【文档说明】《【同步题型讲义】2023学年高一数学同步教学题型讲义（人教A版2019必修第一册）》第15讲 幂函数及其性质（解析版）.docx，共(17)页，1.084 MB，由envi的店铺上传

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第15讲幂函数及其性质【知识点梳理】（1）幂函数的定义一般地，()ayxaR=(a为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数.（2）幂函数的特征：同时满足一下三个条件

才是幂函数①ax的系数为1；②ax的底数是自变量；③指数为常数.（3）幂函数的图象和性质常见的幂函数图像及性质：函数yx=2yx=3yx=12yx=1yx−=图象定义域RRR{|0}xx{|0}xx值域R{|0}yyR{|0}yy{|0}yy奇偶性奇偶奇

非奇非偶奇单调性在R上单调递增在(0)−，上单调递减，在(0+)，上单调递增在R上单调递增在[0+)，上单调递增在(0)−，和(0+)，上单调递减公共点(11)，（4）幂函数的综合问题对幂函数性质的综合考查，主要体现为单调性、奇偶性，处理时要以常见的具体幂函数的

图象和性质1.幂函数的单调性在区间(0,)+上，当0时，yx=是增函数；当0时，yx=是减函数.2.幂函数的奇偶性令qp=（其中,pq互质，*,,1pqNp）.（1）若p为奇数，则qpyx=的奇偶性取决于q是奇数还是偶数.当q是奇数时，

qpyx=是奇函数；当q是偶数时，qpyx=是偶函数.（2）若p为偶数，则q必是奇数，此时qpyx=既不是奇函数，也不是偶函数.1.幂函数的凸性1.上凸函数、下凸函数的定义设函数(x)f在[,]ab上有定义，若对[,]ab中任意不同两点12121

2()(),,()22xxfxfxxxf++都成立，则称()fx在[,]ab上是上凸的函数，即上凸函数.设函数()fx在[,]ab上有定义，若对[,]ab中任意不同两点121212()(),,()22xxfxfxxxf++都成立，则称()fx在[,]ab上是下凸的函数，即下凸函数.这个定义

从几何形式上看就是：在函数()fx的图象上取任意两点，如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的上方，那么这个函数就是上凸函数；如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的下方，那么这个函数就是下凸函数.根据函数图象判断，一般开口向

下的二次函数是上凸函数，开口向上的二次函数是下凸函数.2.幂函数的凸性（1）幂函数,(0,)yxx=+，在1时，函数是下凸函数；（2）幂函数yx=，(0,)x+，在01时，函数是上凸函数；（3）幂函

数,(0,)yxx=+，在0时，函数是下凸函数.【典型例题】题型一幂函数的概念【例1】（2020·全国高一课时练习）在函数21yx=，22yx=，2yxx=+，1y=中，幂函数的个数为（）A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】）因为221yxx−==，所

以是幂函数；22yx=由于出现系数2，因此不是幂函数；2yxx=+是两项和的形式，不是幂函数；01yx==（0x），可以看出，常数函数1y=的图象比幂函数0yx=的图象多了一个点(0,1)，所以常数函数1y=不是幂

函数.故选：B.【例2】已知()21212223mymmxn−=+−+−是幂函数，求m、n的值．【答案】33,2mn=−=【解析】由幂函数的概念易得关于m、n的方程组．由题意得22221,10,23

0,mmmn+−=−−=解得3,3.2mn=−=33,2mn=−=即为所求．【题型专练】1．（2023·全国·高三专题练习）现有下列函数：①3yx=；②12xy=；③24yx=；④51yx=+；⑤(

)21yx=−；⑥yx=；⑦(1)xyaa=，其中幂函数的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】根据幂函数的定义逐个辨析即可【详解】幂函数满足ayx=形式，故3yx=，yx=满足条件，共2个故选：B2.（2022陕西高一期末）已知函数()()()2211nnf

xnnxnZ−+=−−为幂函数，则()2f=___.【答案】8【解析】由于函数()()()2211nnfxnnxnZ−+=−−为幂函数，则211nn−−=，即220nn−−=，nZ，解得1n=−或2，所以，()

3fxx=，因此，()3228f==.故答案为：8.3.（2021年广东潮州）已知y＝(m2＋2m－2)22mx−＋2n－3是幂函数，求m，n的值．【答案】见解析【解析】由题意得m2＋2m－2＝1，2n－3＝0，解得m＝－3，n

