【文档说明】2023-2024学年高一数学人教A版2019必修第一册同步备课试题 2.1 等式性质与不等式性质（7大题型） Word版含解析.docx，共(23)页，1.773 MB，由小赞的店铺上传

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第二章一元二次函数、方程和不等式2．1等式性质与不等式性质（7大题型）分层作业题型目录考查题型一：用不等式(组)表示不等关系考查题型二：作差法比较两数(式)的大小考查题型三：作商法比较两数(式)的大小考查题型四：利用不等式的

性质判断命题真假考查题型五：利用不等式的性质证明不等式考查题型六：利用不等式的性质比较大小考查题型七：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围考查题型一：用不等式(组)表示不等关系1．（2023·全国·高一专题练习）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，

人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点100米以外（含100米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x（单位：厘米）应满足的不等式为（）A．41000.5xB．41000.5xC．41000.

5xD．41000.5x【答案】B【解析】由题意知导火索的长度x（单位：厘米），故导火索燃烧的时间为0.5x秒，人在此时间内跑的路程为40.5x米，由题意可得41000.5x．故选：B．2．（2023·高一课时练习）下列说法正确的为（）A．x与2的和是非负数，可表示为

“20x+”B．小明的身高为x，小华的身高为y，则小明比小华矮可表示为“xy”C．ABC的两边之和大于第三边，记三边分别为a，b，c，则可表示为“abc+且acb+且bca+”D．若某天的最低温度为7℃，最高温度为13℃，则这天的温度t可表示为“7℃t13℃”【答案】C【解析】对于

A，应表示为“20x+”，对于B，应表示为“xy”，对于D，应表示为“7℃t13℃”，故A，B，D错误．故选：C．3．（2023·全国·高一专题练习）铁路乘车行李规定如下：乘动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过Mcm.设携带

品外部尺寸长、宽、高分别为a、b、c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（）A．a+b+c≤MB．a+b+c>MC．a+b+c≥MD．a+b+c<M【答案】A【解析】长、宽、高之和不超过Mcm，ab

cM++.故选：A.4．（2023·高一课时练习）用不等式表示，某厂最低月生活费a不低于300元（）.A．300aB．300aC．300aD．300a【答案】B【解析】依题意：生活费a不低于300元，即300a.故选：B5．（2023·全国·高一专题练习）某学生月考数学成绩x

不低于100分，英语成绩y和语文成绩z的总成绩高于200分且低于240分，用不等式组表示为（）A．100200240xyz+B．100200240xyz+C．100200240xyz+D．100200240xyz

+【答案】D【解析】数学成绩x不低于100分表示为100x，英语成绩y和语文成绩z的总成绩高于200分且低于240分表示为200240yz+，即100200240xyz+.故

选：D.考查题型二：作差法比较两数(式)的大小6．（2023·高一单元测试）,Rab，ab和11ab同时成立的条件是．（答案不唯一，写出一个即可）【答案】0ab（答案不唯一）【解析】110baabab−−=，因为ab，即0ba−，所以

0ab，所以0ab或0ab，故所写答案只要满足上述两个不等条件其中一即可，如2,1ab==等.故答案为：0ab（答案不唯一）.7．（2023·全国·高一专题练习）比较大小：532−53.12−.【答案】【解析】因为

5533.10.1022−−−=−，所以5533.122−−故答案为：.8．（2023·全国·高一专题练习）已知0,0,0abcde，设()2eXac=−，

()2eYbd=−，则XY（填“>”“<”或“=”）．【答案】>【解析】()()()()()()2222ebacdbcadeeXYacbdacbd+−−+−−−=−=−−−−.因0,0,abcd则000,b

acdbacd+−−+−−.000,bacdbcad−−+−−，又0e，()()2200,acbd−−.则()()()()220ebacdbcadacbd+−−+−−−−，即XY.故答案为：9．（2023·

全国·高一专题练习）设()21Maa=−，()()13Naa=+−，则M，N的大小关系为．【答案】MN【解析】()222222330MNaaaaa−=−−−−=+，所以MN.故答案为：MN10．（2023·广西桂林·高一校考阶段练习）设2251,41MaaNaa=−

