【文档说明】《【同步题型讲义】2023学年高一数学同步教学题型讲义（人教A版2019必修第一册）》第14讲 函数的奇偶性十大题型归类总结（原卷版）.docx，共(13)页，682.224 KB，由envi的店铺上传

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第14讲函数的奇偶性十大题型归类总结【知识点梳理】1.关于函数的奇偶性的定义定义说明：对于函数)(xf的定义域内任意一个x：⑴)()(xfxf=−)(xf是偶函数；⑵)()(xfxf−=−)(xf奇函数；函数的定

义域关于原点对称是函数为奇（偶）函数的必要不充分条件。2.函数的奇偶性的几个性质①对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；②整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x都必须成立；③可逆性：)()

(xfxf=−)(xf是偶函数；)()(xfxf−=−)(xf是奇函数；④等价性：)()(xfxf=−0)()(=−−xfxf；)()(xfxf−=−0)()(=+−xfxf⑤奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y

轴对称；⑥可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。3.函数奇偶性的几个重要结轮(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．(2)()fx，()gx在它们的公共定义域上有下面的结论:()f

x()gx()()fxgx+()()fxgx−()()fxgx(())fgx偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数(3)若奇函数的定义域

包括0，则(0)0f=．(4)若函数()fx是偶函数，则()()()fxfxfx−==．(7)定义在()−+，上的任意函数()fx都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和．(8)若函数()yfx=的定义域关于原点对称，则()()fxfx+−为偶

函数，()()fxfx−−为奇，()()fxfx−为偶函数．4.函数的奇偶性的判断利用奇、偶函数的定义，考查)(xf是否与)(xf−、)(xf相等，判断步骤如下：①定义域是否关于原点对称；②数量关系)()(xfxf=−哪个

成立；【题型目录】题型一：判断函数的奇偶性题型二：抽象函数的奇偶性判断题型三：奇偶函数的图像特征题型四：已知函数奇偶性求参数题型五：利用奇偶性求函数值题型六：利用奇偶性求函数解析式题型七：给出函数性质，写函数解析式

题型八：()=xf奇函数+常数模型（()()常数=+−2xfxf）题型九：中值定理（求函数最大值最小值和问题）题型十：单调性和奇偶性综合求不等式范围问题【典型例题】题型一：判断函数的奇偶性【例1】判断下列各函数

是否具有奇偶性（1）xxxf2)(3+=（2）2432)(xxxf+=（3）1)(23−−=xxxxf（4）2)(xxf=2,1−x（5）xxxf−+−=22)(（6）2|2|1)(2−+−=xxxf；（7）2211)(xxxf−+−

=（8）xxxxf−+−=11)1()(【例2】判断函数−=)0()0()(22xxxxxf的奇偶性。【例3】（1）()xxaaxf−+=（2）()xxaaxf−−=（3）()axaxxf−−+=（4）()11+−=xxaaxf【例4】设()fx是R上的任意

函数，下列叙述正确的是（）.A()()fxfx−是奇函数.B()()fxfx−是奇函数.C()()fxfx+−是偶函数.D()()fxfx−−是偶函数【例5】（2022江苏高一单元测试）关于函数()2411xxfxx−=−−，描述不正确的是（）A．()fx的定义域为)(

1001−，，B．()fx的值域为()11−，C．()fx在定义域上是增函数D．()fx的图像关于原点对称【题型专练】1.设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A．f(x

)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数2.（多选题）下列对函数奇偶性判断正确的是（）A.()22fxxx=+−−奇函数B.22,0(),0xxxfxxxx+=−是奇函数C.21()22x

fxx−=+−既不是奇函数也不是偶函数D.22()11fxxx=−+−既是奇函数又是偶函数3.设函数331()fxxx=−，则()fx（）A．是奇函数，且在(0)+，单调递增B．是奇函数，且在(0)+，单调递减C．是偶函数，且在(0)+，单调递增

D．是偶函数，且在(0)+，单调递减4.(2022重庆巴川中学高一月考多选)已知函数()fx是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是A.()yfx=−B.3()yfxx=+C.()fxyx=D.3()yxfx=5.（2022·全国

·高一课时练习）下列函数既是偶函数，又在(0,)+上单调递增的是（）A．yx=B．2yx=−C．yx=D．1yx=题型二：抽象函数的奇偶性判断【例1】（2022·山东青岛·高二期末多选题）已知()fx是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意a，Rb

