【文档说明】《【同步题型讲义】2023学年高一数学同步教学题型讲义（人教A版2019必修第一册）》第13讲 函数的单调性（原卷版）.docx，共(13)页，519.344 KB，由envi的店铺上传

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第13讲函数的单调性【知识点梳理】1.函数单调性的定义：如果函数()xf对区间D内的任意21,xx，当21xx时都有()()21xfxf，则()xf在D内是增函数；当21xx时都有()()21xfxf，则()xf在D内时减函数。2.单调性的定义的等价形式：设baxx,,21，那么()

()()xfxxxfxf−−02121在,ab是增函数；()()()xfxxxfxf−−02121在,ab是减函数；()()()12120xxfxfx−−()fx在,ab是减函数。()()()12120xxfxfx−−()fx在,ab是增函数。3.复

合函数单调性的判断。（同增异减）4.函数单调性的应用.利用定义都是充要性命题.即若()fx在区间D上递增（递减）且1212()()fxfxxx(1x2,xD)；若()fx在区间D上递递减且1212()()fxfxxx.(1x2,xD).

5.在公共定义域内，增函数+)(xf增函数)(xg是增函数；减函数+)(xf减函数)(xg是减函数；增函数−)(xf减函数)(xg是增函数；减函数−)(xf增函数)(xg是减函数。6.函数)0,0(+=baxbaxy在,,bbaa

−−+或上单调递增；在,00bbaa−或，上是单调递减。7.复合函数单调性的判断讨论复合函数[()]yfgx=的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复

杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下:1．若()ugx=，()yfu=在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则[()]yfgx=为增函数;2．若()ugx

=，()yfu=在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则[()]yfgx=为减函数．列表如下:()ugx=()yfu=[()]yfgx=增增增增减减减增减减减增复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递

增；单性相异时递减．因此判断复合函数的单调性可按下列步骤操作:1．将复合函数分解成基本初等函数：()yfu=，()ugx=;2．分别确定各个函数的定义域;3．分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间．注若两个基本初等

函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则[()]yfgx=为增函数;若为一增一减或一减一增，则[()]yfgx=为减函数．题型目录：题型一：用定义法证明函数单调性题型二：抽象函数单调性的判断证明题型三：函数单调性定义的

理解题型四：基本初等函数的单调性题型五：函绝对值函数的单调性判断题型六：已知函数的单调性求参数范围题型七：分段函数的单调性求参数范围题型八：复合函数单调性（同增异减）题型九：抽象函数单调性解不等式【典型例题】题型一

：用定义法证明函数单调性证明函数单调性的步骤:(1)取值:设1x，2x是()fx定义域内一个区间上的任意两个量，且12xx；(2)变形:作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形；(3)定号:判断差的正负或商与1的大小关系

；(4)得出结论．【例1】证明函数1()fxxx=+在（0，1）上是减函数。【例2】（2021·湖北黄石·高一期中）已知函数()22afxxx=+（0x，aR），当1a=时，用单调性的定义证明()fx在)2,+上是增函数.【题型专练】1．

（2020·湖南·华容县教育科学研究室高一期末）已知函数()1fxaxx=−，且()322f−=−.(1)求函数()fx的解析式；(2)判断函数在区间()0,+上的单调性并用定义法加以证明.2.（2022·全国·高一专题练习）判断()4fxxx=+在()()022+，，，的单调性.

3.（2022·贵州黔西·高一期末）已知函数()21xfxx=+的定义域为1,1−，判断()fx在1,1−上的单调性，并用定义证明；题型二：抽象函数单调性的判断证明类型一：()()()yfxfxyf+=型【例

1】已知定义在()+,0上的函数()fx对任意()+,0,yx，恒有()()()yfxfxyf+=，且当10x时，()0xf.试判断()fx在()+,0的单调性，并证明；【题型专练】1.

已知函数()xf的定义域为()+,0，当1x时，()0xf，且()()()yfxfxyf+=，试判断函数()xf在定义域上的单调性。2．（2022·全国·高一专题练习）定义在()0+，上的函数()fx满足下面三个条件

：①对任意正数ab，，都有()()()fafbfab+=；②当1x时，()0fx；③()21f=−(1)求()1f和14f的值；(2)试用单调性定义证明：函数()fx在()0+，上是减函数；类型二：()()()yfxfyxf+=+型【例

1】已知函数()yfx=的定义域为R，且对任意的Ryx,均有()()()yfxfyxf+=+，且对任意的0x，都有()0,(3)3fxf=−.（1）试说明：函数()yfx=是R上的单调递减函数；【题型专练】1.已知函数

