【文档说明】《【同步题型讲义】2023学年高一数学同步教学题型讲义（人教A版2019必修第一册）》第10讲 二次函数与一元二次方程、不等式 （解析版）.docx，共(45)页，1.729 MB，由envi的店铺上传

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第10讲二次函数与一元二次方程、不等式【知识点梳理】知识点一一元二次不等式的概念一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如20(0)axbxc++或20(0)axbxc++(其中a，b，c均为常数，)0a的不等式都是一元二次不等式．知

识点二二次函数的零点一般地，对于二次函数2yaxbxc=++，我们把使20axbxc++=的实数x叫做二次函数2yaxbxc=++的零点.知识点三一元二次不等式的解集的概念使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集．知识点四二次函数

与一元二次方程、不等式的解的对应关系对于一元二次方程20(0)axbxca++=的两根为12xx、且12xx，设acb42−=，它的解按照0，0=，0可分三种情况，相应地，二次函数2yaxbxc=++(0)a的图像与x轴的位置关系也分为三种情况

.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20axbxc++(0)a或20axbxc++(0)a的解集.24bac=−00=0二次函数cbxaxy++=2（0a）的图象20(0)axbxca++=

的根有两相异实根)(,2121xxxx有两相等实根abxx221−==无实根的解集)0(02++acbxax21xxxxx或−abxx2R的解集)0(02++acbxax21xxxx知识点诠释：（1）一元二次方程20(0)axbxca++=

的两根12xx、是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线=ycbxax++2与x轴的交点的横坐标；（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；（3）解集分0,0,0=三种情况，得

到一元二次不等式20axbxc++与20axbxc++的解集.知识点五利用不等式解决实际问题的一般步骤(1)选取合适的字母表示题中的未知数；(2)由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)；(3)求解所列出的不等式(组)；(4)结

合题目的实际意义确定答案．知识点六一元二次不等式恒成立问题(1)转化为一元二次不等式解集为R的情况，即20(0)axbxca++恒成立00a恒成立20(0)axbxca++00.a(2)分离参数，

将恒成立问题转化为求最值问题.知识点七简单的分式不等式的解法系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间”，或者利用数轴标根法【典型例题】题型一：解不含参数的一元二次不等式【例1】（2022·浙江·高一阶段练习）不等式()()220xx+−的解集是（）A．{2}xx∣B．{2

}xx−∣C．{2∣−xx或2}xD．{22}xx−∣【答案】D【解析】【分析】直接解一元二次不等式即可得答案.【详解】解：原式化为()()220xx−+，即22x−，故不等式的解集为{

22}xx−∣.故选:D【例2】（2022·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预测）记集合24Mxx=，240Nxxx=−，则MN=（）A．24xxB．0xx或2x−C．02xxD．24xx−【答案】A【解析】【分析】

化简集合，再由交集的定义即得.【详解】∵242Mxxxx==−或2x，2|40|04Nxxxxx=−=，所以MN={|24}xx.故选：A.【例3】（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）设xR，则“12x”是“2230x

x−−”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先解出不等式2230xx−−，再判断充分性和必要性即可.【详解】由于不等式2230xx−−的解集为

13xx−，则12x可推出13x-<<，反之不成立，所以“12x”是“2230xx−−”的充分而不必要条件．故选：A.【例4】（2022·广东·新会陈经纶中学高一期中）不等式2230xx−+−的解集是（）A．RB．C．{|3xx−

或1}x−D．{|31}xx−−【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的性质，分析即可得答案.【详解】由题意得所求2230xx−+，令223yxx=−+，为开口向上的抛物线，2(2)41380=−−=−，所以2230yxx+−=恒成立，所以2230

yxx+−=不成立，故2230xx−+−的解集为.故选：B【例5】（2022·安徽省利辛县第一中学高一阶段练习）不等式22150xx−++的解集为（）A．532xx−B．52xx−或3xC．53

2xx−D．3xx−或52x【答案】B【解析】【分析】将式子变形再因式分解，即可求出不等式的解集；【详解】解：依题意可得22150xx−−，故()()2530xx+−，解得52x−或3x，所以不

等式的解集为52xx−或3x【题型专练】1.（2022·全国·高一单元测试）设集合32Axx=−Z，2340Bxxx=+−，则AB=（）A．1,0−B．2,1,0−−C．32xx−D．21xx−【答案】B【解析】【分析】先化简集合A

，B，再求二者交集【详解】322,1,0,1AxZx=−=−−，234041Bxxxxx=+−=−，则2,1,0AB=−−．故选：B．2.（2022·新疆喀什·高一期末）解下列不等式：(1)2430xx++；(2)294604xx−+

−.【答案】(1){|3xx−或1}x−(2)34xx【解析】(1)(1)因为1641340＝－＝，所以方程2430xx＋＋＝有两个不等实根x1＝－1，x2＝－3.所以原不等式的解集为{|3xx−或1}x−.(2)(2)因为()0364

49()4−−=＝－，所以方程246xx−−＋9=04有两个相等实根x1＝x2＝34所以原不等式的解集为34xx.3．（2022·四川眉山·高一期末（理））不等式2340xx−−的解集为（）A．(,1)(4,)−−+UB．（－4，1）C．（－1，4）D．(,4)

(1,)−−+U【答案】C【解析】【分析】直接用因式分解求得解集即可.【详解】因为不等式2340xx−−可化为:(1)(4)0xx+−解得:14x−所以解集为:(1,4)−.故选:C.4．（2022·

贵州·高二学业考试）不等式240x−的解集是（）A．(,5)−−B．)5,2−−C．22−,D．()2,+【答案】C【解析】【分析】直接解不等式即可求解.【详解】由240x−得()()220xx+−，解得22x−，即解集

为22−,.故选：C.5.（2022·北京·东直门中学高二阶段练习）不等式2210xx+−的解集是（）A．()1,1,2−−+B．()1,+C．()1,1,2−−+D．1,12−【答案】C【解析】【分析】将不等式化简为()

()2110xx−+，即可求出其解集.【详解】由2210xx+−可得：()()2110xx−+，所以不等式的解集为：()1,1,2−−+.故选：C.6.（2022·全国·高一多选）下列不等式的

解集为R的有（）A．x2＋x＋1≥0B．x2－25x＋5>0C．x2＋6x＋10>0D．2x2－3x＋4<1【答案】AC【解析】【分析】利用判别式的正负，即可判断选项.【详解】A中21410=−.满足条件；B中()225450=−−，解集不为R；C中264100=−，满足条件；

