【文档说明】《【同步题型讲义】2023学年高一数学同步教学题型讲义（人教A版2019必修第一册）》第13讲 函数的单调性（解析版）.docx，共(32)页，1.321 MB，由envi的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-c280a6100acba11304c4d4cda0003a8e.html

以下为本文档部分文字说明：

第13讲函数的单调性【知识点梳理】1.函数单调性的定义：如果函数()xf对区间D内的任意21,xx，当21xx时都有()()21xfxf，则()xf在D内是增函数；当21xx时都有()()21xfxf，则()xf在D内时减函数。2.单调性的

定义的等价形式：设baxx,,21，那么()()()xfxxxfxf−−02121在,ab是增函数；()()()xfxxxfxf−−02121在,ab是减函数；()()()12120xxfxfx−−()fx在

,ab是减函数。()()()12120xxfxfx−−()fx在,ab是增函数。3.复合函数单调性的判断。（同增异减）4.函数单调性的应用.利用定义都是充要性命题.即若()fx在区间D上递增（递减）且1212()()fxfxxx(1x2,xD)；若()fx在区间D上递递减

且1212()()fxfxxx.(1x2,xD).5.在公共定义域内，增函数+)(xf增函数)(xg是增函数；减函数+)(xf减函数)(xg是减函数；增函数−)(xf减函数)(xg是增函数；减函数−)(xf增函数)(xg是减函数。6

.函数)0,0(+=baxbaxy在,,bbaa−−+或上单调递增；在,00bbaa−或，上是单调递减。7.复合函数单调性的判断讨论复合函数[()]yfgx=的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单

调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下:1．若()ugx=，()yfu=在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则[()]yfgx=为增函数;2．

若()ugx=，()yfu=在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则[()]yfgx=为减函数．列表如下:()ugx=()yfu=[()]yfgx=增增增增减减减增减减减增复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外

函数的单性相同时递增；单性相异时递减．因此判断复合函数的单调性可按下列步骤操作:1．将复合函数分解成基本初等函数：()yfu=，()ugx=;2．分别确定各个函数的定义域;3．分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间．

注若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则[()]yfgx=为增函数;若为一增一减或一减一增，则[()]yfgx=为减函数．题型目录：题型一：用定义法证明函数单调性题型二：抽象函数单调性的判断证明题型三：函数单调性定义的理解题型四：基本初等函数的单调性题型五：函绝对值函数的单调性

判断题型六：已知函数的单调性求参数范围题型七：分段函数的单调性求参数范围题型八：复合函数单调性（同增异减）题型九：抽象函数单调性解不等式【典型例题】题型一：用定义法证明函数单调性证明函数单调性的步骤:(1)取值:设1x，2x是()fx定义域内一个区间上的任意两个量，且12xx；(2)变形:作差变

形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形；(3)定号:判断差的正负或商与1的大小关系；(4)得出结论．【例1】证明函数1()fxxx=+在（0，1）上是减函数。证明：设()1,0,21xx，且21xx，则()()

+−+=−22112111xxxxxfxf()−−=−+−=−+−=212121122121211111xxxxxxxxxxxxxx()−−=2121211xxxxxx因为()1,0,21xx

，且21xx，所以10,02121−xxxx，所以()()021−xfxf，所以()()21xfxf，所以函数1()fxxx=+在（0，1）上是减函数。【例2】（2021·湖北黄石·高一期中）已知函数()22afxxx=+（0x，a

R），当1a=时，用单调性的定义证明()fx在)2,+上是增函数.【答案】证明见解析解：当1a=时，()212fxxx=+，任取)12,2,xx+，且12xx，则()()()()22122121212

1211211222xxfxfxxxxxxxxxxx−−=+−+=−++()()2112121221xxxxxxxx−+−=.因为122xx，所以210xx−，124xx，()

1212210xxxx+−，所以()()210fxfx−，即()()21fxfx.所以()fx在)2,+上是增函数.【题型专练】1．（2020·湖南·华容县教育科学研究室高一期末）已知函数()1fxaxx=−，且()322f−=−.(1)求函数()f

x的解析式；(2)判断函数在区间()0,+上的单调性并用定义法加以证明.【答案】(1)()1fxxx=−，(2)单调递增，证明见解析【分析】（1）直接根据题意代入求值即可；（2）根据定义法判断函数在区间(

)0,+上的单调性即可.（1）因为()132222fa−=−+=−，所以1a=，所以()1fxxx=−.（2）函数在()0,+上单调递增，证明如下：任取()12,0,xx+，且12xx，所以()()()()()12221212121

1212111111xxxxfxfxxxxxxxxxxx−−=−−−=−=+−+，因为210xx，所以211200xxxx−，所以()()210fxfx−，即()()21fxfx，所以()fx在()0,+上单调递增.2.（2022

·全国·高一专题练习）判断()4fxxx=+在()()022+，，，的单调性.【答案】函数在()02，内单调递减，在()2，＋内单调递增．【分析】根据单调性的定义，假设自变量的大小，作差比较函数值的大小，进而可判断单调性.

