【文档说明】《【同步题型讲义】2023学年高一数学同步教学题型讲义（人教A版2019必修第一册）》第14讲 函数的奇偶性十大题型归类总结（解析版）.docx，共(32)页，1.616 MB，由envi的店铺上传

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第14讲函数的奇偶性十大题型归类总结【知识点梳理】1.关于函数的奇偶性的定义定义说明：对于函数)(xf的定义域内任意一个x：⑴)()(xfxf=−)(xf是偶函数；⑵)()(xfxf−=−)(xf奇函数；函数

的定义域关于原点对称是函数为奇（偶）函数的必要不充分条件。2.函数的奇偶性的几个性质①对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；②整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x都必须成立；③可逆性：)()(xfxf=−)(xf是偶函数；)()(xfxf−=−)(xf是奇函

数；④等价性：)()(xfxf=−0)()(=−−xfxf；)()(xfxf−=−0)()(=+−xfxf⑤奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称；⑥可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶

函数。3.函数奇偶性的几个重要结轮(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．(2)()fx，()gx在它们的公共定义域上有下面的结论:()fx()gx()()fxgx+()()fxgx−()()fxgx(())fg

x偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数(3)若奇函数的定义域包括0，则(0)0f=．(4)若函数()fx是偶函数，则()()

()fxfxfx−==．(7)定义在()−+，上的任意函数()fx都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和．(8)若函数()yfx=的定义域关于原点对称，则()()fxfx+−为偶函数，()()f

xfx−−为奇，()()fxfx−为偶函数．4.函数的奇偶性的判断利用奇、偶函数的定义，考查)(xf是否与)(xf−、)(xf相等，判断步骤如下：①定义域是否关于原点对称；②数量关系)()(xfxf

=−哪个成立；【题型目录】题型一：判断函数的奇偶性题型二：抽象函数的奇偶性判断题型三：奇偶函数的图像特征题型四：已知函数奇偶性求参数题型五：利用奇偶性求函数值题型六：利用奇偶性求函数解析式题型七：给出函数性

质，写函数解析式题型八：()=xf奇函数+常数模型（()()常数=+−2xfxf）题型九：中值定理（求函数最大值最小值和问题）题型十：单调性和奇偶性综合求不等式范围问题【典型例题】题型一：判断函数的奇

偶性【例1】判断下列各函数是否具有奇偶性（1）xxxf2)(3+=（2）2432)(xxxf+=（3）1)(23−−=xxxxf（4）2)(xxf=2,1−x（5）xxxf−+−=22)(（6）2|2|1)(2−+−=xxxf；（7）2211)(xxxf−

+−=（8）xxxxf−+−=11)1()(【答案】见解析【解析】（1）定义域：Rx因为对于任意RxRx−,且()()()xxxf−+−=−23()xfxx−=−−=23所以()xf为奇函数（2）定义域：Rx因为对于任意RxRx−,且()()()2432xxxf−+−=−

()xfxx=+=2432所以()xf为偶函数（3）定义域：01−x，即1xx，所以()xf为非奇非偶函数（4）定义域：2,1−x所以()xf为非奇非偶函数（5）定义域：−−0202xx，解得

2=x，所以()xf为非奇非偶函数（6）定义域：012−x，即11−xx，所以xxx=−+=−+2222所以()xxxf21−=，所以()()xfxxxf−=−−=−21，所以函数()xf为奇函数（7）定义域：−−010122xx，

解得1=x，所以()0=xf，所以()xf既是奇函数又为偶函数（8）定义域：011−+xx，即11−xx，所以()xf为非奇非偶函数【例2】判断函数−=)0()0()(22xxxxxf的奇偶性。【答案】奇函数【解析】法一：当0x时，0−x，所

以()()()xfxxxf−=−=−−=−22当0=x时，()0002==f当0x时，0−x，所以()()()xfxxxf−==−=−22所以()xf为奇函数法二：画出函数图象即可知：函数图象关于

原点对称，所以()xf为奇函数【例3】（1）()xxaaxf−+=（2）()xxaaxf−−=（3）()axaxxf−−+=（4）()11+−=xxaaxf【答案】（1）偶函数（2）奇函数（3）奇函数（4）奇函数

【解析】（1）()()xfaaxfxx=+=−−，所以()xf为偶函数（2）()()xfaaxfxx−=−=−−，所以()xf为奇函数（3）()()()()xfaxaxaxaxaxaxxf−=+−−=+−−−−=−−−+−=−，所

以()xf为奇函数（4）()()xfaaaaaaxfxxxxxx−=+−=+−=+−=−−−11111111，所以()xf为奇函数【例4】设()fx是R上的任意函数，下列叙述正确的是（）.A()()fxfx−是奇函数.B()()fxfx−是奇函数.

C()()fxfx+−是偶函数.D()()fxfx−−是偶函数【答案】C【解析】对A设()()()xfxfxF−=，则()()()()xFxfxfxF=−=−，所以为偶函数对B设()()()xfxfxF−=，则()()()xfxfxF−

=−，所以为非奇非偶函数对C设()()()xfxfxF−+=，则()()()()xFxfxfxF=+−=−，所以为偶函数对D设()()()xfxfxF−−=，则()()()()xFxfxfxF−=−−=−，所以为奇函数【例5】（2022江苏高一单元测试）关于函数()241

1xxfxx−=−−，描述不正确的是（）A．()fx的定义域为)(1001−，，B．()fx的值域为()11−，C．()fx在定义域上是增函数D．()fx的图像关于原点对称【答案】C【分析】求出函数的定义域，值域，函数的单调性，对称性，对选项ABCD分别进

行判断即可得．【详解】解：由题设有()2211010xxx−−−，解得10x−或01x，故函数的定义域为)(1001−，，，故A正确．当)(1001x−，，时，21()xxfxx−=−，此时(

)()fxfx−=−，所以()fx为)(1001−，，上的奇函数，故其图象关于原点对称，故D正确．221,[1,0)()1,(0,1]xxfxxx−−=−−，当)10x−，时，()01;fx当(01x，时