D中不等式可化为2x2－3x＋3<0，所对应的二次函数开口向上，显然不可能．故选：AC题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇【例1】（2022·四川甘孜·高一期末）若不等式220axbx+−的解集为{21}xx−∣，则ab+=（）A．2−

B．0C．1D．2【答案】D【解析】【分析】利用二次函数，把不等式问题转化为方程问题，再用韦达定理.【详解】因为不等式220axbx+−的解集为{21}xx−∣所以0a，-2和1是方程220axbx+−=的两实数根所以21221baa−+=−−−=，解得1b1a==，所以2

ab+=.故A，B，C错误.故选：D.【例2】（2022·四川省高县中学校高一阶段练习（理））已知关于x的不等式22430(0)xaxaa−+的解集为()12,xx，则1212axxxx++的最小值是（）A．63B．233−C．

433D．433−【答案】C【解析】【分析】由根与系数关系及基本不等式求目标式的最小值，注意等号成立条件.【详解】由题设，124xxa+=，2123xxa=且0a，所以12121143424333axxaaxxaa++=+=，当且仅当36a=时等号成

立.故选：C【例3】（2022·全国·高一专题练习）若不等式220axxc++的解集是11,,32−−+，则不等式220cxxa−+的解集是（）A．11,23−B．11,32−C．2,3−D．[]3,2-【答案】C【解析】

【分析】依题意13−和12是方程220axxc++=的两个实数根，利用韦达定理得到方程组，即可求出a、c，再解一元二次不等式即可.【详解】解：因为不等式220axxc++的解集是11,,32−−+

，∴13−和12是方程220axxc++=的两个实数根，由112321132aca−+=−−=，解得：12a=−，2c=，故不等式220cxxa−+即222120xx−−，即260xx−−，即()()320xx−+，解得：23

x−，所以所求不等式的解集是：23−，.故选：C．【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），则实数c的值为（）A．4B．3C．9D．94

【答案】C【解析】【分析】根据函数的值域求出a与b的关系，然后根据不等式的解集可得()fxc=的两个根为,6mm+，最后利用根与系数的关系建立等式，解之即可.【详解】∵函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），∴f（x）＝x2+ax+b＝0只有一个根，即Δ＝a2﹣4

b＝0则b24a=，不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），即为x2+ax24a+＜c解集为（m，m+6），则x2+ax24a+−c＝0的两个根为m，m+6∴|m+6﹣m|22444aacc=−−=

=6解得c＝9故选：C．【题型专练】1.（2022·四川·射洪中学高一阶段练习）已知不等式20xxa−+的解集为23xx−，则=a（）A．6−B．16−C．6D．16【答案】A【解析

】【分析】根据一元二次不等式的解集和一元二次方程根的关系直接求解即可.【详解】由不等式的解集知：2−和3是方程20xxa−+=的两根，236a=−=−.故选：A.2.（2022·湖南·怀化五中高一期中）若关于

x的不等式28210mxmx++的解集为71xx−−，则实数m的值为______.【答案】3【解析】【分析】根据二次不等式的解，结合韦达定理即可求出m.【详解】由题可知，－7和－1是二次方程28210mxmx++

=的两个根，故()21713mm=−−=.经检验满足题意故答案为：3.3.（2021·安徽省定远中学高一阶段练习）已知关于x的不等式20axbxc++的解集为()2,4−，则不等式20cxbxa−+的解集是（）A．12xx−∣或14xB．1142xx

−∣C．14xx−∣或12xD．1124xx−∣【答案】B【解析】【分析】根据不等式20axbxc++的解集，得到2,8baca=−=−，代入20cxbxa−+中即可求解.【详解】由题意得24,24,0bcaaa−+=−−=，即2,8b

aca=−=−，所以2820axaxa−++即28210xx−−，解得1142x−．故选：B4.（2022·内蒙古赤峰·高一期末（文））二次不等式20axbxc++的解集是()2,3，则cb

的值为（）A．65B．65−C．56D．56−【答案】B【解析】【分析】由题意得2,3为方程20axbxc++=的两个根，根据韦达定理，化简计算，即可得答案.【详解】因为二次不等式，所以0a，因为不等式20axbxc

++的解集是()2,3，所以2,3为方程20axbxc++=的两个根，所以23,23bcaa+=−=，即5,6bcaa=−=所以65cb=−.故选：B5.（2022·黑龙江·大庆中学高二期末）若不等式220axbx++的解集是1123xx

−，则0axb+的解集为（）A．1,6−−B．1,6−C．1,6−+D．1,6+【答案】A【解析】【分析】利用根于系数的关系先求出,ab，再解不等

式即可.【详解】不等式220axbx++的解集是1123xx−则根据对应方程的韦达定理得到：112311223baa−+=−−=，解得122ab=−=−，则1220x−−的解集为1,6−−

故选：A6.（2022·浙江·金华市曙光学校高一阶段练习）已知不等式210axbx−−的解集是11|23−−xx，则不等式20xbxa−−的解集是________.【答案】{|23}xx【解析】【分析】根据给定的解集求出a，b的值，再代入解不等式即可作答.【详解】依题意

，12−，13−是方程210axbx−−=的两个根，且0a，于是得11()()23111()()23baa−+−=−−=−，解得：6,5ab=−=，因此，不等式20xbxa−−为：2560xx−+，解得23x，所以不等式20x

bxa−−的解集是{|23}xx.故答案为：{|23}xx题型三：含有参数的一元二次不等式的解法【例1】（2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式()2220xmxm−++的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围为（）A．(6,7

B．)3,2−−C．)(3,26,7−−D．3,7−【答案】C【解析】【分析】讨论m与2的大小关系，求得不等式的解集，根据解集中恰有4个整数，确定m的取值范围.【详解】不等式()2220xmxm−++即(2)()0xxm−−，当2m时，不等式解集为(2,)m

，此时要使解集中恰有4个整数，这四个整数只能是3,4,5,6，故67m，当2m=时，不等式解集为，此时不符合题意；当2m时，不等式解集为(,2)m，此时要使解集中恰有4个整数，这四个整数只能是2,1,0,1−−，故32m−−，，故实数m的取

值范围为)(3,26,7−−，故选：C【例2】（2022·广东·梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）解关于x的不等式2220axxa+−+【答案】答案不唯一，具体见解析【解析】【分析】原不等式可化为()()120xaxa+−+

．然后分0a=，0a和0a三种情况求解不等式【详解】解：关于x的不等式2220axxa+−+可化为()()120xaxa+−+．（1）当0a=时，()210x+，解得|1xx−．（2）当0a，所

以()210axxa−+−．所以方程()210axxa−+−=的两根为-1和2aa−，当21aa−−，即1a时，不等式的解集为|1xx−或2axa−}，当21aa−−=，即1a=时，不等式的解集为|1xx−．当21aa−−，即01a时