【详解】设120xx，则()12121212124444yyxxxxxxxx−=+−+=−+−()()()2112121212441xxxxxxxxxx−=−+=−−（1）假如1202?xx

，则121240?10?4xxxx−又120?xx−，所以12120?yyyy−，故函数单调递减；（2）假如122?xx，则121212444?11?0xxxxxx−又120?xx−，所以12120?yyyy−，故函数单调递增；所以函数在()02，内单调

递减，在()2，＋内单调递增．3.（2022·贵州黔西·高一期末）已知函数()21xfxx=+的定义域为1,1−，判断()fx在1,1−上的单调性，并用定义证明；【答案】()fx在1,1−上单调递增，证明见解析【分析】设1211xx-??，由()()()()()()12122

122211011xxxxfxfxxx−−−=++可证得()fx在1,1−上单调递增.【详解】()fx在1,1−上单调递增，证明如下：设1211xx-??，()()()()()()()()()()222112121221212122222221212111111111xx

xxxxxxxxxxfxfxxxxxxx+−+−+−−=−==++++++()()()()12122221111xxxxxx−−=++；121xx，120xx−，2210x+，2110x+，()()210fxfx−，()fx是在1,1−上单调递增.题型

二：抽象函数单调性的判断证明类型一：()()()yfxfxyf+=型【例1】已知定义在()+,0上的函数()fx对任意()+,0,yx，恒有()()()yfxfxyf+=，且当10x时，()0xf.试判断()

fx在()+,0的单调性，并证明；解析：设21,xx是区间()+，0上的任意两个实数，且21xx，所以()()()()()=−+=−=−21222122

2121xxfxfxfxxfxfxxxfxfxf，因为()+,0,21xx且21xx，所以1021xx，所以021xxf，所以()()021−xfxf，即()()21xfxf，所以()fx在()+,0上单调递减【题型专练】1.已知函数()xf的定义

域为()+,0，当1x时，()0xf，且()()()yfxfxyf+=，试判断函数()xf在定义域上的单调性。解析：设21,xx是区间()+，0上的任意两个实数，且21xx，所以()()()()()−=

+−=−=−121121112121xxfxfxxfxfxxxfxfxfxf，因为()+,0,21xx且21xx，所以112xx，所以012

xxf，所以()()021−xfxf，即()()21xfxf，所以()fx在()+,0上单调递增2．（2022·全国·高一专题练习）定义在()0+，上的函数()fx满足下面三个条件：①对任意正数ab，，都有()()(

)fafbfab+=；②当1x时，()0fx；③()21f=−(1)求()1f和14f的值；(2)试用单调性定义证明：函数()fx在()0+，上是减函数；【答案】(1)()10f=,124f=（），(2)证明见解析【分析】（1）赋值计算

得解；（2）根据定义法证明单调性；【详解】(1)1xy＝＝得()()()111fff+＝，则()10f＝，而()()()422112fff+＝＝－－＝－，且()()14104fff+＝＝，则124f＝；(2)取定义域中的任意的1x，2x，且120xx

，211xx，当1x时，()0fx，210xfx，()()()221111xfxfxfxfxx－＝－()()2211110xxfxffxfxx+＝－＝，()fx在()0+，

上为减函数．类型二：()()()yfxfyxf+=+型【例1】已知函数()yfx=的定义域为R，且对任意的Ryx,均有()()()yfxfyxf+=+，且对任意的0x，都有()0,(3)3fxf=−.（1）试说明：函数()yfx=是R上的单调递减

函数；解析：设21,xx是区间()+，0上的任意两个实数，且21xx，所以()()()()()()()()121121112121xxfxfxxfxfxxxfxfxfxf−−=+−−=+−−=−，因为()+

,0,21xx且21xx，所以012−xx，所以()012−xxf，所以()()021−xfxf，即()()21xfxf，所以()fx在()+,0上单调递减【题型专练】1.已知函数()xf的定义域为R，且对任意的Ryx,均

有()()()yfxfyxf+=+，且对任意的0x，都有()0xf，试判断函数()xf在定义域上的单调性。解析：设21,xx是区间()+，0上的任意两个实数，且21xx，所以()()()()()()()()1211211

12121xxfxfxxfxfxxxfxfxfxf−−=+−−=+−−=−，因为()+,0,21xx且21xx，所以012−xx，所以()012−xxf，所以()()021−xfxf，即()()21xfxf，所以()fx在()+,0上单调递增类型三：()()()ky

fxfyxf++=+型【例1】已知()fx定义域为R，对任意,xyR都有()()()2fxyfxfy+=+−，且当0x时，()2fx.(1)试判断()fx的单调性，并证明；解析：设21,xx是区间()+，0上的任意两个实数

，且21xx，所以()()()()()()()()22121121112121+−−=−+−−=+−−=−xxfxfxxfxfxxxfxfxfxf，因为()+,0,21xx且21xx，所以012−

xx，所以()212−xxf，所以()()021−xfxf，即()()21xfxf，所以()fx在()+,0上单调递减【题型专练】1.已知()fx定义域为R，对任意,xyR都有()()()21++=+

yfxfyxf，且021=f当21x时，()0xf.(1)试判断()fx的单调性，并证明；解析：设0x，则2121+x，所以()()021212121+=++=+xffxfxf，即()21−xf，任取()+

−,,21xx，且21xx，则021−xx，所以()()()()()2221221121xfxfxxfxxxfxf++−=+−=即()()21xfxf，所以()fx在()+−,上单调递增题型三：函数单调性定义的理解（注意对于任意字样）【例1】下列命题正确

的是（）A．若对于1x，2xR，12xx，都有()()()()11221221xfxxfxxfxxfx++，则函数()yfx=在R上是增函数B．若对于1x，2xR，12xx，都有()()12121fxfxxx−−−，