，()10fx−，故()fx的值域为()11−，，故B正确．由()()110ff−==可得()fx不是定义域上的增函数，故C错误．故选：C．【题型专练】1.设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A．f(x)g(x)是偶函数B．|f

(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数【答案】C【解析】若()xf为奇函数，则()xf为偶函数，若()xf为偶函数，则()xf仍为偶函数奇函数奇函数=偶函数，偶函数偶函数=

偶函数，奇函数偶函数=偶函数所以选C2.（多选题）下列对函数奇偶性判断正确的是（）A.()22fxxx=+−−奇函数B.22,0(),0xxxfxxxx+=−是奇函数C.21()22xfxx−=+−既不是奇函数也不是偶函数D.22()

11fxxx=−+−既是奇函数又是偶函数【答案】AD【解析】对A()()()()xfxxxxxxxf−=+−−=+−−−−=−−−+−=−222222，所以()xf为奇函数对B当0x时，0−x，所以()()()()xfxxxxxf=−=−+−=−22当0x时，0−x，所以()()

()()xfxxxxxf=+=−−−=−22，所以为偶函数对C定义域：012−x，即11−xx，所以xxx=−+=−+2222所以()xxxf21−=，所以()()xfxxxf−=−−=−21，所以函数()xf为奇函数对D定义域：−−0101

22xx，解得1=x，所以()0=xf，所以()xf既是奇函数又为偶函数3.设函数331()fxxx=−，则()fx（）A．是奇函数，且在(0)+，单调递增B．是奇函数，且在(0)+，单调递减C．是偶函数，且在(0)+，单调递增D．是偶函数，且在(0)+，单调递减【答案】A【

解析】()()()()xfxxxxxf−=+−=−−−=−333311，所以()xf为奇函数且在(0)+，为增函数4.(2022重庆巴川中学高一月考多选)已知函数()fx是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是A.(

)yfx=−B.3()yfxx=+C.()fxyx=D.3()yxfx=【答案】AB【解析】对A设()()xfxg−=，则()()()()xgxfxfxg−=−−==−，所以()xf为奇函数的是对B因为3x为奇函数，()xf是定

义在R上的奇函数，奇函数+奇函数=奇函数对C定义域：0xx，奇函数除奇函数=偶函数对D定义域：0xx，所以()xf为非奇非偶函数5.（2022·全国·高一课时练习）下列函数既是偶函数，又在(0,)+上单调递增的是（）A．yx=B．2yx=−C

．yx=D．1yx=【答案】C【分析】根据函数的奇偶性和单调性即可求解.【详解】对于A，yx=为奇函数，所以A不符合题意；对于B，2yx=−为偶函数，在(0,)+上单调递减，所以B不符合题意；对于C，yx=既是偶函数，又在(0,)+上单调

递增，所以C符合题意；对于D，1yx=为奇函数，所以D不符合题意．故选：C．题型二：抽象函数的奇偶性判断【例1】（2022·山东青岛·高二期末多选题）已知()fx是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意a，Rb都满足()()()=+fabafbb

fa，则下述正确的是（）A．()00f=B．()11f=C．()fx是奇函数D．若()22f=，则1122−=f【答案】ACD【分析】对,ab取特殊值代入已知表达式即可求解【详解】令0ab==，则()()

()000000fff=+=，故A正确；令1ab==，则()()()()1111121ffff=+=，则()10f=，故B错误；令1ab==−，则()()()()11121ffff=−−−−=−−，所以()10f−=，又令1,abx=−=，则()()()(

)()10fxfxxffxfx−=−+−=−+=−，所以()fx是奇函数，故C正确；令12,2ab==−，则()()111112222102222fffff−=−=−−=−−=

，所以1122−=f，故D正确；故选：ACD【例2】（2021·全国·高一课时练习）（1）已知函数()fx，xR，若对于任意实数1x，2x，都有()()()()1212122fx

xfxxfxfx++−=，求证：()fx为偶函数．（2）若函数()fx的定义域为(),ll−（0l），证明：()()fxfx+−是偶函数，()()fxfx−−是奇函数．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）令10x=，2

xx=，或令20x=，1xx=，得出方程组，由奇偶性定义即可证明.（2）设()()()Fxfxfx=+−，()()()Gxfxfx=−−，利用函数的奇偶性定义即可证明.【详解】证明：（1）令10x=，2xx=，则()()()()02fffxfxx=+−①，令20x=，1x

x=，得()()()()20fxfxffx+=②．由①②得()()()()fxfxfxfx+−=+，即()()fxfx−=．∴()fx是偶函数．（2）∵(),xll−，∴(),xll−−，可见()fx−的定义域也是(),ll−．若设()()()Fxfxfx=+−，()()()G

xfxfx=−−，则()Fx与()Gx的定义域也是(),ll−，显然是关于坐标原点对称的．又()()()()FxfxfxFx−=−+=，()()()()()()GxfxfxfxfxGx−=−−=−−−=−，∴()Fx为偶函数，()Gx为奇函数，

即()()fxfx+−是偶函数，()()fxfx−−是奇函数．【例3】（2021·全国·高一期中）若对一切实数x，y，都有()()()fxyfxfy+=+.（1）求()0f；（2）判断()fx的奇偶性，并证明你的结论；（3）若()13f=，求()3f−.【答案】（1）0；（2）

奇函数，证明见解析；（3）9−.【分析】（1）令0xy==，得到()()020ff=，即可求解；（2）函数()fx是奇函数，令yx=−，得到()()()0ffxfx=+−，结合（1）中的结论，得到()()fxfx−=−，即可证得()fx为奇函数；（3）令1xy==，得到()()

2216ff==，进而求得()39f=，结合()fx为奇函数，即可求解.【详解】（1）由对一切实数x，y，都有()()()fxyfxfy+=+，令0xy==，可得()()()0000fff+=+，即()()020ff=，解得()00f=.（2）

