【文档说明】2023-2024学年高二数学苏教版2019选择性必修第二册同步试题 8.3 正态分布 Word版含解析.docx，共(22)页，1.386 MB，由小赞的店铺上传

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8.3正态分布一、单选题1．如果正态总体的数据落在3,1−−内的概率和落在3,5内的概率相等，那么这个正态总体的数学期望是（）．A．0B．1C．2D．3【答案】B【分析】根据正态概率密度函数的性质，结合函数图象的对称性，求得函

数的对称轴，即可求解.【解析】由题意，随机变量X服从正态分布，X的取值落在区间3,1−−内的概率和落在区间3,5内的概率是相等的，根据正态密度函数的对称性，可得函数图像关于直线1312x−+==对称，所以随机变量X的数学期望为1．

故选：B.2．若随机变量()3,1XN，且()40.8413PX=，则()2PX等于（）．A．0.1587B．0.3413C．0.6827D．0.8413【答案】D【分析】利用正态分布密度曲线的对称性即可求解.【解析】由()3,1XN，可知该正态密度曲线的对称轴为直线3x=

，所以()()420.8413PXPX==；故选：D.3．某工厂有甲乙两条生产线生产同一型号的机械零件，产品的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，()211,:XN，()222,:YN，其正态分布密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是（）A．甲生产线产品

的稳定性高于乙生产线产品的稳定性B．甲生产线产品的稳定性低于乙生产线产品的稳定性C．甲生产线的产品尺寸平均值大于乙生产线的产品尺寸平均值D．甲生产线的产品尺寸平均值小于乙生产线的产品尺寸平均值【答案】A【分析】根据正态分布密度曲线的对称轴为x=，图像越瘦高数据越稳定可得.【解析】由图知甲乙两

条生产线的平均值相等，甲的正态分布密度曲线较瘦高，所以甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性.故选：A4．设随机变量X的正态分布密度函数为()()2341e2πxfx+−=，(),x−+，则参数，的值分别是（）A．3=，2=B．3=−，2=C．

3=，2=D．3=−，2=【答案】D【分析】由正态分布密度函数的概念即得.【解析】由正态分布密度函数表达式知3=−，2=.故选：D.5．某中学高三（1）班有50名学生，在一次高三模拟考试中，经统计得：数学成绩(110,100)XN，则估计该班数学得分大于120分的学生

人数为（）（参考数据：()0.68,(2)0.95PXPX−−）A．16B．10C．8D．2【答案】C【分析】根据正态分布的性质，结合题中所给的公式进行求解即可.【解析】因为数学成绩(110,100)XN，所以110,10

==，因此由1(11010)0.68(100120)0.68(110120)0.680.34,2PXPXPX−=所以有11(120)(110120)]0.340.1622PXPX=−=−=，估计该班数学得分

大于120分的学生人数为0.16508=，故选：C6．某中学高三年级一次月考的语文考试成绩X（单位：分）近似服从正态分布()2105,N，统计结果显示语文成绩优秀（大于或等于120分为优秀）的人数占总人数的18.已

知高三年级学生的总人数为1200，则此次语文考试成绩在90分到105分之间的人数约为（）A．150B．350C．400·D．450【答案】D【分析】根据正态分布的对称性求出此次语文考试成绩在90分到105分之间的概率，再乘以总人数即可得解.【

解析】依题意可得105=，则()11052PX=.因为()11208PX=，所以()()11390105105120288PXPX==−=，故此次语文考试成绩在90分到105分之间的人数约为312004508=.故选：

D7．已知三个随机变量的正态密度函数()()2221e2πiiiifx−−=（xR，1,2,3i=）的图象如图所示，则（）A．123=，123=B．123=，123=C．123=，123=D．123=，123=【答案】

D【分析】直接根据图像的对称轴，以及图像的胖瘦进行判断即可.【解析】由题意知：正态曲线关于直线x=对称，且越大，对称轴越靠右，故123=，又越小，数据越集中，图像越瘦高，故123=.故选：D.8．在教学调查中，甲、乙、丙三个班的数学测试成绩分布如图，假设三个班的平均分都是7

5分，s1，s2，s3分别表示甲、乙、丙三个班数学测试成绩的标准差，则有（）A．s3>s1>s2B．s2>s1>s3C．s1>s2>s3D．s3>s2>s1【答案】D【分析】根据正态分布密度曲线的性质即可得出结果.