，不等式的解集为2|axxa−或1x−}，．（3）当0a时，()210axxa−+−．因为方程()210axxa−+−=的两根为—1和2aa−，又因为2211aaa−=−，所以21aa−−，．即不等式()210axxa−+−的解集是2|

1axxa−−，综上所述：当0a时，不等式的解集为2|1axxa−−当0a=时，不等式的解集为1xx−，当01a时，不等式的解集为2|axxa−或1}x−

当1a=时，不等式的解集为|1xx−，当1a时，不等式的解集为|1xx−或2axa−}，【例3】（2022·河南·华中师范大学附属息县高级中学高二阶段练习（文））已知条件p：2780xx−−，条件q：22210xxm−+−≤（其中0m），若p是q的必要而不充分条件，则实数m

的取值范围为（）A．()0,8B．()0,+C．()0,2D．28,【答案】C【解析】【分析】分别解出两个不等式，再根据p是q的必要而不充分条件，可得q对应得集合是p对应得集合的真子集，列出不等式组，从而可得出答案.【详解】解：由2780xx−−，得18x−

，所以:18px−，由()222100xxmm−+−，得11mxm−+，所以:11qmxm−+，因为P是q的必要而不充分条件，所以1118xmxmxx−+−所以11180mm

m−−+，解得02m，即实数m的取值范围为()0,2.故选：C.【例4】（2022·湖南·新邵县第二中学高一开学考试）设2(1)2yaxaxa=+−+−.(1)若不等式2y−对一切实数x恒成立，求实

数a的取值范围；(2)解关于x的不等式2(1)21(R)axaxaaa+−+−−.【答案】(1)13aa(2)答案见解析【解析】【分析】（1）不等式转化为2(1)0axaxa+−+≥对一切实数成立，列不等式即可求解；（2）不等式转化为(1)(1)0

axx+−，对a进行分类讨论求解即可.（1）由题意可得22(1)22(1)0axaxaaxaxa+−+−−+−+对一切实数成立，当0a=时，0x不满足题意；当0a时，得2201(1)403aaaa

−−.所以实数a的取值范围为13aa.（2）由题意可得22(1)21(1)10axaxaaaxax+−+−−+−−，当0a=时，不等式可化为1x，所以不等式的解集为1xx，当0a时，21(1)10(1)(1)01axaxaxxxa+−−+−−，

当0a时，2(1)10(1)(1)0axaxaxx+−−+−，①当1a=−，解集1xx，②当10a−，解集为1xx或1xa−，③当1a−，解集为1xx或1xa−

.综上所述，当1a−，不等式的解集为1xx或1xa−，当1a=−，不等式的解集为1xx，当10a−，不等式的解集为1xx或1xa−，当0a=时，不等式的解集为1xx，当0a

时，不等式的解集为11xxa−.【例5】（2023·全国·高三专题练习）解关于x的不等式()222Raxxaxa−−．【答案】详见解析.【解析】【分析】分类讨论a，求不等式的解集即可.【详解】原不等式变形为()2220axax+−−．①当0a=时，1x−；②当0

a时，不等式即为()()210axx−+，当0a时，x2a或1x−；由于()221aaa+−−=，于是当20a−时，21xa−；当2a=−时，1x=−；当2a−时，21xa−．综上，当0a=时，不等式的解集为(,1]−−；当0a时，不等式的解集为2(,1]

[,)a−−+；当20a−时，不等式的解集为2,1a−；当2a=−时，不等式的解集为1−；当2a−时，不等式的解集为21,a−．【例6】（2022·全国·高一课时练习）解关于x的不等式：220axxa−+

.【答案】答案不唯一，见解析【解析】【分析】由于参数a的不确定性，可分为0a=和0a，当0a时，又可具体分为，0=，0，再结合二次函数的图像开口与判别式的关系即可求解【详解】解:当0a=时，不等式即20x−，解得0x.当

0a时，对于方程220axa−+=，244a=−令，解得1a或1a−；令0=，解得1a=或1−；令0，解得01a或10a−，方程220axxa−+=的两根为211aa−.综上可得，当1a时，不等式的解集为；当0

1a时，不等式的解集为221111aaxxaa−−+−；当0a=时，不等式的解集为0xx；当10a−时，不等式的解集221111aaxxxaa+−−−或；当1a=−时

，不等式的解集为1xxx−R且；当1a−时，不等式的解集为R.【题型专练】1.（2022·黑龙江·铁人中学高二期末）若关于x的不等式()2330xmxm−++的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为（）A．(6,7B．)1,0−C．)(1,0

6,7−D．1,7−【答案】C【解析】【分析】由题设可得()()30xxm−−，讨论,3m的大小关系求解集，并判断满足题设情况下m的范围即可.【详解】不等式()2330xmxm−++，即()()30xxm−−，当3m时，不等式解

集为()3,m，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是4，5，6，故67m；当3m=时，不等式解集为，此时不符合题意；当3m时，不等式解集为(),3m，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是0，1，2，故10m−

；故实数m的取值范围为)(1,06,7−．故选：C2.（2022·陕西·长安一中高一期中）已知关于x的不等式()()230abxab+−+的解集为34xx−．(1)写出a和b满足的关系；(2)解关于x的不等式()()()222120abxabxa−−−−

++．【答案】(1)3ab=(2)231xxb−+−【解析】【分析】（1）化简()()230abxab+−+，结合不等式的解集即可判断0ab+，得到3234baab−=−+即可得到a和b满足

的关系.（2）可用a或b对不等式()()()222120abxabxa−−−−++进行等价转化，化简计算即可求出不等式的解集.(1)解：因为()()230abxab++-，所以()32abxba+−，因为不等式的解集为34xx−

，所以0ab+，且3234baab−=−+，解得3ab=．(2)由（1）得30ab=则不等式()()()222120abxabxa−+−−+−等价为()()242320bxbxb+−+−，即222430xxbb+−+−，即()2130xxb

+−+．因为231b−+−，所以不等式的解为231xb−+−．即所求不等式的解集为231xxb−+−．（说明：解集也可以用a表示）3.（2022·贵州·遵义航天高级中学高一阶段练习）设函数()()211fxaxax=−++.(1)若2

a=，解不等式0y；(2)若0a，解关于x的不等式0y【答案】(1)12xx或1x；(2)详见解析.【解析】【分析】（1）利用二次不等式的解法即可得解；（2）将原不等式变形为()()110axx−−，对实数a的取值进行分类讨论，结合二次不等式的解法即可得解.(1)当2a=