函数()fx是奇函数.证明如下：由题意，函数()fx的定义域为R关于原点对称，令yx=−，可得()()()fxxfxfx−=+−，即()()()0ffxfx=+−，由（1）知()00f=，所以()()fxfx−=−，所以()fx为奇函数.（3）令1xy==，可得()()221ff

=，因为()13f=，所以()26f=，则()()()()211932ffff=+==+，因为()fx为奇函数，所以()()339ff−=−=−.【题型专练】1.（2022·全国·高一单元测试）定义在R上的函数()fx是单调函数，满足()36f=，

且()()()fxyfxfy+=+，(),Rxy.(1)求()0f，()1f；(2)判断()fx的奇偶性，并证明；【答案】(1)()00f=，()12f=；(2)奇函数，证明见解析；【分析】（1）利用赋值法即求；（2）由题可得()(

)()00ffxfx=+−=，即证；【详解】（1）取0x=，得()()()00fyffy+=+，即()()()0fyffy=+，∴()00f=，∵()()()()()()()()3121211131ffffffff=+=+=++=，又()36f=，得()316f=，可得()12f=；（2

）∵函数()fx是定义在R上的函数，定义域关于原点对称，取yx=−，得()()()()00ffxxfxfx=+−=+−=，移项得()()fxfx−=−∴函数()fx是奇函数；2.（2022全国·高一单元测试）定义在()1,1−上的函数()fx满足：对任意的(),1,1xy−，都

有()()1xyfxfyfxy++=+．(1)求证：函数()fx是奇函数；(2)若当(1,0x−时，有()0fx，求证：()fx在()1,1−上是减函数；(3)在（2）的条件下，若112f=−，()22

1fxtat−−对所有11,22x−，1,1a−恒成立，求实数t的取值范围．【答案】(1)证明见解析，(2)证明见解析，(3)(),202,−−+UU【分析】（1）令0xy==，求出()0f，再令yx=−，即可证明；（2）利用定义

法证明函数的单调性，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤证明即可；（3）由（2）可得函数在11,22−上的最大值，设()22tgtaa−=+，则()0ga对所有1,1a−恒成立，即可得到()()1010gg−，从而求出t的取值范

围；(1)证明：令0xy==，得()00f=．设任意()1,1x−，则()1,1x−−，∴()()()00fxfxf+−==，即()()fxfx−=−，∴函数()fx是奇函数．(2)证明：设1211xx−，则()()

()()121212121xxfxfxfxfxfxx−−=+−=−．由1211xx−知120xx−，且11x，21x，∴121xx，即1210xx−，∴121201xxxx−−又()()()1

2121212111011xxxxxxxx+−−−−=−−，∴()12121,01xxxx−−−，从而121201xxfxx−−，即()()120fxfx−，()()12fxfx，所以()fx在()1

,1−上是减函数．(3)解：由（2）知函数()fx在()1,1−上是减函数．则当11,22x−时，函数()fx的最大值为11122ff−=−=．若()221fxtat−+对所有11,22x−，1,1a−恒成立

，即220tat−对任意的1,1a−恒成立，设()2222tattgaat−==−+，则()0ga对所有1,1a−恒成立，∴()()1010gg−，即222020tttt−+，即2002tttt−或或，

解得2t或0=t或2t−．综上，实数t的取值范围是(),202,−−+UU．3.（2021·江苏·高一专题练习）设函数()yfx=（xR，且0x）对任意非零实数1x，2x，恒有()()()12

12fxxfxfx=+．（1）求(1)f−及(1)f的值；（2）判断函数()fx的奇偶性．【答案】（1）()10f−=；()10f=；（2）偶函数．【分析】（1）令121xx==，可求出()10f=，令121xx==−，可求出()10f−=，（2）取11x=−，2x

x=，则可得()()fxfx−=，再结合定义域可得结论【详解】解：（1）()yfx=对任意非零实数1x，2x，恒有()()()1212fxxfxfx=+，∴令121xx==，代入，得()()()111fff=+，解得()10f=令121xx==−，

代入()()()1212fxxfxfx=+，得()()()111fff=−+−，可得()10f−=．（2）取11x=−，2xx=，代入()()()1212fxxfxfx=+，得()()fxfx−=又函数的定义域为(,0)(0,)−+∴函数()fx是偶函数4.（20

20礼嘉中学高一月考）已知()fx是定义在R上的函数，对Ryx,都有()()()yfxfyxf+=+，且当0x时，()0xf，且()11=−f.（1）求()()2,0−ff的值；（2）求证：()fx为奇函数

；（3）求()fx在4,2−上的最值.【答案】见解析【详解】（1）令0==yx，则()()()0000fff+=+，解得()00=f，令1−==yx，则()()()()()()221111=−=−

+−=−+−ffff（2）证明：令xy−=，则()()()()00==−+=−fxfxfxxf，所以()()xfxf−=−，所以()xf为奇函数（3）设Rxx21,，且21xx，所以()()()()()()()()121121112121xxfxfxxfxfxxxfxfxfx

f−−=+−−=+−−=−，因为21xx，所以012−xx，所以()012−xxf，所以()()021−xfxf，即()()21xfxf，所以在R上为减函数，所以()xf在4,2−的最小值为()()()422224−=−−==fff，最大值为()22

=−f题型三：奇偶函数的图像特征【例1】下面四个结论中，正确命题的个数是()①偶函数的图象一定与y轴相交②奇函数的图象一定通过原点③偶函数的图象关于y轴对称④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x∈R

)A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】偶函数的图象关于y轴对称，但不一定与y轴相交，因此①错，③正确；奇函数的图象关于原点对称，但不一定通过原点，只有在原点处有定义才通过原点，因此②错若()xfy=既为奇函数，又为偶函数，由定义知()0=xf，但定义域不一

定Rx，定义域只要关于原点()fx对称即可，因此④错【例2】（2022·全国·高三专题练习多选题）若()fx是奇函数，则下列说法正确的是（）A．()fx一定是偶函数B．()()fxfx−一定是偶函数C．()()0fxfx−D．()()0fxfx−+=【

