【文档说明】《【同步题型讲义】2023学年高一数学同步教学题型讲义（人教A版2019必修第一册）》第10讲 二次函数与一元二次方程、不等式 （原卷版）.docx，共(17)页，556.911 KB，由envi的店铺上传

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第10讲二次函数与一元二次方程、不等式【知识点梳理】知识点一一元二次不等式的概念一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如20(0)axbxc++或20(0)a

xbxc++(其中a，b，c均为常数，)0a的不等式都是一元二次不等式．知识点二二次函数的零点一般地，对于二次函数2yaxbxc=++，我们把使20axbxc++=的实数x叫做二次函数2yaxbxc=++的零点.知识点三一元二次不等式的解集的概念使一元

二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集．知识点四二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系对于一元二次方程20(0)axbxca++=的两根为12xx、且12xx，设acb42−=，它的解按照0

，0=，0可分三种情况，相应地，二次函数2yaxbxc=++(0)a的图像与x轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20axbxc++(0)a或20axbxc++(0)a的解集.24bac=−00=0二次函数cbxaxy++=2（0

a）的图象20(0)axbxca++=的根有两相异实根)(,2121xxxx有两相等实根abxx221−==无实根的解集)0(02++acbxax21xxxxx或−abxx2R的解集)0(02++acbxax21xxxx知识点诠释：

（1）一元二次方程20(0)axbxca++=的两根12xx、是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线=ycbxax++2与x轴的交点的横坐标；（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的

形式，然后讨论解决；（3）解集分0,0,0=三种情况，得到一元二次不等式20axbxc++与20axbxc++的解集.知识点五利用不等式解决实际问题的一般步骤(1)选取合适的字母表示题中的未知数；(2)由题中给出

的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)；(3)求解所列出的不等式(组)；(4)结合题目的实际意义确定答案．知识点六一元二次不等式恒成立问题(1)转化为一元二次不等式解集为R的情况，即20(0)axbxca++恒成立00a恒成立20(0)axbxca++00.a

(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题.知识点七简单的分式不等式的解法系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间”，或者利用数轴标根法【典型例题】题型一：解不含参数的一元二次不等式【例1】（2022·浙江·高一阶段练习）

不等式()()220xx+−的解集是（）A．{2}xx∣B．{2}xx−∣C．{2∣−xx或2}xD．{22}xx−∣【例2】（2022·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预测）记集合24Mxx=，

240Nxxx=−，则MN=（）A．24xxB．0xx或2x−C．02xxD．24xx−【例3】（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）设xR，则“12x”是“2230xx−−”的（）A．充分而不

必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【例4】（2022·广东·新会陈经纶中学高一期中）不等式2230xx−+−的解集是（）A．RB．C．{|3xx−或1}x−D．{|31}xx−−【例5】（2022·安徽省利辛县第一中学高一阶段练习）不等

式22150xx−++的解集为（）A．532xx−B．52xx−或3xC．532xx−D．3xx−或52x【题型专练】1.（2022·全国·高一单元测试）设集合32Axx=−Z，2340Bxxx=+−

，则AB=（）A．1,0−B．2,1,0−−C．32xx−D．21xx−2.（2022·新疆喀什·高一期末）解下列不等式：(1)2430xx++；(2)294604xx−+−.3．（

2022·四川眉山·高一期末（理））不等式2340xx−−的解集为（）A．(,1)(4,)−−+UB．（－4，1）C．（－1，4）D．(,4)(1,)−−+U4．（2022·贵州·高二学业考试）不等式240x

−的解集是（）A．(,5)−−B．)5,2−−C．22−,D．()2,+5.（2022·北京·东直门中学高二阶段练习）不等式2210xx+−的解集是（）A．()1,1,2−−+B．()1,+C．()1,1,2−−+D．1,12−6.

（2022·全国·高一多选）下列不等式的解集为R的有（）A．x2＋x＋1≥0B．x2－25x＋5>0C．x2＋6x＋10>0D．2x2－3x＋4<1题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇【例1】（2022·四川甘孜·高一期末）若不等式220axbx+−的解集为{21}x

x−∣，则ab+=（）A．2−B．0C．1D．2【例2】（2022·四川省高县中学校高一阶段练习（理））已知关于x的不等式22430(0)xaxaa−+的解集为()12,xx，则1212axxxx++的最小值是（）A．63B．233−C．433D．433−【例3】（2022·全国·高一专题

练习）若不等式220axxc++的解集是11,,32−−+，则不等式220cxxa−+的解集是（）A．11,23−B．11,32−C．2,3−D．[]3,2-【例

4】（2023·全国·高三专题练习）已知函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），则实数c的值为（）A．4B．3C．9D．94