时，由20321yxx=+−，解得12x或1x，故当2a=时，不等式0y的解集为12xx或1x.(2)由0y可得()()110axx−−，当0a时，方程()()110axx−−=的两根分别为1

1xa=，21x=.当01a时，11a，解原不等式可得11xa；当1a=时，原不等式即为()210x−，该不等式的解集为；当1a时，11a，解原不等式可得11xa.综上所述，当01a时，原不等式的解集为11xxa；当1a=时，原不

等式的解集为；当1a时，原不等式的解集为11xxa.4.（2022·陕西·西安高新第三中学高一期中）已知函数2(2)()yaxaxa=+−R.(1)若关于x的不等式yb的解集为14xx−，求,ab的值；(2)若2a−，解关于x的不等式2y.【答案】(1)1

,22ab==(2)20a−时，解集为2|1xxa−；0a=时，解集为1xx−；0a时，解集为2{|xxa或1}x−【解析】(1)yb的解集为14xx−，1−和4是方程2(2)0ybaxax

b−=+−−=的两个根，∴20,2080,bab−=−−=，解得：1,22ab==.(2)不等式2y，可化为：()2220axax+−−.当0a=时，原不等式即为220x−−，1x−．当0a时，原不等式化为

()210axxa−+，2xa或1x−.当20a−时，原不等式为()210axxa−+，可化为()210xxa−+因21a−，21xa−．综上，2

0a−时，原不等式的解集为2|1xxa−；0a=时，原不等式的解集为1xx−；0a时，原不等式的解集为2{|xxa或1}x−5.（2022·北京市第五中学高一阶段练习）求关于

x的不等式()2325axxaxaR-+>-?的解集.【答案】答案见解析【解析】解：不等式()2325axxaxaR-+>-?，即2(3)30axax+-->，即(3)(1)0axx−+，当0a=时，原不等式解集

为{|1}xx−；当0a时，方程(3)(1)0axx−+=的根为13xa=，21x=−，①当0a时，31a−，原不等式的解集为3{|xxa或1}x−；②当30a−时，31a−，原不等式的解集为3{|1}xxa−；③当

3a=−时，31a=−，原不等式的解集为；④当3a−时，31a−，原不等式的解集为3{|1}xxa−．题型四：不等式的恒成立问题【例1】（2023·全国·高三专题练习）关于x的不等式210mxmxm−++恒成立，则m的

取值范围为()A．(0,)+B．[0，)+C．(−，4)(03−，)+D．4(,)[03−−，)+【答案】B【解析】【分析】通过讨论m的范围，结合二次函数的性质求出m的范围即可．【详解】解：0m=时，10成

立，0m时，20Δ4(1)0mmmm=−+，故0m，综上：0m…，故选：B．【例2】（2022·全国·高一专题练习）若命题“2000R,(1)10axxx+−+”的否定是真命题，则实数a的取值范围是（）A．1,3−B．()1,3−C．(),13,−−+

D．()(),13,−−+【答案】B【解析】【分析】写出命题的否定，则，从而可得出答案.【详解】:解：命题“2000R,(1)10axxx+−+”的否定为“()2R,110xxax+−+”为真命题，所以()2140a=−−，解得13a−，即实数a的取值范围是()1

,3−.故选：B.【例3】（2021·新疆喀什·高一期中）若不等式222424mxmxxx+−+的解集为R，则实数m的取值范围是（）A．22m−B．22m−C．2m−或2mD．2m【答案】B【解析】【分

析】由一元二次不等式的解集，讨论2m=、20m−分别求出满足条件的m范围即可.【详解】由题设，2(2)2(2)40mxmx−+−−，当2m=时，40−恒成立，满足要求；当()()220{Δ421620mmm−=−+−，可得22m−；综上，22

m−.故选：B【例4】（2022·江西师大附中高一期中）若不等式240axxa−+对任意2x恒成立，则实数a的取值范围是____________.【答案】14a…【解析】【分析】分离参数，求出14yxx=+的取值范围即可得到答案.【详解】解：∵不等式240axxa−+对任意2x恒成立

，即24xax+对任意2x恒成立，又211444xyxxx==++所以14a….故答案为：14a….【例5】（2022·四川南充·高一期末（理））不等式()()2242120axax−+−−的解集为R，则实数a的取值范围是（）A．)1,2−B．(1,2−C．()2,1−D．1,2

−【答案】B【解析】【分析】分20a−=、20a−两种情况讨论，根据已知条件可得出关于实数a的不等式组，综合可得出实数a的取值范围.【详解】关于x的不等式()()2242120axax−+−−的解集为R.当20a−=时，即当2a=时，则有120−恒成立，符合题意；②当20a−时，则有

()()220Δ1624820aaa−=−+−，解得1a2−.综上所述，实数a的取值范围是(1,2−.故选：B.【例6】（2022·福建省华安县第一中学高二期末）下列条件中，为“关于x的不等式210mxmx−+对Rx恒成立”的充分不必要条件的

有（）A．04mB．02mC．14mD．16m−【答案】BC【解析】【分析】对m讨论：0m=；0m，；0m，结合二次函数的图象，解不等式可得m的取值范围，再由充要条件的定义判断即可.【详解】因为关于x的不

等式210mxmx−+对Rx恒成立，当0m=时，原不等式即为10恒成立；当0m时，不等式210mxmx−+对Rx恒成立，可得，即240mm−，解得：04m.当0m时，21ymxmx=−+的图象开口向下，原不等式不

恒成立，综上：m的取值范围为：)0,4.所以“关于x的不等式210mxmx−+对Rx恒成立”的充分不必要条件的有02m或14m.故选：BC.【例7】（2023·全国·高三专题练习）已知a＞b，关于x的不等式220axxb++对于一切实数x恒成立，又

存在实数0x，使得20020axxb++=成立，则22abab+−最小值为_________．【答案】22【解析】【分析】由220axxb++对于一切实数x恒成立，可得0a，且0；再由0xR，使20020axxb++=成立，可得0，进而可得ab

的值为1，将22abab+−可化为()222abababab+=−+−−，利用基本不等式可得结果.【详解】因为220axxb++对于一切实数x恒成立，所以0a，且440ab=−，所以1ab；再由0xR，使20020axxb++=成立，可得440ab=−，所以1a

b，所以1ab=，因为ab，即0ab−，所以()()2222222ababababababab−++==−+−−−，当且仅当2abab−=−，即2ab−=时，等号成立，所以22abab+−的最小值为22，故答案为：22【题型专练】1.（2023·全国·高三专题练

习多选题）“关于x的不等式220xaxa−+对Rx恒成立”的一个必要不充分条件是（）A．01aB．01aC．103aD．0a【答案】BD【解析】【分析】求得关于x的不等式220xaxa−