()xf的定义域为R，且对任意的Ryx,均有()()()yfxfyxf+=+，且对任意的0x，都有()0xf，试判断函数()xf在定义域上的单调性。类型三：()()()kyfxfyxf++=+型【例1】已知()fx定义域为R，对任意,xyR都有()()()2fxyfxf

y+=+−，且当0x时，()2fx.(1)试判断()fx的单调性，并证明；【题型专练】1.已知()fx定义域为R，对任意,xyR都有()()()21++=+yfxfyxf，且021=f当21x时，()0xf.(1)试判断()fx的单调性，并证明；题型三：

函数单调性定义的理解（注意对于任意字样）【例1】下列命题正确的是（）A．若对于1x，2xR，12xx，都有()()()()11221221xfxxfxxfxxfx++，则函数()yfx=在R上是增函数B．若对于1x，2xR，12

xx，都有()()12121fxfxxx−−−，则函数()yfxx=+在R上是增函数C．若对于xR，都有()()1fxfx+成立，则函数()yfx=在R上是增函数D．若对于xR，都有()xf，()xg为增函数，则函数()()yfxg

x=在R上也是增函数【题型专练】1.（2021·河北·石家庄一中高一期中）给出下列命题，其中是错误命题的是（）A．若函数()fx的定义域为[0，2]，则函数(2)fx的定义域为[0，4].B．函数1()fxx=的单调递减区间是(,0)(0,)−+C．若定义在R上的函数()fx在区间(,0]

−上是单调增函数，在区间(0,)+上也是单调增函数，则()fx在R上是单调增函数.D．1x、2x是()fx在定义域内的任意两个值，且1x<2x，若12()()fxfx，则()fx减函数.题型四：基本

初等函数的单调性1.一次函数：()0+=kbkxy①当0k时，为增函数②当0k时，为减函数2.反比例函数：()0=kxky①当0k时，()xf在()0,−和()+,0上为减函数②当0k时，()xf在()0,−和()+,0上为增函数，注意：不

能说反比例函数在定义域为增函数或者减函数，不连续的函数一定要注意，不能写成()0,−()+,0，只能用“和”或者“，”3.二次函数：()02++=acbxaxy，看开口方向和对称轴【例1】（2022·江苏·高一）函数1()f

xx=的单调递减区间是（）A．(,0),(0,)−+B．(0,)+C．(,0)(0,)−+D．(,0)−【例2】（2021·全国·高一专题练习）函数()||1fxx=−与()()2gxxx=−的单调递增

区间分别为（）A．[1，+∞)，[1，+∞)B．(﹣∞，1]，[1，+∞)C．(1，+∞)，(﹣∞，1]D．(﹣∞，+∞)，[1，+∞)【例3】（2021·全国·高一单元测试）函数()1xfxx=-在（）A．(,1)(1,)−+上是增函数B．

(,1)(1,)−+上是减函数C．(,1)−和(1,)+上是增函数D．(,1)−和(1,)+上是减函数【例4】下列结论正确的是A．函数()211fxx=−的单调增区间是(,1−−B．函数()3221xfxx+=+在定义域内单调递减C．函

数()223fxxx=−−的单调递增区间是()()1,01,−+，D．函数()241,012,12xxxfxxx−−+=−+的单调递减区间是)()2,01,−+【例5】（2021·江苏·

高一单元测试）已知()32fxx=−，()22gxxx=−，设()()()()()()(),,gxfxgxFxfxfxgx=…，则关于()Fx的说法正确的是（）A．最大值为3，最小值为1−B．最大值为727

−，无最小值C．单调递增区间为(),27−−和()1,3，单调递减区间为()27,1−和()3,+D．单调递增区间为(),0−和()1,3，单调递减区间为()0,1和()3,+【题型专练】1.下列说法正确的是.A若Ixx21,，当21xx时，()()21xfxf，则()xfy

=在I上为增函数.B函数()2xxf=在)+,0上为增函数.C函数()xxf1−=在定义域内为增函数.D函数()xxf1=的单调增区间为()()+−,00,2.下列函数中，满足“对于任意()+,0,21xx，都有()()02121−−xxxfxf”的是.A(

)xxf2=.B()13+−=xxf.C()342++=xxxf.D()xxxf1+=3.求函数()xxxf+=1的单调区间为4.函数()2221fxxx=−++的定义域是0,2，则其值域为5.（2021·全国·高一课前预习）函数()11fxx=−的单调递减区间是________．6.（2

