【文档说明】《【同步题型讲义】2023学年高一数学同步教学题型讲义（人教A版2019必修第一册）》第12讲 函数值域的六种常见求法（解析版）.docx，共(25)页，1.315 MB，由envi的店铺上传

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第12讲函数值域的六种常见求法题型一：直接法（直接利用不等式的性质，由定义域x的取值范围，推出y的取值范围）【例1】函数12−=xy的定义域是)5,2[)1,(−，求值域。【答案】()1,0,22−【详解】解法一：图象法

：由题意知函数12−=xy是由2yx=向右平移1个单位得到，画出函数图象易得值域为()1,0,22−解法二：直接利用不等式性质：因为125xx或，所以10114xx−−或，所以11101141xx−−或，所以2110

2121xx−−或【例2】函数216xy−=的值域是（A）[0,)+（B）[0,4]（C）[0,4)（D）(0,4)【答案】B【详解】因为20x，所以20x−，所以201616x−，所以20164x−【例3】（2022·全国·高三专题练习）函数()133xyxx+=−的值域

是（）A．()1,+B．()0,+C．()3,+D．()4,+【答案】A解：344133xyxx−+==+−−又3x403x−1y，所以函数()133xyxx+=−的值域为()1,+故选：A【例4】（2022·广东深圳·高一期末）

（多选）世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数yx=，x表示不超过x的最大整数，例如1.11=．已知()211xfxx−=+，()

(),32,x−−+，则函数()fx的值可能为（）A．0B．1C．2D．3【答案】BCD【分析】利用常数分离法知213211xxx−=−++，根据x的取值范围结合不等式的性质求出321x−+的取值范围，进而得到函数()fx的值.【详解】()21321

32111xxxxx+−−==−+++Q，()(),32,x−−+当2x时，13x+，113001131xx++，31221x−+，此时()fx的取值为1；当3x−时，12x+−，1133002121xx−−++，372212x−+，此时()f

x的取值为2，3．综上，函数()fx的值可能为1,2,3．故选：BCD．【例5】（2021·全国·高一课时练习）已知函数()fx的定义域为()1,+，值域为R，则（）A．函数()21fx+的定义域为RB．函数()211fx+−的值域为RC．函数()222fxx++的定义域和值域

都是RD．函数()()ffx的定义域和值域都是R【答案】B【分析】对于A选项：根据抽象函数的定义域令211x+，推出()21fx+的定义域判断正误；对于B选项：因为()fx的值域为R，所以()21fx+的值域为R，

进而推导出()211fx+−的值域，判断正误；对于C选项：令2221xx++，求出函数()222fxx++的定义域，即可判断正误；对于D选项：若函数()()ffx的值域为R，则()1fx，即可判断正误；【详解】对于A选项：令21

1x+，可得0x，所以函数()21fx+的定义域为0xx，故A选项错误；对于B选项：因为()fx的值域为R，211x+，所以()21fx+的值域为R，可得函数()211fx+−的值域为R，故B选项正确；对于C选项：令2221xx++，得1x−，所以函数()222fxx++

的定义域为1xx−，故C选项错误；对于D选项：若函数()()ffx的值域为R，则()1fx，此时无法判断其定义域是否为R，故D选项错误.故选：B【例6】（2021·全国·高一课时练习）[多选题]函数()fxx=的函数值表示不大于x的最大整数，当1722x−时

，下列函数时，其值域与()fx的值域相同的是（）A．yx=，1,0,1,2,3x−B．2yx=，113,0,,1,222x−C．1yx=，1111,1,,,234x−D．21yx=−，0,1,2,3,2x【答案

】ABD【分析】根据取整函数的概念，求得函数()fx的值域为1,0,1,2,3−，再分别求得选项中函数的值域，即可求解，得到答案．【详解】当1,02x−时，()1fx=−；当[0,1)x时，()0fx=；当[1,2

)x时，()1fx=；当[2,3)x时，()2fx=；当73,2x时，()3fx=．所以当17,22x−时，()fx的值域为{1,0,1,2,3}−．对于A选项，yx=，{1,0,1,2,3}x−，该函数的值域为