+对Rx恒成时a的取值范围，根据必要不充分条件与集合包含之间的关系，即可判断答案.【详解】由题意可知，关于x的不等式220xaxa−+恒成立，则2440aa=−，解得01a，对于选项A，“01a”是“关于

x的不等式220xaxa−+对Rx恒成立”的充要条件；对于选项B，{|01}xa{|01}xa,故“01a”是“关于x的不等式220xaxa−+对Rx恒成立”的必要不充分条件；对于选项C，1|}03{ax{|01}x

a,“103a”是“关于x的不等式220xaxa−+对Rx恒成立”的充分不必要条件；对于选项D中，{|01}xa{|0}xa,“0a”是“关于x的不等式220xaxa−+对Rx恒成立”必要不充分条件，故选：BD．2.（202

2·江苏·高一专题练习）若关于x的不等式29(2)04axax−++有解，则实数a的取值范围是____________．【答案】1a或4a【解析】【详解】本题考查了二次函数的性质，函数恒成立问题．分类讨论，先验证0a=是否成立，再根据二次函数的性质列出不等式得出a的范围．

【解答】当0a=时，不等式为9204x−+有解，故0a=，满足题意；当0a时，若不等式29(2)04axax−++有解，则满足29(2)404aa=+−，解得1a或4a；当0a时，此时对应的函数的图象开口向下，此时不等式29(2)04axa

x−++总是有解，所以0a，综上可得，实数a的取值范围是1a或4a.3.（2022·湖北·黄石市有色第一中学高一期中）关于x的不等式2244xxaa−+在16x剟内有解，则a的取值范围为______

__．【答案】26a−【解析】2244xxaa−+在16x剟内有解，()22max44aaxx−−，其中16x剟；设()2416yxxx=−，则当6x=时，max362412y=−=，2412aa−，解得：2

6a−，a的取值范围为26a−.故答案为：26a−.4.（2022·河南濮阳·高一期末（理））已知命题“Rx，214(2)04xax+−+”是假命题，则实数a的取值范围为（）A．(),04,−+UB．0,4C．)4,+D．()0,4【答案】A【解析】【分析】先

求出命题为真时实数a的取值范围，即可求出命题为假时实数a的取值范围.【详解】若“Rx，214(2)04xax+−+”是真命题，即判别式()21Δ24404a=−−，解得：04a，所以命题“Rx，

214(2)04xax+−+”是假命题，则实数a的取值范围为：(),04,−+U.故选：A.5.（2022·江苏省天一中学高一期中）已知关于x的不等式2243xxaa−+−在R上有解，则实数a的取值范围是_______

___．【答案】14a−【解析】【分析】求出24yxx=−+的最大值，然后可得234aa−，解出即可.【详解】因为关于x的不等式2243xxaa−+−在R上有解，()22424yxxx=−+=−−+的最大值为4所以234aa−，解得14a−故答案为：14a−6

.（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高一阶段练习）若对任意Rx，2222224xaxbxcxx+++−+恒成立，则ab的最大值为_________．【答案】12##0.5【解析】【分析】先令1x=，可得4abc++=，再根据222xa

xbxc+++恒成立，可得2ca=+，22ba=−，由此可得12ab，再验证符合22224axbxcxx++−+恒成立即可．【详解】解：令1x=，则44abc++，故4abc++=，对任意Rx，222xaxbxc+++，则2(2)20axb

xc+−+−恒成立，∴222(2)4(2)(2)4(2)(2)0bacacacac=−−−=+−−−=−+∴2ca=+，此时22ba=−，∴2111(22)2(1)2()222abaaaaa=−=−=−−+，当15,1,22abc===时取等

号，此时()()2222333224310222xxaxbxcxxx−+−++=−+=−成立，∴ab的最大值为12．故答案为：12．7.（2022·湖南·高一课时练习）设二次函数234ykxkx=−+．（1）若方程0y=有实根，则实数k

的取值范围是______；（2）若不等式0y的解集为，则实数k的取值范围是______；（3）若不等式0y的解集为R，则实数k的取值范围是______．【答案】0k或3k.03k【解析】【分析】根据方程

的解或不等式的解的情况结合判别式可得相应的结果.【详解】对于（1），因为方程0y=有实根，故2030kkk−，解得0k或3k.对于（2），因为不等式0y的解集为，故2030kkk−，解得

k.对于（3），不等式0y的解集为R，故2030kkk−，故03k.8.（2022·江苏·高一）命题“23,208xRkxkx+−”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．()30−，B．(30−，C．()31−−，D

．()3−+，【答案】AC【解析】【分析】先求命题“23,208xRkxkx+−”为真命题的等价条件，再结合充分不必要的定义逐项判断即可.【详解】因为23,208xRkxkx+−为真命题，所以0k=或2030kkk+30k−，所以()30−，是命题“

23,208xRkxkx+−”为真命题充分不必要条件，A对，所以(30−，是命题“23,208xRkxkx+−”为真命题充要条件，B错，所以()31−−，是命题“23,208xRkxkx+−”为真命题充分不必要条件，C对，所以()3−+，是命题“23

,208xRkxkx+−”为真命题必要不充分条件，D错，故选：AC9.（2022·全国·高一专题练习）已知二次函数222yxax=++.若15x≤≤时，不等式3yax恒成立，求实数a的取值范围.【答案】22a.【解

析】【分析】对目标式分离参数，结合基本不等式，即可求得参数的取值范围.【详解】不等式3yax即为：220xax−+，当15x≤≤时，可变形为：222xaxxx+=+，即min2()axx+.又22222xxxx++=，当且仅当

2xx=，即2x=时，等号成立，min2()22xx+=，即22a.故实数a的取值范围是：22a.题型五：一次分式不等式的解法分式不等式转化为整式不等式（1）()()00cxdaxbcxdaxb++++（2）()()00cxdaxbcxdaxb++++（3）()()

00cxdaxbcxdaxb++++且0axb+（4）()()00cxdaxbcxdaxb++++且0axb+【例1】（2022·江苏·苏州中学高二期末）已知集合22|20,|01xAxxxBxx−=+−=+，则A∩B=（）A．{x|-2≤x

<2}B．{x|-2≤x≤1}C．{x|-2≤x≤-1}D．{x|-2≤x<-1}【答案】D【分析】求出集合,AB后可求AB.【详解】|21Axx=−，而{|1Bxx=−或2}x，故|21ABxx=−−，故选：D.【例2】（2022·吉林延边·高一期末）若不等式251

