例5】（2022·全国·高一课时练习）已知函数()222fxxx+=++，则()fx的最小值是（）A．1−B．2C．1D．0【答案】B【分析】利用换元法求出函数解析式，根据二次函数求最值即可.【详解】令2xt+=，则2t

，且()22xt=−，所以()()()22222222fttttt=−+−+=−+，()2t所以()()2222(1)12fxxxxx=−+=−+，当2x=时，()()22minfxf==.故选：B【题型专练】1．（2022·山东·德州市第一中学高二阶段练习）

若函数2(21)2fxxx+=−，则(3)f等于（）A．1−B．0C．1D．3【答案】A【分析】换元法求出函数的解析式，代入计算即可求出结果.【详解】令21xt+=，得12tx−=，所以2211135()222424ttfttt−−=−=−+，

从而2135(3)331424f=−+=−.故选：A.2.（2021·全国·高一专题练习）已知()12fxxx+=+，则()fx=（）A．()210xx−B．()11xx+C．()211xx−D．()10xx−【答案】C【分析】令1tx=+，1t，利用换元法求函数解析式.【

详解】令1tx=+，1t，则()22121txxx=+=++，由()12fxxx+=+得，()21ftt=−，1t，即()21fxx=−，1x.故选：C.3.（2021·全国·高一专题练习）已知()15fxx+=−，则()()0ff=（

）A．9−B．10−C．11−D．12−【答案】D【分析】根据()15fxx+=−，利用整体思想求出()fx的解析式，求得()0f，从而即求出()()0ff．【详解】解：因为()()1516fxxx+=−=+−，所以()6fxx=−，()06f=−，所以()()()0612fff=−=−.故

选：D．4．（2022·全国·高三专题练习）已知2(|1|)23fxxx−=−+，则(3)f=（）A．6B．3C．11D．10【答案】C【解析】利用拼凑法求出()fx解析式，即可得出所求.【详解】()222(|1|)231212fxxxxx−=−

+=−+=−+，()22fxx=+，()233211f=+=.故选：C.5．（2021·浙江省桐乡市高级中学高一阶段练习）已知数2(1)(1)fxx+=−，则()fx的解析式为（）A．2()fxx=B．2()(2)fxx=−C．2()1fxx=−D．2()(1)fxx=+【答案】B【解析】首先

换元，设11xtxt+==−，再代入求函数的解析式.【详解】设1xt+=，则1xt=−，则()()()22112fttt=−−=−，即()()22fxx=−.故选：B6．（2021·全国·高一单元测试）若函数11xfxx−=+，则()fx=______．【答案】111xxx−

−+（）【分析】利用换元法，令12111xtxx−==−++，再用t表示x代入原函数即可得()fx.【详解】令12111xtxx−==−++，则1t−，∴211xt=−+，故21111()ftttt−=−=++，∴(

)()1,11xfxxx−=−+.故答案为：111xxx−−+（）.7．（2021·全国·高一专题练习）已知()2132fxx+=−且()4fa=，则a的值为________．【答案】5【分析】利用换元法求得函数的解析式()3722fxx=−，根据()4

fa=，列出方程，即可求解.【详解】设21tx=+，则12tx−=，因为()2132fxx+=−，所以()13732222tftt−=−=−，即()3722fxx=−，又因为()4fa=，可得37422a−=，解得

5a=.故答案为：5.3.赋值法【例1】（2021·吉林高一期末）已知函数()fx对于任意的正实数,xy，满足()()()fxyfxfy=+，且()31f=，则()27f=（）A．0B．1C．2D．3【答案】D【详解】令3==yx，则原式变为()()()2339=+=

fff令93==yx，，则原式变为()()()39327=+=fff【例2】函数()fx不恒为零，且满足()()()()fxyfxyfxfy++−=，若()20f=，则()()()046fff++=A．0B．-2C．2D．4【答案】A【详解】令0==yx

，则原式变为()()()()()()00200002ffffff==+，所以()00=f或者()20=f，当()00=f时，令0=y得到()()()()00==+fxfxfxf，所以()0=xf，不满足题意舍去，所以()20=f令2==y

x，可得()()()()02204==+ffff，所以()()204−=−=ff令24==yx，，可得()()()()02426==+ffff，所以()()026=−=ff所以()()()0460fff++=【

例3】已知()fx是R上的函数，()01f=，并且对任意的实数x，y都有()()()21fxyfxyxy−=−−+，求函数()fx的解析式．【答案】()21fxxx=++.【详解】令yx=，则()()()()0211fxyffxxxx−==−−+=，∴()2

1fxxx=++．【题型专练】1．（2021·全国·高一课时练习）若()fx满足()()()fabfafb=+，且(2)fp=，(3)fq=，则(72)f=（）A．pq+B．32pq+C．23pq+D．22pq+【答案】B【分析】赋值法求解函数值.【详解】令2ab==得：()()422ff=，

令4,2ab==得：()()()()84232ffff=+=，令3ab==得：()(9)(3)(3)23ffff=+=，所以(72)(89)(8)(9)3(2)2(3)32ffffffpq==+=+=+故选：B2．（20