都满足()()()=+fabafbbfa，则下述正确的是（）A．()00f=B．()11f=C．()fx是奇函数D．若()22f=，则1122−=f【例2】（2021·全国·高一课时练习）（1）已知函数()fx，xR，若对于任意实数1x，2x

，都有()()()()1212122fxxfxxfxfx++−=，求证：()fx为偶函数．（2）若函数()fx的定义域为(),ll−（0l），证明：()()fxfx+−是偶函数，()()fxfx−−是奇函数．的是【例3】（2021·全国

·高一期中）若对一切实数x，y，都有()()()fxyfxfy+=+.（1）求()0f；（2）判断()fx的奇偶性，并证明你的结论；（3）若()13f=，求()3f−.【题型专练】1.（2022·全国·高一单元

测试）定义在R上的函数()fx是单调函数，满足()36f=，且()()()fxyfxfy+=+，(),Rxy.(1)求()0f，()1f；(2)判断()fx的奇偶性，并证明；2.（2022全国·高一单元测试）定义在()1,1−上的函数()fx满足：对任意的

(),1,1xy−，都有()()1xyfxfyfxy++=+．(1)求证：函数()fx是奇函数；(2)若当(1,0x−时，有()0fx，求证：()fx在()1,1−上是减函数；(3)在（2）的条件下，若112f=−，

()221fxtat−−对所有11,22x−，1,1a−恒成立，求实数t的取值范围．3.（2021·江苏·高一专题练习）设函数()yfx=（xR，且0x）对任意非零实数1x，2x，恒有()()()1212fxxfxfx=+．（1）求(1)

f−及(1)f的值；（2）判断函数()fx的奇偶性．4.（2020礼嘉中学高一月考）已知()fx是定义在R上的函数，对Ryx,都有()()()yfxfyxf+=+，且当0x时，()0xf，且()11=−f.（1）求()()2,0−ff的值；（2）

求证：()fx为奇函数；（3）求()fx在4,2−上的最值.题型三：奇偶函数的图像特征【例1】下面四个结论中，正确命题的个数是()①偶函数的图象一定与y轴相交②奇函数的图象一定通过原点③偶函数的图象关于y轴对称④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x∈R)

A．1B．2C．3D．4【例2】（2022·全国·高三专题练习多选题）若()fx是奇函数，则下列说法正确的是（）A．()fx一定是偶函数B．()()fxfx−一定是偶函数C．()()0fxfx−D．()()0fxfx−+=【例3】（2021·全国·高一课时练习）

设奇函数()fx的定义域为4,4−．若当0,4x时，()fx的图像如图所示，则不等式()0fxx的解集是_________．【题型专练】1.（2022·全国·高一课时练习）函数()yfx=是奇函数，其图象上有一点()(),afa，则函数()f

x的图象必过点（）A．()(),afa−B．()(),afa−C．()(),afa−−D．()1,afa2.（2021·全国·高一课时练习）设奇函数()fx的定义域为[－5，5].若当x∈[

0，5]时，()fx的图象如图，则不等式()fx＜0的解集是________.3.（2021·全国·高一课时练习）若()fx为R上的奇函数，则下列说法正确的是（）A．()00f=B．()()()2fxfxfx−−=C．()()0fxfx−D．()()1fxfx=−−题型四：已知函数

奇偶性求参数【例1】已知1()21xfxa=−+为奇函数，则a=________。【例2】已知21()(32)()xfxxxa+=+−为偶函数，则________。【例3】如果定义在区间]5,3[a−上的函数)(xf为奇函数，则a=_____【例4】已知()()()3322+−+−=x

kxkxf为偶函数，则()xf的单调递减区间为________。【例5】（2022全国·高一单元测试）已知函数2()1xbfxx−=+是奇函数，则下列选项正确的有（）A．0b=B．()fx在区间(1,)+单调递增C．()fx

的最小值为12−D．()fx的最大值为2【题型专练】a=1.（2021兴平市西郊高级中学高一期中）已知2()(1)33fxmxmx=−++为偶函数，则()fx在区间(4,2)−上为A．增函数B．增函数C．先增后减D．先减后增2.（2021·全国·高一课时练习）已知23yaxbxa

b=+++是定义在区间32,3aa++上的偶函数，则ab+=______.3．（2021·全国·高考真题）已知函数()()322xxxafx−=−是偶函数，则=a______.4．（2021·全国·高一课时练