则函数()yfxx=+在R上是增函数C．若对于xR，都有()()1fxfx+成立，则函数()yfx=在R上是增函数D．若对于xR，都有()xf，()xg为增函数，则函数()()yfxgx=在R上也是增函数【答案】AB【详解】A选项中()()()

()11221221xfxxfxxfxxfx++，化简为()()()()12120xxfxfx−−，故函数()fx在R上是增函数；B选项中()()12121fxfxxx−−−()()1122120fxxfxxxx+−+−，故函数()yfxx=+在R上是增函数；

C选项中，令()fxx=，x表示不超过x的最大的整数，满足()()1fxfx+，但()fx在R上不是增函数；D选项中，令()()fxgxx==，但函数()()2yfxgxx==在R上不单调．【题型专练】1.（202

1·河北·石家庄一中高一期中）给出下列命题，其中是错误命题的是（）A．若函数()fx的定义域为[0，2]，则函数(2)fx的定义域为[0，4].B．函数1()fxx=的单调递减区间是(,0)(0,)−+C．若

定义在R上的函数()fx在区间(,0]−上是单调增函数，在区间(0,)+上也是单调增函数，则()fx在R上是单调增函数.D．1x、2x是()fx在定义域内的任意两个值，且1x<2x，若12()()fxfx，则()fx减函数.【答案】ABC【解析】对于A，由

于()fx的定义域为[0，2]，则由022x可求出(2)fx的定义域；对于B，反比例函数的两个单调区间不连续，不能用并集符号连接；对于C，举反例可判断；对于D，利用单调性的定义判断即可【详解】解：对于A，因为()fx的定义域为[0，2]，则函数

(2)fx中的2[0,2]x，[0,1]x，所以(2)fx的定义域为[0,1]，所以A错误；对于B，反比例函数1()fxx=的单调递减区间为(,0)−和(0,)+，所以B错误；对于C，当定义在R上的函数()fx在区间(,0]−

上是单调增函数，在区间(0,)+上也是单调增函数，而()fx在R上不一定是单调增函数，如下图，显然，(1)(0)ff所以C错误；对于D，根据函数单调性的定义可得该选项是正确的，故选：ABC题型四：基本初等函数的单调性1

.一次函数：()0+=kbkxy①当0k时，为增函数②当0k时，为减函数2.反比例函数：()0=kxky①当0k时，()xf在()0,−和()+,0上为减函数②当0k时，()xf在()0,

−和()+,0上为增函数，注意：不能说反比例函数在定义域为增函数或者减函数，不连续的函数一定要注意，不能写成()0,−()+,0，只能用“和”或者“，”3.二次函数：()02++=acbxaxy，看开口方向和对称轴【例1】（2022·江苏·高一）函数1()fxx=的

单调递减区间是（）A．(,0),(0,)−+B．(0,)+C．(,0)(0,)−+D．(,0)−【答案】A【分析】根据反比例函数的性质得解；【详解】解：因为1()fxx=定义域为(,0)(0,)−+，函数在(,0)−和(0,)+上单调递减，故函数的单调递减区

间为(,0)−和(0,)+；故选：A【例2】（2021·全国·高一专题练习）函数()||1fxx=−与()()2gxxx=−的单调递增区间分别为（）A．[1，+∞)，[1，+∞)B．(﹣∞，1]，[1，+∞)C．(1，+∞)，(﹣∞，1]D

．(﹣∞，+∞)，[1，+∞)【答案】A【解析】先对()fx，()gx进行化简，再求单调区间即可.【详解】解：()1,111,1xxfxxxx−=−=−+，()fx在)1,+上单调递增，()

()222()211gxxxxxx−=−==−−，()gx在)1,+上单调递增，故选：A.【例3】（2021·全国·高一单元测试）函数()1xfxx=-在（）A．(,1)(1,)−+上是增函数B．(,1)(1,)−+上是

减函数C．(,1)−和(1,)+上是增函数D．(,1)−和(1,)+上是减函数【答案】C【分析】分离常数，作出函数图象，观察即可得出结果.【详解】1111()1111111xxxfxxxxxx骣---琪==-=-=--=-琪-----桫，函数的定义域为(,1)(1,)−+

，其图象如下：由图象可得函数在(,1)−和(1,)+上是增函数.故选：C【例4】下列结论正确的是A．函数()211fxx=−的单调增区间是(,1−−B．函数()3221xfxx+=+在定义域内单调递减C．

函数()223fxxx=−−的单调递增区间是()()1,01,−+，D．函数()241,012,12xxxfxxx−−+=−+的单调递减区间是)()2,01,−+【答案】C【详解】对A，函数的定义域为012−x，解得11−xxx或，所以A错对B()21412321

2212131223++=+++=++=xxxxxxf，所以()xf在−−21,和+−,21上分别为减函数，但不能说()xf定义域内单调递减对C，由题意函数()()()2222214,02

3,02323,014,0xxxxxfxxxxxxxx−−−−=−−==+−+−，图象如图：函数()fx的单调增区间为()1,0−，()1,+，单调减区间为(),1−−，()0,1；对D，当

0x时，()142+−−=xxxf的开口向下，对称轴为2−=x，所以()fx的单调减区间为)0,2−，又当1x时，()212+−=xxf为减函数，但中间不能用这个符号【例5】（2021·江苏·高一单元测试）已知()32fxx=−，()22gxxx=−，设()(

)()()()()(),,gxfxgxFxfxfxgx=…，则关于()Fx的说法正确的是（）A．最大值为3，最小值为1−B．最大值为727−，无最小值C．单调递增区间为(),27−−和()1,3，单调递减区间为()27,1−和()3,+D．单调递增区间为(