【题型专练】1.（2022·四川·射洪中学高一阶段练习）已知不等式20xxa−+的解集为23xx−，则=a（）A．6−B．16−C．6D．162.（2022·湖南·怀化五中高一期中）若关于x的

不等式28210mxmx++的解集为71xx−−，则实数m的值为______.3.（2021·安徽省定远中学高一阶段练习）已知关于x的不等式20axbxc++的解集为()2,4−，则不等式20cxbxa−+的解集是（）A．12xx−∣或14x

B．1142xx−∣C．14xx−∣或12xD．1124xx−∣4.（2022·内蒙古赤峰·高一期末（文））二次不等式20axbxc++的解集是()2,3，则cb的值为（）A．65B．65−C．56D．56−5.（2022·黑龙江·大庆

中学高二期末）若不等式220axbx++的解集是1123xx−，则0axb+的解集为（）A．1,6−−B．1,6−C．1,6−+D．1,6+

6.（2022·浙江·金华市曙光学校高一阶段练习）已知不等式210axbx−−的解集是11|23−−xx，则不等式20xbxa−−的解集是________.题型三：含有参数的一元二次不等式的解法【例1】（2

023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式()2220xmxm−++的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围为（）A．(6,7B．)3,2−−C．)(3,26,7−−D．3,7−【例2】（2022·广东·梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）解关于x的不等式2220axxa+

−+【例3】（2022·河南·华中师范大学附属息县高级中学高二阶段练习（文））已知条件p：2780xx−−，条件q：22210xxm−+−≤（其中0m），若p是q的必要而不充分条件，则实数m的取值范围为（）A．()0,8B．(

)0,+C．()0,2D．28,【例4】（2022·湖南·新邵县第二中学高一开学考试）设2(1)2yaxaxa=+−+−.(1)若不等式2y−对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；(2)解关于x的不

等式2(1)21(R)axaxaaa+−+−−.【例5】（2023·全国·高三专题练习）解关于x的不等式()222Raxxaxa−−．【例6】（2022·全国·高一课时练习）解关于x的不等式：220axx

a−+.【题型专练】1.（2022·黑龙江·铁人中学高二期末）若关于x的不等式()2330xmxm−++的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为（）A．(6,7B．)1,0−C．)(1,06,7−D．1,7−2.（2022·陕西·长安一中高一期

中）已知关于x的不等式()()230abxab+−+的解集为34xx−．(1)写出a和b满足的关系；(2)解关于x的不等式()()()222120abxabxa−−−−++．3.（2022·贵州·遵义航天高级中学

高一阶段练习）设函数()()211fxaxax=−++.(1)若2a=，解不等式0y；(2)若0a，解关于x的不等式0y4.（2022·陕西·西安高新第三中学高一期中）已知函数2(2)()yaxaxa=+−R.(1)若关于x的

不等式yb的解集为14xx−，求,ab的值；(2)若2a−，解关于x的不等式2y.5.（2022·北京市第五中学高一阶段练习）求关于x的不等式()2325axxaxaR-+>-?的解集.题型四：不等式的恒成立问题【例1

】（2023·全国·高三专题练习）关于x的不等式210mxmxm−++恒成立，则m的取值范围为()A．(0,)+B．[0，)+C．(−，4)(03−，)+D．4(,)[03−−，)+【例2】（2022·全国·高一专题练习）若命题“2000R,(1)10axxx

+−+”的否定是真命题，则实数a的取值范围是（）A．1,3−B．()1,3−C．(),13,−−+D．()(),13,−−+【例3】（2021·新疆喀什·高一期中）若不等式222424mxmxxx+−+的解集为R，则实数m的取值范围是（）A．22m−B

．22m−C．2m−或2mD．2m【例4】（2022·江西师大附中高一期中）若不等式240axxa−+对任意2x恒成立，则实数a的取值范围是____________.【例5】（2022·四川南充·

高一期末（理））不等式()()2242120axax−+−−的解集为R，则实数a的取值范围是（）A．)1,2−B．(1,2−C．()2,1−D．1,2−【例6】（2022·福建省华安县第一中学

高二期末）下列条件中，为“关于x的不等式210mxmx−+对Rx恒成立”的充分不必要条件的有（）A．04mB．02mC．14mD．16m−【例7】（2023·全国·高三专题练习）已知a＞b，关于x的不等式220axxb++

对于一切实数x恒成立，又存在实数0x，使得20020axxb++=成立，则22abab+−最小值为_________．【题型专练】1.（2023·全国·高三专题练习多选题）“关于x的不等式220xaxa−+对Rx恒成立”的一个必要不充分条件是（）A．01aB．

01aC．103aD．0a2.（2022·江苏·高一专题练习）若关于x的不等式29(2)04axax−++有解，则实数a的取值范围是____________．3.（2022·湖北·黄石市有色第一中学高一