21·全国·高一课时练习）已知()()()()*,N,,12abfabfafbf+==，则()()()()()()()()23201320141220122013ffffffff++++=_____________．【答案】4026【分析】先求

得()2(1)fxfx=−，然后求的正确答案.【详解】由题意，知()()()fabfafb+=，令1ab==，得(2)(1)(1)1fff==，所以(2)2(1)ff=，令2,1ab==，得(3)(2

)(1)8fff==，所以(3)2(2)ff=，由此猜测()2(2,N)(1)fxxxfx=−，只需令1,1axb=−=，所以()(11)(1)(1)2(1)fxfxfxffx=−+=−=−，所以()2(2,N)(1)

fxxxfx=−，所以(2)(3)(2013)(2014)2224026(1)(2)(2012)(2013)ffffffff++++=+++=．故答案为：40264.方程组法求函数解析式【例1】（2022·黑龙江实验中学高二期末）已知函数f

（x）的定义域为（0，+∞），且()121fxfxx−=−，则f（x）＝（）A．()12033xx+B．()21033xx+C．()10xx+D．()10xx−【答案】B【分析】在原等式中把x与

1x互换后用解方程组的方法求得()fx．【详解】∵()121fxfxx−=−，①0x，∴112()1ffxxx−=−，②①②联立方程组可解得21()33fxx=+（0x）．故选：B．【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知()fx满足()2(-)21fxf

xx−=−，则（）A．(3)3f=B．(3)3f=−C．()()2fxfx+−=D．()()-2fxfx+−=【答案】AC【解析】由()2()21fxfxx−−=−，可得()2()21fxfxx−−=−−，解方程组求出()fx，结合选项逐一判断即可．

【详解】()2()21fxfxx−−=−，()2()21fxfxx−−=−−化简得2()4()42fxfxx−−=−−两式相加得()323fxx−=−−，解得()213fxx=+故(3)3f=，A正确，B错误；又()213fxx−=−+，则()()2fxfx+−=

，C正确，D错误；故选：AC【题型专练】1．（2023·全国·高三专题练习）若()1324fxfxx+=，则()fx=______．【答案】12855xx−【分析】将x用1x代替又可得一个等式，将两个等式联立解

方程即可得出结果.【详解】由()1324fxfxx+=①，将x用1x代替得()1432ffxxx+=②，由①②得()12855xfxx−=.故答案为：12855xx−.2．（2021·全

国·高一课时练习）设函数()fx是R→R的函数，满足对一切xR，都有()()22fxxfx+−=，则()fx的解析式为()fx=______．【答案】2,111,1xxx−=【分析】由()()22fxxfx+−=，得()()

()222fxxfx−+−=，利用方程组思想可求得()fx，再求得()1f得值，即可得出答案.【详解】解：由()()22fxxfx+−=，得()()()222fxxfx−+−=，将()fx和()2fx−看成两个未知数，可解

得()()211fxxx=−，当1x=时，()()()212112ff−+−=，解得()11f=，综上，()2,1,11,1.xfxxx=−=故答案为：2,111,1xxx−=.3.（2022·全国·高三专题练习）已知123()51fxfxx

+=+，则函数f(x)的解析式为___________.【答案】()351888fxxx=−++【解析】以1x代替x得出()13()521ffxxx+=+，与已知等式联立，解出函数f(x)的解析

式．【详解】∵123()51fxfxx+=+，①∴()13()521ffxxx+=+，②①×3﹣②×5，得：﹣16f(x)=6x﹣10x﹣2，∴()351888fxxx=−++故答案为：()351888fxxx=−++4.（

2021·全国·高一专题练习）已知()()222fxfxxx+−=+，则()fx的解析式为________.【答案】()2123fxxx−=【解析】由2()2()2fxfxxx+−=+，2()2()2fxfxxx−+=−，联立可求解．【详解】因为2()2()2fxfxx

x+−=+，（1）所以2()2()2fxfxxx−+=−，所以22()4()24fxfxxx−+=−，（2）（2）-（1）可得，21()23fxxx=−．故答案为：21()23fxxx=−．【点睛】本题主要考查方程法求函数的解析式，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.5．（2022·

全国·高一课时练习）根据下列条件，求()fx的解析式(1)已知()fx满足()2141fxxx+=++(2)已知()fx是一次函数，且满足()()3129fxfxx+−=+；(3)已知()fx满足()()120ffxxxx+=【答案】(1)()222fxxx+=−，(

2)()3fxx=+，(3)()()2033xfxxx=−【分析】（1）利用换元法即可求解；（2）设()fxkxb=+，然后结合待定系数法即可得解；（3）由题意可得()112fxfxx+=，利用方程组思想即可得出答案.(1)解：令1tx=+，则1xt=−

，故()()()22141122fttttt=−+−+=+−，所以()222fxxx+=−；(2)解：设()fxkxb=+，因为()()3129fxfxx+−=+，所以()31329kxbkxbx++−−=+，即23229kxkbx++=+，所以22329kkb=

+=，解得13kb==，所以()3fxx=+；(3)解：因为()()120ffxxxx+=①，所以()112fxfxx+=②，2②−①得()23fxxx=−，所以()()2033xfxxx=−.题型四：分段函数【例1】（2022·福建省德化第一中学高