1,0,1,2,3−；对于B选项，2yx=，113,0,,1,222x−，该函数的值域为{1,0,1,2,3}−；对于C选项，1yx=，1111,1,,,234x−，该函数的值域为{1,1,2,3,4}−；对于D选项，

21yx=−，{0,1,2,3,2}x，该函数的值域为{1,0,1,2,3}−．故选：ABD．【题型专练】1.（2022·湖南·雅礼中学高一期中）函数211yx=+的值域是（）A．)1,+B．(0,1C．(,1−D．()0,+【答案】B因为211x+，所

以21011x+，因此，函数211yx=+的值域是(0,1.故选：B.2．（2021·全国·高一课时练习）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式

为223yx=−，值域为1,5−的“孪生函数”共有（）A．7个B．8个C．9个D．10个【答案】C【分析】根据孪生函数的定义，即函数的定义域不同而已，由2231x−=−得，1x=；由2235x−=，得2x=，分别写出函数的定义域即可．【详解】函数解析式为223yx=−，值域

为1,5−，由2231x−=−得，1x=；由2235x−=，得2x=，则定义域可以为1,2，1,2−，1,2−，1,2−−，1,1,2−，1,1,2−−，1,2,2−−，1,2,2−，1,1,2,2−−，因此“孪

生函数”共有9个．故选：C3．（2021·江苏·高一单元测试）下列函数中，值域是(0,)+的是（）A．221yxx=−+B．2((0,))1xyxx+=++C．2121yxx=++D．1|1|yx=+【答案】CD【分析】利用完全平方、常熟分离、绝对值的意义，即可得到

结果.【详解】对于A，2221(1)|1|0yxxxx=−+=−=−，值域为[0,)+，A不正确；对于B，21111xyxx+==+++，值域为(1,2)，B不正确；对于C，2211021(1)yxxx==+++，值域为(0,)+，C正确；对于D，10|1|yx=+，值

域为(0,)+，D正确.故选:CD.4．（2021·全国·高一专题练习）函数()(2102fxxx=+且)xN的值域是（）A．|1xxB．|1xxC．2,3D．2,5【答案】D【分析】根据函数性质及其定义域即可判断值域

.【详解】解：02x且xN，1x=或2x=.()12f=，()25f=故函数的值域为2,5．故选：D.5．（2021·全国·高一专题练习）函数1()1xfxx−=+（0x）的值域为（）A．(11)−，B．[11)−，C．(11]

−，D．[11]−，【答案】A【分析】先分离常数，再求出2201x−−+，从而得到21111x−−+即可得到答案.【详解】122()111xfxxx+−==−++，由于0x，∴11x+，2021x+，2201x−−+，于是2

1111x−−+，故函数()fx的值域为(11)−，.故选：A.题型二：配方法（一般适用求二次函数的值域，一般看开口方向和对称轴即可）【例1】已知2)(2−−=xxxf，定义域为[1，3]，求其值域。【答案】2,4−【详解】由题意知函数2)(2−−

=xxxf的开口向上，对称轴为12x=，所以2)(2−−=xxxf在31，上为单调递增函数，所以()()21min−==fxf，()()43max==fxf得值域为2,4−【例2】（2022·全国·高三专题练习）函数()2122fxxx=−+的值域为（）A．(0,1

B．10,2C．()0,1D．10,2【答案】A【详解】因为()2122fxxx=−+21(1)1x=−+，且2(1)11x−+，所以()(0,1]fx，即()2122fxxx=−+的值域为(0,1].故选：A【例3】（2

022·全国·高三专题练习）函数()224fxxx=−−+的值域是（）A．22−,B．1,2C．0,2D．2,2−【答案】C【详解】由240xx−+得240xx−，得04x

，设224(2)4txxx=−+=−−+，则04t，所以2[0,2]yt=−，即函数224yxx=−−+的值域是[0,2].故选：C【例4】已知函数13yxx=−++的最大值为M,最小值为m,则mM的值为_____

____.【答案】22【详解】函数定义域31xx−()()()2221313213=4+223yxxxxxxxx=−++=−+++−+−−+设222+4,23yuuxx==−−+，223uxx=−−+开口向下，对称轴为1u=−，当1u=−时，