答案】AB【分析】根据奇函数和偶函数的定义可判断A，B；计算()()()20fxfxfx−=−可判断C；计算()()()()0fxfxfxfx−+=−=可判断D.【详解】∵()fx是奇函数，∴()()fxfx−=−.A中，()()

()fxfxfx−=−=，∴()fx是偶函数，故A正确；B中，令()()()gxfxfx=−，则()()()()gxfxfxgx−=−=，∴()()fxfx−是偶函数，故B正确；C中，()()()20fxfxfx−=−，故C错误；D中，()()()()0fxfxfxfx−+=−

=不―定成立，故D错误.故选：AB.【例3】（2021·全国·高一课时练习）设奇函数()fx的定义域为4,4−．若当0,4x时，()fx的图像如图所示，则不等式()0fxx的解集是____

_____．【答案】()()4,22,4−−【分析】不等式()0fxx，即()00fxx或()00fxx，再根据函数的奇偶性及函数图像即可得出答案.【详解】解：由图可知：当()0,2

x时，()0fx，当()2,4x时，()0fx，因为函数()fx为奇函数，所以当()4,2x−−时，()0fx，当()2,0x−时，()0fx，不等式()0fxx，即()00fxx或()00f

xx，解得()()4,22,4x−−.故答案为：()()4,22,4−−.【题型专练】1.（2022·全国·高一课时练习）函数()yfx=是奇函数，其图象上有一点()(),afa，则函数()fx的图象必过点（

）A．()(),afa−B．()(),afa−C．()(),afa−−D．()1,afa【答案】C【分析】利用函数是奇函数可得答案．【详解】函数()fx的定义域为D，因为函数()yfx=是奇函数，aD，所以aD−，且()()fafa−=−，所以函数(

)fx的图象必过点()(),afa−−.故选：C.2.（2021·全国·高一课时练习）设奇函数()fx的定义域为[－5，5].若当x∈[0，5]时，()fx的图象如图，则不等式()fx＜0的解集是________.【答案】(2,0)(

2,5)−【分析】根据奇函数的性质，结合数形结合思想进行求解即可.【详解】利用函数()fx的图象关于原点对称.()0fx的解集为(2,0)(2,5)−.故答案为：(2,0)(2,5)−3.（2021·全国·高一课时练习）若()fx为R上的奇函数，则下列说法正确

的是（）A．()00f=B．()()()2fxfxfx−−=C．()()0fxfx−D．()()1fxfx=−−【答案】AB【分析】利用奇函数的定义和性质即可作出判定,注意判定CD时要考虑到特殊情况.【详解】∵()fx在R上为奇函数，∴()()fxfx−=−．∵()()()()

0fxfxfxfx+−=−=，∴()()000ff+=，∴()00f=，故A正确．()()()()()2fxfxfxfxfx−−=+=，故B正确．当0x=时，()()0fxfx−=，故C不正确．当0x=时，()()fxf

x−无意义，故D不正确．故选：AB.题型四：已知函数奇偶性求参数【例1】已知1()21xfxa=−+为奇函数，则a=________。【答案】21=a【详解】法一：因为()xf为奇函数，所以()00=f，所以()012100=+−=af，解

得21=a法二：特殊值法：因为()xf为奇函数，所以()()11ff−=−，所以+−−=+−−12112111aa，解得21=a法三：定义法：因为()xf为奇函数，所以()()xfxf−=−，所以+−−=+−−121121xxaa，解得21=a【例2】已知21(

)(32)()xfxxxa+=+−为偶函数，则________。a=【答案】32=a【详解】法一：特殊值法：因为()xf为偶函数，所以()()11ff=−，所以()()()()()−++=−−+−+aa12311121

311，解得32=a法二：定义法：因为()xf为偶函数，所以()()xfxf=−，所以()()()()()−++=−−+−+−axxxaxxx23123122，解得32=a【例3】如果定义在区间]5,3[a−上的函数)(xf为奇函数，则a=_____【

答案】8=a【详解】因为)(xf为奇函数，所以定义域关于原点对称，则053=+−a，解得8=a【例4】已知()()()3322+−+−=xkxkxf为偶函数，则()xf的单调递减区间为________。【答案】()+,0【详解】因

为)(xf为偶函数，所以3=k，所以()32+=xxf，所以()xf的单调递减区间为()+,0【例5】（2022全国·高一单元测试）已知函数2()1xbfxx−=+是奇函数，则下列选项正确的有（）A．0b=B．()fx在区间(1,)+单调

递增C．()fx的最小值为12−D．()fx的最大值为2【答案】AC【分析】利用函数是奇函数，可得()00f=，求出b可判断A；利用函数的单调性以及利用单调性求最值可判断B、C、D.【详解】函数2()1xbfxx−=+是奇函数，则()00f=，代入

可得0b=，故A正确；由221()111xbxfxxxxx−===+++，对勾函数1yxx=+在(1,)+上单调递增，所以1()1fxxx=+在(1,)+上单调递减，故B错误；由()1,22,yxx=+−−+U，所以111(),00,122fxxx=−

+，所以min1()2fx=−，故C正确、D错误.故选：AC【题型专练】1.（2021兴平市西郊高级中学高一期中）已知2()(1)33fxmxmx=−++为偶函数，则()fx在区间(4,2)−上为A．增函数B．增函数C．先增后减D．先减后增【答案】C【详解】因为)(xf

为偶函数，所以0=m，所以()32+−=xxf，对称轴为0=x，所以()xf在(4,2)−上先增后减2.（2021·全国·高一课时练习）已知23yaxbxab=+++是定义在区间32,3aa++上的偶函数，则ab+=______.【答案】2−【分析】利用偶函数的定义域可求得

实数a的值，结合二次函数的对称轴可计算出实数b的值，即可得解.【详解】因为偶函数的定义域关于原点对称，则()()323360aaa+++=+=，解得2a=−，因为226yxbxb=−++−定义在区间1,1−上的偶函数，则04b=，得0b=.因此，2ab