习）若函数()fxxa=+的图像关于y轴对称，则实数a的值是_______．题型五：利用奇偶性求函数值【例1】已知()xf为奇函数，且当0x时，()xxxf+=2，则()=−1f【例2】已知函数()xxfy+=是偶函数，且(),12=f则

()=−2f【例3】已知函数()fx与()gx分别是定义域上的奇函数与偶函数，且21()()21fxgxxx+=−−+，则(2)f=（）A．23−B．73C．-3D．113【例4】(2021•武侯模拟)设函数20()()0.xxfxgxx=若()fx是奇函

数，则(2)g的值是（）A．14−B．4−C．14D．4【例5】（2021·全国·高一）函数()fx为定义在R上的奇函数，当0x时，()4fxxm=+，则12f−=（）A．1B．2−C．1−D．32−【题型专练】1.已知函数()xf

为偶函数，且当0x时，()xxxf12−=，则()=−1f．2.（2021•项城月考）已知函数)(xf是偶函数，)(xg是奇函数，则()()22−+=+xxxgxf，则()=−2fA．4B．3C．2D．13.已知函数()xf

与()xg满足()()12+=xgxf，且当()xg在R上为奇函数，()81=−f，则()=1f4.(2020•郴州三模)设函数20()()0xxxfxgxx+=，，，且函数()fx为偶函数，则(2)f−=（）A．6B．6−C．2D．2−5．

（2022江苏高一单元测试）已知定义在42,aa−上的偶函数()fx，满足0x时，()()1122xfx=−，则()fa的值为（）A．1532B．1532−C．152D．152−题型六：利用奇偶性求函数解析式【例1】定义在R上的函数)(xf

满足()()12fxfx+=，若当01x时，()()1fxxx=−，则当10x−时，()fx=。【例2】已知函数)(xfy=在R是奇函数，且当0x时，xxxf2)(2−=，则0x时，)(xf的解析式为_______________【例3】已

知)(xf为偶函数，时当时当01,1)(,10−−=xxxfx，求)(xf解析式？【题型专练】1.（2021·台州市书生中学高一开学考试）已知()fx是定义在R上的奇函数，当0x时，()21fx

xx=−+，则()1f−=___________，()fx在0x上的解析式为()fx=___________.2.（2022全国·高一单元测试）已知函数()fx是定义在R上的奇函数，当0x时，2()2fxxx=−.（1）画出当0x时，()fx函数图象；（2）求出()fx解析式.题型七：给

出函数性质，写函数解析式【例1】（2021·北京·）已知函数()fx同时满足下列条件：①()fx定义域为(),−+；②()fx是偶函数；③()fx在()0,+上是减函数，则()fx的一个解析式是___________

.【例2】（2021·河南·温县第一高级中学（理））请写出一个同时满足以下三个条件的函数():fx（1）()fx是偶函数；（2）()fx在(0,)+上单调递减；（3）()fx的值域是(1,)+.则()fx=______.【例3】（2022重庆巴蜀

高三第一次月考）请写出一个同时满足下列三个条件的函数()xf:（1）()xf是偶函数；（2）()xf在()+,0上单调递减；（3）()xf的值域是()+,0则()=xf________【题型专练】1.（2022·全国·高一单元测试）请写出一个同时满足下列三个条件的函

数()fx=______.（1）()fx是偶函数；（2）()fx在(0,)+上单调递增；（3）()fx的值域是[0,)+.2.（2022·全国·高一单元测试）若f（x）是R上的偶函数，且在（0，12）上单调递减，

则函数f（x）的解析式可以为f（x）=___________.（写出符合条件的一个即可）题型八：()=xf奇函数+常数模型（()()常数=+−2xfxf）【例1】已知8)(35−++=bxaxxxf且10)2(=−f，求)2(f的值____【例2】已知函数()()2

01932,,bfxaxcxabcRx=+++，且()23f=，则()2f−=_________【题型专练】1.已知2)(−+=xbaxxf，则)2021()2021(−+ff=题型九：中值定理（求函数最大值最小值和问题）【例1】已知53()531fxxxx=−−+11([,])22x−的最

大值M,最小值为m,求Mm+的值【例2】设函数()()()1,111220212−+++=xxxxxf的最大值为M，最小值为m，则M+m=____【题型专练】1.（重庆二外高一上期末）若关于x的函数()()22222sin0txxtxxtfxtx+++=+的最大值为M，