()()2max12134u=−−−−+=，当31uu=−=或时min0u=所以22+448yu=，，所以2,22minmax==yy，所以22222mM==【例5】（2021·全国·高一单元测试）

函数()24fxaxxa=++的值域为)0,+，则实数a的可能取值是（）A．0B．1C．2D．3【答案】ABC【分析】根据各选项中a的取值，依次判断()fx的值域即可得到结果.【详解】对于A，当0a=时，()20fxx=，则()fx值域为)0,+，A正确；对于B，当1a

=时，()()2241230fxxxx=++=+−，则()fx值域为)0,+，B正确；对于C，当2a=时，()()22242210fxxxx=++=+，则()fx值域为)0,+，C正确；对于D

，当3a=时，()2225153433333fxxxx=++=++，则()fx值域为15,3+，D错误.故选：ABC.【例6】（2022·全国·高三专题练习）若函数234yxx=−

−的定义域为0,m，值域为25,44−−，则m的取值范围是（）A．(0,4]B．254,4C．3,32D．3,2+【答案】C【详解】223253424yxxx=−−=

−−，当32x=时，254y=−；当0x=或3时，4y=−.因此当332m时，函数234yxx=−−在区间0,m上的最小值为254−，最大值为4−，所以，实数m的取值范围是3,32.故选：C【例7】（2020·上海高三）对于函数2()fxaxbx=+,其中0b

,若()fx的定义域与值域相同,则非零实数a的值为______________.【答案】4−【详解】函数的定义域为02+bxax，即()0+baxx，若0a，则()xf的定义域为)+−−=,0,abD，但

()xf的值域)+,0A，估AD，不合题意若0a，对于正实数b，则()xf的定义域为−=abD，0，()xf的最大值为ababf−=−22，估函数值域−=abA2,0，由题意知abab

−=−2，由于0b，所以4−=a【例8】已知函数()22,fxxbxxR=++，若函数()()()gxffx=与()fx在xR时有相同的值域，则实数b的取值范围为【答案】42−bb或【详解】由于函数()22,fx

xbxxR=++，则当2bx−=时，()422minbxf−=，又函数()()()gxffx=与()fx在xR时有相同的值域，则函数()xg必须能够取到最小值，即2422bb−−，解得42−bb或【例9】已知2()22fxxx=−+，在21[,2]4mm−+上任取三个数a，b，c，

均存在以(),(),()fafbfc为三边的三角形，则m的取值范围为（）A．(0,1)B．2[0,)2C．2(0,]2D．2[,2]2【答案】A【详解】由于函数()222fxxx=−+的对称轴为1=x，因为1472147412222+−=++

−=+−mmmmm，则当1=x时，()1min=xf，又222131331211442444mmmmm−+−=−++=−+=−即22+−mm与对称轴的距离较远，所以当22+−=mmx时，()()()()22222max222

211fxmmmmmm=−+−−++=−++不妨设()()1==bfaf，()()1122++−=mmcf，由以(),(),()fafbfc为三边的三角形，由构成三角形的条件可得()111122++−+mm，解得10m【题型专练】1.（2022·全国·高三专题练习）函数2

23yxx=−++定义域和值域分别为M、N，则MN=（）A．[-1，3]B．[-1，4]C．[0，3]D．[0，2]【答案】D解:要使函数223yxx=−++有意义,则2230xx−++解得13x−，故1,3M=−；由2(1)4[0,2]yx=−−+，所以0

,2N=.故0,2MN=.则选:D2.(3)(6)(63)aaa−+−的最大值为_________.【答案】92【详解】解法一：均值不等式：()()3693622aaaa−++−+=解法二：二次函数思想：因为()()2,36318yuuaaaa==−

+=−−+，开口向下，对称轴为32a=−，当32a=−时，2max3381318224u=−−−−+=，所以yu=的最大值为819=423.（2022·全国·高三专题练习）若函数213()22fxxx=−+的定义域和值域