＝32或m＝1，n＝32.所以m＝－3或1，n＝32.题型二：幂函数的三要素【例1】（2021·陕西·西安市第三中学高一期中）幂函数ayx=中a的取值集合C是11,0,,1,2,32−的子集

，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C为（）A．11,0,2−B．1,1,22C．11,,32−D．1,1,2,32【答案】C【分析】分别求出各幂函数的定义域和值域，得到答案.【详解】当1a=−时，1yx−=定义域和值域均

为()(),00,−+U，符合题意；0a=时，0yx=定义域为()(),00,−+U，值域为1，故不合题意；12a=时，yx=定义域为)0,+，值域为)0,+，符合题意；1a=时，

yx=定义域与值域均为R，符合题意；2a=时，2yx=定义域为R，值域为)0,+，不符合题意；3a=时，3yx=定义域与值域均为R，符合题意.故选：C【例2】（2022·重庆南开中学高三阶段练习）已知幂

函数()22333mmymmx−−=−+的图象不过原点，则实数m的取值可以为（）A．5B．1C．2D．4【答案】BC【分析】由幂函数的系数为1，列方程求出实数m的值，并检验函数的图象是否过原点，得出答案．【详解】令2331mm−+=，解得1m=或2m=，当1m=时，3yx

−=图象不过原点，成立；当2m=时，1yx−=图象不过原点，成立；故选：BC【题型专练】1.（2022·河南·济源市基础教育教学研究室高二期末（文））若函数()fx是幂函数，满足(4)8(2)ff=，则1(1)3ff+=_________．【答

案】2827【分析】利用幂函数定义设()fxx=，由(4)8(2)ff=，求解3=，从而得()fx的解析式，即可求值.【详解】解：函数()fx是幂函数，设()fxx=，又(4)8(2)ff=，所以482=，即2322

+=，所以23=+，得3=所以3()fxx=，则331128(1)13327ff+=+=.故答案为：2827.2.（2022·全国·高一专题练习）已知幂函数()fx的图象经过点2

2,2，则()4f的值为___．【答案】12##0.5【分析】由幂函数所过的点求()fx解析式，进而求()4f的函数值.【详解】幂函数()afxx=过点22,2，()2222a

f==，解得12a=−，()12fxx−=，故()142f=.故答案为：123.设α∈11,132−，，，则使函数y＝xα的定义域为R的所有α的值为（）A．1,3B．－1,1C．－1,3D．－1,1,3【答案】A【解析】当1=−时，函

数y＝1x−的定义域为|0xx，不是R，所以1=−不成立；当12=时，函数y＝12x的定义域为|0xx，不是R，所以12=不成立；当1=或3=时，满足函数y＝xα的定义域为R，故选：A.题型三：幂函数的性质【例1】（2023·全国·高三专题）幂函数()()2231mm

fxmmx+−=−−在x（0，+∞）上是减函数，则m＝（）A．﹣1B．2C．﹣1或2D．1【答案】A【分析】根据幂函数的定义，令m2﹣m﹣1＝1，求出m的值，再判断m是否满足幂函数在x（0，+∞）上为减函数即可．【详解】∵幂函数()()2231mmf

xmmx+−=−−，∴m2﹣m﹣1＝1，解得m＝2，或m＝﹣1；又x（0，+∞）时f（x）为减函数，∴当m＝2时，m2+m﹣3＝3，幂函数为y＝x3，不满足题意；当m＝﹣1时，m2+m﹣3＝﹣3，幂函数为3yx−=，

满足题意；综上，1m=−．故选：A．【例2】（2022·山东德州·高二期末）幂函数2225()(5)mmfxmmx+−=+−在区间(0,)+上单调递增，则(3)f=（）A．27B．9C．19D．127【答案】A【分析】根据幂函数的概念及性质，求得实

数m的值，得到幂函数的解析式，即可求解.【详解】由题意，令251mm+−=，即260mm+−=，解得2m=或3m=−，当2m=时，可得函数3()fxx=，此时函数()fx在(0,)+上单调递增，符合题意；当3m=−时，可得2()fxx−

=，此时函数()fx在(0,)+上单调递减，不符合题意，即幂函数3()fxx=，则(3)27f=.故选：A.【例3】（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数()fx的图象经过点()9,3，则（）A．函数()fx为增函数B．函数()fx为偶函数