二阶段练习）设函数()()()3,104,10xxfxffxx−=+，则()9f=（）A．6B．7C．9D．10【答案】B()()()9(94)(13)(10)1037ffffff=+===−=故选：B【例2】（2022·吉林·三模（理））已知tR

，函数()2,23,2xxfxxtx−=−+，若((9))4=ff，则t=（）A．0B．2C．5D．6【答案】B因为()9921f=−=，所以()1134422ftt=−+==−=，故选：B【例3

】（2022·湖南·高一课时练习）设函数2,0(),0xxfxxx−=若f（a）＝4，则实数a＝（）A．－4或－2B．－4或2C．－2或4D．－2或2【答案】B当0a时，()4faa=−=，解得4a=−；当0a时，24()faa==，解

得2a=，因为0a，所以2a=，综上，4a=−或2，故选：B【例4】（2022·湖北·荆门市龙泉中学一模）已知函数()22,1,12xxfxxx+−=−，关于函数()fx的结论正确的是（）A．(

)02f=B．()fx的值域为(),4−C．()1fx的解集为()1,1−D．若()3fx=，则x的值是1或3【答案】B解：因为()22,1,12xxfxxx+−=−，函数图象如下所示：

由图可知()00f=，故A错误；()fx的值域为(),4−，故B正确；由()1fx解得()(),11,1−−−，故C错误；()3fx=，即2312xx=−，解得3x=，故D错误；故选：B【例5】（2021·全国·高一课时练习）函数21,1()1,1xxxfxxx−+=

的值域是（）A．(0，＋∞)B．(0，1)C．3,14D．3,4+【答案】A当1x时，1()fxx=，此时函数是单调递减，所以有()(1)1fxf=，显然当1x时，()0fx，因此当1x

时，函数的值域为(0)1，；当1x时，2213()1()24fxxxx=−+=−+，二次函数的对称轴为：12x=，因此当12x=时，函数有最小值34，所以此时函数的值域为：3,4+，综上所述：函数的值域

为：(0，＋∞).故选：A【例6】（2021·河北·沧县中学高一阶段练习）函数()()()224,,21,2,2,1xxxfxxx−−+−−+=−+−的值域为（）A．(,4−B．(,2−C．)1,+D

．(),4−【答案】A解：()()()224,,21,2,2,1xxxfxxx−−+−−+=−+−,当2,1x−，()21,4fxx=−+，当()()1,,2x+−−，()()2154fxx=−++，所以

()(,4]−fx，故选：A【题型专练】【例1】（2022·安徽阜阳·高一期中）函数()()25,3,4,3.xxfxfxx−=−则(100)f=（）A．1B．3−C．1−D．5−【答案】D()()()()(100)10049644405fffff=

−=−==−==−.故选：D.【例2】（2022·陕西宝鸡·一模（文））已知函数()()()2,01,0xxfxxxx+=+，则()()1ff−=（）A．0B．1C．2D．4【答案】C【详解】因函数()()()2,01,0xxfxxxx+=+，则(1)(1)21

f−=−+=，所以()()11(1)121fff−==+=.故选：C【例3】（2022·陕西安康·高一期末）若函数f(x)=()3525xxfxx−+，，，则f(2)=（）A．2B．3C．4D．5【答案】B∵f(x)＝()352

5xxfxx−+，，，∴f(2)＝f(2＋2)＝f(4)＝f(4＋2)＝f(6)＝6－3＝3.故选：B.【例4】（2022·全国·高三专题练习）已知()()()56246xxfxxx−=−，则()3f为（）A．2B．3C．4D．5【答案】A因()()()56246

xxfxxx−=−，则()32342f=−=，所以()3f为2.故选：A【例5】（2022·广东湛江·高一期末）已知函数()21,12,1xxfxxx+=，则()()3ff=（）A．53B．3C．23D．139

【答案】D解：()21,12,1xxfxxx+=，则令3x=，得()233f=，所以()()2224133113399fff==+=+=.故选：D.【例6】（2022·内蒙古赤峰·高一期末）已知函数22,0(),03xxfxxx+=，若

()9fx=，则x的值是（）A．3B．9C．1−或1D．3−或3【答案】A当0x时，()29fxx=+=，解得7x=（舍去）；当03x时，2()9fxx==，解得3x=或3x=−（舍去）.故选：A【例7】（2022·全国·高三专题练习）设f（x）＝,

012(1),1xxxx−，若f（a）＝12，则a＝（）A．14B．54C．14或54D．2【答案】C解：∵(),012(1),1xxfxxx=−，1()2fa=，∴由题意知，0112aa=或()11212aa

−=，解得14a=或54a=.故选：C．【例8】（2021·全国·高一单元测试）对于任意的实数x，已知函数2,1()2,1xxfxxx=−，则()fx的最大值是（）A．2−B．1−C．

1D．2【答案】C解：因为2,1()2,1xxfxxx=−，函数图象如下所示：由函数图象可知，当1x=时，函数取得最大值()()max11fxf==故选：C