都是[1,]b，则b=（）A．1B．3C．3−D．1或3【答案】B因为函数213()22fxxx=−+21(1)12x=−+在[1,]b上为增函数，且定义域和值域都是[1,]b，所以min()(1)fxf=1=，2max13()()22fxfbbbb==−+=，解得3b=或

1b=（舍），故选：B4.（2022·全国·高三专题练习）已知函数()24fxxx=−在0,m上的值域为4,0−，则实数m的取值范围是（）A．(0,2B．2,4C．(0,4D．(,2−【答案】B函数()24fxxx=−在[0,2]上单调递减，在[2

,+∞)上单调递增，()()()01,24,40,4fffx==−=时()0,04fxx时()40fx−，函数()24fxxx=−的部分图象及在0,m上的的图象如图所示.所以为使函数()24fxxx=−在0,m上的值域为4,0−，实数m的取值范围是2,4，故选：B

.5.（2022·全国·高一课时练习）设2()23fxaxax=++的值域为)0,+，则实数a的值组成的集合是___________．【答案】)3,+【分析】根据值域为[0，＋∞)，分析可得，函数f(x)＝ax2＋2ax＋3开口向上，且最小值要小于等

于0，列出方程，即可得结果.【详解】因为函数223yaxax=++的值域为[0，＋∞)，设函数f(x)＝ax2＋2ax＋3，当0a=时，()3fx=显然不成立；当0a，二次函数开口向下，有最大值，值域不为[0，＋∞)，不成立；当0a，二次函数开口向上，要保证值域为[0，＋∞)

，则最小值要小于等于0204120aaa=−，解得a≥3.故答案为：[3，＋∞)6．（2021·重庆市璧山中学校高一阶段练习）定义运算abadbccd=−，若函数()123xfxxx−=−+，则()fx的最小值为（）A．3−B．7−

C．1D．3【答案】B【分析】根据定义写出函数解析式，配方即可得最小值.【详解】()()()()2212132432773xfxxxxxxxxx−==−++=+−=+−−−+.()27f−=−.故选：B7.（2021·全国·高一课

时练习）求函数111yxx=−++−的值域．【答案】[21,1]−【分析】首先求出函数的定义域，然后将函数平方，利用二次函数的性质即可求解．【详解】由1010xx−+，得11x−．∵111yxx=−++−，∴111

yxx+=−++，∴222(1)1211221yxxxx+=−+−++=+−．∵11x−，∴201x，∴222214x+−，即22(1)4y+．又∵10y+，∴212y+，∴211y−，∴函数的

值域为[21,1]−．题型三：换元法（适用于形如()(0)fxaxbcxdac=+++，以及()()cxbfxafy++=2）如：函数()(0)fxaxbcxdac=+++，可以令(0)tcxdt=+，得到2tdxc−=，函数()fxax=(0)bcxdac+++

可以化为2()atdytbc−=++(0t)，接下来求解关于t的二次函数的值域问题，求解过程中要注意t的取值范围的限制．【例1】.求函数()4231fxxx=+−的值域。【答案】)+−,1【详解】

设()02=ttx，则()231fttt=+−的对称轴为23−=t，所以()231fttt=+−在)+，0上单调递增，所以当0=t时，()1min−=tf，所以()4231fxxx=+−的值域为)+−,1【例2】求函数xxy41312−−−=的值域。【答案】

−213,【详解】设()0413=−ttx，则4132tx−=，函数可化为()221311320422tytttt−=−=−−+，对称轴为1−=t，所以函数在)+，0上单调递减，所以当0=t时，()213max=tf，所以原函数的值

域为−213,【例3】（2021·全国·高一课时练习）求函数22412yxx=+−的值域．【答案】1,42【分析】令212tx=−，换元可得211422ytt=−++（01t），转化为二次函数在给定区间的值域问题，利用二次函数的性质即

得解【详解】令212tx=−，则2212tx−=，由20x及2120x−，得2102x≤≤，所以01t，则2211144222tyttt−=+=−++（01t），为开口向下的二次函数，对称轴为4t=，

故在[0,1]t单调递增因此当0=t时，min12y=；当1t=时，max4y=故函数的值域为1,42．【例4】（2019·重庆·高一）函数()21222fxxxxx=−−++−的最大值为（）．A．2B．32C．52D．2【答案】B【分