+=+−，则M与N的大小关系为：MN（用“”、“=”、“”填写）.【答案】【解析】因为2251,41MaaNaa=−+=+−，所以()()2222514102211NaaMaaaaa−++=−−=−−+−+=，所以MN.故答案为：.11．（2023·河南洛阳·高一宜

阳县第一高级中学校考阶段练习）已知,ab为实数，则221214ab++2aba+(填“”、“”、“”或“”).【答案】【解析】由题知，()()22222221112110422412aaabbbaaabaaba+=−+−+

++−++−=−，当且仅当1,2ab==时，取等号.故答案为：.考查题型三：作商法比较两数(式)的大小12．（2023·全国·高一专题练习）若01x，则x、1x、x、2x中最小的是.【答案】2x【解析】因为01x，所以11x，01x，201x

因为1xxx=，21xxx=，所以xx，2xx即21xxxx故答案为：2x13．（2023·全国·高一专题练习）2211,,()1PaaQaRaa=++=−+，则,PQ的大小关系为．【答案】≥【解析】因为2213102

4Paaa=++=++，22131024aaa−+=−+则0Q由()()()222224211111PaaaaaaaaQ=++−+=+−=++所以PQ故答案为：14．（2023·高一课时练习）如果0x

，01y，那么2yx，yx，1x从小到大的顺序是【答案】21yyxxx【解析】因为三个式子很明显都是负数，所以2(0,1)yxyyx=，所以2yyxx；同理(0,1)1yxyx=，所以1yxx。综上：21yyxxx

故答案为：21yyxxx15．（2023·全国·高一随堂练习）若0ab，求证：2()abababab+．【解析】证明：∵a>b>0，∴1ab，且0ab−．∴作商得：221()abababababab−+=．∴2()abab

abab+．考查题型四：利用不等式的性质判断命题真假16．（多选题）（2023·高一单元测试）下列命题不正确的是（）A．若ab，则22acbcB．若ab−，则ab−C．若acbc，则abD．若ab，则acbc−−【答案】ABC【解

析】对于A，若0c=，则220acbc==，所以A错误，对于B，当ab−时，则不等式的性质可得ab−，所以B错误，对于C，当acbc，0c时，ab，所以C错误，对于D，若ab，则由不等式的性质可得acbc−−，所以D正确，故选：ABC17．（多选题）（2023·浙江台州·高一校联

考期中）已知,,abc为实数，若ab，则下列不等关系一定正确的是（）A．acbc−−B．22abC．33abD．acbc【答案】AC【解析】对于A，由不等式性质可知不等式两边同时加减同一个实数，不等号方向不改变，即A正确；对于B，易知()()22aba

bab−=−+，又ab，若0ab+时，22ab；若0ab+时，22ab；若0ab+=时，22ab=；所以22ab并不一定成立，即B错误；对于C，由()()()2332221324ababaabba

babb−=−++=−++可知，当ab时，0ab−，2213024abb++，所以33ab，即C正确；对于D，当0c时，由不等式性质易知ab时，acbc，即D错误；故选：AC18．（多选题）（2023·广东佛山·高一校联

考期中）下列命题为真命题的是（）A．若0ab，则22acbcB．若23,12ab−，则42ab−−C．若0ab且0c，则22ccabD．若cab，则abcacb−−【答

案】BC【解析】若0ab,0c=，则22acbc=，故A错误；若23,12ab−，则21b−−−，42ab−−，故B正确；若0ab且0c，则22222222()()()0cccbacbabaababab−−+−==，即22ccab，故C正确；若cab，取

1c=−，2a=−，3b=−，则2212aca−==−−−+，33132bcb−==−−−+，此时abcacb−−，故D错误.故选：BC19．（多选题）（2023·云南昆明·高一校考期中）对于任意实数a，b，c，d，以下四个命题中正确的是（）A．若22acbc，则abB．若

ab，cd，则acbd++C．若ab，cd，则acbdD．若ab，则11ab【答案】AB【解析】A选项：因为22acbc成立，则20c，则ab，故A正确；B选项：若ab，cd，由不等式同向