C．当4x时，()2fxD．当210xx时，()()121222fxfxxxf++【答案】ACD【分析】设幂函数()fx的解析式，代入点(9,3)，求得函数()fx的解析式，根据幂函数的单调性可判断A、C项，根据函数()fx的定义域可判断B项，结合函数()fx的解析

式，利用平方差证明不等式()()121222fxfxxxf++可判断D项.【详解】解：设幂函数()fxx=，则()993f==，解得12=，所以()12fxx=，所以()fx的定义域为)0,+，()fx在)0,+上

单调递增，故A正确，因为()fx的定义域不关于原点对称，所以函数()fx不是偶函数，故B错误，当4x时，()()12442fxf==，故C正确，当210xx时，()()22121212121212122222424fxfxx

xxxxxxxxxxxf+++−−++−=−==()21204xx−−，又()0fx，所以()()121222fxfxxxf++，D正确．故选：ACD.【例4】（2021·重庆巴蜀中学高一期

末）已知幂函数()()231mfxmmx=−−在其定义域内不单调，则实数m=（）A．23−B．1C．23D．1−【答案】A【解析】由幂函数定义，2311mm−−=，解得：23m=−或1m=，又()fx在定义域内不单调，所以23m=−，故选：A．【例5】（20

21·四川高一期末）若幂函数()()223,ppfxqxqRpZ−++=在()0,+上是增函数，且在定义域上是偶函数，则pq+=（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】因为()()223,ppfxqxqRpZ−++=是幂函数，所以1q=；又()()223ppf

xxpZ−++=在()0,+上是增函数，所以2230pp−++，解得13p−，因为pZ，所以0p=或1或2，当0p=时，()3fxx=，因为()()()33fxxxfx−=−=−=−，所以()3fx

x=是奇函数，不满足题意，舍去；当1p=时，()4fxx=，因为()()()44fxxxfx−=−==，所以()4fxx=是偶函数，满足题意；当2p=时，()3fxx=是奇函数，不满足题意，舍去；故1p=，所以2pq+=.故选：C.【题型专练】1．（2022·河南·高二期末（文

））若幂函数()()215mfxmmx−=+−在()0,+上单调递减，则m=（）A．3−或2B．2C．3−D．2−【答案】C【分析】根据幂函数的定义以及其在()0,+上单调递减，列出方程以及不等式，即可求得答案.【详解

】由题意可得25110mmm+−=−,解得3m=−,故:C.2．（2022·浙江·台州市书生中学高二学业考试）已知幂函数()()()224210,mmfxmx−+=−+在上单调递增，则m=（）A．0B．13−C．103−或D．106−或【答案】A【分析】由题意可

得2(1)1m−=且2420mm−+，从而可求出m的值【详解】因为幂函数()()()224210,mmfxmx−+=−+在上单调递增，所以2(1)1m−=且2420mm−+，解得0m=，故选：A3．（2022·全国·高一）已知幂函数()yfx=的图象过点22,4

，则下列关于()fx说法正确的是（）A．奇函数B．偶函数C．在(0,)+单调递减D．定义域为[0,)+【答案】C【分析】设幂函数的解析式，根据图象的点求得解析式，由其定义域可判断D,继而判断A,B,由其单调性判断C.【详解】设幂函数(),Ryfxx==，由题意得：2

32,42==−，故3231()yfxxx−===，定义域为(0,)+，故D错误；定义域不关于原点对称，()yfx=为非奇非偶函数，A，B错误；由于302−，故32()yfxx−==在在(0,)+单调递减，C正确，故选：C4.（

2022·全国·高一专题练习）已知幂函数()223()ppfxxpN−−=的图像关于y轴对称，且在()0+，上是减函数，实数a满足()()233133ppaa−+，则a的取值范围是_____．【答案】14a【分析】根据幂函数的性质求出p的值，根据幂函

数的单调性得到关于a的不等式解出即可.【详解】幂函数()()223*ppfxxpN−−=在()0+，上是减函数，2230pp−−，解得13p−，*pN，1p=或2．当1p=时，()4fx

x−=为偶函数满足条件，当2p=时，()3fxx−=为奇函数不满足条件，则不等式等价为233(1)(33)ppaa−+，即()11233(1)33aa−+，()13fxx=在R上为增函数，2133aa−+，解得：14a.故答案为：14a.5．（2022·辽宁丹东·高一期末