析】先求解函数定义域，然后分析等式发现：()222222xxxx+−=+−，由此可通过换元法令2xxt+−=来构造二次函数求解最大值，注意取等号条件.【详解】因为202020xxxx−−，所以0,2x，即()fx定义域为0,2；设

2xxt+−=且22222txx=+−，又因为()22222222112,4txxx=+−=+−−+，所以2,2t，所以()()222132442tfxtt−=−+=−−+，当且仅当2t=时()fx有最大值32，当2t=时，22xx+−=

，所以1x=满足；故选B.【点睛】本题考查利用换元法求解函数的最值，难度一般.使用换元法后要注意到新函数定义域，同时要注意与用换元法求解函数解析式作对比.【题型专练】1.（重庆市巴蜀中学高一上期中）函数()231fxxx=−+，3,34x−的值域为()A．)2,0−B．(

)3,0−C．25,08−D．27,08−【答案】C【详解】设=+2,211tx，则12−=tx，函数可化为()22213232ytttt=−−=−−，对称轴为43=t，所以当43=t时

，函数825min−=y，当2=t时，()0max=tf，所以原函数的值域为25,08−2.（2022·全国·高一课时练习）函数()21fxxx=+−的值域是（）A．1,2−B．1,2+

C．(,1−D．)1,+【答案】C【分析】令21tx=+，转化为二次函数221(0)2ttyt−++=在定区间的值域，即得解【详解】由题意，函数的定义域为1[,)2−+令2121(0)2ttxxt−=+=

故2212+1()21(0)22tttfxxxytt−−+=+−=−=由于221(0)2ttyt−++=为开口向下的二次函数，对称轴为1t=故当1t=时，max1y=，无最小值故函数()21fxxx=+−的值域是(,1−故选：C3．（2021·江苏

·高一单元测试）若函数213xyx+=−的值域是A，函数21yxx=−−的值域是B，则AB=__________．【答案】()15,22,8+U【分析】先求出集合,AB,再求AB得解.【详解】由题得212(3)7722333xxyxxx+−+===+−−

−，所以函数的值域为{|2}Ayy=.对于函数21yxx=−−，函数的定义域为[1,)+，设1(0)xtt−=，所以21xt=+，所以222222,(0)yttttt=+−=−+，函数的对称轴为1144t−=−=，所以函数的值域为15

[,)8+.所以AB=()15,22,8+U.故答案为：()15,22,8+U4.（2022·江西省定南中学高二阶段练习（文））函数21yxx=−−的值域为（）A．15,8−−B．15,8−−C．15,8+D．1

5,8+【答案】D【分析】本题通过换元法求值域，先令1xt−=，将函数21yxx=−−转化成二次函数进行求解.【详解】函数的定义域是1xx，令1xt−=，则[0,)t+，21xt=+，所以2221152(1)22

2()48yttttt=+−=−+=−+，因为0t，所以158y，所以原函数的值域为15[,)8+．故选：D.5．（2022·福建三明·高一期末）已知函数()22313fxmxxxx=−−++−++，其中m为实数．(1)求f（x）的定义域；

(2)当0m=时，求f（x）的值域；(3)求f（x）的最小值．【答案】(1){31}xx−∣剟，(2)[2，22](3)当12m−…时，f（x）的最小值为2；当12m−时，f（x）的最小值为222m+【分析】（1）根据函数的解析式列出相应的不等式组，即可

求得函数定义域；（2）令13txx=−++，采用两边平方的方法，即可求得答案；（3）仿（2），令13txx=−++，可得224232txx−−−+=，从而将()22313fxmxxxx=−−++−++变为关于t的二次函数，然后根据在给

定区间上的二次函数的最值问题求解方法，分类讨论求得答案.(1)由21030320xxxx−+−−，，，解得31x−．所以f（x）的定义域为{31}xx−∣剟．(2)当0m=时，()13fxxx=−++．设1

3txx=−++，则222234txx=−−++．()22144x=−+++．当1x=−时，2t取得最大值8；当3x=−或1x=时，2t取得最小值4．所以2t的取值范围是[4，8]．所以f（x）的值城为