【解析】解析：所给图是成绩分布图，平均分是75分，在题图1中，集中在75分附近的数据最多，题图3中从50分到100分均匀分布，所有成绩不集中在任何一个数据附近，题图2介于两者之间.由标准差的意义可得s3>s2>s1.故选：D9．王老师为了了解全班50位同学某次考试的成

绩状况，随机抽查了10位同学该次考试的数学与物理成绩，列表如下：学生甲乙丙丁戊己庚辛壬癸平均值标准差数学成绩X/分88621x2x3x4x5x6x7x8x60X=97X=物理成绩Y/分75631y2y3

y4y5y6y7y8y65Y=23Y=若这10位同学的成绩能反映全班的成绩状况，且全班成绩服从正态分布，用实线表示全班数学成绩的正态曲线，虚线表示全班物理成绩的正态曲线，则随机变量X与Y的正态曲线可能是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据X、Y的大小关系可得对称轴的

位置关系，根据X、Y可得图象的瘦高、矮胖，进而可得正确选项.【解析】因为XY，所以随机变量X的正态曲线的对称轴在随机变量Y的正态曲线的对称轴的左边，排除B，C；因为XY，所以随机变量X的总体分布更离散，正态曲线比随机变量Y的正态曲线“矮胖”，排除D，故选：A.10．下列是关于正态曲线(

)()()2221eR2xfxx−−=性质的说法：①曲线关于直线x=对称，且恒位于x轴上方；②曲线关于直线=x对称，且仅当3,3x−时才位于x轴上方；③曲线对应的正态密度函数是一个偶函数，因此曲线

关于y轴对称；④曲线在x=处位于最高点，由这一点向左、右两边延伸时，曲线逐渐降低；⑤曲线的位置由确定，曲线的形状由确定.其中说法正确的是（）A．①④⑤B．②④⑤C．③④⑤D．①⑤【答案】A【分析】根据正态密度曲线的特点和性质逐一判断①②③④⑤的正确性，即可得正确选项.【解析】正态曲线

()fx关于直线x=对称，该曲线总是位于x轴上方，故①正确；②不正确；只有当0=时，正态密度函数是一个偶函数，曲线关于y轴对称；此时为标准正态分布，当0时，不是偶函数，故③不正确；正态曲线()fx是一条关于直线x=对称，在x=处位于最高点，且由该点向左、右两边延伸并逐渐降低的曲线，故

④正确；曲线的位置由对称轴x=确定，曲线的形状由确定，越大，图象越矮胖，越小，图象越瘦高，故⑤正确；故①④⑤说法正确.故选：A.11．某批零件的尺寸X服从正态分布()210,N，且满足()196Px

=，零件的尺寸与10的误差不超过1即合格，从这批产品中抽取n件，若要保证抽取的合格零件不少于2件的概率不低于0.9，则n的最小值为（）A．7B．6C．5D．4【答案】C【分析】由正态分布解得每个零件合格的概率为23，由对立事件得011121()()0.1333nnnnC

C−+，即1(21)()0.13nn+，令1()(21)()(*)3nfnnnN=+，由()fn的单调性可解得结果.【解析】X服从正态分布2(10,)N，且1(9)6PX=，2(911)3PX=，即每个零件合格的

概率为2.3合格零件不少于2件的对立事件是合格零件个数为零个或一个．合格零件个数为零个或一个的概率为01111()()3323nnnnCC−+，由011121()()0.1333nnnnCC−+，得1(21)()0.13nn+，令1()(21)()(*)3nfnnnN=+