+=−.故答案为：2−.3．（2021·全国·高考真题）已知函数()()322xxxafx−=−是偶函数，则=a______.【答案】1【分析】利用偶函数的定义可求参数a的值.【详解】因为()()322xxxafx−=−，故()()322xxfxxa−−=−−，因为()fx为偶函数，故(

)()fxfx−=，时()()332222xxxxxaxa−−−=−−，整理得到()()12+2=0xxa−−，故1a=，故答案为：14．（2021·全国·高一课时练习）若函数()fxxa=+的图像关于y轴对称，则实数a的值是_______．【答案】

0【分析】根据奇偶性的定义求解．【详解】函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数，所以()()fxfx−=恒成立所以−+=+xaxa，222222xaxaxaxa−+=++恒成立，所以0a=．故答案为：0题型五：利用奇偶性求函

数值【例1】已知()xf为奇函数，且当0x时，()xxxf+=2，则()=−1f【答案】2−【详解】因()xf为奇函数，所以()()211−=−=−ff【例2】已知函数()xxfy+=是偶函数，且(),12=f则()=−2f【

答案】5【详解】设()()xxfxF+=，因为()xF为偶函数，所以()()xFxF=−，即()()2222+=−−ff，所以()52=−f【例3】已知函数()fx与()gx分别是定义域上的奇函数与偶函数，且21()()21fxgxxx+=−−+，则(2)f=（）A．23−B．73C．-3D．

113【答案】A【详解】令2=x，则()()35231422=−−=+gf①，令2−=x，则()()32121422=−+−−=−+−gf因()fx与()gx分别是定义域上的奇函数与偶函数，所以()()322=+

−gf②，由①②解得()322−=f【例4】(2021•武侯模拟)设函数20()()0.xxfxgxx=若()fx是奇函数，则(2)g的值是（）A．14−B．4−C．14D．4【答案】A【详解】设0x，则0−x，所以()xxf−=−2又因()fx是定义域上的奇函数，所以()()xfx

f−=−，所以()xxf−=−2，所以()xxf−−=2所以()xxg−−=2，所以()41222−=−=−g【例5】（2021·全国·高一专题练习）函数()fx为定义在R上的奇函数，当0x时，()4fxxm=+，则12f−=（）A．1B．2−

C．1−D．32−【答案】B【分析】先由()fx为定义在R上的奇函数，可得()00f=，可求出m的值，从而可得0x时的函数解析式，然后利用奇函数的性质可求得12f−的值【详解】由函数()fx为定义在R上的奇函数，得()00f

=，解得0m=，所以()()40fxxx=.所以114222f==．所以11222ff−=−=−．故选：B．【题型专练】1.已知函数()xf为偶函数，且当0x时，()xxxf12−=，则()=−1f．【答案】0【详解】因()xf为偶函数，所以()()01

1==−ff2.（2021•项城月考）已知函数)(xf是偶函数，)(xg是奇函数，则()()22−+=+xxxgxf，则()=−2fA．4B．3C．2D．1【答案】C【详解】令2=x，则()()422422=−+=+g

f①，令2−=x，则()()022422=−−=−+−gf因()fx与()gx分别是定义域上的偶函数与奇函数，所以()()022=−gf②，由①②解得()22=f，因()xf为偶函数，所以()()222==−ff3.已知函数()xf与()xg满足()()12+=xgxf，且当

()xg在R上为奇函数，()81=−f，则()=1f【答案】6−【详解】因()()12+=xgxf，所以()()81121=+−=−gf，所以()271=−g，因()xg在R上为奇函数，所以()()2711−=−−=gg，所以()()612

721121−=+−=+=gf4.(2020•郴州三模)设函数20()()0xxxfxgxx+=，，，且函数()fx为偶函数，则(2)f−=（）A．6B．6−C．2D．2−【答案】A【详解】设

0x，则0−x，所以()()xxxxxf−=−−=−22又因()fx是定义域上的偶函数，所以()()xfxf=−，所以()xxxf−=2，所以()xxxg−=2，所以()()62422=+=−=−gf5．（2022江苏高一单元测试

）已知定义在42,aa−上的偶函数()fx，满足0x时，()()1122xfx=−，则()fa的值为（）A．1532B．1532−C．152D．152−【答案】A【分析】由偶函数的性质求解【详解】定义在42aa−，上的偶函数()fx，420aa−+=，解得4a

=，0xQ时，()()1122xfx=−()()()41154412232ff−=−=−=；故选：A题型六：利用奇偶性求函数解析式【例1】定义在R上的函数)(xf满足()()12fxfx+=，若当01x时，()()1fx

xx=−，则当10x−时，()fx=。【答案】()()121+−=xxxf【详解】设01−x，则110+x，所以()()()()()11111+−=+−+=+xxxxxf又因()()12fxfx+=，所以()()12+−=xxxf，所以()()

121+−=xxxf，【例2】已知函数)(xfy=在R是奇函数，且当0x时，xxxf2)(2−=，则0x时，)(xf的解析式为_______________【答案】()xxxf22−−=【详解】设0x，则0−

x，所以()()()xxxxxf2222+=−−−=−又因()fx是定义域上的奇函数，所以()()xfxf−=−，所以()xxxf22+=−，所以()xxxf22−−=【例3】已知)(xf为偶函数，时当时当01,1)(,10−−=xxxfx，求)(x

f解析式？【答案】()xxf+=1【详解】设01−x，则10−x，所以()xxf+=−1又因()fx是定义域上的偶函数，所以()()xfxf=−，所以()xxf+=1，【题型专练】1.（2021·台州市书生中学高一开学考试）已知()fx是

定义在R上的奇函数，当0x时，()21fxxx=−+，则()1f−=___________，()fx在0x上的解析式为()fx=___________.【答案】1−，()=−−−=0,00,12x

xxxxf【详解】()()()1111112−=+−−=−=−ff设0x，则0−x，所以()()()1122++=+−−−=−xxxxxf又因()fx是定义域上的奇函数，所以()()xfxf−=−，所以()12++=−xxxf，所以()12