[2，22]．(3)设13txx=−++，由（2）知，2,22t，且224232txx−−−+=，则()22223134222mmmxxxxttttm−−++−++=−+=+−．令2()22mtttm

=+−，[2,22]t,若0m=，()tt=，此时()t的最小值为(2)2=；若0m，2211()22222mmtttmtmmm=+−=+−−．当0m时，()t在[2，22]上单调递增，此时()t的最小值为(2)2=；当112m−+，即120m

−„时，11222mm−−−−…，此时()t的最小值为(2)2=；当1012m−+，即12m−时，11222mm−−−−…，此时()t的最小值为(22)222.m=+所以，当12m−…时，f（

x）的最小值为2；当12m−时，f（x）的最小值为222m+题型四：分离常数法反解法（利用函数有界性）分离常数法：将形如cxdyaxb+=+(0a)的函数分离常数，变形过程为：()cbcbcaxbddcxdcaaa

axbaxbaaxb++−−+==++++，再结合x的取值范围确定bcdaaxb−+的取值范围，从而确定函数的值域.【例1】求函数213xyx+=−的值域【答案】()(),22,−+【详解】方法一：分离常数法：设()3723732312−+=−+−=−+=xxxxxy，

因为037−x，所以2y，所以原函数的值域为()(),22,−+方法二：反解法：由312−+=xxy，可得()()132132123+=−+=−+=−yyxyxyxxxy，所以当2y时，213−+=yyx所以

原函数的值域为()(),22,−+【例2】求函数2211xxy+−=的值域【答案】(1,1−【详解】方法一：分离常数法：()1211211122222++−=+++−=+−=xxxxxy，因为1121

121201102222++−−++xxxx，所以原函数的值域为(1,1−方法二：反解法：由2211xxy+−=，可得()2222111xyxyxxy−=+−=+，所以()111112222+−=−=+−=+yyxyyxyxyx，因为02

x，所以10110yyy−++，解得11−y，所以原函数的值域为(1,1−【例3】求函数133+=xxy()30x的值域【答案】()01，【详解】方法一：分离常数法：13111311313

3+−=+−+=+=xxxxxy，因为1131101131011303+−++xxxx，所以原函数的值域为()01，方法二：反解法：由133+=xxy，可得()()1313313−−=−=−=+yyyyyxxxx，所以，因为03x，所以01yy−−，

解得10y，所以原函数的值域为()01，【题型专练】1.求函数34xyx+=−的值域【答案】(,1)(1,)−−−+【详解】由题意，函数可化为37144xyxx+==−−−−，可得定义域为4xx，所以704x−，可得1y−，所以值域为(,1)(

1,)−−−+.2．（2022·全国·高三专题练习）设xR，函数INT()x表示不超过x的最大整数，例如INT(0.1)1−=−，INT(2.8)2=，若函数222()1xfxx−=+，则函数INT(())yfx=的值域是

（）A．{2}B．{0,1,2}C．{1,0,1,2}−D．{0,1}【答案】C【分析】23()11=−++fxx可得1()2fx−，分1()0fx−、0()1fx、1()2fx、()2fx=根据定义可得答案.【详解

】2222223(1)3()1111xxfxxxx−−+===−++++，因为211x+，所以23031x+，所以1()2fx−，当1()0fx−时，()()1yINTfx==−；当0()1fx时，()()0yINTfx==；当1()2

fx时，()()1yINTfx==；当()2fx=时，()()2yINTfx==，所以函数()()yINTfx=的值域为{1,0,1,2}−，故选：C.题型五：判别式法（适用于函数fexdxcbxaxy+++

+=22）【例1】函数()222321xxxfxx++=++的值域为______.【答案】713，【详解】方法一：分离常数法：()12112123222222+++=+++++=++++=xxxxxxxxxxxxy，当0=

x时，2=y，当0x时，1112122+++=+++=xxxxxy，当0x时，21+xx所以3711122311110311+++++++xxxxxx，当0x时，21−+xx所以211121011111-11+++++−++xxxxxx，原函数的值域为713

