【文档说明】2023-2024学年高一数学苏教版2019必修第二册同步备课试题 11.3正弦定理与余弦定理的应用 Word版含解析.docx，共(14)页，1.430 MB，由小赞的店铺上传

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11.3正弦定理与余弦定理的应用一、单选题1．彬塔，又称开元寺塔、彬县塔，民间称“雷峰塔”，位于陕西省彬县城内西南紫薇山下.某同学为测量彬塔的高度AB，选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得15BCD=，135BDC=，20mCD=

，在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB=（）A．30mB．202mC．203mD．206m【答案】D【解析】【分析】在△BCD中有30DBC=，再应用正弦定理求BC，再在Rt△ABC中tan=ABAC

BBC，即可求塔高.【详解】由题设知：AB⊥BC，又18030DBCBDCBCD=−−=，△BCD中sinsinBCDCBDCDBC=，可得202BC=m，在Rt△ABC中，tan3ABACBBC==，则206AB=m.故选：D2．如图，

在救灾现场，搜救人员从A处出发沿正北方向行进x米达到B处，探测到一个生命迹象，然后从B处沿南偏东75行进30米到达C处，探测到另一个生命迹象，如果C处恰好在A处的北偏东60方向上，那么x=（）A．102米B．

103米C．10米D．106米【答案】D【解析】【分析】根据三角形正弦定理即可求解结果．【详解】依题意得18045CAB=−−=，由正弦定理得sin60sin45BCAB=，所以303222x=，

106x=故选：D3．某地为响应习近平总书记关于生态文明建设的号召，大力开展“青山绿水”工程，造福于民，拟对该地某湖泊进行治理，在治理前，需测量该湖泊的相关数据.如图所示，测得角∠A＝23°，∠C＝120°，603AC=米，则A，B间的直线距离约为

（参考数据sin370.6）（）A．60米B．120米C．150米D．300米【答案】C【解析】【分析】应用正弦定理有sinsinACABBC=，结合已知条件即可求A，B间的直线距离.【详解】由题设，18037BAC=−−=，在△ABC中，sinsinACABBC=，

即603sin3732AB=，所以90150sin37AB=米.故选：C4．2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位1m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有,,ABC三点

，且,,ABC在同一水平面上的投影，,,ABC满足45,75ACBABC==，由C点测得B点的仰角为30，BB与CC的差为100；由B点测得A点的仰角为45，则,AC两点到水平面ABC的高度差AACC−为（）A．1002B．()10021+

C．1003D．()10031+【答案】B【解析】【分析】通过做辅助线可得100AACCAD−=+，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得AB，进而得到答案．【详解】过C作CHBB⊥，过B作BDAA⊥，故()100100AACCAABBBHAABBAD−=−−

=−+=+，由题，易知ADB△为等腰直角三角形，所以ADDB=．所以100100AACCDBAB−=+=+．因为30BCH=，所以100=1003tan30CHCB==，在ABC

V中，60BAC=，由正弦定理得：sin45sin60ABCB=，所以22100223ABCB==，所以1002DADBAB===，所以1001002100=100(21)AACCAD−=+=++．故选：B．5．今年第6号台风“

烟花”于2021年7月25日12时30分前后登陆舟山普陀区.如图，A点，正北方向的C市受到台风侵袭，一艘船从A点出发前去实施救援，以24nmile/h的速度向正北航行，在A处看到S岛在船的北偏东15方向，船航

行3h4后到达B处，在B处看到S岛在船的北偏东45方向.此船从A点到C市航行过程中距离S岛的最近距离为（）A．92nmile/hB．()921nmile/h−C．()931nmile/h−D．()932nmile

/h−【答案】C【解析】【分析】构造三角形运用正弦定理求解三角形即可得出结果.【详解】如图，SEAB⊥ASB，中，135ABS=，324184AB==，15BAS=，18030ASBABSSAB=−−=，由正弦定理得sinsinASABABS

ASB=sin135182sin30ABAS==()nmile，所以船与S岛的最近距离：()()1cos30·sin182sin15182931nmile2SESASAB−====−故选：C.6．如图

，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度是60m，则河流的宽度BC等于（）A．()24031m−B．()18021m−C．()12031m−D．()3021m−【答案】C【解析】【分析】根据题目所给俯角，求出ABC内角，利用正弦定理求解即可.【详解】从气球