−−−=xxxf当0=x时，()00=f，所以()=−−−=0,00,12xxxxxf2.（2022全国·高一单元测试）已知函数()fx是定义在R上的奇函数，当0x时，2()2fxxx=−.（1）画出当0x时，()fx函数图象；（2

）求出()fx解析式.【答案】（1）见解析；（2）()()()222,02,0xxxfxxxx−=−−.【分析】（1）根据函数奇偶性的性质即可画出当0x时，函数()fx的函数图象；（2）根据函数奇偶性的定义即可求出函数解析式.【详解】解：（1）()fx是奇函数，且当0x时

，2()2fxxx=−．函数()fx的函数图象关于原点对称，则当0x时，()fx函数图象：；（2）若0x，则0x−，当0x时，2()2fxxx=−．()()2()2()fxxxfx−=−−

−=−，则当0x时，2()2fxxx=−−．即()()()222,02,0xxxfxxxx−=−−.题型七：给出函数性质，写函数解析式【例1】（2021·北京·）已知函数()fx同时满

足下列条件：①()fx定义域为(),−+；②()fx是偶函数；③()fx在()0,+上是减函数，则()fx的一个解析式是___________.【答案】()2xxf−=或者()xxf−=（答案不唯一

，符合题意即可）【例2】（2021·河南·温县第一高级中学（理））请写出一个同时满足以下三个条件的函数():fx（1）()fx是偶函数；（2）()fx在(0,)+上单调递减；（3）()fx的值域是(1,)+.则()fx=______.【答案】()112

+=xxf或者()11+=xxf（答案不唯一，符合题意即可）【例3】（2022重庆巴蜀高三第一次月考）请写出一个同时满足下列三个条件的函数()xf:（1）()xf是偶函数；（2）()xf在()+,0上单调递减；（3）()xf的值域是()+,0则()=xf

________【答案】()21xxf=或者()xxf1=（答案不唯一，符合题意即可）【题型专练】1.（2022·全国·高一单元测试）请写出一个同时满足下列三个条件的函数()fx=______.（1）

()fx是偶函数；（2）()fx在(0,)+上单调递增；（3）()fx的值域是[0,)+.【答案】2x（答案不唯一）【分析】根据幂函数的性质求解【详解】因为()fx是偶函数，在(0,)+上单调递增，()

fx的值域是[0,)+，所以同时满足三个条件的函数()fx可以为()2fxx=.故答案为：2x（答案不唯一）2.（2022·全国·高一单元测试）若f（x）是R上的偶函数，且在（0，12）上单调递减，则函数f（x）的解析式可以为f

（x）=___________.（写出符合条件的一个即可）【答案】-2x（答案不唯一）【分析】根据奇偶函数与增减函数的定义直接得出结果.【详解】若()2fxx=−，则()()()22fxxxfx−=−−=−=，故f（x）为偶函数，且易知f（x）在（0，

+∞）上单调递减，故f（x）在（0，12）上单调递减，符合条件.故答案为：2x−.题型八：()=xf奇函数+常数模型（()()常数=+−2xfxf）【例1】已知8)(35−++=bxaxxxf且10)2(=−

f，求)2(f的值____【答案】26−【详解】设()bxaxxxg++=35，则()xg为奇函数，则()()8−=xgxf，所以()()8−−=−xgxf所以()()()()1688−=−+−−=+−x

gxgxfxf，所以()()1622−=+−ff，所以()262−=f【例2】已知函数()()201932,,bfxaxcxabcRx=+++，且()23f=，则()2f−=_________【答案】1【详解】设()320

19xcxbaxxg++=，则()xg为奇函数，则()()2+=xgxf，所以()()2+−=−xgxf所以()()()()422=+++−=+−xgxgxfxf，所以()()422=+−ff，所以()12=f【题型专练】1.已知2)(−+=xba

xxf，则)2021()2021(−+ff=【答案】4−【详解】设()xbaxxg+=，则()xg为奇函数，则()()2−=xgxf，所以()()2−−=−xgxf所以()()()()422−=−+−−=+−

xgxgxfxf，所以()()420212021−=+−ff题型九：中值定理（求函数最大值最小值和问题）【例1】已知53()531fxxxx=−−+11([,])22x−的最大值M,最小值为m,求Mm+的值【答案】2【详解】设()

xxxxg−−=3535，则()xg为奇函数，则()()1+=xgxf，所以()()1maxmax+=xgxf，()()1minmin+=xgxf，所以()()()()22minmaxminmax=++=+xgxgxfxf（奇函数的最大值最小值互为相反数），2=+mM【例

2】设函数()()()1,111220212−+++=xxxxxf的最大值为M，最小值为m，则M+m=____【答案】2【详解】()12111222021220212+++=++++=xxxxxxx

xf，设()1222021++=xxxxg，则()xg为奇函数，则()()1+=xgxf，所以()()1maxmax+=xgxf，()()1minmin+=xgxf，所以()()()()22minmaxminmax=++=+xgxgxfxf（奇函数的最大值最小值互为相反数），2=+mM【题型专练

】1.（重庆二外高一上期末）若关于x的函数()()22222sin0txxtxxtfxtx+++=+的最大值为M，最小值为N，且4MN+=，则实数t的值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【详解】()txxxxtt

xxxtxtxxf+++=++++=222222sin2sin2，设()txxxxxg++=22sin2，则()xg为奇函数，则()()txgxf+=，所以()()txgxf+=maxmax，()()txgxf+=minmin，所以()()()()ttxgxgxfxf22minmax

minmax=++=+（奇函数的最大值最小值互为相反数），42==+tmM，所以2=t2.（2022·全国·高一单元测试）设函数()()23211xxfxx++=+在区间22−,上的最大值为M，最小值为N，则()20