，方法二：判别式法：设222321xxyxx++=++，可得()()()02322321222=−+−+−++=++yxyxyxxxxy，因为函数的定义域为R，当20y−=时，即2=y时，得00==−xx，满足题意，当当20y−时，()()()022432

−−−−=yyy，解得371y，所以原函数的值域为713，【例2】（2021·上海复旦附中高一期末）若函数()1822+++=xnxmxxf的定义域为()+−,，值域为9,1，求nm,的值.【答案】==5

5nm【详解】判别式法：设1822+++=xnxmxy，得()()0881222=−+−−++=+nyxxmynxmxxy，因为函数的定义域为R，所以()()()0482−−−−=nymy，即()()0162−++

−mnynmy，由91y知，关于y的一元二次方程()()0162−++−mnynmy的两个根分别为1和9，由根与系数的关系得=−=+91610mnnm，解得==55nm【题型专练】1.（2022·全国·高三专题练习）函数(

)2211xxfxxx−−=++的最大值与最小值的和是（）A．53B．23C．1D．23−【答案】B【分析】令2211xxyxx−−=++，可得()()21110yxyxy−++++=，可知关于x的方程()()21110yxyxy−++++=有解，分1y=、1y两种情况讨论，结合已知

条件可求得y的取值范围，即可得解.【详解】设2211xxyxx−−=++，则有()()21110yxyxy−++++=，当1y=时，代入原式，解得1x=−．当1y时，()()()()()21411135yyyyy=

+−−+=+−+，由0，解得513y−，于是y的最大值为53，最小值为1−，所以函数()fx的最大值与最小值的和为23．故选：B.2.（2021·全国·高一课时练习）求下列函数的值域：（1）()443322−+−+=xxxxxf；（2）()2262fxx

x=−+−【答案】（1）37(,][,)48−+；（2）2,22.【分析】（1）将分式函数等价变形为一元二次方程，然后通过判别式法即可求得本题答案；（2）把()2262fxxx=−+−平方得()22424

1612fxxx=+−+−，通过求函数241612yxx=−+−在[1,3]x的值域，即可得到本题答案.【详解】（1）由题，得22(44)33yxxxx+−=+−，整理，得2(1)(43)430yxyxy−+−−+=，当1y=时，1x=；当1y时，方程有实根，2(43)4(1)(43

)0yyy=−−−−+，即(43)(87)0yy−−，解得，78y或34y，综上()fx37(,][,)48−+，所以值域为：37(,][,)48−+.（2）易知()0fx，且13x.

又()()()222222262624241612fxxxxxxx=−+−−+−=+−+−()24421x=+−−+，当2x=时，()221x−−+有最大值1，当1x=或3x=时，()221x−−+有最小值0，

所以当1,3x时，易得()24,8fx，故()fx的值域为2,22.3．（2021·浙江杭州·高一期中）函数()2212xxfxxx−+=−+的值域是___________.【答案】3,17【分析】利用判别式法即可求出函数的值域.【详解】解：()2212xxfx

xx−+=−+，因为22172024xxx−+=−+所以函数()fx的定义域为xR令2212xxyxx−+=−+，整理得方程：()()211210yxyxy−+−+−=当1y=时，方程无解；当1y时，()()()

2Δ141210yyy=−−−−不等式整理得：271030yy−+解得：3,17y所以函数()2212xxfxxx−+=−+的值域为3,17.故答案为：3,17【点睛】方法点睛：求值域的常见方

法单调性法求函数值域；判别式法求函数值域；分离常数法求函数值域；分类讨论法求二次函数的值域；利用基本不等式或对勾函数求值域；换元法求值域.题型六：图像法（画出函数的图像，直接求出定义域）【例1】函数2()1(2)fxxx=++−的值域为_____.