0axx++的解集为1123xx−−，则不等式303xax−−的解集为___________.【答案】23xx【解析】【分析】由不等式2510axx++的解集为1123xx−−

可得参数a的值，则不等式303xax−−也具体化了，按分式不等式解之即可.【详解】由不等式2510axx++的解集为1123xx−−，可知方程251=0axx++有两根121123xx=−=−，，故6a=，则不等式303xax−−即3603

xx−−等价于3(2)(3)0xx−−，不等式3(2)(3)0xx−−的解集为23xx，则不等式303xax−−的解集为23xx，故答案为：23xx.【例3】（2022·吉林·长春市第

二中学高二期末）不等式20axbxc++的解集为()2,4−，则不等式0axcbxc+−的解集为______．【答案】()),48,−+【解析】【分析】根据20axbxc++的解集求出abc、、的关系，再化简不等式0axcbxc+−，求出它的解

集即可．【详解】解：因为20axbxc++的解集为()2,4−，则0a，且对应方程的根为-2和4，所以242ba−=−+=，248ca=−=−，且0a，不等式0axcbxc+−可化为8028axaaxa−−+,则8028xx−−+，即804xx−−，解得4x或8x．故

答案为()),48,−+．【例4】（2022·河北省博野中学高一阶段练习）不等式21131xx−+的解集是____________.【答案】1{2}3xx−−∣##123−−，【解析】【分析】根据题意将21131xx−

+化为2031xx++，利用分式不等式的解法解分式不等式即可.【详解】21131xx−+可化为211031xx−−+，2031xx++，等价于()()2310xx++，解得123x−−，所以不等式2

1131xx−+的解集是1{2}3xx−−∣，故答案为：1{2}3xx−−∣.【例5】（2022·黑龙江·大庆实验中学高二期末）不等式102xx−+的解集是A，关于x的不等式22450xmxm−−的解集是B.

(1)若1m=时，求AB；(2)设命题p：实数x满足22430xaxa−+，其中0a；命题q：实数x满足2260280xxxx−−+−.若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.【答案】(1)

{|11}xx−;(2){|12}aa.【解析】【分析】（1）1m=时，求出集合A，B，由此能求出AB．（2）利用不等式的解法求解出命题p，q中的不等式范围问题，结合二者的关系得出关于字母a的不等式，从而求解出a的取值范围．（1）

解：不等式102xx−+的解集为A，关于x的不等式22450xmxm−−的解集为B1{|0}{{|21}2xAxxxx−===−+，1m=时，2{|450}{|15}Bxxxxx=−−=−，{|11}ABxx=−．（2）解：当0a时，22430xaxa−+的解集为(,3

)Aaa=；若p是q的必要不充分条件，(2，3]AÜ，则21233aaa；故a的取值范围是{|12}aa．【题型专练】1.（2022·内蒙古·满洲里市第一中学高二期末（理））“1x”是“11x”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．

充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】首先解分式不等式，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】解：因为11x，所以10xx−，(1)0xx−，(1)0xx−，0x或1x，当1x时，0

x或1x一定成立，所以“1x”是“11x”的充分条件；当0x或1x时，1x不一定成立，所以“1x”是“11x”的不必要条件.所以“1x”是“11x”的充分不必要条件.故选：A2.（2022·陕西·宝鸡市金台区教育体育局教研室高二期末（文））设集合4{|0}2xAxZx−=

+，2{|760}BxZxx=−+，则AB=（）A．2B．2,3C．3,4D．2,3,4【答案】B【分析】首先解分式不等式与一元二次不等式求出集合A、B，再根据交集的定义计算可得.【详解】解：由402xx−+，即()()420xx−+，解得24x−

，所以4|01,0,1,2,32xAxZx−==−+，由2760xx−+，即()()610xx−−，解得16x，所以2{|760}2,3,4,5BxZxx=−+=，所以2,3AB=.故选：B3.（2022·四川凉山·

高一期末（理））不等式301xx−+的解集是（）A．()(),13,−−+B．()1,3−C．()(),31,−−+D．()3,1−【答案】B【分析】利用分式不等式的解法法则即可求解.【详解】由301xx−+，得()()310xx−+，解得13x-<<，

所以不等式301xx−+的解集为()1,3−.故选：B.4.（2022·四川成都·高一期末）不等式01xx−−的解集为（）A．()1,0−B．()0,1C．()(),10,−−+D．()(),01,−

+【答案】D【分析】根据分式不等式的解法，即可得答案.【详解】由题意得01xx−−，等价于(1)0xx−−，即(1)0xx−，所以解集为()(),01,−+.故选：D5.（2022·山东济宁·高二期末）设xR，则“50

2xx−+”是“21x−”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】B【分析】首先解分式不等式与绝对值不等式，再根据集合的包含关系判断即可；【详解】解：由502xx−+，即()(

)520xx−+，解得25x−，由21x−，即121x−−，解得13x，因为()1,3()2,5−，所以“502xx−+”是“21x−”的必要不充分条件；故选：B6.（2022·全国·高一期末）不等式11x的解集

为______．【答案】0xx或1x【解析】【分析】将分式不等式变形转化为二次不等式求解即可.【详解】()111110010xxxxxx−−−，解得不等式解集为0xx或1x故答案为：0xx或1

x.7.（2022·上海师大附中高一期中）不等式23135+−xx的解集是_________【答案】30,5##305xx【解析】【分析】原不等式转化为()()2335

035xxx+−−−，即()7350xx−，进而可解得结果.【详解】23135+−xx等价于()()2335035xxx+−−−，即7035xx−，等价于()7350xx−，解得305x.故答案为：30,5.题型六：实际问题中的一元二次不等式问题【例1】（20

21·山东·枣庄市第三中学高一阶段练习）某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x（件）与单价P（元）之间的关系为P=160-2x，生产x件所需成本为C（元），其中C=500+30x，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x的取值范围是（）A．20≤x≤30，x∈N*B．2

0≤x≤45，x∈N*C．15≤x≤30，x∈N*D．15≤x≤45，x∈N*【答案】B【分析】利用关于x的函数表示每天的获利，然后令获利≥1300，求得x的取值范围即可.【详解】由题意知每天的获利为Px-C=（160-2x）x-（500+30x）=-2x2+1

30x-500，令-2x2+130x-500≥1300，解得20≤x≤45，x∈N*，故选：B【例2】（2020·上海·华东师范大学附属周浦中学高一阶段练习）要在长为800m，宽为600m的一块长方形地面上进行绿化，要求四周种花卉（花卉的宽度相同），中间种草皮.要求草皮的面积不少于总面积的一半，则