期中）关于x的不等式2244xxaa−+在16x剟内有解，则a的取值范围为________．4.（2022·河南濮阳·高一期末（理））已知命题“Rx，214(2)04xax+−+”是假命题，则实数a的取值范围为（）A．(),0

4,−+UB．0,4C．)4,+D．()0,45.（2022·江苏省天一中学高一期中）已知关于x的不等式2243xxaa−+−在R上有解，则实数a的取值范围是__________．6.（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高一

阶段练习）若对任意Rx，2222224xaxbxcxx+++−+恒成立，则ab的最大值为_________．7.（2022·湖南·高一课时练习）设二次函数234ykxkx=−+．（1）若方程0y=有实根

，则实数k的取值范围是______；（2）若不等式0y的解集为，则实数k的取值范围是______；（3）若不等式0y的解集为R，则实数k的取值范围是______．8.（2022·江苏·高一）命题“23,208xRk

xkx+−”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．()30−，B．(30−，C．()31−−，D．()3−+，9.（2022·全国·高一专题练习）已知二次函数222yxax=++.若15x≤≤时，不等式3yax恒成立，求实数a的取值范围.题型五：一次分式不等式的解法分式不等式转化

为整式不等式（1）()()00cxdaxbcxdaxb++++（2）()()00cxdaxbcxdaxb++++（3）()()00cxdaxbcxdaxb++++且0axb+（4）()()00cxd

axbcxdaxb++++且0axb+【例1】（2022·江苏·苏州中学高二期末）已知集合22|20,|01xAxxxBxx−=+−=+，则A∩B=（）A．{x|-2≤x<2}B．{x|-2≤x≤1}C．{x|-2≤x≤-1}D．{x|-2≤x<-1}【例2】

（2022·吉林延边·高一期末）若不等式2510axx++的解集为1123xx−−，则不等式303xax−−的解集为___________.【例3】（2022·吉林·长春市第二中学高二期末）不等

式20axbxc++的解集为()2,4−，则不等式0axcbxc+−的解集为______．【例4】（2022·河北省博野中学高一阶段练习）不等式21131xx−+的解集是____________.【例5】（2022·黑龙江·大庆实验中学高二期末）不等式102xx−+

的解集是A，关于x的不等式22450xmxm−−的解集是B.(1)若1m=时，求AB；(2)设命题p：实数x满足22430xaxa−+，其中0a；命题q：实数x满足2260280xxxx−−+−.若p是q的必要不充分条

件，求实数a的取值范围.【题型专练】1.（2022·内蒙古·满洲里市第一中学高二期末（理））“1x”是“11x”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2.（2022·陕西·宝鸡市

金台区教育体育局教研室高二期末（文））设集合4{|0}2xAxZx−=+，2{|760}BxZxx=−+，则AB=（）A．2B．2,3C．3,4D．2,3,43.（2022·四川凉山·高一期末（理））不等式301xx−+

的解集是（）A．()(),13,−−+B．()1,3−C．()(),31,−−+D．()3,1−4.（2022·四川成都·高一期末）不等式01xx−−的解集为（）A．()1,0−B．()0,1C．()(),10,−−+D．()(),01,−+5.（2022·

山东济宁·高二期末）设xR，则“502xx−+”是“21x−”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件6.（2022·全国·高一期末）不等式11x的解集为______．7.（2022·上

海师大附中高一期中）不等式23135+−xx的解集是_________题型六：实际问题中的一元二次不等式问题【例1】（2021·山东·枣庄市第三中学高一阶段练习）某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x（件）与单价P（元）之间的关系为P=160-2x，生产x件所需成本为C（元），其中

C=500+30x，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x的取值范围是（）A．20≤x≤30，x∈N*B．20≤x≤45，x∈N*C．15≤x≤30，x∈N*D．15≤x≤45，x∈N*【例2】（2020·上海·华东师范大学附属周浦中学高一阶段练习）要

在长为800m，宽为600m的一块长方形地面上进行绿化，要求四周种花卉（花卉的宽度相同），中间种草皮.要求草皮的面积不少于总面积的一半，则花卉宽度的范围是___________.【例3】（2022·安徽·合

肥市第十中学高一期中）经过长期观测得到：在某地交通繁忙时段内，公路段汽车的车流量y(单位：千辆/h)与汽车的平均速度v(单位：km/h)之间的函数解析式为：2910(0)111600vyvvv=++(1)若要求在该时间段内车流量超过9.1千

辆/h，则汽车的平均速度应在什么范围内？(2)该时段内当汽车的平均速度v为多少时车流量最大？最大车流量为多少？【例4】（2021·河南·新蔡县第一高级中学高一阶段练习）某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为40元/个，出厂价为60元/个，日销售量为1000个，