可加性，得acbd++，故B正确；C选项：令2,1,1,2abcd===−=−,满足ab，cd，但acbd=，故C不正确；D选项：令2,1ab==，满足ab，但11ab，故D不正确.故选：AB.20．（多选题）（2023·福建厦门·高一厦门市海沧中学校考期中）下列说法

中正确的是（）A．若ab，0c，则acbcB．若24a−，13b，则53ab−−C．若0ab，0m，则mmabD．若ab，cd，则acbd【答案】AB【解析】对于A，因为ab，0c，所以acbc，故A正确；对于B，因为13b，所以31b−−−，又2

4a−，所以53ab−−，故B正确；对于C，因为0ab，所以110ab，又0m，所以mmab，故C错误；对于D，当2,1,2,3abcd===−=−时，满足,abcd，但4,3acb

d=−=−，此时acbd，故D错误，故选：AB21．（多选题）（2023·山东东营·高一利津县高级中学校考阶段练习）已知实数a，b，c，若ab，则下列不等式不成立的是（）A．11abB．22abC．2211abcc++D．acbc【答案】ABD【解析】当2a=，1b=时，满足a

b，但11ab，故A错误；当1a=，2b=−时，满足ab，但22ab，故B错误；因2101c+，ab，由不等式性质得2211abcc++，故C正确；当0c=时，acbc不成立，故D错误.故选：ABD.22．（多选题）（2023·江苏·高一专题练习）下列命题为真命题的是（）A．若,

abcd，则acbd++B．若0,0abc，则ccabC．若ab，则22acbcD．若,abcd，则acbd【答案】AB【解析】对于A，由不等式的性质可知同向不等式相加，不等式方向不变，故A正确；对于B，

()cbaccabab−−=，因为0,0,0−bacab，所以0ccab−，故B正确；对于C，当0c=时，22acbc=故C错误；对于D，当1,2.2,1=−=−==abcd时，acbd=，故D错误；故选：AB.考查题型五：利用不等式的性质证明不等式23．（2023·全国·高一专题练习

）试比较下列组式子的大小：(1)1xx+−与1xx−−，其中1x；(2)11abMab=+++与11baNab=+++，其中0a，0b；(3)2222abab−+与abab−+，0ab．【解析】

（1）111xxxx+−=++，111xxxx−−=+−，因为110xxxx+++−，所以1111xxxx+++−，即11xxxx+−−−；（2）11111111abbaababMNababaabb−=+−+=−−−++++++++

()()()()211111111ababababababab−−−=−=−−=−++++++．因为0a，0b，所以()()110ab++，()20ab−−，所以0MN−，即MN；（3）方法一（作差法）()()()(

)()()2222222222abababababababababab+−−+−−−−=++++()()()()()()()()22222222ababababababababab−+−+−==++++．因为0ab，所以0ab+，0ab−，20ab，220ab+．所以

()()()2220abababab−++，所以2222abababab−−++．方法二（作商法）因为0ab，所以22220abab−+，0abab−+，20ab，所以()22222222222222211ababab

abababababababab−++++===+−++++，所以2222abababab−−++．24．（2023·高一课时练习）（1）若(),1,ab+，证明：1abab++.（2）已知xR，212ax=+，2bx=−，21cxx=−+，试证明a，

b，c至少有一个不小于1.【解析】（1）要证1abab++，只需证()()221abab++，只需证1abab++,即10abab+−−，即证()()110ab−−.因为1,1ab，所以10,10ab−−，即()()110ab−−成立，所以原不等式成立．（2）假设

a，b，c均小于1，即1,1,1abc，则有3abc++，而22221712122233222abcxxxxxxx++=++−+−+=−+=−+，这与3abc++矛盾，假设不成立，故a，b，c至少有一个不小于1.25．（2023·内蒙古通辽·高

一校考期中）（1）设()223Paa=−+，()()13Qaa=−−，aR.试比较P与Q的大小.（2）已知0ab，0cd，0e.求证：eeacbd−−；【解析】（1）()()()22313PQaaaa−=−+−−−()22224343aa

aaa=−+−−+=∵20a，∴0PQ−，∴PQ．（2）0ab，0cd−−，0acbd−−11acbd−−，又0e，eeacbd−−.26．（2023·全国·高一专题练习）（1）比较2(1)(1)2xx

x+++与()2(11)2xxx+++的大小．（2）已知,0abab，求证：11ab；【解析】（1）()22(1)(1)()1212xxxxxx++++−++323233331110222222xxxxxx=+++−+++=