221MN+−的值为______.【答案】1【分析】先将函数化简变形得()32211xxfxx+=++，然后构造函数()3221xxgxx++=，可判断()gx为奇函数，再利用奇函数的性质结合()()1fxgx=+可得2MN+=，从而可求得结果【详解】由题

意知，()32211xxfxx+=++（2,2x−），设()3221xxgxx++=，则()()1fxgx=+，因为()()3221xxgxgxx−−−==−+，所以()gx为奇函数，()gx在

区间22−,上的最大值与最小值的和为0，故2MN+=，所以()()202220221211MN+−=−=.故答案为：1题型十：单调性和奇偶性综合求不等式范围问题【例1】（2022年重庆18中高一月

考）已知定义在R上的奇函数()fx，且为减函数，又知()()2110fafa−+−，则a的取值范围为A.()2,1−B.()0,2C.()0,1D.()(),21,−−+【答案】A【详解】是定义

在R上的奇函数，且为减函数，并且()()0112−+−afaf，所以()()()11122−=−−−afafaf，所以112−−aa，即022−+aa，解得12−a【例2】（重庆巴蜀中学高一）已知()fx是定义在R上的奇函数，

且对任意12,xxR，若12xx都有()()1212fxfxxx−−成立，则关于x的不等式()()2211332fxfxxx++−−+的解为_________【答案】21xx【详解】对任意12,xxR，若12xx都有()()1212f

xfxxx−−成立，所以设()()xxfxg−=，则()xg在R上为奇函数，且为增函数，因()()()()()()131311233112222−−−+−++−−++xxfxxfxxxfxf，所以()()1312−+xgxg，所以1312−+xx，即0232+−xx，解得21

x【例3】（重庆7中高一期中）已知函数()3()353fxgxxx=−−+，()gx为定义在R上奇函数且单调递减.若()(4)6fafa+−，则实数a的取值范围是（）()fx的A.1aB.2aC.1aD.2a【答案】D【详解

】对()()()xxxgxfxh5332−−=−=，则()xh在R上为奇函数，且为减函数，因()()()()34364−−−−+afafafaf，所以()()ahah−4，所以aa−4，即42a，解得2a【例4】（2021·江苏·高一单元测试）函数()fx满足()()0f

xfx+−=，在（0，+）上是单调递减函数，且f（2）=0，则()()0fxfxx−−的解集是（）A．((,20,2−B．(),22,−−+UC．)(2,00,2−UD．))2,02−+【答案

】C【分析】根据题意判断出函数的单调性并将条件化简，进而结合函数()fx的单调性求得答案.【详解】函数f（x）满足()()0fxfx+−=，所以()fx是奇函数，则()()()2fxfxfxxx−−=，在（0，+∞）上(

)fx单调递减，且()20f=，所以()()()20fxfxfxxx−−=的解集为（0，2]；在（-∞，0）上()fx单调递减，且()()220ff−=−=，所以()()()20fxfxfxxx−−=的解集为[-2，0）.故选：C.【例5】（2023·全国·高三

专题练习）已知定义域为R的函数()fx在[1,)+单调递增，且(1)fx+为偶函数，若(3)1f=，则不等式(21)1fx+的解集为（）A．(,1)(1,)−−+B．(1,)−+C．(,1)−D．(1,1)−【答案

】D【分析】根据题意，由函数(1)fx+为偶函数分析可得函数()fx的图象关于直线1x=对称，结合函数的单调性以及特殊值分析可得(21)1(21)(3)fxfxf++(21)1|31|x+−

−，解可得x的取值范围，即可得答案．【详解】解：根据题意，函数(1)fx+为偶函数，则函数()fx的图象关于直线1x=对称，又由函数()fx在[1，)+单调递增且f(3)1=，则(21)1(21)(3)fxfxf++(21)1|31|x+−−，解可得：11x−

，即不等式的解集为(1,1)−；故选：D．【题型专练】1.（2022·甘肃酒泉·高二期末（文））定义在R上的函数()fx对任意210xx都有()()12122fxfxxx−−，且函数()yfx=的图象关于原点对称，若()24f=，则不等式()

20fxx−的解集是（）A．(,2)(0,2)−−B．(,2)(2,)−−+C．()()2002−，，D．(2,0)(2,)−+【答案】A【分析】根据给定条件，构造函数()()2gxfxx=−，再探讨函数()gx性质，借

助性质求解不等式作答.【详解】因对任意210xx都有()()12122fxfxxx−−，即1122()2()2fxxfxx−−，令()()2gxfxx=−，则对任意210xx恒有12()()gxgx成立，即函数()gx在(0,)+上单调递减，又函数

()yfx=的图象关于原点对称，即函数()yfx=是R上的奇函数，()()2()2()gxfxxfxxgx−=−+=−+=−，则函数()gx是R上的奇函数，因此，函数()gx在(,0)−上单调递减，而()24f=，即()

()220gg−=−=，当0x时，不等式()20fxx−化为()(2)gxg，解得02x，当0x时，不等式()20fxx−化为()(2)gxg−，解得2x−，所以不等式()20fxx−的解集是(,2)(0,2)−−.故选：A

2.（2022·全国·高一单元测试）定义在R上的偶函数()fx满足：对任意的1x，(()212,0xxx−，有，()()21210fxfxxx−−且()20f=，则不等式()305fxx的解集是（）A．()(),22,−−+B．()(

)2,00,2−C．()()2,02,−+D．()(),20,2−−【答案】D【分析】根据已知可得函数()fx在(,0−上单调递减，由()fx为偶函数，可得()fx在()0,+上单调递增，进而可得()()220ff=−=，然后利用单调性

即可求解不等式．【详解】解：由对任意的1x，2(x−，120]()xx，2121()()0fxfxxx−−，可知函数()fx在(,0−上单调递减，因为()fx为偶函数，所以()fx在()0,+

上单调递增，因为()20f=，所以()()220ff=−=，所以当2x−或2x时，()0fx，当22x−时，()0fx，因为()305fxx，所以()00fxx或()00fxx，所以2x−或02x，即()(),20,2x−−．故选：D．3.（2021·全