，(1)231()63fnnfnn++=+，()fn单调递减，又(5)0.1f，(4)0.1f，不等式1(21)()0.13nn+的解集为{|5,*}.nnnN…n的最小值为5.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：由对立事件得011121()()0.1333nnn

nCC−+，即1(21)()0.13nn+.12．正态分布是最重要的一种概率分布，它是由德国的数学家、天文学家Moivre于1733年提出，但由于德国数学家Gauss率先应用于天文学研究，故正态分布又称为高斯分布，记作()

2~,YN．当0=，1=的正态分布称为标准正态分布，如果令YX−=，则可以证明()~0,1XN，即任意的正态分布可以通过变换转化为标准正态分布．如果()~0,1XN那么对任意的a，通常记()()aPXa=，也就是说，()a表示()0,1N对应的正态曲线与x轴在区间()

,a−内所围的面积．某校高三年级800名学生，期中考试数学成绩近似服从正态分布，高三年级数学成绩平均分100，方差为36，()20.9772=，那么成绩落在(88,112的人数大约为（）A．756B．748C．

782D．764【答案】D【分析】根据已知条件得8810011210066−−X即求()22−PX，由正态曲线的对称性可得答案.【解析】因为高三年级数学成绩平均分100，方差为36，所以6=，所以8810011210066−−X，即22−X，即求()22−

PX，由()20.9772=，得()()220.9772==PX，所以()()()2212120.9544−=−−=PXPX，那么成绩落在(88,112的人数大约为8000.9544764.故选：D.二、多选题13．下列说法正确的是（

）A．正态曲线中参数，的意义分别是样本的均值与方差B．正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数，的变化而变化的C．正态曲线可以关于y轴对称D．若()2,XN，则()12PX=【答案】CD

【分析】根据正态曲线的相关定义，逐个选项进行判断即可得到答案【解析】对于A，正态曲线中参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计，

故A错误；对于B，正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是1，故B错误；对于C，正态曲线关于直线x=对称，当0=时，正态曲线关于y轴对称，故C正确；对于D，根据正态曲线的图像性质，()()12PXPX==，故D正确.故选：CD14．若()2,XN

，则下列说法正确的有（）A．()()PXPX+=−B．(2)(2)PXPX−+−+C．()PX+不随,的变化而变化D．(2)PX−+随,的变化而变化【答案】

AC【分析】根据正态分布的性质对选项一一验证即可.【解析】对于A、B：根据正态分布的对称性可得出()()PXPX+=−与(2)(2)PXPX−+=−+，故A正确，B错误；对于C、D：根据正态分布的性质可得出()PX+与(2)PX

−+都不随,的变化而变化，表示的概率为定值，故C正确，D错误；综上：选项A、C正确，故选：AC.15．某次测试,经统计发现测试成绩服从正态分布,函数()()2(90)2001eR2π10xPxx−−=的图象为其正

态密度曲线,则()A．这次测试的平均成绩为90B．这次测试的成绩的方差为10C．分数在110分以上的人数与分数在80分以下的人数相同D．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数大致相同【答案】AD【分析】根据题意得:()290,10XN,根据正态分布的性质逐项分析判断.【解析】由

题意可得:()290,10XN,其中90,10==,即正态分布的对称轴为90x=,所以A正确,C错误,D正确.因为10=,方差为100,B错误,故选:AD.16．已知两种不同型号的电子元件的使用寿命（分别记为X，Y）均服从正态分布，()211,:XN，

()222,:YN，这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列选项正确的是（）参考数据:若()2~,ZN,则()0.6827PZ−+，(22)0.9545PZ−+A．()111120.8186PX−+B．对于任意的正数t

，有()()PXtPYt≤≤C．()()12PYPYD．()()12PXPX【答案】ABD【分析】根据正态分布密度曲线关于x=对称，且越小图像越靠y轴，越小图像越瘦长，以及3原则即可逐一分析四个选项得出

结论.【解析】对于A,()111112(0.68270.9545)0.81862PX−++=，故A选项正确;对于B,对于任意的正数t,由图象知()PXt表示正态密度曲线与x轴围成的面积始终大于()PYt