，所以()22(1)(1))1(212xxxxxx++++++.（2）因为,0abab，所以10ab，所以11ababab，所以11ba，即11ab.27．（2023·全国·高一专题

练习）（1）已知abc，且0abc++=，证明：aaacbc−−．（2）证明：213aaaa−−−−−．(3)a【解析】证明：（1）由abc，且0abc++=，所以0a，且0,acbc−−所以()()0acbc−−，所以

()()acacbc−−−()()bcacbc−−−，即1bc−1ac−；所以abc−aac−，即aac−abc−．（2）要证213aaaa−−−−−，(3)a只需证a+3a−1−+a2a−，即证(3)2(3)(1)(2

)2(1)(2)aaaaaaaa+−+−−+−+−−；即证()3aa−()()12aa−−，即证(3)(1)(2)aaaa−−−；即证02，显然成立；所以213aaaa−−−−−．28．（2023·福建泉州·高一福建省泉州市培元中学校考阶段练习）（1）证明：圆的面积大于

与它具有相同周长的正方形的面积；（2）已知000abcde，，，求证：eeacbd−−.【解析】（1）设周长为(0)xx，则圆的面积221()24xxS==，正方形面积为2216xS=，得12SS，即圆的面积大于与它具有相同周长的正方形的面积；（2）由0,0abcd

得0acbd−−，则11acbd−−，而0e，故eeacbd−−．29．（2023·安徽芜湖·高一芜湖一中校考阶段练习）已知,,abc为三角形的三边长，求证：(1)222abcabbcca++++；(2)()2444ab

cabbcca++++.【解析】（1）,,abc为三角形的三边长，而()()22222222222222abcabbccaababbcbcacac++−++=+−++−++−222()()()abbcac=−+−+−，显然222()0,()0,()0abbcac−−

−，即222()()()0abbcac−+−+−，当且仅当==abc时取等号，因此()()22222abcabbcca++++，所以222abcabbcca++++.（2）,,abc为三角形的三边长，则0,0,0abcbcacab+++，于是得：()()()()2222abca

bcbcacababbcca+++++++=++，所以()()()22222444abcabcabbccaabbcca++=+++++++.30．（2023·全国·高一专题练习）若0ab，0cd，bc，求证：()()

22bcadacbd++−−.【解析】证明：因为0cd，所以0cd−−，又因为0ab，所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得0acbd−−，所以()()220acbd−−，所以()()22110acbd−−，因为a

b，dc，所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得adbc++.又bc，所以0bc+，所以0bcad++由不等式的同号可乘性可得()()22bcadacbd++−−.考查题型六：利用不等式的性质比较大小31．（2023·浙江台

州·高一校联考期中）已知2a=，43b=−，判断a，b大小关系ab.（填“>、=、<”）【答案】【解析】因为221.421.5，所以1.421.5，因为221.731.8，所以1.731.81.831.72.2432.3−−−−，

所以ab，故答案为：32．（2023·北京西城·高一北京铁路二中校考期中）能说明命题“若abc，则abac”错误的一组数a，b，c是．【答案】1a=−，2b=−，3c=−（答案不唯一）【解析】因为abc，若0a，则abac，所以只

要满足0cba的a，b，c均符合题意，故答案为：1a=−，2b=−，3c=−（答案不唯一）33．（2023·高一单元测试）下列不等式中，不成立的是．（填序号）①若ab，则22acbc；②若22acbc，则ab；③若ab，则22ab；④若||ab

，则22ab；⑤若ab，若55ab；⑥若ab，则11ab；⑦若0ab，0cd，则abcd；⑧若ab，cd，则adbc−−．【答案】①③⑥【解析】对于①,若2c=0,则22acbc=,所以①不成立；对于②，由22acbc可知20c，所以ab成立，故②