),0−和()1,3，单调递减区间为()0,1和()3,+【答案】BC【分析】在同一坐标系中由()fx与()gx的图象得出函数()Fx的图象，结合图象即可得出()Fx的性质，判断各选项．【详解】在同一坐标系中先画出()fx与()

gx的图象，当()()fxgx时，()()Fxfx=，表示()fx的图象在()gx的图象下方就留下()fx的图象，当()()fxgx…时，()()Fxgx=，表示()gx的图象在()fx的图象下方就留下()gx的图象，然后根据定义画出()Fx，

就容易看出()Fx有最大值，无最小值，故A错误，当0x时，由2322xxx+=−，得27(x=+舍)或27x=−，此时()Fx的最大值为：727−，无最小值，故B正确，0x时，由2322xxx−=

−，解得：3x=（3−舍去），故F()x在()27−−，，()13，递增，在()271−，和()3,+递减故C正确，D错误，故选：BC．【题型专练】1.下列说法正确的是.A若Ixx21,，当21xx时，()()21xfxf，则()xfy=在I上为增函数.B函数()2xxf=在)+

,0上为增函数.C函数()xxf1−=在定义域内为增函数.D函数()xxf1=的单调增区间为()()+−,00,【答案】B【详解】对A，由函数单调性的定义知，应为对于任意Ixx21,，所以没有任意二字，不对对B，对称轴为0=x，开口向上，所以函数()2xxf=在)+,0上为增函数对C

，所以()xf在()0,−和()+,0上分别为增函数，但不能说()xf定义域内单调递增对D，()xf在()0,−和()+,0上分别为减函数，，但中间不能用这个符号2.下列函数中，满足“对于任意()+,0,21xx，

都有()()02121−−xxxfxf”的是.A()xxf2=.B()13+−=xxf.C()342++=xxxf.D()xxxf1+=【答案】C【详解】因为“对于任意()+,0,21xx，都有()()02121−−xxxfxf”，所以()xf在()+,0上为增函数3.求函数()

xxxf+=1的单调区间为【答案】增区间：()1,−−和()+−,1【详解】()1111111+−+=+−+=+=xxxxxxf，所以()xf的单调递增区间为()1,−−和()+−,14.函数()2221fxxx=−++的定义域是

0,2，则其值域为【答案】−518,2【详解】由题意知()xf在定义域0,2上为增函数，所以当0=x时，()()2020min−=+−==fxf，当2=x时，()()51841422max=++−==fxf5.（2021·全国·高一课前预习）函数()11fxx=−的单调递

减区间是________．【答案】(－∞，1)，(1，＋∞)【分析】根据函数单调性的定义求得函数11yx=−的单调递减区间.【详解】函数()11fxx=−的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，设x1，x2∈(－∞，1)，且x1<x2，则f(x

1)－f(x2)＝111x−－211x−＝2112(1)(1)xxxx−−−.因为x1<x2<1，所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．所以函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，同理函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减．综

上，函数f(x)的单调递减区间是(－∞，1)，(1，＋∞)．故答案为：(－∞，1)，(1，＋∞)6.（2021·全国·高一课时练习）函数276yxx=+−的单调递增区间为______.【答案】1,3−【分析】先求函数的定义域，再由复合函数的单调性即可

求解.【详解】由题意可得2760xx+−，即2670xx−−，解得：17x−，所以函数276yxx=+−的定义域是1,7−，276yxx=+−是由267uxx=−++和yt=复合而成，因为267uxx=−++对称轴为3x=，开口向下，所以2

67uxx=−++在区间1,3−上单调递增，在区间3,7上单调递减，而yt=单调递增，所以276yxx=+−的单调递增区间是1,3−，故答案为：1,3−.题型五：函绝对值函数的单调性判断1

.注意函数()xfy=和()xfy=函数图象的画法2.当函数中某一部有绝对值可以考虑通过讨论正负去掉绝对值【例1】（2022·上海金山·高一期末）函数()1−=xxf的递增区间是______.【答案】[1，+∞）【分析】画出函数y＝|x﹣1|的图象，数形结合可得函数的增区间．【详

解】解：函数y＝|x﹣1|的图象如图所示：数形结合可得函数的增区间为[1，+∞），故答案为：[1，+∞）．【点睛】本题主要考查函数的图象特征，函数的单调性的判断，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．【例2】（2021·全国·高一专题练习）函数()|1||3|fxxx=

++−的单调递减区间是__________.【答案】(,1]−−【分析】由题意结合零点分段法可得22,1()4,1322,3xxfxxxx−+−=−−，即可得解.【详解】由题意22,1

()134,1322,3xxfxxxxxx−+−=++−=−−，所以函数()fx的单调递减区间为(,1]−−.故答案为：(,1]−−.【点睛】本题考查了含绝对值函数单调区间的求解，考查了零点分段法

的应用与分类讨论思想，属于基础题.【例3】（2020·全国·高一课时练习）求函数223yxx=−++的单调递增区间________.【答案】(,1−−和[]0,1【解析】分类讨论去绝对值，求出分段函数的解析式，转化为二次函

数的单调性，结合函数图像，即可求解.【详解】223yxx=−++2223,023,0xxxxxx−++=−−+，作出函数图象如图所示.函数223yxx=−++的单调递增区间是(,1−−和0,1.故答案为