021·全国·高一课时练习）函数276yxx=+−的单调递增区间为______.题型五：函绝对值函数的单调性判断1.注意函数()xfy=和()xfy=函数图象的画法2.当函数中某一部有绝对值可以考虑通过讨论正负去掉绝对值【例1】（2022·上海金山·高一期末）函

数()1−=xxf的递增区间是______.【例2】（2021·全国·高一专题练习）函数()|1||3|fxxx=++−的单调递减区间是__________.【例3】（2020·全国·高一课时练习）求函数223yxx=−++的单调递增区间________.【例4】（2022·全国·高

一专题练习）函数()|2|fxxx=−的单调递减区间是________.【例5】（2021·全国·高一专题练习）函数2()68fxxx=−+的单调递增区间为（）A．[3,)−+B．(,2),(4,)−+C．(2,3),(4,)+D．(,2],[3,4]−−【题型专练】

1.（2020·全国·高一课时练习）关于函数()1fxx=，下列结论：①函数在定义域内是减函数；②函数有两个单调区间，且单调性不相同；③函数在(),0−上单调递减；④函数的单调区间为()(),00,−+.其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．42.求函

数()542++−=xxxf的单调增区间为3.（2021·全国·高一课时练习）已知函数()||2fxxxx=−+，则下列结论正确的是（）A．增区间是(0,)+B．减区间是(,1)−−C．增区间是(,1)−D．增区间是(1,1)−4

.（2023·全国·高三专题练习）函数221yxx=+﹣的单调递增区间是（）A．()1,0−B．(1,0)−和(1,)+C．(,1)−−D．(,1)−−和(0,1)题型六：已知函数的单调性求参数范围【例1】已知函数()()2212fxxax=+−+在区间(4,

−上是减函数，则实数a的取值范围是A．3a−B．3a−C．5aD．3a【例2】若函数()axxf+=2的单调增区间是)+,3，则=a_________【例3】已知函数21)(++=xaxxf在区间),2(+

−上是增函数，试求a的取值范围。【例4】（2021·全国·高一单元测试）已知函数2()2fxxax=−+与()1agxx=+在区间[1,2]上都是减函数，那么a（）A．(0,1)B．)0,1C．(0,1D．

0,1【例5】（2021·全国·高一专题练习）已知函数()()22435fxaxax=+−+，下列关于函数()fx的单调性说法正确的是（）A．函数()fx在R上不具有单调性B．当1a=时，()fx在(),0-?上递减C．若()fx的单调递减区间

是(,4−−，则a的值为1−D．若()fx在区间(),3−上是减函数，则a的取值范围是30,4E．()fx在区间()3,+上不可能是减函数【例6】已知二次函数()yfx=的图象过点(1,3)−，且不等式()70fxx−的解集为1(,1)4.（Ⅰ）求()fx的解析式；（Ⅱ）设

()()gxfxmx=−，若()gx在(2,4)上是单调函数，求实数m的取值范围.【题型专练】1.（2021·全国·高一单元测试）函数()()2213fxxmx=−+−+在区间(3,4−上单调递增，则m的取值范围是有（）A．[3

,)−+B．[3,)+C．(,5]−D．(,3]−−2.（2021·全国·高一课时练习）若函数()()31fxaxb=−+在(),−+上是严格增函数，则实数a的取值范围是______．3.（2021·全国·高一课时练习）若()248fxkxx=−−是5,

20上的严格减函数.则实数k的取值范围是________．4.（2021·全国·高一课时练习）若()2fxaxb=−+是)0,x+上的严格增函数，则实数a、b的取值范围分别是_________________．5．（2021·全国·高一课时练习）已知函数()3R1ax

yax+=+在区间)2,+上是严格减函数，并且函数值不恒为负，则a的取值范围是______.6.（2020重庆巴蜀高一半期）若二次函数()fx满足11,()22fxfxxR+=−,且(0)1,(1

)3ff=−=．（1）求()fx的解析式;（2）若函数()(),()gxfxaxaR=−在3,2x−上递减,3,2+上递增,求a的值及当[1,1]x−时函数()gx的值域.题型七：分段函数的单调性求参数范围【例1】（2020·尤溪县第五中学高

一期末）若函数2()|2|fxxax=+−在(0,)+上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．4,0−B．(,0−C．(,4−−D．(,4][0,)−−+【例2】（重庆巴蜀高一月考）设函数22,()6,xxxafxaxxa−−=−