花卉宽度的范围是___________.【答案】(0,100]【分析】设花卉宽度为mx，求出草皮面积，解不等式即可得，注意未知数的实际意义．【详解】设花卉宽度为mx，显然300x，则草皮面积为(8002)(6002)Sxx=−−，由1(8002)(6002)8006002x

x−−，(100)(600)0xx−−，又0300x，故解得0100x．故答案为：(0,100]．【例3】（2022·安徽·合肥市第十中学高一期中）经过长期观测得到：在某地交通繁忙时段内，公路段汽车的车流量y(单位：千辆/h

)与汽车的平均速度v(单位：km/h)之间的函数解析式为：2910(0)111600vyvvv=++(1)若要求在该时间段内车流量超过9.1千辆/h，则汽车的平均速度应在什么范围内？(2)该时段内当

汽车的平均速度v为多少时车流量最大？最大车流量为多少？【答案】(1)大于25km/h且小于64km/h(2)40km/h；10千辆/h．【解析】【分析】（1）由已知解不等式29109.1111600vvv++可得；（2）由基本不等式可得结论．(1)由已

知29109.1111600vvv++，整理得28916000vv−+，解得2564v，所以若要求在该时间段内车流量超过9.1千辆/h，则汽车的平均速度应大于25km/h且小于64km/h；(2)由题意910910101600112160011()yvv==++

+，当且仅当1600vv=，即40v=时，等号成立．所以当汽车的平均速度是40km/h时，轩流量最大，最大车流量是10千辆/h．【例4】（2021·河南·新蔡县第一高级中学高一阶段练习）某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为40

元/个，出厂价为60元/个，日销售量为1000个，为适应市场需求，计划提高蛋糕档次，适度增加成本．若每个蛋糕成本增加的百分率为x(0＜x＜1)，则每个蛋糕的出厂价相应提高的百分率为0.5x，同时预计日销售量增加的百分率为0.8x，（1）为使日利润有所增加，求x的取

值范围；（2）当每个蛋糕成本增加的百分率为多少时，日利润最大，并求出最大日利润.【答案】（1）30,4；（2）当38x=，最大日利润是21125元.【分析】（1）先求得日利润为y()()22000431001xxx=−++，根据日利润有所增加，

由()604010000y−−求解；（2）根据（1）的日利润函数，利用二次函数的性质求解.【详解】（1）由题意得：日利润为：()()()6010.5401100010.8yxxx=+−++，()()2200043

1001xxx=−++，若日利润有所增加，则()604010000y−−，即2430xx−+，解得304x，所以x的取值范围是30,4；（2）由（1）知日利润为()2231692000431020004816yxxx

=−++=−−+，238000211258x=−−+，当38x=时，日利润最大，最大日利润是21125元.【例5】（2022·贵州黔东南·高一期末）黔东南某地有一座水库，设计最大容量为128000m3．根据预测，汛期时水库的进水量

nS（单位：m3）与天数()*nnN的关系是5000()(10)nSnntn=+，水库原有水量为80000m3，若水闸开闸泄水，则每天可泄水4000m3；水库水量差最大容量23000m3时系统就会自动报警提醒，水库水量超过最大容量时，堤坝就会发生危险；如果汛期来临水库不

泄洪，1天后就会出现系统自动报警．(1)求t的值；(2)当汛期来临第一天，水库就开始泄洪，估计汛期将持续10天，问：此期间堤坝会发生危险吗？请说明理由．【答案】(1)24t=(2)汛期的第9天会有危险，理由见解析【解析】【分析】（1）根据条件可建立方程1280008000050001(1)

23000t−−+=，解出即可；（2）设第n天发生危险，由题意得5000(24)400012800080000nnn+−−，解出此不等式，然后可得答案.(1)由题意得：1280008000050001(1)23000t−−+=，即24t=(2)由（1）得5000(24)(10)nSnn

n=+设第n天发生危险，由题意得5000(24)400012800080000nnn+−−，即2242560nn+−，得8n．所以汛期的第9天会有危险【题型专练】1.（2021·广东·化州市第三中学高一阶段练习）经观测，某公路段

在某时段内的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度v（千米/小时）之间有函数关系：()2920031600=++vyvvv．(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？最大车流量为多少？（精

确到0.01）(2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？【答案】(1)当40v=（千米/小时）时，车流量最大，最大值约为11.08千辆/小时；(2)汽车的平均速度应控制在

25,64这个范围内（单位：千米/小时）.【分析】（1）利用基本不等式可求得y的最大值，及其对应的v值，即可得出结论；（2）解不等式29201031600vvv++即可得解.(1)解：0v，292092

092092011.08160031600831600323vyvvvvvv===+++++（千辆/小时），当且仅当1600vv=时，即当40v=（千米/小时）时，车流量最大，最大值约为11.08千辆/小时.(2)解：据题意有29201031600vvv++，即2

8916000vv−+，即()()25640vv−−，解得2564v，所以汽车的平均速度应控制在25,64这个范围内（单位：千米/小时）.2.（2022·上海·高三专题练习）考虑到高速公路行车安全需要，一般要求高速公路的车速v（公里/小时）控制在

60,120范围内.已知汽车以v公里/小时的速度在高速公路上匀速行驶时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为145005vkv−+升，其中k为常数，不同型号汽车k值不同，且满足60120k.(1)若某型号汽车以1

20公里/小时的速度行驶时，每小时的油耗为11.5升，欲使这种型号的汽车每小时的油耗不超过9升，求车速v的取值范围；(2)求不同型号汽车行驶100千米的油耗的最小值.【答案】(1)60,100；(2)当75120k时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为220900k−升；当6075

k时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为10546k−升.【分析】（1）根据题意，可知当120v=时，求出k的值，结合条件得出1450010095vv−+，再结合60120v，即可得出车速v的取值范围；（2）设该

汽车行驶100千米的油耗为y升，得出关于y与v的函数关系式，通过换元令1tv=，则11,12060t，得出y与t的二次函数，再根据二次函数的图象和性质求出y的最小值，即可得出不同型号汽车行驶100千米的油耗的最小值

.(1)解：由题意可知，当120v=时，1450011.55vkv−+=，解得：100=k，由1450010095vv−+，即214545000vv−+，解得：45100v，因为要

求高速公路的车速v（公里/小时）控制在60,120范围内，即60120v，所以60100v，故汽车每小时的油耗不超过9升，求车速v的取值范围60,100.(2)解：设该汽车行驶100千米的油耗为y升，则()21001450020900002060

1205kyvkvvvvv=−+=−+，令1tv=，则11,12060t，所以22290000202090000209000900kkytktt=−+=−+−，11,12060t，可得对称轴为90