表示正态密度曲线与x轴围成的面积,所以()PXt()PYt;故B选项正确;对于C,由正态分布密度曲线,可知12,由图象知()1PY表示的面积始终大于()2PY表示的面积,所以()()21PYP

Y,故C选项错误;对于D,由正态分布密度曲线,可知12,由图象知()2PX表示的面积始终大于()1PX表示的面积,所以()()21PXPX,选项D正确.故选：ABD.三、填空题17．已知随机变量

~(6,)XBp，()2~,YN，且1(4)2PY=，()()EXEY=，则p=_________.【答案】23【分析】由题意可得出()6EXp=，()4EY==，由()()EXEY=，可求出p的值.【解析】因为随机变量~(6,)XBp，所以()6EXp=，()2~,YN

，且1(4)2PY=，所以()4EY==，所以64p=，解得：23p=.故答案为：2318．已知一试验田种植的某种作物一株生长果实的个数x服从正态分布()290,N，且(70)0.2PX=，从试验田中随机抽取10株，果实个数在90110[]，的株数记作随机变量

X，且X服从二项分布，则X的方差为_________．【答案】2.1【分析】由(70)0.2PX=,利用正态分布的对称性求得(90110)0.50.20.3PX=−=,则~(10,0.3)XB,

利用二项分布的方差公式可得结果.【解析】()2~90,XN,且(70)0.2PX=，11070902+=，(110)0.2PX=,(90110)0.50.20.3=−=PX,由题意可得~(10,0.3)XB

,所以X的方差为100.3(10.3)2.1−=，故答案为:2.119．某批零件的尺寸X服从正态分布()2N10,，且满足1(9)6PX=，零件的尺寸与10的误差不超过1即合格，从这批产品中抽取

n件，若要保证抽取的合格零件不少于2件的概率不低于0.9，则n的最小值为__________．【答案】5【分析】求出取出的零件为合格品的概率，再利用二项分布的概率公式列出不等式，借助单调性求解作答.【解析】因X服从正态分布()2N10,，且1(9)6PX

=，则()()11291129102263PXPX==−=，即每个零件合格的概率为23，合格零件不少于2件的对立事件是合格零件件数为0或1，合格零件件数为0或1的概率为011121C()C()333nnnn−+，依题意，101121CC0.1333nnnn−+

，即()1210.13nn+，令()*1()(21)()N3nfnnn=+，则有(1)231()63fnnfnn++=+，即()fn单调递减，而(5)0.1f，(4)0.1f，因此不等式1(21)()0.13nn+

的解集为*5,Nnnn，所以n的最小值为5．故答案为：520．设随机变量服从正态分布()0,1N，则下列结论正确的是______.（填序号）①()()()()0PaPaPaa=+−；②()()()210PaPaa=−；③()()()120P

aPaa=−；④()()()10PaPaa=−.【答案】②④##④②【分析】随机变量服从正态分布()0,1N，根据概率和正态曲线的性质，即可得到答案.【解析】因为()()PaPaa=−，所以①不正确；因为()()PaPaa

=−()()()()PaPaPaPa=−−=−()()()()121PaPaPa=−−=−，所以②正确，③不正确；因为()()1PaPa+=，所以()()()10PaPaa=−，所以④正确.故答案为：②④.四、解答题21．已知随机

变量()2,XN，且正态分布密度函数在(),80−上是严格增函数，在()80,+上是严格减函数，()728868.3%PX．(1)求参数、的值；(2)求()6472PX．（结果精确到0.01%）【答案】(1)80=，8=(2)13.55%【分析】(1)由题意可得正态曲线关

于直线80x=对称，又根据()68.3%PX−+结合条件即可求解；(2)由()()22649695.4%PXPX−+=可得出()642.3%PX，再求出()7284.15%PX

，由()()()64726472PXPXPX=−即可求出结果.【解析】（1）由题意得，正态曲线关于直线80x=对称，即参数80=．又()728868.27%PX，结合()68.3%PX

−+，可知8=．（2）()()22649695.45%PXPX−+=．因为()()6496PXPX=，所以()()164195.4%2.3%2PX−=，可得()6497.7%PX．又因为()()()117217