国·高一单元测试）已知函数()fx是定义在R上的奇函数，当12xx时，有1212[()()]()0fxfxxx−−恒成立，若(31)(2)0fxf++，则x的取值范围是（）A．1[,)2+B．(,1)−

−C．1(,1)2−D．[1,)+【答案】B【分析】依据题意可知函数的单调性，然后结合奇函数可得312x+−，最后计算即可.【详解】根据已知条件：当12xx时，有1212[()()]()0fxfxx

x−−恒成立，得函数()fx是定义在R上的减函数，又因为函数()fx是定义在R上的奇函数，所以(2)(2)ff−=−，故(31)(2)0fxf++等价于(31)(2)(2)fxff+−=−，所以3

12x+−，即1x−.故选：B4.（2022·江西省铜鼓中学高一开学考试）设函数()fx是奇函数，在()0,+内是增函数，又()30f−=，则()0xfx的解集是（）A．30xx−或3xB．3xx

−或03xC．3xx−或3xD．30xx−或03x【答案】D【分析】由奇函数的性质结合已知条件可得()fx在(),0−内也是增函数，()30f=，然后分0x，0x和0x=三种情况求解即可【详解】∵函数()fx是奇函数，在()0,+内是增函数，∴()fx在(),

0−内也是增函数．又()30f−=，∴()30f=．∵()0xfx，∴①当0x时，()()03fxf=，∴03x；②当0x时，()()03fxf=−，∴30x−；③当0x=时，不等式的解集为．综上，()0xfx的解集为30xx−或03x．故选：D．5.（202

1·全国·高一课时练习）设函数()fx为()(),00,−+上的奇函数，且在(),0−上单调递减，若()20f−=，则()20xfx的解集为（）A．()()2,02,−+B．()(),20,2−−C．()(),22,

−−+D．()()2,00,2−【答案】A【分析】由()20xfx，得()0fx，根据函数的奇偶性求出()20f=，利用函数的单调性，数形结合进行求解．【详解】()fx为()(),00,−+上的奇函数，且在区间(),0−上为减函数，()

20f−=，()()220ff−=−=，在()0,+内为减函数，作出函数的大致图像，由()20xfx，得()0fx，由图可知，不等式的解集为()()2,02,−+故选：A6.（重庆九校高一月考）已知偶函数()fx在(,

0−上单调递减，且()40f=，则不等式()0xfx的解集为（）A.()()4,04,−+B.()(),40,4−−C.()()4,00,4−D.()(),44,−−+【答案】A【详解】因为函数()fx是偶函数，且在(),0−

上单调递减，所以函数在()0,+上单调递增，又因()04=f，所以()04=−f，不等式()0xfx等价于()00xfx或()00xfx，即()()40fxfx或()()

−40fxfx，所以04−x或4x，即不等式()0xfx的解集为()()+−,40,4.7.（巴蜀高一月考）已知定义在R上的函数()fx的图像经过点()3,0M，且()fx在区间)2,+单调递减，又知函数(

)2fx+为偶函数，则关于x的不等式()10fx+的解为().1,3A().0,2B().2,4C().1,4D【答案】B【详解】因为定义在R上的函数()fx的图像经过点()3,0M，所以()03=f。又因()2fx+

为偶函数，所以设()()2+=xfxg，则()xg为偶函数，且在)+,0上为减函数，()()031==fg，所以()10fx+等价于()()()()1111gxggxg−−，所以11−x，解得20x8.设函数)(xf在)

1,+上为增函数，()30f=，且()()1gxfx=+为偶函数，则不等式()220gx−的解集为.【答案】()0,2【详解】因()()1gxfx=+为偶函数，且在)+,0上为增函数，()()230gf==，所以()220gx−等价于()()222gxg−，所以222

x−，解得20x9.（2021·重庆市铁路中学校）已知函数()fx是定义在(1,1)−上的奇函数，在区间(1,0]−上单调递增.若实数a满足(1)()0fafa−+，则实数a的取值范围是（）A．1

,2−B．1,2+C．10,2D．10,2【答案】C【详解】由题意知，函数()fx是定义域为()1,1−上的奇函数，且()fx在区间(1,0−上单调递增，则()fx在()1,1−上单调递增，()()()()101fafafafa−+−

−，有111111aaaa−−−−−−，解得102a，即实数a的取值范围为1(0)2，.故选：C10.定义R上单调递减的奇函数()fx满足对任意tR，若22(2)(2)0fttftk−+−恒成

立，求k的范围.【答案】1,3−−【详解】因为()fx是定义R上的奇函数，所以()()()()()22222220222fttftkfttftkfkt−+−−−−=−，又因()fx单调递减所以2222ttkt−−对任意tR恒成立，所以232ktt−对任意

tR恒成立，所以()2min32ktt−设232ytt=−，对称轴13t=，所以当13t=时，2min11132333y=−=−，所以13k−11.若函数3()3fxxx=+对于任意的2,2m−，()()20fmxfx−+恒成立，则x【答案】22,3−

【详解】因为3()3fxxx=+，所以()fx是定义R上的奇函数，且为增函数，所以()()()()()202fmxfxfmxfxfx−+−−=−，又因()fx单调递增所以2mxx−−对任意的2,2m−恒成立，所以()120mx+−对任意的2,2m

−恒成立，设()2gmxmx=+−，则()()2020gg−，即220220xxxx−+−+−，解得223x−12.已知定义在R上的函数()fx，若函数(2)yfx=+为偶函数，且()fx对任意12,[2,)xx+(12xx)

，都有2121()()0fxfxxx−−，若()(31)fafa+，则实数a的取值范围是()A．13[,]24−B．[2,1]−−C.1(,]2−−D．3(,)4+【答案】A【详解】设()()2+=xfxg，则()xg为偶函数，且在)+,0上为减函数，所以()(

)()()()()31231231fafagagagaga+−−−−，所以231aa−−，解得1324a−