成立；对于③，如1,2ab==−满足ab，但22ab，所以③不成立；对于④，因为||0ab，所以22||ab，即22ab，所以④成立；对于⑤，由ab可得55ab，所以⑤成立；对于⑥，若0ab，则11ab，所

以⑥不成立；对于⑦，因为0cd，所以110cd，且0ab，所以abcd，所以⑦成立；对于⑧，因为cd，所以dc−−，所以adbc−−，所以⑧成立，故答案为:①③⑥.34．（2023·高一单元测试）若ab，0c，则()abc−0．（填“”、“=”或“”

）【答案】【解析】因为ab,所以0ab−,又因为0c,所以()0abc−,故答案为:.35．（2023·海南儋州·高一校考期中）如果ab，cd，那么ac+bd+(填“”或“”)【答案】【解析

】因为ab，cd，根据不等式的性质可得，acbd++.故答案为：.36．（2023·河南·高一统考期中）给出下列三个论断：①abc；②abbc；③0b且0c.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：.【答案】若abc，0b且0

c，则abbc.【解析】若选择①③作为条件，②作为结论：若abc，0b且0c，则abbc；若选择①②作为条件，③作为结论：若abc，abbc，则()0acb−，故0b，但c也可能大小

0，故选择①②作为条件，③作为结论的命题不正确；若选择②③作为条件，①作为结论：若abbc，0b且0c，则()0acb−，故ac，但a与b大小关系不确定，故选择②③作为条件，①作为结论的命题不正确.故答案为：若abc，0b且0c，则abbc.37．（202

3·北京房山·高一统考期中）若a，b同时满足下列两个条件：①abab+；②11+abab．请写出一组a，b的值．【答案】1,2ab=−=或其他任意合理答案【解析】容易发现，若将①式转化为②式，需使()0abab+即ab+与ab异号，显然应使0ab+，0

ab当0,0ab时，需使0ab+，则ab，可取1,2ab=−=；当0,0ab时，需使0ab+，则ab，可取2,1ab==−.综上，取任意异号两数，且正数的绝对值大于负数的绝对值皆为合理答案.故答案为：1,2ab=−=或其他任意合理答案.38．（2023

·辽宁沈阳·高一校联考期中）若1ab，1bya=，211bya−=−，则1y，2y的大小关系是.【答案】12yy【解析】由1ab,有0ab−，10a−，则12101(1)(1)bbabbabaabyyaaaaaa−−−

+−−=−==−−−，故12yy,故答案为：12yy.考查题型七：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围39．（2023·全国·高一专题练习）已知01,24abab−+，则42ab−的取值范围是（）A．1425ab−B．2427ab−

C．1426ab−D．0429ab−【答案】B【解析】设()()()()42abmabnabmnamnb−=−++=+−−，所以42mnmn+=−=，解得31mn==，所以()()423ababab−=−++，又01,24abab−+，所以2427ab−，故A

，C，D错误，故选：B.40．（2023·黑龙江大庆·高一大庆中学校考开学考试）已知14a，12b−，则3ab−的取值范围是（）A．1331ab−−B．138ab−−C．1313ab−−D．1313ab−【答案】D【解析】因为14a，12b−，所以21b−−，

3312a，所以1313ab−．故选：D.41．（2023·全国·高一专题练习）实数a、b满足-3+2ab，-1-4ab.(1)求实数a、b的取值范围；(2)求3-2ab的取值范围．【解析】（1）由-3+2ab，-1-4ab，则()()1=++-2aabab

，所以()()-4++-6abab，所以()()1-2++-32abab，即-23a，因为()()1=+--2babab，由-1-4ab，所以-4-1ba，所以()()-7+--3abab，所以()()713

-+--222abab，∴73-22b，（2）设()()()()3-2=++-=++-abmabnabmnamnb，则+=3-=-2mnmn，解得1=25=2mn，∴153-2=(+)+(-)

22ababab，∵-3+2ab，-1-4ab．∴31-(+)122ab，55-(-)1022ab，∴-43-211ab，42．（2023·湖北黄冈·高一校考阶段练习）（1）已知1260a

