【文档说明】2023-2024学年高一数学人教A版2019必修第一册同步备课试题 第二章 一元二次函数、方程和不等式（单元测试） Word版含解析.docx，共(12)页，1.408 MB，由小赞的店铺上传

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第二章一元二次函数、方程和不等式单元测试第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．二次函数222yxx−=+有（）A．最大值是1B．最大值是2C．最小值是1D．最小值是2

【答案】C【解析】()222211yxxx=−+=−+，所以函数有最小值1.故选：C2．已知2x，则42xx+−的最小值为（）A．6B．5C．4D．3【答案】A【解析】由2x知，20x−，所以4422242622xxxx+=−

+++=−−，当且仅当422xx−=−时，即4x=时，等号成立，所以42xx+−的最小值为6.故选：A3．已知01x，代数式()21xx−的最大值为（）A．22B．2C．2D．12【答案】A【解析】由于01x

，所以10x−，所以()122121222xxxxxx+−−=−=，当且仅当11,2xxx=−=时等号成立.故选：A4．不等式102xx+−的解集为（）A．{|2}xxB．{|12}xx−C．2|1xx−D．{|12}xx−【答案】D【解

析】由题设(1)(2)020xxx+−−，可得12x−，故解集为{|12}xx−.故选：D5．若正数x，y满足35xyxy+=，则34xy+的最小值是（）A．2B．3C．4D．5【答案】D【解析】方法一由条件得53xyx=−，由

0x，0y知35x，从而3124431255343333353552555xxxyxxxxxx−++=+=+=−++−−−133613255255+=，当且仅当3

12335255xx−=−，即1x=，12y=时取等号．故34xy+的最小值为5．方法二对原条件式转化得315xy+=，则()131112334349455yxxyxyxyxy+=++=+++112313255yxxy+=

，当且仅当123yxxy=，35xyxy+=，即1x=，12y=时取等号．故34xy+的最小值为5．故选：D6．不等式()()22200axaxa−++的解集为（）A．2{|1}xxaB．1{|1}xxaC．2{|1}xxxa或D．2{|1}xxxa或【答案】A【解

析】原不等式可以转化为：()()120xax−−≥，当a<0时，可知2()(1)0xxa−−，对应的方程的两根为1，2a，21a所以不等式的解集为：21xxa.故选：A.7．设00ab，，且22ab+=，则11ab+（

）A．有最小值为2B．有最小值为223+C．有最小值为322+D．无最小值【答案】C【解析】由()()1111112132332222222ababababba+=++=+++=+，当且仅当2abba

=，即22a=−，222b=−时等号成立，故当22a=−，222b=−时，11ab+取得最小值为322+．故选：C．8．不等式2220xaxyy−+，对于任意12x及13y恒成立，则实数a的取值范围是（）A．|22aaB．

|22aaC．1|3aaD．9|2aa【答案】A【解析】由1,3y，则不等式2220xaxyy−+两边同时乘以21y不等式可化为：2210xxayy骣骣鼢珑???珑鼢珑鼢珑桫桫，令xty=，则不等式转化为：2210tat−+，在1,23t上

恒成立，由2210tat−+可得221tat+£即min12att轾犏?犏臌，又1122222tttt+=，当且仅当22t=时取等号，所以当22t=时，12tt+取得最小值22，故可得22a.故

选：A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．下列结论正确的是（）A．设0a，则321aa+的最小值是2aB．当1x时，1xx+的最小值是2C．当0x时

，12xx+D．当54x时，14245yxx=−+−的最大值是1【答案】CD【解析】对于选项A：∵2a不是定值，∴2a不是321aa+的最小值，故选项A错误；对于选项B：当0x时，由基本不等式可得

1122xxxx+=，等号成立的条件为1xx=，即1x=．但1x，故取不到等号，故2不是1xx+的最小值，故选项B错误；对于选项C：当0x时，由基本不等式可得1122xxxx+=，当且仅当1xx=，即1x=时，等号成立，故选项C正确；对于选项D：当54x，即540x−时，

11142(45)3[(54)]3454554yxxxxxx=−+=−++=−−++−−−，由基本不等式可得()(115425425454)xxxx−+−=−−，当且仅当15454xx−=−，即1x=时等号成立．此时1[(54)]323154yxx=−−++−+=−≤，即当1x

=时，y有最大值1，故选项D正确．故选：CD．10．已知不等式20axbxc++的解集为{|1xx−或3}x，则下列结论正确的是（）A．0aB．0abc++C．0cD．20cxbxa−+的解集为1{|3xx−或1}x【答案】ABC【解析】由不等式和解集的形式可知，a<0