:(,1−−和0,1.【点睛】本题考查分段函数和二次函数的单调性，属于中档题.【例4】（2022·全国·高一专题练习）函数()|2|fxxx=−的单调递减区间是________.【答案】1,2【解析】由2222()222xxxfxxxxxx

−=−=−，分段讨论出函数的单调区间，从而得出答案.【详解】由2222()222xxxfxxxxxx−=−=−当2x时，()22fxxx=−开口向上，对称轴方程为1x=，所以在()2,+上单调递增.当2x时，()22fxxx=−开口向下，对称轴

方程为1x=所以此时()fx在(,1−上单调递增，在1,2上单调递减.故答案为：1,2【例5】（2021·全国·高一专题练习）函数2()68fxxx=−+的单调递增区间为（）A．[3,)−+B．(,2),(4,)−+C．(2,3),(4,)+D．(,2],[3,4]

−−【答案】C【分析】去绝对值，将()fx化为分段函数，转化为二次函数的单调区间，即可求解.【详解】2226824()686824xxxxfxxxxxx−+=−+=−+−或，所以()fx递增区间是(2,3),(4,)+.故选:C.【点

睛】本题考查分段函数的单调性，注意二次函数单调性的应用，属于基础题.【题型专练】1.（2020·全国·高一课时练习）关于函数()1fxx=，下列结论：①函数在定义域内是减函数；②函数有两个单调区间，且单调性不相同；③函数在(),0−上单调递减；④函数的单调

区间为()(),00,−+.其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【分析】先求出函数()1fxx=的定义域,让后将()1fxx=写成分段函数的形式,再判断单调性和求单调区间即可.【详解

】解:函数定义域为()(),00,−+，()10110xxfxxxx==−，定义域区间不连续，结论①、④错误；在(),0−上函数单调递递增，结论③错误；函数在区间(),0−上递增，在区间()0,+上递减，结论②正确.故选:A【点睛】本题考查了分段函数,函数的单调性

和函数的单调区间,是基础题.2.求函数()542++−=xxxf的单调增区间为【答案】2,1−和)+，5【详解】画出函数()542++−=xxxf的图象（如图所示）可知3.（2021·全国·高一课时练习）已知函数()||2fxxxx=−+，则下列结论正确的是（）A．增区间是(

0,)+B．减区间是(,1)−−C．增区间是(,1)−D．增区间是(1,1)−【答案】D【解析】根据题意，将()fx写成分段函数的形式，结合二次函数的性质分段讨论()fx的单调性和单调区间，综合可得答案．【详解】根据题意，函数222,0()22,0xxxfxxxxxx

x−+=−+=+，当0x时，22()2(1)1fxxxx=+=+−，在区间(,1)−−上为减函数，在区间(1,0)−上为增函数；当0x时，22()2(1)1fxxxx=−+=−−+，在区间)0,1上为增函数，在

区间(1,)+上为减函数；综合可得：()fx在区间(,1)−−和(1,)+上为减函数，在区间(1,1)−上为增函数，故选：D.4.（2023·全国·高三专题练习）函数221yxx=+﹣的单调递增区间是（）A．()1,0−B．(1,0)−和(1,)+C．(,1)−−D．(,1)−−和

(0,1)【答案】B【解析】作出函数的图象，由图象求解单调区间.【详解】222(1),021(1),0xxyxxxx−=−+=+，作出其图象如图所示：由图象可知，函数的增区间为(1,0)−和(1,)

+.故选:B题型六：已知函数的单调性求参数范围【例1】已知函数()()2212fxxax=+−+在区间(4,−上是减函数，则实数a的取值范围是A．3a−B．3a−C．5aD．3a【答案】A【详解】()xf的对称轴为()aaabx−=−−=−=121

22，因为()xf在区间(4,−上是减函数，所以41−a，解得3−a【例2】若函数()axxf+=2的单调增区间是)+,3，则=a_________【答案】6−=a【详解】令02=+ax，可得2ax−=，因为函数()axxf+=2的单调增区间是)+,3，所以32=−a，解得6−=

a【例3】已知函数21)(++=xaxxf在区间),2(+−上是增函数，试求a的取值范围。【答案】+，21【详解】()()221221221+−+=+−++=++=xaaxaxaxaxxf因为2

1)(++=xaxxf在区间),2(+−上是增函数，所以021−a，解得21a【例4】（2021·全国·高一单元测试）已知函数2()2fxxax=−+与()1agxx=+在区间[1,2]上都是减函数，那么a（）A．(0,1)B．)0,1C．(0,1D．0,1【答案】C【分析】二次

函数在区间[1,2]单减，则区间[1,2]在二次函数的减区间范围内，从而求得a的范围；反比例函数在区间[1,2]单调递减，得0a，取交集即可【详解】根据二次函数的表达式可知，()fx的对称轴为xa=，开口向下，若()fx在区间[1,2]上是减函数，则1a，()gx

是反比例函数，若()gx在区间[1,2]是减函数，则0a，所以01a故选：C【例5】（2021·全国·高一专题练习）已知函数()()22435fxaxax=+−+，下列关于函数()fx的单调性说法正确的是（）A．函数()f

x在R上不具有单调性B．当1a=时，()fx在(),0-?上递减C．若()fx的单调递减区间是(,4−−，则a的值为1−D．若()fx在区间(),3−上是减函数，则a的取值范围是30,4E．()fx在