A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，气球的高度是60m，所以105,30,45ABCACBCAB===所以260120AC==，由正弦定理可得，60sin75AB=，sin30sin45ABBC=，所以sin45602120(31)sin30sin(3

045)ABBC===−+.故选：C二、填空题7．《后汉书·张衡传》：“阳嘉元年，复造候风地动仪.以精铜铸成，员径八尺，合盖隆起，形似酒尊，饰以篆文山龟鸟兽之形.中有都柱，傍行八道，施关发机.外有八龙，首衔铜丸，下有蟾蜍，张口承

之.其牙机巧制，皆隐在尊中，覆盖周密无际.如有地动，尊则振龙，机发吐丸，而蟾蜍衔之.振声激扬，伺者因此觉知.虽一龙发机，而七首不动，寻其方面，乃知震之所在.验之以事，合契若神.”如图，为张衡地动仪的结构图，现要在相距200

km的A，B两地各放置一个地动仪，B在A的东偏北60°方向，若A地动仪正东方向的铜丸落下，B地东南方向的铜丸落下，则地震的位置在A地正东________________km.【答案】()10031+【解析】【分析】

依题意画出图象，即可得到60,75,45ABC===，200AB=，再利用正弦定理计算可得；【详解】解：如图，设震源在C处，则200ABkm=，则由题意可得60,75,45ABC===，根据正弦定理可得200sin45sin75AC=，又()4scin232162coso

752sin4530sin45304523s0sin22+=++=+==所以()200200sin75100314sin452622AC=+==+，所以震源在A地正东()10031km+处.故答案为：()10031+8．

2020年5月1日起，新版《北京市生活垃圾管理条例》实施，根据该条例：小区内需设置可回收垃圾桶和有害垃圾桶.已知李华要去投放这两类垃圾，他从自家楼下出发，向正北方向走了80米，到达有害垃圾桶，随后向南偏东60方向走了30米，到达可回收物垃圾桶，则他回到自家楼

下至少还需走___________米.【答案】70【解析】【分析】画出图形，在ABC中，利用余弦定理，即可求解AC的长，得到答案.【详解】由题意，设李华家为A，有害垃圾点为B，可回收垃圾点为C，则李华的行走路线，如图所示，在ABC中，因为80,30,60ABBCB===，由余弦定理可得：222

212cos60803028030702ACABBCABBC=+−=+−=米，即李华回到自家楼下至少还需走70米.故答案为：70.9．黄鹤楼，位于湖北省武汉市武昌区，地处蛇山之巅，濒临万里长江，为武汉市地标建筑.某同学为了估算黄鹤楼的高度，在大楼的一侧找到一座高为

()3031−m的建筑物AB，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A、楼顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得楼顶C的仰角为15°，则估算黄鹤楼的高度CD为_________m.【答案】303【解析】【分析】由图中所

示，可求出MCA，CAM，利用正弦定理求出CM，在直角△CMD中求解即可.【详解】在△ABM中，15AMB=，则602sin15ABAM==（m），在△ACM中，因为151530CAM=+=，()1806015105CMA=−+=，所以180105

3045MCA=−−=.因为sinsinCMAMMACMCA=，所以2602602CM==（m），故sin60303CDCM==（m）.故答案为：30310．旅游区的玻璃栈道、玻璃桥、玻璃观景台等近年来热搜不断，因其惊险刺激的体验备受追捧某景区顺应趋势，为扩大营收，准备在如

图所示的M山峰和N山峰间建一座空中玻璃观景桥.已知两座山峰的高度都是300m，从B点测得M点的仰角4ABM=，N点的仰角6CBN=以及2cos4MBN=，则两座山峰之间的距离MN=_________m.【答案】B【解析】【分析】首

先求出,BMBN的长度，进而在MNB中，结合余弦定理即可求出结果.【详解】因为3003002msinsin4AMBMABM===，300600msinsin6CNBNCBN===，在MNB中，结合余弦定理知2222cosMNMBBN

MBBNMBN=+−即()22223002600230026004MN=+−，故2360000MN=，所以600mMN=，故选：B.第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明三、解答题11．某校兴