288168.3%15.85%22PXPX=−−=，所以()7284.15%PX．所以()()()6472647213.55%PXPXPX=−．22．在某次数学考试中，考生的成绩X近似服从正态分布N（90，100）．(1)求考试

成绩X位于区间（70，110）内的概率；(2)若这次考试共有20000名考生，估计考试成绩在（80，100）之间的考生人数．注：()68.27%PX−+，()2295.45%PX−+，()3399.73%PX

−+．【答案】(1)0.9545(2)大约有13654人【分析】（1）根据题意，结合(70110)(9021090210)PxPX=−+，即可求解；（2）求得(80100)(90109010)PXPX=−+，进而

求得考试成绩在()80,100之间的考生数．【解析】（1）解：因为~90(,100)XN），可得90,10010===，所以(70110)(9021090210)0.9545PxPX=−+，即考试成绩X位于区间()70,110内的概率约为0.9545

．（2）解：因为(80100)(90109010)0.6827PXPX=−+，所以200000.682713654=，所以考试成绩在()80,100之间的考生大约有13654人．23．某地区

3000名高三学生在某次模拟考试中的总分X服从正态分布()2550,50N.(1)求()500650PX；(2)试估计该地区3000名高三学生中，总分X落在区间(600,700的人数.参考数据：()0.6827PX−+，()220.9545PX−+，()3

30.9973PX−+.【答案】(1)0.8186(2)约为472人【分析】（1）利用3原则可求得()500650PX的值；（2）利用3原则计算出()600700PX，乘以3000可得结果

.【解析】（1）解：由已知550=，50=，则500=−，6502=+，所以，()()5006502PXPX=−+()()1220.81862PXPX−++−+=.（2）解：600=+，700

3=+，所以，()()6007003PXPX=++()()1330.15732PXPX=−+−−+，30000.1573471.9，所以，该地区3000名高三学生中，

总分X落在区间(600,700的人数约为472.24．某中学在全校进行了一次爱国主义知识竞赛，共1000名学生参加，答对题数（共60题）分布如下表所示：答对题数)0,10)10,20)20,30)30,40)40,5050,60频数10185265400

11525答对题数Y近似服从正态分布(),81N，为这1000人答对题数的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表）．(1)估计答对题数在12,48内的人数（精确到整数位）；(2)将频率视为概率，现从该中学随机抽取4名学生

，记答对题数位于)30,40的人数为X，求X的分布列和数学期望．附：若()2~,ZN，则()68.3%PZ−+=，()2295.4%PZ−+=，()3399.7%PZ−+=．【答案】(1)954人(2)分布列见解析；

期望为85【分析】（1）根据题意求出正态分布的均值，结合正态分布相关性质即可求解；（2）先求出从该中学随机抽取1名学生，答对题数位于)30,40的概率，再根据二项分布相关知识求解即可.【解析】（1）根据题意，可得5101518525265354004

51155525301000+++++==，所以()~30,81YN．又因为123029=−，483029=+，所以()12480.954PY=，所以10000.954954人．故答对题数在12,48

内的人数约为954人．（2）从该中学随机抽取1名学生，答对题数位于)30,40的概率为400210005=.由条件可知，X的可能取值为0，1，2，3，4，2~4,5XB()438105625PX===，()314232161C55625PX===

，()2224232162C55625PX===，()33423963C55625PX===，()421645625PX===．X的分布列为X01234P8162521662521

66259662516625则()28455EX==．25．为了切实维护居民合法权益，提高居民识骗防骗能力，守好居民的“钱袋子”，某社区开展“全民反诈在行动——反诈骗知识竞赛”活动，现从参加该活动的居民中随机抽取了100名，统计出

他们竞赛成绩分布如下：成绩（分）[40.50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)(90,100]人数242240284(1)求抽取的100名居民竞赛成绩的平均分x和方差2s（同一组中数

据用该组区间的中点值为代表）；(2)以频率估计概率，发现该社区参赛居民竞赛成绩X近似地服从正态分布()2,N，其中近似为样本成绩平均分x，2近似为样本成缋方差2s，若2−+X，参赛居民可获得“参赛纪念证书”