区间()3,+上不可能是减函数【答案】BD【解析】对二次项系数a分类讨论，当0a=时，()125fxx=−+，在R上是减函数；当0a时，函数()fx是二次函数，根据开口方向，和对称轴的位置，可判断其单调性，或由单调性，求参数，即可得出结论.【详解】当0a=时，()125f

xx=−+，在R上是减函数，A错误；当1a=时，()2285fxxx=−+，其单调递减区间是(,2−，因此()fx在(),0−上递减，B正确；由()fx的单调递减区间是(,4−−得()204344aaa−

−=−，a的值不存在，C错误；在D中，当0a=时，()125fxx=−+，在(),3−上是减函数；当0a时，由()04334aaa−−，得304a，所以a的取值范围是30,4，D

正确；由()fx在区间()3,+上是减函数得()04334aaa−−，解得0a，因此()fx在区间()3,+上可能是减函数，E错误.故选:BD【点睛】本题考查一次函数、二次函数单调性，以及由单

调性求参数范围，考查分类讨论思想，属于中档题.【例6】已知二次函数()yfx=的图象过点(1,3)−，且不等式()70fxx−的解集为1(,1)4.（Ⅰ）求()fx的解析式；（Ⅱ）设()()gxfxmx=−，若()gx

在(2,4)上是单调函数，求实数m的取值范围.解析：（1）由题意可设()()1417−−=−xxaxxf，即()()xxxaxf7141+−−=，由()xf的图象过点(1,3)−，可得()()31711411=−+−−

−−a，解得4=a，所以()1242++=xxxf（2）()()()12412422+−+=−++=−=xmxmxxxmxxfxg，对称轴82mx−−=，因为()gx在(2,4)上是单调函数，所以482282−−−−mm或，解得3418

mm或【题型专练】1.（2021·全国·高一单元测试）函数()()2213fxxmx=−+−+在区间(3,4−上单调递增，则m的取值范围是有（）A．[3,)−+B．[3,)+C．(,5]−D．(,3]

−−【答案】D【分析】首先求出函数的对称轴，根据二次函数的性质得到不等式，解得即可；【详解】解：因为函数()()2213fxxmx=−+−+，开口向下，对称轴为1xm=−，依题意14m−，解得3m−，即(,3m−−故选：D2.（2021·全国·高一课时

练习）若函数()()31fxaxb=−+在(),−+上是严格增函数，则实数a的取值范围是______．【答案】1,3+【分析】由题意知函数是严格增函数，故x前面的系数大于零，即可得到答案.【详解】函数()()31fxaxb=−+在(),−+上是严格增函数，1310,3aa

−.故答案为：1,3+.3.（2021·全国·高一课时练习）若()248fxkxx=−−是5,20上的严格减函数.则实数k的取值范围是________．【答案】110k【分析】当0k=时，()48fxx=−−符合题意，当0k时，求出对称轴，由二

次函数的性质可得0220kk或025kk即可求解.【详解】当0k=时，()48fxx=−−在5,20上单调递减，所以0k=符合题意；当0k时，()248fxkxx=−−对称轴为2xk=，若()248fxkxx=−−是5,20上的严格减函数，则

0220kk或025kk，可得1010k或0k，综上所述：实数k的取值范围是110k，故答案为：110k.4.（2021·全国·高一课时练习）若()2fxaxb=−+是)0,x+上的严格增函数，则

实数a、b的取值范围分别是_________________．【答案】(0,)a+，(,0b−【分析】利用分段函数的单调性即可求解.【详解】()()()2,22,axbxbfxaxbaxbxb−+=−+=−−+，()fx在)0,+上为增函

数，00ab，故答案为：(0,)a+，(,0b−5．（2021·全国·高一课时练习）已知函数()3R1axyax+=+在区间)2,+上是严格减函数，并且函数值不恒为负，则a的取值范围是______.【

答案】3,32−【分析】将函数31axyx+=+变形为31ayax−=++，利用反比例型函数的性质求解.【详解】将函数31axyx+=+整理变形，得31ayax−=++，因为该函数在区间)2,+上是严格减函数，并且函数

值不恒为负，所以30a−，且当2x=时，函数值2303a+，解得332a−.故答案为：3,32−6.（2020重庆巴蜀高一半期）若二次函数()fx满足11,()22fxfxxR+=−,

且(0)1,(1)3ff=−=．（1）求()fx的解析式;（2）若函数()(),()gxfxaxaR=−在3,2x−上递减,3,2+上递增,求a的值及当[1,1]x−时函数()gx的值域.解析：（1）由题意，可设()()02++=acbxaxx

f，因为二次函数()fx满足11,()22fxfxxR+=−,所以()xf的对称轴为21=x，所以212=−ab，可得ab−=，又因()10=f，所以()10==cf，可得1=c，因为()31=−f，

即3=+−cba，即31=+−ba，所以2=−ba，因为ab−=，解得1,1−==ba所以()fx的解析式为()12+−=xxxf（2）由题意，可知：()()()112++−=−=xaxaxxfxg，因为

()xg在3,2x−上递减,3,2+上递增，所以()xg的对称轴为23=x，所以2321=+a，解得2=a，所以()132+−=xxxg，因为()xg在3,2x−上递减，所以()xg在[1,1]x−上递减，所以，当1−=x时，()()5

1max=−=gxg，当1=x时，()()11min−==gxg，所以当[1,1]x−时函数()gx的值域为5,1−题型七：分段函数的单调性求参数范围【例1】（2020·尤溪县第五中学高一期末）若函数2()|2|fxxax=+−在