00kt=，由60120k，可得11,900015075k，当11120900075k时，即75120k时，则当9000kt=时，2min20900yk=−；当11150900

0120k，即6075k时，则当1120t=时，2min1110590000202012012046kyk=−+=−；综上所述，当75120k时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为220900k−升；当6075k

时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为10546k−升.3.（2022·广西钦州·高一期末）1.汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故产生原因的一个重要因素．在一个限速为40km/h的弯道上，现

场勘查测得一辆事故汽车的刹车距离略超过10米．已知这种型号的汽车的刹车距离s（单位：m）与车速x（单位：km/h）之间满足关系式2saxbx=+，其中ab，为常数．试验测得如下数据：车速xkm/h20100刹车距离sm355(1)求ab，的值；(2)请你判断这辆事

故汽车是否超速，并说明理由．【答案】(1)1200120ab==(2)超速，理由见解析【分析】（1）将表格中的数据代入函数的解析式建立方程组即可求得答案；（2）根据（1）建立不等式，进而解出不等式，最后判断答案.(1)由题意得4002

031000010055abab+=+=，解得1200120ab==.(2)由题意知，2111020020xx+，解得40x或50x−（舍去）所以该车超速．4.（2021·江苏·南京市第二十九中

学高一期中）1.通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场.2021年，该种玻璃售价为25欧元/平方米，销售量为80万平方米，销售收入为2000万欧元.(1)据市场调查，若售价每提高1欧元/平方米，则销售量将减少2万平方米；要

使销售收入不低于2000万欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米？(2)为提高年销售量，增加市场份额，公司将在2022年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提高价格到m欧元/平方米（其中25m），其中投入()256003m−万欧元作为技术创新费用，投入500万欧元作为固定宣传

费用，投入2m万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量n（单位/万平方米）至少达到多少时，才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与2022年投入之和？并求出此时的售价.【答案】(1)40(2)该种玻璃的销售量n至少达到102万平方米时，才可能使202

2年的销售收入不低于2021年销售收入与2022年投入之和，此时求出此时的售价为30欧元.【分析】（1）设出未知数，列不等式进行求解；（2）根据题意，得到n关于m的关系式，1500523nmm?+，利用基本不等式进行求解(1)设该种玻璃的售价提

高到x欧元/平方米()802252000xx−−解得：2540x所以该种玻璃的售价最多提高到40欧元/平方米(2)()25200050026003mnmm?++-整理得：25150023mnmm?+除以m得：1500523nmm?+由基本不等式得：150

051500522210233nmmmm?+匙+=，当且仅当150053mm=，即30m=时，等号成立，所以该种玻璃的销售量n至少达到102万平方米时，才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与2022年投入之和，此时求出此时的售价为30欧元/平方米.5.（2021·全国

·高一课时练习）为发展空间互联网，抢占6G技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入.据了解，该企业研发部原有100人，年人均投入a（0a）万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x名（x+N且4575x），调整后研发人员的年人

均投入增加4x%，技术人员的年人均投入为225xam−万元.(1)要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入，则调整后的技术人员最多有多少人？(2)是否存在实数m，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入

始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.【答案】(1)75人(2)存在，7【分析】（1）根据题意直接列出不等式可求解；（2）由条件可得2125xm+，100325xm

x++，分别利用函数单调性和基本不等式即可求解.(1)依题意可得调整后研发人员人数为100x−，年人均投入为()14%xa+万元，则()()10014%100xxaa−+，(0a)解得075x，又4575x，

x+N，所以调整后的技术人员的人数最多75人；(2)假设存在实数m满足条件.由技术人员年人均投入不减少有225xama−，解得2125xm+.由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有()()210014

%25xxxaxma−+−，两边同除以ax得1002112525xxmx−+−，整理得100325xmx++，故有2100132525xxmx+++，因为10010032372525xxxx+++=，当且仅当50x=时

等号成立，所以7m，又因为4575x，x+N，所以当75x=时，2+125x取得最大值7，所以7m，77m，即存在这样的m满足条件，其范围为7.6.（2021·吉林·长春市实验中学高一阶

段练习）某企业研发的一条生产线生产某种产品，据测算，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的关系式为24880005xyx=−+，已知此生产线年产量最大为220吨．（1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求出这个最低成本；（2）经过评估，企业定价每吨产品的出厂

价为40万元，且最大利润不超过1660万元，由该生产线年产量的最大值应为多少？【答案】（1）年产量为200（吨）时每吨平均成本最低，最低成本为32万元；（2）210吨．【分析】（1）平均成本等于总成本除以年产量，得到的式子符合乘积为定值，利用基本不等式求出最小值；（2）表示出利润得

到关于x的二次不等式，求出范围即可.注意实际问题下取值范围的限制.【详解】解∶（1）设每吨的平均成本为W，则W=80008000482483255yxxxxx=+−−=(0220)x当且仅当800

05xx=，即x=200（吨）时每吨平均成本最低，且最低成本为32万元．（2）由题意得，2401660440483000xyxx−−+，解得，x≥230或x≤210∵0<x≤220∴0<x≤210当最大利润不超过1660

万元时，年产量的最大值应为210吨．7.（2022·江苏·南京市第二十九中学高一期中）1.通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场.2021年，该种玻璃售价为25欧元/平方米，销售量为80万平方米，销售收入为2000

万欧元.(1)据市场调查，若售价每提高1欧元/平方米，则销售量将减少2万平方米；要使销售收入不低于2000万欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米？(2)为提高年销售量，增加市场份额，公司将在2022年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提高

价格到m欧元/平方米（其中25m），其中投入()256003m−万欧元作为技术创新费用，投入500万欧元作为固定宣传费用，投入2m万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量n（单位/万平方米）至少达到多少时

，才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与2022年投入之和？并求出此时的售价.【答案】(1)40(2)该种玻璃的销售量n至少达到102万平方米时，才可能使2022年的销售收入不低于2021年销

售收入与2022年投入之和，此时求出此时的售价为30欧元.【解析】【分析】（1）设出未知数，列不等式进行求解；（2）根据题意，得到n关于m的关系式，1500523nmm?+，利用基本不等式进行求解(1)设该种玻璃的售价提高到x欧元/平方米()8022

52000xx−−解得：2540x所以该种玻璃的售价最多提高到40欧元/平方米(2)()25200050026003mnmm?++-整理得：25150023mnmm?+除以m得：1500523nmm?+由基本不等式得：150051500522210233nmmmm?+匙+=，

当且仅当150053mm=，即30m=时，等号成立，所以该种玻璃的销售量n至少达到102万平方米时，才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与2022年投入之和，此时求出此时的售价为30欧元/平方米.