；若2+X，参赛居民可获得“反诈先锋证书”，①若该社区有3000名居民参加本次竞赛活动，试估计获得“参赛纪念证书”的居民人数（结果保留整数）；②试判断竞赛成绩为96分的居民能否获得“反诈先锋证书”．附：若()2

,XN，则()0.6827PX−+，(22)0.9545PX−+，(33)0.9973PX−+．【答案】(1)75x=，2100s=(2)①2456；②能【分析】（1）利用公式直接求出均值、方差即可；（2）①结合给的概率和正态分布的性质，

确定获得“参赛纪念证书”，进而计算可得人数；②利用正态分布的知识求出2+X，即95X，进而可得结果.（1）100名居民本次竞赛成绩平均分24224028445556575859575100100100100100100=+++++=x，100

名居民本次竞赛成绩方差22222422(4575)(5575)(6575)100100100=−+−+−s22240284(7575)(8575)(9575)100100100100+−+−+−=，（2）①由于近似为样本成绩平均分x，2近

似为样本成绩方差2s，所以，275,100==，可知，10010==，由于竞赛成绩X近似地服从正态分布()2,N，因此竞赛居民可获得“参赛纪念证书”的概率(2)PX−+11()(22)22=−++−+PXPX110.68270.95450

.818622+=30000.81862455.82456=估计获得“参赛纪念证书”的居民人数为2456；②当2+X时，即95X时，参赛居民可获得“反诈先锋证书”，所以竞赛成绩为96分的居民能获得“反诈先峰证书”．26．天和核心舱是我

国目前研制的最大航天器，同时也是我国空间站的重要组成部分．2021年6月17日，神舟十二号载人飞船搭载着聂海胜、刘伯明和杨洪波三名宇航员升空并顺利“入住”天和核心舱．这是中国人首次进入自己的空间站，这也标志着中国载人航天事业迈

入了一个新的台阶．为了能顺利的完成航天任务，挑选航天员的要求非常严格．经过统计，在挑选航天员的过程中有一项必检的身体指标服从正态分布()90,100N，航天员在此项指标中的要求为110．某学校共有1000名学生，为了宣

传这一航天盛事，特意在本校举办了航天员的模拟选拔活动．学生首先要进行上述指标的筛查，对于符合要求的学生再进行4个环节选拔，且仅在通过一个环节后，才能进行到下一个环节的选拔．假设学生通过每个环节的概率均为13，且相互独立．(1)设学生甲通过筛查后在后续的4个环

节中参与的环节数量为X，请计算X的分布列与数学期望；(2)请估计符合该项指标的学生人数（结果取整数）．以该人数为参加航天员选拔活动的名额，请计算最终通过学校选拔的人数Y的期望值．参考数值：()0.6827PX−+=，()220.9545PX−+=，()330.9973PX

−+=．【答案】(1)分布列见解析，数学期望为4027(2)估计符合该项指标的学生人数约有23人，Y的期望值为2381【分析】（1）由题意得出X的所有可能取值及对应的概率，从而可得X的分布列及数学期望；（2）利用正态分布，结

合二项分布得出符合该项指标的学生人数，结合二项分布即可求解数学期望．（1）易知学生甲参与的环节数量X的所有可能取值为1，2，3，4，()213PX==；()1222339PX===；()1122333327PX===；()1111433327PX=

==，所以X的分布列为X1234P2329227127所以()222140123439272727EX=+++=．（2）因为服从正态分布()90,100N，所以()10.95451100.022752P−==．设1000名学生中该项指

标合格的学生人数为Z，则()~1000,0.02275ZB，所以()10000.0227522.7523EZ==，所以估计符合该项指标的学生人数约有23人，且每位同学通过选拔的概率411381P==，则通过学校选

拔的人数1~23,81YB，故()123238181EY==．27．国际上常用体重指数作为判断胖瘦的指标，体重指数是体重（单位：千克）与身高（单位：米）的平方的比值．高中学生由于学业压力，缺少体育锻炼等原因，导致体重指数偏高．某市教育局为督促各