(0,)+上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．4,0−B．(,0−C．(,4−−D．(,4][0,)−−+【答案】A【详解】由题意知()()2222,2()|2|2,2xaxaxfxxaxxaxax+−=+−=−+，要使在(0,)+上单调递增

，则−0222aa，解得04−a【例2】（重庆巴蜀高一月考）设函数22,()6,xxxafxaxxa−−=−是定义在R上增函数，则实数a取值范围（）A.)2,+B.0,3C.2,3D.2,4答案：D解析

：画出图象可得22−−=xxy在)+，2上单调递增，因为函数22,()6,xxxafxaxxa−−=−是定义在R上增函数，所以−−−26222aaaa，解得42a【例3】（2021·江苏·高一单元测试）已知函数()fx=()2241241xa

xaxaxax−+−+，，，，若对任意1x，2xR，且12xx，有()()()12120xxfxfx−−成立，则实数a的值是（）的的A．2B．65C．34D．1【答案】D【分析】根

据()()()12120xxfxfx−−，得出函数在R上单调递减，分段函数递减必须满足，每一段是减函数，同时保证在分端点左右两端相等或递减，列式即可求解.【详解】因为()()()12120xxfx

fx−−成立，所以函数在R上单调递减，由题意，得12012424aaaaaa−−+−+,1a\=．故选:D．【例4】（2022·河南·南阳中学高一阶段练习）已知函数27,1(),1xaxxfx

axx−−−=是R上的增函数，则a的取值范围为（）A．[-4，0)B．[-4，-2]C．(,2]−−D．(,0]−【答案】B【分析】依题意可得函数在各段均是增函数且在断点的左侧的函数值不大于断点右侧的函数值，即可得到不等式组，解得即可；【详解】解

：因为27,1(),1xaxxfxaxx−−−=且()fx在R上单调递增，所以01217aaaa−−−−，解得42a−−，即4,2a−−故选：B【例5】（2021·全国·高一课时练习）已知函数(

)2,,0xxtfxxxt=（0t）是区间()0,+上的增函数，则实数t的取值范围是（）A．{1}B．()0,+C．()1,+D．)1,+【答案】D【分析】根据分段函数单调性的性质

，列式求实数t的取值范围.【详解】∵()2,,0xxtfxxxt=（0t）是区间()0,+上的增函数，∴20ttt，∴1t．故选：D．【题型专练】1.（2021·江苏·高一单元测试）函数()()252,2()213,2axxfxxaxax−−=−++

，若对任意1212,()xxxxR，都有1212()()0fxfxxx−−成立，则实数a的取值范围为（）A．(－∞，1]B．(1，5)C．[1，5)D．[1，4]【答案】D【分析】由函数的单调性可求解．【详解】因为对任意1212

,()xxxxR，都有1212()()0fxfxxx−−成立，所以()fx是减函数，则44(1)32(5)25012aaaaa−++−−−+，解得14a．故选：D．2.（2021·全国·高一课时练习）已知f(x)＝2(3)4,1(1),1axax

xx−−−，若f(x)是R上的增函数，则实数a的范围是________．【答案】3,35【分析】根据()fx在R上递增列不等式组，由此求得a的取值范围.【详解】由于()fx在R上递

增，所以()()23031411aaa−−−−，解得3,35a.故答案为：3,354.已知函数()()+−=1,21,32xxaxxaxf在(−∞,+∞)上是减函数，则a的取值范围为A．(0,1)B．(0,1]C．(0,2)D．

(0,2]答案：B解析：因为函数()()+−=1,21,32xxaxxaxf在(−∞,+∞)上是减函数，所以+−−12320202aaaa，解得10a5.已知()()2372,1,1axaxfxaxxx−++=−+在(),−+上单调递减

，则a的取值范围为A．()0,3B．1,32C．2,39D．2,39答案：B解析：因为函数()xf在(−∞,+∞)上是减函数，所以+−++−−−1273121003aaaaaa，解得321

a6.已知函数()()−−−=1,1,5)(2xxaxaxxxf是R上的增函数，则a的取值范围是A．﹣3≤a＜0B．﹣3≤a≤﹣2C．a≤﹣2D．a＜0答案：B解析：因为函数()xf在(−∞,+∞)上是减函数，所以−−−−15110122aaaa，解得23−

−a题型八：复合函数单调性（同增异减）【例1】函数()32212−+−=xxxf的增区间为答案：(3,−−解析：函数()xf的定义域为0322−+xx，解得13−xxx或设32,212−+=−=xxu

uy，对称轴122−=−=x，所以函数()32212−+−=xxxf的增区间为(3,−−【例2】（重庆巴蜀中学高一月考）已知函数()2256fxaxxa=−−+对任意两个不相等的实数)12,2,xx+，都有不等式()()

21210fxfxxx−−成立，则实数a的取值范围是().0,A+1.,2B+1.0,2C1.,22D答案：D解析：由函数()2256fxaxxa=−−+对任意两个不相等的实数)12,2,xx+，都有不等式()()21

210fxfxxx−−成立，得()xf在)+，2上单调递增，设652,2+−−==axaxuuy，则6522+−−=axaxu在)+，2上单调递增，且0minu当0=a时，62+−=xu，不满足题意，当0a时，必有−−+−−222065440aaaa，解

得221a【例3】（重庆18中高一半期）已知函数()221fxxx=−++的定义域为()2,3−,则函数()fx的单调递增区间是A.(),10,1)−−和(B.(3,1)0,1)−−和(C.(2,1)0,1)−−和(