<<，1536b<<．求ab−和ab的取值范围．（2）已知02ab+，11ba−−，求2ab−的取值范围．【解析】（1）因为1536b<<，由不等式的性质可得，3615b−−−；1113615b，因此12

366015ab−−−，即2445ab−−；12603615ab，即143ab，所以2445ab−−，143ab.（2）令2()()abmabnba−=++−，,Rmn，即()()2mnamnbab−++=−，则有21mnmn−=+

=−，解得1232mn==−，而02ab+，11ba−−，于是012ab+，333()222ba−−−，所以，333()12222abba+−−−+，即35222ab−−，所以35222ab−−.43．（2

023·辽宁营口·高一校考阶段练习）（1）已知1260,1536ab，求ab−与ab的取值范围；（2）已知ππ22−，试求2a−的取值范围【解析】（1）由于1260,1536ab，3615b−−−，12366015ab−−−，即2445ab−−；又1

113615bQ，12603615ab143ab，(2)ππ22−Q，ππππ,424424−−，ππ424−−，ππ222−−又，02a−

，故π022a−−.1．（2023·黑龙江佳木斯·高二富锦市第一中学校考期末）若a、b为实数，则“01ab”是“1ab或1ba>”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若01ab，若0b，则0a，此时有10ab

，若a<0，则0b，此时有10ba，所以，若01ab，则“10ab或10ba”，即“01ab”“1ab或1ba>”；若“1ab或1ba>”，若1ab，不妨取2a=−，1b=-，则1ab；若1ba>，不妨取2b=，1a=，则1ab.所以，“01ab”

“1ab或1ba>”.因此，“01ab”是“1ab或1ba>”的充分不必要条件.故选：A.2．（2023·陕西安康·高二校联考期末）王老师是高三的班主任，为了更好地督促班上的学生完成作业，王老师特地组建了一个学习小组的钉钉群，群的成员由学生、家长、老师共同组成．已

知该钉钉群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数．则该钉钉群人数的最小值为（）A．18B．20C．22D．28【答案】C【解析】依题意，设教师、家长、女生、男生人数分别为,,,xyzt，且,,,Nxyzt，于是1,12,123y

xzyxtzyx++++++，则46xyztx++++，又23xtx+，解得3x，因此min4x=，此时22xyzt+++，所以当4,5,6,7xyzt====时，min()22xyzt+++=，即该钉钉群人数的最小值为22.故选：C3．（2023·全国·高三专题练习

）设,xyR，则“3x且3y”是“6xy+”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由3x且3y，可得6xy+,当5x=，1y=−时，满足6xy+，但不满足3x且3y,则“3x

且3y”是“6xy+”的充分不必要条件,故选：A.4．（2023·北京·高三强基计划）若a，b，c为非负实数，且22225abcabbcca++−−−=，则abc++的最小值为（）A．3B．5C．7D

．以上答案都不对【答案】B【解析】根据题意，有2222222()5abcabcabbccaabcabbcca++=+++++++−−−=，等号当cyc(,,)(5,0,0)abc=时可以取得，因此所求最小值为5．故选：B.5．（2023·上海宝山·高三上海交大附中校考开学考试）对任意给定的实数

a、b，有||abab++，且等号当且仅当（）时成立A．0abB．0abC．0abD．0ab≤【答案】C【解析】由22||()()||abababababab++++≤，所以不等式取等号时，0ab=或0ab，故选：C6．（2023·陕西

西安·高二西安中学校考期中）设1,75,622abc==−=−，则,,abc的大小顺序是（）A．abcB．cabC．acbD．bca【答案】C【解析】57725b=−=+，66222c=−=+，7625++，227562++，bc.又52566

024ac−=−=−，故ac.则acb.故选：C.7．（2023·广西·高二校联考阶段练习）汽油的单价会随着各种因素不断变动，一段时间内，某人计划去加油站加两次油，两次加油时汽油单价不同，现有两种加油方案——

甲：每次加油的总金额固定；乙：每次所加的油量固定．若规定平均单价越低，则该加油方案越实惠，不考虑其他因素影响，则（）A．甲方案实惠B．乙方案实惠C．哪种方案实惠需由两次油价决定D．两种方案一样实惠【答案】A【解析】设