学校保证学生体育锻炼时间，减轻学生学习压力，准备对各校学生体重指数进行抽查，并制定了体重指数档次及所对应得分如下表：档次低体重正常超重肥胖体重指数x（单位：2kg/m）17.3x17.323.9x23.927.2x27.2x学生得分80

1008060某校为迎接检查，学期初通过调查统计得到该校高三学生体重指数服从正态分布()22393.3N.，，并调整教学安排，增加学生体育锻炼时间.4月中旬，教育局聘请第三方机构抽查了该校高三50名学生的体重指数，得到数据如下表：16.316.917.117.518.218.519.019.319

.519.820.220.220.520.821.221.421.521.922.322.522.822.923.023.323.323.523.623.824.024.124.124.324.524.624.824.925.225.325.525.725.926.

126.426.727.127.628.228.829.130.0请你从肥胖率、体重指数学生平均得分两个角度评价学校采取措施的效果附：参考数据与公式若()2,XN−，则①()0.6827PX−+=；②()220.9545PX−+=；③()330.9973

PX−+=【答案】调整后肥胖率减小，体重指数平均得分增加，说明学校采取的措施效果好．【分析】根据正态分布求出调整前重指数各档次的概率，求出得分，再统计调整后各档次人数，得各档次概率，计算平均得分后比较可得．【解析】增加学生体育锻炼时间后，调查的50人的体重

指数频数分布表如下：档次低体重正常超重肥胖体重指数x（单位：2kg/m）17.3x17.323.9x23.927.2x27.2x人数325175其中肥胖率为50.150=，而调整前，肥胖率为1

0.6827()0.158650.12PX−+==．调整前，低体重的概率为10.9545(2)0.022752PX−−==，体重正常概率为0.9545(2)0.477252PX−==，超重概率为0.6827()0

.341352PX+==，调整前体重指数平均得分为0.02275800.477251000.34135800.1586560+++=86.372，调整后体重指数平均得分为3251758010080608850505050+++=，因此调整后肥胖率

减小，体重指数平均得分增加，说明学校采取的措施效果好．28．在创建“全国文明城市”过程中，我市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次）通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果

如表所示：组别[30，40)[40，50)[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]频数213212524114（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分(),198ZN，近似为这100人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的左端点值作代表），①求的值

；②利用该正态分布，求()74.588.5PZ；（2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；②每次获赠的随机话费和对应的概率为：赠送话费的金额（单位：元）2050概率3

414现有市民甲参加此次问卷调查，记X（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X的分布列与数学期望．参考数据与公式：19814．若2~(,)XN，则()0.6826PX−+=，(22)0.9544PX−+=，(33)0.9974PX−+=

≤.【答案】（1）60.5=，()74.588..135509PZ=；（2）分布列见解析，165()4EX=【分析】（1）直接根据公式计算得到60.5=，再根据正态分布的对称性及()(2)74.588.5PPZZ

++=计算得到答案.（2）获赠话费X的可能取值为20，40，50，70，100，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.【解析】（1）由题意得：3024013502160257024801190460.5100++++++=，∴60.5=，∵1

9814=，1(22)(88.5)(2)0.02282PZPZPZ−−+=+==，()0.6826(60.574.5)0.341322PXPZ−+===()(60.574.74

.5)(88.5588.55)0.PZPZPZ−=−0.50.34130.02280.1359=−−=（2）由题意知()()12PZPZ==，.获赠话费X的可能取值为20，40，50，70，100，()13320248

PX===，()13394024432PX===，()11150248PX===，()13111337024424416PX==+=，()111110024432PX===，.∴X的分布列为：X20405070100P3893218316132∴39131165()204050

70100832816324EX=++++=.【点睛】方法点睛：本题考查了正态分布求概率，分布列和数学期望，求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列，组合，概率知识求出X

取各个值时对应的概率，对应服从某种特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，考查学生逻辑推理能力与计算能力，属于中档题.