）写出一个具有性质①②③的函数()fx=______．①()fx定义域为0xx；②()fx在(),0−单调递增；③()()()fabfafb=．【答案】21x（答案不唯一）【分析】根据函数的定义域、单调性、运算求得符合题意的函数()fx.【详解】()21fxx=的定义域为

0xx，在区间(),0−递增，且()()()()222111fabfafbabab===，所以()21fxx=符合题意.故答案为：21x（答案不唯一）题型四：幂函数的图象【例1】（2022·全国·高一专题练习）幂函数abcdyxyxyxyx====，，，在第一象限的图像如图所示，则ab

cd，，，的大小关系是（）A．abcdB．dbcaC．dcbaD．bcda【答案】D【分析】根据幂函数的性质，在第一象限内，1x=的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，即可判断；【详解】根据幂函数的性质，在第一象限内，1x=的右侧部分的图像，图

像由下至上，幂指数增大，所以由图像得：bcda，故选：D【例2】（2021·北京八十中高三阶段练习）已知幂函数()fx的图象为曲线C，有下列四个性质：①()fx为偶函数；②曲线C不过原点O；③曲线C在第一象限呈上升趋势；④当1x时，()1fx.写出一个同时满足上述

四个性质中三个性质的一个函数()fx___________.【答案】()2fxx=【分析】根据幂函数的性质可得函数只能同时满足性质①③④，可取()2fxx=，证明即可.【详解】解：设幂函数的解析式为()fxx=，若曲线C不过原点O，则0，此时函数()fx在()0,+，故②

不成立，则当1x时，()()11fxf=，故③不成立，所以幂函数不能满足②性质，不妨取()2fxx=，函数()2fxx=为偶函数，曲线C在第一象限呈上升趋势，当1x时，()1fx，所以幂函数()2fxx=满足性质①③④.故答案

为：()2fxx=.（答案不唯一）【例3】（2022·全国·高一专题练习）如图所示是函数mnyx=(*Nmn、且互质)的图象，则（）A．mn、是奇数且1mnB．m是偶数，n是奇数，且1mnC．m是偶数，n是奇数，且1mnD．mn、是偶数，且1mn【答案】C【分析】根据幂函数的性质及图象

判断即可；【详解】解：函数=nmnmyxx=的图象关于y轴对称，故n为奇数，m为偶数，在第一象限内，函数是凸函数，故1mn，故选：C.【题型专练】1．（2022·全国·高一课时练习）图中1C，2C，3C分别为幂函数1yx=，2yx=，3yx=在第一象限内的图象，则1，2

，3依次可以是（）A．12，3，1−B．1−，3，12C．12，1−，3D．1−，12，3【答案】D【分析】根据幂函数的图象，结合幂函数的性质判断参数的大小关系，即可得答案.【详解】由题图知：10，201，31，所以1，2，3依次可

以是1−，12，3．故选：D2.（2021·上海高一期末）幂函数1yx−=，及直线,1,1yxyx===将直角坐标系第一象限分成八个“卦限：I,II,III,IV,V,VI,VII,VIII（如图所示），那么，而函数13yx−=的图象在第一象限中经过的“卦限”是（）A．IV,

VIIB．IV,VIIIC．III,VIIID．III,VII【答案】B【解析】对于幂函数13yx−=，因为103−，所以13yx−=在第一象限单调递减，根据幂函数的性质可知：在直线1x=的左侧，幂函数的指数越大越接近y轴，因为113−−，所以13yx−=的图象比1yx−=的图象更接近y轴，所

以进过第IV卦限，在直线1x=的右侧，幂函数的指数越小越接近x轴，因为1103−−，所以13yx−=的图象位于1yx−=和1y=之间，所以经过VIII卦限，所有函数13yx−=的图象在第一象限中经过的“卦限”是IV,VIII，故选：B3．（2021·上海高一期

末）在同一直角坐标系中，二次函数2yaxbx=+与幂函数(0)bayxx=图像的关系可能为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】对于A，二次函数2yaxbx=+开口向上，则0a，其对称轴bx02a=−，则0

ba，即幂函数(0)bayxx=为减函数，符合题意；对于B，二次函数2yaxbx=+开口向下，则0a，其对称轴bx02a=−，则0ba，即幂函数(0)bayxx=为减函数，不符合题意；对于C，二次函数2yaxbx=+开口向上，则0a，其对称轴12bxa=−=−，则2ba=，即幂