，且方程20axbxc++=的实数根为=1x−或3x=，那么1313baca−=−+=−，所以23baca=−=−，所以40abca++=−，且30ca=−，故ABC正确；不等式220320cxbxaaxaxa−+−++，即23210xx−−，解得:11

3−x,所以不等式的解集为113xx−，故D错误.故选：ABC11．若0a，0b，2ab+=，则下列不等式恒成立的是（）A．1abB．2ab+C．222ab+D．112ab+【答案】ABC【解

析】因为0a，0b，2ab+=，对于A，22abab=+，当且仅当1ab==时，等号成立，所以1ab，故A正确；对于B，2()2ababab+=++2()4ababab+++=+=，当且仅当1ab==时，等号成立，所以2

ab+，故B正确；对于C，2222222222()422222abababababab+++++++====，故C正确；对于D，取12a=，32b=，得112223ab+=+，故D错误.故选：ABC12．若关于x的不等式()240xa

xa+−+的解集中恰有两个整数，则a的值可能为（）A．0B．34C．1D．43【答案】BC【解析】()240xaxa+−+可化为()214axxx+−+，因为关于x的不等式()240xaxa+−+的解集中恰有两个整数，由一次函数()1y

ax=+和二次函数24yxx=−+的图象可知1x=和2x=为不等式()240xaxa+−+的解集中的两个整数，所以()()014042409340aaaaaaa+−++−++−+解得3443a，

故选：BC第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知0x，则123xx+的最大值为．【答案】12−【解析】由于0x，则0x−，根据基本不等式，121232312xxxx−+−=−−，于是12312xx+−，即当123(0)2xxxx=

=−时，123xx+的最大值是12−.故答案为：12−14．已知不等式()200axbxca++的解是2xx或3x，不等式20bxaxc++的解集为.【答案】65xx或1x−【解析】因为不

等式()200axbxca++的解是2xx或3x，所以a<0，2和3是方程20axbxc++=的两个根，所以2323baca+=−=，解得56baca=−=，所以不等式20b

xaxc++可化为2560axaxa−++，因为a<0，所以2560xx−−，得(1)(56)0xx+−，解得1x−或65x，所以不等式的解集为65xx或1x−，故答案为：65xx或1x−，15．对于任意实数x，不等式()()222240axax−−−−恒成立，则实数

a的取值范围是．【答案】22a−【解析】对任意的实数x，不等式()()222240axax−−−−恒成立，当20a−=时，即当2a=时，则有4<0−恒成立，合乎题意；当20a−时，即当2a时，则有()(

)220Δ421620aaa−=−+−，解得22a−.综上所述，实数a的取值范围是22a−.故答案为：22a−.16．已知0a，0b，21ab+=，则212baab++的最小值为.【答案】103+/310+【解析】22122112222122222

bababbbababbababababaabaaba++++++==++=++=++++5532310322babaabab=+++=+（当且仅当52baab=，即21053a−=，4103b−=时取等号），212baab+

+的最小值为103+.故答案为：103+.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17．（10分）解下列不等式．(1)28150xx−+；(2)223xx−−−；(3)22333xxx−−+−

．【解析】（1）方程28150xx−+=的两根分别为13x=，25x=，函数2815yxx=−+的图象是开口向上的抛物线，与x轴有两个交点()3,0和()5,0，如图所示，观察图象可知，不等式的解集为3xx或5x．（2

）原不等式可化为2230xx+−；方程2230xx+−=的两根分别为13x=−，21x=，函数223yxx=+−的图象是开口方向向上的抛物线，与x轴有两个交点()3,0−和()1,0，如图所示，观察图象可知，不等式的解集为31xx−

.（3）原不等式移项整理得23530xx−+；()25433110=−−=−，方程23530xx−+=无实根，函数2353yxx=−+的图象是开口方向向上的抛物线，与x轴无交点，如图所示，观察图象可知，不等式

的解集为R．18．（12分）（1）已知14a，28b，试求23ab+与ab−的取值范围；（2）已知14a，28b，求ab的取值范围；（3）已知68a−，23b，求ab的取值范围.【解析】（1）∵14a，2

8b，∴228a，6324b，∴82332ab+．∵28b，∴82b−−−．又14a，∴()()()1842ab+−+−+−，即72ab−−．∴23ab+的取值范围是82332ab+，ab−的取值范围是72ab−−．