最小值为N，且4MN+=，则实数t的值为（）A.1B.2C.3D.42.（2022·全国·高一单元测试）设函数()()23211xxfxx++=+在区间22−,上的最大值为M，最小值为N，则()20221MN+−的值为______.题型十：单调性和奇偶性综合求不等式范围问题【例1】（2022年

重庆18中高一月考）已知定义在R上的奇函数()fx，且为减函数，又知()()2110fafa−+−，则a的取值范围为A.()2,1−B.()0,2C.()0,1D.()(),21,−−+【例2】（重庆巴蜀中学高一）已知()fx是定义在R上的奇函数，且对任意1

2,xxR，若12xx都有()()1212fxfxxx−−成立，则关于x的不等式()()2211332fxfxxx++−−+的解为_________【例3】（重庆7中高一期中）已知函数()3()353fxgxxx=−−+，()gx为定义在R上奇函数且单调的递

减.若()(4)6fafa+−，则实数a的取值范围是（）A.1aB.2aC.1aD.2a【例4】（2021·江苏·高一单元测试）函数()fx满足()()0fxfx+−=，在（0，+）上是单调递减函数，且f（2）=0，则()()0fxfxx−−的解集是（）

A．((,20,2−B．(),22,−−+UC．)(2,00,2−UD．))2,02−+【例5】（2023·全国·高三专题练习）已知定义域为R的函数()fx在[1,)+单调递增，且(1)fx+为偶函数，若(3)1f=，则不

等式(21)1fx+的解集为（）A．(,1)(1,)−−+B．(1,)−+C．(,1)−D．(1,1)−【题型专练】1.（2022·甘肃酒泉·高二期末（文））定义在R上的函数()fx对任意210xx都有()()12122fxfxxx−−，且函数()yfx=

的图象关于原点对称，若()24f=，则不等式()20fxx−的解集是（）A．(,2)(0,2)−−B．(,2)(2,)−−+C．()()2002−，，D．(2,0)(2,)−+2.（2022·全国·高一单元测试）定义在R上的偶函数()fx满足：对任意的1x，(()21

2,0xxx−，有，()()21210fxfxxx−−且()20f=，则不等式()305fxx的解集是（）A．()(),22,−−+B．()()2,00,2−C．()()2,02,−+D．()(),20,2−−

3.（2021·全国·高一单元测试）已知函数()fx是定义在R上的奇函数，当12xx时，有1212[()()]()0fxfxxx−−恒成立，若(31)(2)0fxf++，则x的取值范围是（）A．1[,)2+B．(,1)−−C．1(,1)2−D．[1,)+4

.（2022·江西省铜鼓中学高一开学考试）设函数()fx是奇函数，在()0,+内是增函数，又()30f−=，则()0xfx的解集是（）A．30xx−或3xB．3xx−或03xC．3xx−或

3xD．30xx−或03x5.（2021·全国·高一课时练习）设函数()fx为()(),00,−+上的奇函数，且在(),0−上单调递减，若()20f−=，则()20xfx的解集为（）A．()()2,02,−+B．()(),20,2−−

C．()(),22,−−+D．()()2,00,2−6.（重庆九校高一月考）已知偶函数()fx在(,0−上单调递减，且()40f=，则不等式()0xfx的解集为（）A.()()4,04,−+B.

()(),40,4−−C.()()4,00,4−D.()(),44,−−+7.（巴蜀高一月考）已知定义在R上的函数()fx的图像经过点()3,0M，且()fx在区间)2,+单调递减，又知函数()2fx+为偶函数，则关于

x的不等式()10fx+的解为().1,3A().0,2B().2,4C().1,4D8.设函数)(xf在)1,+上为增函数，()30f=，且()()1gxfx=+为偶函数，则不等式()220g

x−的解集为.9.（2021·重庆市铁路中学校）已知函数()fx是定义在(1,1)−上的奇函数，在区间(1,0]−上单调递增.若实数a满足(1)()0fafa−+，则实数a的取值范围是（）A．1,

2−B．1,2+C．10,2D．10,210.定义R上单调递减的奇函数()fx满足对任意tR，若22(2)(2)0fttftk−+−恒成立，求k的范围.11.若函数3()3fxxx=+对于任意的2,2m−，(

)()20fmxfx−+恒成立，则x12.已知定义在R上的函数()fx，若函数(2)yfx=+为偶函数，且()fx对任意12,[2,)xx+(12xx)，都有2121()()0fxfxxx−−，若()(31)fafa+，则实数a的取值范围是()A．13[,]24−B

．[2,1]−−C.1(,]2−−D．3(,)4+