函数(0)bayxx=为增函数，且其增加的越来越快，不符合题意；对于D，二次函数2yaxbx=+开口向下，则0a，其对称轴122bxa=−−，则01ba，即幂函数(0)bayxx=为增函数，且其增加的越来

越慢快，不符合题意；故选：A题型五：幂函数的综合运用【例1】（2021·湖南高一月考）已知幂函数()()2144mfxmmx+=+−在区间()0,+?上单调递增.（1）求()fx的解析式；（2）用定义法证明函数()()()43mgxfxx+=+在区间()0,2上单调递减.【答案】（1）()2f

xx=；（2）证明见解析.【解析】（1）解：由题可知：2441+−=mm，解得1m=或5m=−.若1m=，则()2fxx=在区间()0,+?上单调递增，符合条件；若5m=−，则()4fxx−=在区间()0,+?上单调递减，不符合条件.故()2fxx=.（2）证明：由（1）可知，()2

16gxxx=+.任取1x，()20,2x，且12xx，则()()()()22121212121212161616gxgxxxxxxxxxxx−=+−−=−+−.因为1202xx，所以12

0xx−，124xx+，12164xx，所以()()121212160xxxxxx−+−，即()()12gxgx，故()gx在区间()0,2上单调递减.【例2】（2022上海市大同中学高一期中）已知幂函数()yfx

=经过点14,8．(1)求此幂函数的表达式和定义域；(2)若()()232fafa+−，求实数a的取值范围．【答案】(1)()31fxx=，定义域为()0,+；(2)13,32.【分析】（1）设()mfxx=，由()148f=，求出

m的值，可得出函数()fx的解析式，进一步可求得该函数的定义域；（2）分析可知函数()fx是定义在()0,+上的减函数，根据所求不等式可得出关于实数a的不等式组，由此可解得实数a的取值范围.(1)解：设()mfxx=，则()2

14428mmf===，可得23m=−，解得32m=−，所以，()3231fxxx−==，由30x可得0x，所以，函数()fx的定义域为()0,+.(2)解：由幂函数的性质可知，函数()fx的定义域为()0,+，且在定义域上为减函数，由()

()232fafa+−可得232320aaa+−−，可得1332a.【题型专练】1．（2021·福建仙游一中高一开学考试）若幂函数221()(22)mfxmmx+=+−在其定义域上是增函数.（1）求()fx的解析式；（2）

若2(2)(4)fafa−−，求a的取值范围.【答案】（1）3()fxx=；（2）2aa或3a−.【解析】（1）因为221()(22)mfxmmx+=+−是幂函数，所以2221mm+−=，解得32m=−或1m=，

又()fx是增函数，210m+即12m−，1m=，则3()fxx=；（2）因为()fx为增函数，所以由2(2)(4)fafa−−可得224aa−−，解得2a或3a−a的取值范围是2aa或3a−.2．（2021·平罗中学高一期末）已知幂函数()(

)22122mfxmmx+=+−在()0,+上是增函数（1）求()fx的解析式（2）若(2)(1)fafa−−，求a的取值范围.【答案】（1）3()fxx=，（2）3,22【解析】（1）因为221()(22)mfxmmx+=+−是幂函数，所以2221

mm+−=，解得32m=−或1m=因为()fx在(0,)+上是增函数，所以210m+，解得12m−，则1m=，故3()fxx=（2）因为()fx为R上的增函数，因为(2)(1)fafa−−所以201021aaaa−

−−−……，解得：322a„，故a的取值范围是3,22．3．（2021·湖南高一月考）已知幂函数()()225222kkfxmmx−=−+（kZ）是偶函数，且在()0,+上单调递增．（1）求函数()fx的解析式；（2）若()()21

2fxfx−−，求x的取值范围；（3）若实数a，b（a，b+R）满足237abm+=，求3211ab+++的最小值．【答案】（1）()2fxx=；（2）()1,1−；（3）2．【解析】（1）．2221mm−+=，1m=2520kk−，

502k（kZ）即1k=或2()fx在()0+，上单调递增，()fx为偶函数2k=即()2fxx=（2）()()()()212212fxfxfxfx−−−−212xx−−，22(21)(2)xx−−，21x，∴()1,1x−（3）由题可知237ab+=，()()()()

11213112164abab+++++=+=()()()1132323111112211641141314abbaababab+++++=++=+++=++++++，当且仅当()3112314131baaba

b++==+++，即2a=，1b=时等号成立．所以3211ab+++的最小值是2．