是定义在R上增函数，则实数a取值范围（）A.)2,+B.0,3C.2,3D.2,4【例3】（2021·江苏·高一单元测试）已知函数()fx=()2241241xaxaxaxax−+−+，，，，若对任意1x，2xR

，且12xx，有()()()12120xxfxfx−−成立，则实数a的值是（）A．2B．65C．34D．1【例4】（2022·河南·南阳中学高一阶段练习）已知函数27,1(),1xaxxfxaxx−−−=是R上的增函数，则a的

取值范围为（）A．[-4，0)B．[-4，-2]C．(,2]−−D．(,0]−【例5】（2021·全国·高一课时练习）已知函数()2,,0xxtfxxxt=（0t）是区间()0,+上的增函数，则实数t的取值范围是（）A．{1}B．()0,+C．()1,+D．)1,+

【题型专练】1.（2021·江苏·高一单元测试）函数()()252,2()213,2axxfxxaxax−−=−++，若对任意1212,()xxxxR，都有的1212()()0fxfxxx−−成立，则实

数a的取值范围为（）A．(－∞，1]B．(1，5)C．[1，5)D．[1，4]2.（2021·全国·高一课时练习）已知f(x)＝2(3)4,1(1),1axaxxx−−−，若f(x)是R上的增函数，则实数a的范围是________．4.已知函数()()

+−=1,21,32xxaxxaxf在(−∞,+∞)上是减函数，则a的取值范围为A．(0,1)B．(0,1]C．(0,2)D．(0,2]5.已知()()2372,1,1axaxfxaxxx−++=−+在(),−+上单调递减，则a的取值范围为A．()0

,3B．1,32C．2,39D．2,396.已知函数()()−−−=1,1,5)(2xxaxaxxxf是R上的增函数，则a的取值范围是A．﹣3≤a＜0B．﹣3≤a≤﹣2C．a≤﹣2D．a＜0题型八：复合函数单调性（同增异减）【例1】函数

()32212−+−=xxxf的增区间为【例2】（重庆巴蜀中学高一月考）已知函数()2256fxaxxa=−−+对任意两个不相等的实数)12,2,xx+，都有不等式()()21210fxfxxx−−成立

，则实数a的取值范围是().0,A+1.,2B+1.0,2C1.,22D【例3】（重庆18中高一半期）已知函数()221fxxx=−++的定义域为()2,3−,则函数()fx的单调递增区间是A.(),10,1)−−和(B.(3,1)0,1)−−和(C.(

2,1)0,1)−−和(D.(1,0)(1,3)−和【题型专练】1.（2021·全国·高一课时练习）函数276yxx=+−的单调递增区间为______.2.函数23()6fxxx=+−的单调增区间是___________,单调减区

间是___________;题型九：抽象函数单调性解不等式【例1】若函数()yfx=在R单调递增，且2()()fmfm−，则实数m的取值范围是（）.A(),1−−.B()0,+【例2】（2022

·湖南·高一课时练习）已知()fx是定义在区间1,1−上的增函数，且()()21fxfx−−，则x的取值范围为______.【例3】（2021·全国·高一课时练习）设()fx是定义在()0,+上的单调增函数，且对定义域内任意x，y都有()()()fxyfxfy=+，且(

)21f=，则使不等式()()23fxfx+−成立的x的取值范围是______．【例4】已知函数f(x)＝x2＋4x，x≥04x－x2，x＜0，若f(2－a2)＞f(a)，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－1)∪

(2，＋∞)B．(－1,2)C．(－2,1)D．(－∞，－2)∪(1，＋∞).C()1,0−.D(),1−−()0,+【例5】（2021莆田第十五中学高三月考）设()fx是定义在R上的增函数，且不等式()()22fmxfx+对xR恒成立，则实数m的取值范围是（）A．

(),1−−B．(,1−−C．()1,+D．)1,+【题型专练】1.已知()fx是定义在()2,2−上的减函数，并且()()0211−−−mfmf，求实数m的取值范围．2.已知()fx在区间(,)−+上是减函数，,abR且0ab+，则下列表达正确的是A．()()[()

()]fafbfafb+−+B．()()()()fafbfafb+−+−C．()()[()()]fafbfafb+−+D．()()()()fafbfafb+−+−3.设函数()fx是(,)−+

上的减函数，则（）A.()(2)fafaB.2()()fafaC.2()()faafa+D.2(1)()fafa+4.已知函数()xf对于任意的()+,0,21xx()21xx，都有()()02121−−xxxfxf，则()()()3,,2ff

f的大小关系为