为适应市场需求，计划提高蛋糕档次，适度增加成本．若每个蛋糕成本增加的百分率为x(0＜x＜1)，则每个蛋糕的出厂价相应提高的百分率为0.5x，同时预计日销售量增加的百分率为0.8x，（1）为使日利润有所增加，求x的取值范

围；（2）当每个蛋糕成本增加的百分率为多少时，日利润最大，并求出最大日利润.【例5】（2022·贵州黔东南·高一期末）黔东南某地有一座水库，设计最大容量为128000m3．根据预测，汛期时水库的进水量nS（单位：m3）与天数()*nnN的关系是5000()(10)nSnntn=+，水库原

有水量为80000m3，若水闸开闸泄水，则每天可泄水4000m3；水库水量差最大容量23000m3时系统就会自动报警提醒，水库水量超过最大容量时，堤坝就会发生危险；如果汛期来临水库不泄洪，1天后就会出现系统自动报警．(1)求t的值；(2)当汛期来临第一天，水库就开始泄洪，估计汛期

将持续10天，问：此期间堤坝会发生危险吗？请说明理由．【题型专练】1.（2021·广东·化州市第三中学高一阶段练习）经观测，某公路段在某时段内的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度v（千米/小时）之间有函数关系：()292003

1600=++vyvvv．(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？最大车流量为多少？（精确到0.01）(2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？2.（2022·上

海·高三专题练习）考虑到高速公路行车安全需要，一般要求高速公路的车速v（公里/小时）控制在60,120范围内.已知汽车以v公里/小时的速度在高速公路上匀速行驶时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为145005vkv−+升，其中k为常数，不同型号汽车k值不同，且满足6012

0k.(1)若某型号汽车以120公里/小时的速度行驶时，每小时的油耗为11.5升，欲使这种型号的汽车每小时的油耗不超过9升，求车速v的取值范围；(2)求不同型号汽车行驶100千米的油耗的最小值.3.（2022·广西钦州·高一期末）1.汽车在行驶中，由于惯性的作用，

刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故产生原因的一个重要因素．在一个限速为40km/h的弯道上，现场勘查测得一辆事故汽车的刹车距离略超过10米．已知这种型号的汽车的刹车距

离s（单位：m）与车速x（单位：km/h）之间满足关系式2saxbx=+，其中ab，为常数．试验测得如下数据：车速xkm/h20100刹车距离sm355(1)求ab，的值；(2)请你判断这辆事故汽车是否超速，并说明理由．4.（2021·江苏·南京市第二十九中学高一期中）

1.通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场.2021年，该种玻璃售价为25欧元/平方米，销售量为80万平方米，销售收入为2000万欧元.(1)据市场调查，若售价每提高1欧元/平方米，则销售量将减少2万平方米；要使销售收入不低于2000万欧元，试问：该种玻璃的售价最

多提高到多少欧元/平方米？(2)为提高年销售量，增加市场份额，公司将在2022年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提高价格到m欧元/平方米（其中25m），其中投入()256003m−万欧元作为技

术创新费用，投入500万欧元作为固定宣传费用，投入2m万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量n（单位/万平方米）至少达到多少时，才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与2022年投入之和？并求出此时的售价.5.（2021·全国·高一

课时练习）为发展空间互联网，抢占6G技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入.据了解，该企业研发部原有100人，年人均投入a（0a）万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x名（x+N且4575x），调整后

研发人员的年人均投入增加4x%，技术人员的年人均投入为225xam−万元.(1)要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入，则调整后的技术人员最多有多少人？(2)是否存在实数m，同时满足

两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.6.（2021·吉林·长春市实验中学高一阶段练习）某企业研发的一条生产

线生产某种产品，据测算，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的关系式为24880005xyx=−+，已知此生产线年产量最大为220吨．（1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求出这个最低成本；（2）经过评估，企业定价每吨产品的出厂价为40万元，且最大利润不超过1660万元

，由该生产线年产量的最大值应为多少？7.（2022·江苏·南京市第二十九中学高一期中）1.通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场.2021年，该种玻璃售价为25欧元/平方米，销售量为80万平方米，销售收入为2

000万欧元.(1)据市场调查，若售价每提高1欧元/平方米，则销售量将减少2万平方米；要使销售收入不低于2000万欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米？(2)为提高年销售量，增加市场份额，公司将在2022年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提高价格到m

欧元/平方米（其中25m），其中投入()256003m−万欧元作为技术创新费用，投入500万欧元作为固定宣传费用，投入2m万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量n（单位/万平方米）至少达到多少时，才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售

收入与2022年投入之和？并求出此时的售价.