【答案】[3)+，【详解】原函数化为211()12312212xxfxxxxxx−+−=++−=−−，，，，其图象如图，原函数值域为[3)+，【例2】（2020·全国·高三专题练习（理））高斯是德国著名的数学家，近代数学奠

基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设xR，用x表示不超过x的最大整数，则yx=称为高斯函数，例如：[3.5]4−=−，[2.1]2=，已知函数(),fxxxxR=−，则对函数()fx的值域【答案】)0,1

【分析】将()fx表示为分段函数的形式，画出函数图像，由此判断出答案【详解】由于2,211,100,011,122,23xxxxxx−−−−−=，所以()2,211,10,011,122,23xxxxfxxxxxxxxx+−−+

−=−=−−，由此画出函数图像如下图所示，由图可知，()fx的值域为)0,1.【例3】定义min,,abc为,,abc中的最小值，设()2min23,1,53fxxxx=++−，

则()fx的最大值是_____．【答案】2【详解】本题若利用min,,abc的定义将()fx转为分段函数，则需要对三个式子两两比较，比较繁琐，故考虑进行数形结合，将三个解析式的图像作在同一坐标系下，则()fx为三段函数图像中靠下的部分，从而通过数形结合可得()fx的最

大值点为21yx=+与53yx=−在第一象限的交点，即211253xyxyyx==+==−，所以()max2fx=．【题型专练】1.对任意xR，函数2313(),,4322maxfxxxxx−++=−+，则()

fx的最小值为()A.2B.3C.4D.5【答案】A【详解】画出图像可知：()xf在C处取最小值，因为==+=+−=2121233yxxyxy，所以()2min=xf2.函数()11−++=xxxf的值域为_____.答案：)

+,2f(x)y=2x+3y=5-3xy=x2+1yx【详解】由图可知：()xf的值域为)+,23.（2021·江苏·南京师大附中高一期中）若函数()fx与()gx的值域相同，但定义域不同，则称()fx和()gx是“同象函数”，已知函数()2fxx=，0,1x

，则下列函数中，与()fx是“同象函数”的有（）A．()2gxx=，1,0x−B．()12gxx=+，)1,x−+C．()gxx=，1,12x−D．()244xgxx=−+，1,1x−【答案】ACD【分

析】先求出()2fxx=在0,1x时的值域，再分别求出四个选项中的()gx的值域，ABC选项可以用函数单调性来求解值域，D选项可以画出函数图象，结合图象求出值域.。【详解】当0,1x时，()2fxx=单调递增，所以22110x=，即()0,1fx当1,0x−时，()2g

xx=单调递减，所以()22101x−=，即()0,1gx，所以A选项正确；当)1,x−+时，()12gxx=+单调递减，此时()()011gxg−=，所以()(0,1gx，B选项错误；当1,12x−时,()gxx=的图象如图所示，在1,02x−

单调递减，在(0,1x单调递增，所以()gxx=在0x=处取得最小值，()00g=，因为1122g−=，()11g=，所以()gxx=在1x=处取得最大值，故()0,1gx，C选项正确；当1,1x−时

，()244xgxx=−+，画出图象，如图显然，()0,1gx，故D选项正确故选：ACD4.已知函数()−−=2,1220,2xxxxxxf，函数()xf的最大值为________．最小值为________．【答案】2－14【详解】作出f(x)的图象如图．由图象可知，当

x＝2时，f(x)取最大值为2；当x＝12时，f(x)取最小值为－14．所以f(x)的最大值为2，最小值为－14．5.对Rba,，记=babbaaba,,,max，函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的最小值是______

__．【答案】32【详解】由|x＋1|≥|x－2|，得(x＋1)2≥(x－2)2．所以x≥12．所以f(x)＝|x＋1|，x≥12，|x－2|，x<12.其图象如图所示．由图象易知，当x＝12时，函数有最小值，所以f(x)min＝

21f＝121+＝32．6.设函数()yfx=定义域为R，对给定正数M，定义函数()()()(),,MfxfxMfxMfxM=则称函数()Mfx为()fx的“孪生函数”，若给定函数()22,

20,121,0xxxfxMx−−==−，则()Myfx=的值域为()A．2,1−B．1,2−C．(,2−D．(,1−−【答案】A【详解】根据“孪生函数”定义不难发现其图像特点，即以yM=为分界线，()fx图像在yM=下方的图像不变，在M上方的图像则

变为yM=，通过作图即可得到()Mfx的值域为2,1−．f(x)y=1yx1-2