D.(1,0)(1,3)−和答案：10，解析：函数()xf的定义域为012−x，解得11−xx设()21,xuufy−==，对称轴0=x，开口向下，所以函数2(1)fx−的单调递增区间是为

10，【题型专练】1.（2021·全国·高一课时练习）函数276yxx=+−的单调递增区间为______.【答案】1,3−【分析】先求函数的定义域，再由复合函数的单调性即可求解.【详解】由题意可得2760xx+−，即2670xx−−，解得：17x−，所以函数276yxx=

+−的定义域是1,7−，276yxx=+−是由267uxx=−++和yt=复合而成，因为267uxx=−++对称轴为3x=，开口向下，所以267uxx=−++在区间1,3−上单调递增，在区间3,7上单调递减，而yt=单调递增，所以276

yxx=+−的单调递增区间是1,3−，故答案为：1,3−.2.函数23()6fxxx=+−的单调增区间是___________,单调减区间是___________;解析：函数()xf的定义域为062−+xx，解得23−xxx且设6,32−+=

=xxuuy，对称轴21−=x，所以函数23()6fxxx=+−的单调增区间是()3,−−和−−21,3，单调减区间是−2,21和()+,23.函数()fx在[0,)+上是单调递减函数，则2(1)fx−的

单调递增区间是答案：10，解析：函数()xf的定义域为012−x，解得11−xx设()21,xuufy−==，对称轴0=x，开口向下，所以函数2(1)fx−的单调递增区间是为10，题型九：抽象函数单调

性解不等式【例1】若函数()yfx=在R单调递增，且2()()fmfm−，则实数m的取值范围是（）.A(),1−−.B()0,+答案：D.C()1,0−.D(),1−−()0,+解析：因为函数()yfx=在R单调递增，

且2()()fmfm−所以mm−2，即02+mm解得01−mm或【例2】（2022·湖南·高一课时练习）已知()fx是定义在区间1,1−上的增函数，且()()21fxfx−−，则x的取值范围为______.【答案】31,2

【分析】由增函数的定义求解．【详解】由题意，得121,111,xx−−−−解得12x①.因为()fx是定义在区间1,1−上的增函数，且()()21fxfx−−，所以21xx−−，解得32x②.由①②得312x.所

以满足题设条件的x的取值范围为31,2.故答案为：31,2【例3】（2021·全国·高一课时练习）设()fx是定义在()0,+上的单调增函数，且对定义域内任意x，y都有()()()f

xyfxfy=+，且()21f=，则使不等式()()23fxfx+−成立的x的取值范围是______．【答案】(2,4【分析】先根据()()()2224fff=+=，得出()4f的值，再求出()83f=，从而将问题转化为()()228fxxf−，由函数的单调性结合定义域可解.【详解】因为(

)fx是定义在()0,+上的单调增函数，且()()()fxyfxfy=+，所以()()()222fxfxfxx+−=−，且2x．又()21f=，所以()()()2224fff=+=，()()()321

248fff=+=+=因此()()23fxfx+−，即()()228fxxf−，所以228,242xxxx−．故答案为：(2,4．【例4】已知函数f(x)＝x2＋4x，x≥04x－x2，x＜0，若f(2－

a2)＞f(a)，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B．(－1,2)C．(－2,1)D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)答案：C解析：函数()()()+−−=−−+=+=0,4240,4242222xxxxxx

xxxf，由函数解析式可知，()xf在()+−,上是单调递增函数，因f(2－a2)＞f(a)，得aa−22，即022−+aa，解得12−a【例5】（2021莆田第十五中学高三月考）设()fx是定义在R上的增函数，且不等式()()22fmxfx+对xR恒成立，则实数m

的取值范围是（）A．(),1−−B．(,1−−C．()1,+D．)1,+答案：A解析：因为函数()fx是定义在R上的增函数，且不等式()()22fmxfx+对xR恒成立，，所以22xxm+对xR恒成立，

即xxm22−对xR恒成立，所以()min22xxm−，当1=x时，()12min2−=−xx，所以1−m【题型专练】1.已知()fx是定义在()2,2−上的减函数，并且()()0211−−−mfmf，求实数m的取值范围．答案：3221-m解析：()fx是定义在()2,

2−上的减函数，并且()()0211−−−mfmf，所以()()mfmf211−−，所以−−−−−−mmmm2112212212，解得3221-m2.已知()fx在区间(,)−+上是减函数，,abR且0ab+，则下列表达正确的是A．()()[()()]fafbf

afb+−+B．()()()()fafbfafb+−+−C．()()[()()]fafbfafb+−+D．()()()()fafbfafb+−+−答案：D解析：()fx在区间(,)−+上是减函数，,abR且0ab+，所以ba−，所以()()bfaf−，因为ab−，所以()(

)afbf−，两式相加可得()()()()fafbfafb+−+−3.设函数()fx是(,)−+上的减函数，则（）A.()(2)fafaB.2()()fafaC.2()()faafa+D.2(1)()fafa+答案：D解析：()fx在区间(,)−+上是减函数，因

为0432143411222+−=++−=−+aaaaa，所以aa+12，所以2(1)()fafa+4.已知函数()xf对于任意的()+,0,21xx()21xx，都有()()02121−−xxxfxf，则()()()3,,2fff的大小关系为答案：()()()23f

ff解析：因为函数()xf对于任意的()+,0,21xx()21xx，都有()()02121−−xxxfxf，所以()fx在区间()0+，上是减函数，所以23，所以()()()23fff