两次加油的油价分别为a，0b且ab¹.甲方案：设每次加油总金额为W，则平均油价22211WabxWWababab===+++；乙方案：设每次加油量为N，则平均油价22aNbNabyN++==.则()()

()()2242222xbababababababaayb−+−−+−==+−=++，因为，a，0b且ab¹，所以，0ab+，()20ab−，所以，0xy−.所以，xy，甲方案实惠．故选：A.8．（2023·浙江·校考模拟预测）已知实数,,xy

z满足2221xyz++=，当2xyyzxz++取到最小值时，则（）A．xy=B．xz=C．221xy+=D．221xz+=【答案】D【解析】因为22222024yyxzxzxyyzxz++=+++++，2221xyz++=所以222222320114

44yyxyyzxzxzyy++−++=−−+=−+，当0y=，2xyyzxz++取到最小值，此时可得221xz+=．故选：D9．（多选题）（2023·全国·高一课堂例题）已知,,Rabc，且0c，则下列命题中是真命题的是（）A．如果ab，那么11a

bB．如果acbc，那么abC．如果ab，那么22abccD．如果0cab，那么abcacb−−【答案】CD【解析】取2a=，1b=-，1c=−，满足选项A，B中的前提条件．对于选项A，有11ab，故A是假命题；对于选项B，有ab，故B是假命题；对于选

项C，∵0c，∴210c，由不等式的性质4知C是真命题；对于选项D，000ababcacb−−−−，同乘以()()1cacb−−，得110cbca−−，又0ab，∴abcacb−−，故D是真命题．故选：CD.10．（多选

题）（2023·江西九江·高二统考期末）已知0ba，则下列不等式一定成立的是（）A．22baB．2abaC．11ba−−D．10ba−【答案】ABD【解析】因为0ba，所以222,,ABbaabaaa=，正确；由不等式的倒数法则可知11ba，两边同乘以1−，得11ba−

−，C错误；由0ba，得1,10bbaa−，D正确，故选：ABD.11．（多选题）（2023·全国·高一专题练习）若1ab，0c，则下列不等式一定成立的是（）.A．1abcbacc++B．22a

bcbac−−C．bcacabD．1122abab−−【答案】BD【解析】对于A：()()()2211bcabcacbcbacbacccbaccbac−++−−−==+++，只有当1c时，1abcbacc++，故A错误；对于B

：()()()2222abcbacabcab−−−=−+−，因为1ab，22,ab所以22abcbac−−，故B正确；对于C：()2222cbabcacbcacababab−−−==，因为1ab，22,ab所以()2

20cbabcacabab−−=，故C错误；对于D：因为1,ab所以220ab−，110ab−，所以1122abab−−，故D正确；故选：BD12．（2023·全国·高一专题练习）已知a，b，c，d为实数，以下6个命题中，真命题的序号是．①若ab，则22a

cbc；②若22acbc，则ab；③若0ab，则bbxaax++；④若0ab，则22aabb；⑤若0ab，则11ab；⑥若0ab，则baab；【答案】②④【解析】对①，当0c=时，22acbc

=，故①不成立；对②，若22acbc，则20c，即20c，则ab，故②成立；对③，若1,2,1abx===，则322bbxaax+==+，则bbxaax++，故③不成立.对④，若0ab，则2aab且2abb，故

22aabb，故④成立；对⑤，若0ab，则0ab，故ababab，即11ab，故⑤不成立，对⑥，0,1,1,abbaabbaab，故⑥不成立，故②④为真命题.故答案为：②④.13．（2023·全国·高一专题练习）若关于x的不等式1222aax−−只有一个整数解

2，则实数a的取值范围为．【答案】314a【解析】1222aax−−的解为1222axa−+，因为不等式的整数解只有2，故11222223aa−+，故314a，故答案为：

314a.14．（2023·四川宜宾·高二四川省宜宾市第四中学校校考开学考试）已知实数a，b，c满足22114abc+，则abc++的最小值是.【答案】18−【解析】∵实数a，b，c满足22114abc+，∴()222211114448888abcababab+++++=+

++−−，当18ab==−，18c=时等号成立，abc++的最小值为18−.故答案为：18−．