趣小组在如图所示的矩形区域ABCD内举行机器人拦截挑战赛，在E处按EP方向释放机器人甲，同时在A处按AQ方向释放机器人乙，设机器人乙在M处成功拦截机器人甲，两机器人停止运动，若点M在矩形区域ABCD内

（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败.已知6AB=米，E为AB中点，比赛中两机器人均匀速直线运动方式行进，记EP与EB的夹角为()0，AQ与AB的夹角为02（1）若两机器人运动方向的夹角为,3

AD足够长，机器人乙挑战成功，求两机器人运动路程和的最大值；（2）已知机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍（i）若,3AD==足够长，求机器人乙能否挑战成功.（ii）如何设计矩形区域ABCD的宽AD的长度，才能确保无论的值为多少，总可以通

过设置机器人乙的释放角度使机器人乙挑战成功？【答案】（1）最大值是6；（2）（i）不能；（ii）2AD米.【解析】【分析】（1）利用余弦定理列方程，结合基本不等式求得两机器人运动路程和的最大值.（2）（i）结合线线平行作出判断.（ii）设EMx=，利用余弦定理建立x和

的关系式，进而用x表示出sinx，结合二次函数的性质求得AD的最小值.【详解】（1）如图，在AEM△中由余弦定理得，2222cos93AEMAMEMAME=+−=，所以22()93932MAMEMAMEMAME++=++，所以6MAME+，（当且仅当3MAME==

时等号成立），故两机器人运动路程和的最大值为6.（2）（i）在AEM△中由于机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，故2AMEM=，因为3==，可知两机器人的运动方向平行，所以不论AD多长，机器人乙都不可能拦截到甲，所以不可能拦截成功.（i）设EMx=，

则22AMEMx==，(1,3)x由余弦定理可得2223(2)3cos()2322xxxxx+−−==−，所以3cos22xx=−所以()()22222231sin1cos152442xxxxxx=−=−−=−−+由题意得sinADx对

任意(1,3)x恒成立，故max(sin)2ADx=，当且仅当5x=时取到等号.答：矩形区域ABCD的宽AD至少为2米，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲.12．如图，某公园内有两条道路AB，AP，现计划在AP上选择一

点C，新建道路BC，并把△ABC所在区域改造成绿化区域，已知∠BAC=6，AB=2km.（1）若绿化区域△ABC的面积为21km，求道路BC的长度；（2）绿化区域△ABC每2km的改造费用与新建道路BC每km修建费用都是角∠ACB的函数，其中绿化区域△ABC改造费用为110sinyACB=万

元/2km，新建道路BC新建费用为25sin2yACB=万元/km，设2(0)3ABC=，某工程队承包了该公园的绿化区域改造与新道路修建，已知绿化区域改造费与道路新建费用越高，则工程队所获利润也越高，试问当为何值时，该工程队获得最高利润?【答案】（1）()62BCkm=−；（

2）当23=时，该工程队获得最高利润．【解析】【分析】（1）根据三角形面积公式求出AC，再根据余弦定理求出BC；（2）设绿化区域改造费与道路新建费用之和为y万元，由题意得56ACB=−，由正弦定

理可求得15sin6BC=−，2sin5sin6AC=−，根据题意结合三角恒等变换公式以及辅助角公式可得103sin6y=−，再结合三角函数的性质即可求得答案．【详解】解：

（1）∵绿化区域ABC的面积为21km，∴1sin12ACABBAC=，∵2AB=，6BAC=，∴12sin126AC=，得2AC=，由余弦定理得2222cosBCABACABACBAC=+−3442228432=+−=−，∴84362BC=−=−，即BC的长度

为()62km−；（2）设绿化区域改造费与道路新建费用之和为y万元，∵ABC=，6BAC=，∴56ACB=−，由正弦定理5sinsinsin66ABBCAC==−得，15sin6BC=−

，2sin5sin6AC=−，则由题意可得121sin2yyABACBACyBC=+512sin110sin25622sin6=−−515

sin256sin6+−−510sin10cos6=+−3110sin10cossin22=+−+15sin53cos=−103sin6

=−，∵203，∴662−−，∴103sin1036y=−，当且仅当62−=即23=时取等号，∴当23=时，该工程队获得最高利润．【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，考查三角形的面积公式的应用，

考查简单的三角恒等变换，考查计算能力，属于中档题．