（2）∵28b，∴11182b．又14a，∴1111482ab，即128ab．∴ab的取值范围是128ab．（3）∵23b，∴11132b．①当08a时，04ab；②当60a−时，30ab−．由①②得34ab−，即ab的取值范围是34

ab−．19．（12分）已知()2224yxax−+=+.(1)如果对一切xR，0y恒成立，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a，使得对任意31xxx−，0y恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.【解析】（1）由题意知：只有当

二次函数()2224yxax−+=+与直角坐标系中的x轴无交点时，才能满足题意；其相应方程()22240xax+−+=此时应满足()242160a=−−，解得：04a，实数a的取值范围为04aa.（2）若对任意31xxx−，0y恒成立，则满足题意的

函数()2224yxax−+=+的图象如图所示，由图象可知，此时a应该满足()()()29624012240Δ42160aaa−−++−+=−−，则2561204aaaa−或，不等式组

无解，不存在实数a满足：对任意31xxx−，0y恒成立.20．（12分）某住宅小区为了营造一个优雅、舒适的生活环境，打算建造一个八边形的休闲花园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成面积为2

00米2的十字形区域，且计划在正方形MNPK上建一座花坛，其造价为4200元/米2，在四个相同的矩形上（图中的阴影部分）铺花岗岩路面，其造价为210元/米2，并在四个三角形空地上铺草坪，其造价为80元/米2.(1)设AD的长为x米，试写出总造价Q（单位：元）关于x的函数解析式；(2)问：当

x取何值时，总造价最少？求出这个最小值．【解析】（1）设,AMyADx==，则24200xxy+=，所以22004xyx−=，由0,0xy，可得0102x，所以总造价Q（单位：元）关于x的函数解析式为：222240000042002104802380004000(0102)Qxx

yyxxx=++=++.（2）令2tx=，则100380004000()Qtt=++且0200t，因为函数100100220tttt+=，当且仅当100tt=时，即10t=时，即10x=时，等号成立，所以总造价Q的最小值为min118000Q=元.21．（12分）已知

,xy都是正数.(1)若3212xy+=，求xy的最大值;(2)已知0,0ab且1ab+=，求311ab++的最小值.【解析】（1）0,0xy，1232232xyxy=+，化为6xy,当且仅当32,3212xyxy=+=,即2,3xy==时取等号.xy的最大值为6.（2）因为0,

0ab且1ab+=,所以12ab++=,则31131[(1)]121ababab+=+++++13114(423)23212baab+=+++=++,当且仅当311baab+=+，1ab+=，即23,31ab=−=−时取等号，则其最小值为23+.

22．（12分）已知不等式223axbxc++的解集为23xx∣(1)若0a，且不等式()230axbxc+−−有且仅有10个整数解，求a的取值范围；(2)解关于x的不等式：()2150axbx+−+.【解析】（1）0a

，原不等式等价于22axbxc++恒成立，且23axbxc++的解集为2,3，故方程23axbxc++=的2个根为2，3，故由韦达定理23536323bbaaccaa+=−=−−=+=，225632axbxcaxaxa++=−++恒成立，可得221515624

−+−=−−+xxxa恒成立，所以114a，解得04a，()()()223053630axbxcaxaxa+−−−+−+，故()()6310axax−++，316,xa−+不等式有且仅有10个

整数解，故3386912aa+，所以a的取值范围为312a；（2）1､当0a时，由（1）得0a时14a，()()221505150axbxaxax+−+−++，即：()()150a

xx−−，①当105a时，原不等式解集为15xxa∣；②当15a=时，原不等式解集为；③当145a时，原不等式解集为15xxa∣.2､当a<0时，原不等式等价于23axbxc++恒成

立，且22axbxc++的解集为[2,3]，由韦达定理：22235,562326223bbaaaxbxcaxaxaccaa+=−=−++=−++−=+=恒成立，解得40a−，()()()215150axbxaxx+−+=−−，该不等式解集

为{1xxa∣或5}x，3､当0,0ab=时，221330bcbbcc+==+==，则()21550axbx+−+=无解.4､当0,0ab=时，231325bcbbcc+==−+==，则()25152502a

xbxxx+−+=−+.综上：当40a−时，不等式解集为{1xxa∣或5}x；当0,0ab=时，不等式解集为；当0,0ab=时，不等式解集为52xx∣；当105a时，

不等式解集为15xxa∣；当15a=时，原不等式解集为；当145a时，原不等式解集为15xxa∣.