【文档说明】2023-2024学年高二数学苏教版2019选择性必修第二册同步试题 7.4 二项式定理 Word版含解析.docx，共(19)页，843.020 KB，由小赞的店铺上传

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7.4二项式定理一、单选题1．()62x−的展开式中2x的系数为（）A．15B．15−C．60D．60−【答案】C【分析】根据二项式展开公式求解即可.【解析】展开通项公式为()()616C2rrrrTx−+=−，令64r−=得2r=，所

以()()422222366C2C640Txxx=−==，所以2x的系数为60，故选：C.2．()522xyz−+展开式中，3xyz的系数为（）A．320−B．320C．240−D．240【答案】A【分析】根据二项式的通项公式进行

求解即可.【解析】因为()()5522[22]xyzxyz−+=−+，所以通项公式为：()()515C22rrrrTxyz−+=−，令1r=，所以()()44125C22102Txyzxyz=−=−，设二项式4(2)xy−的通项公式为：()()414C2nnn

nTxy−+=−，令3n=，所以()33344C232Txyxy=−=−，因此3xyz项的系数为：()1032320−=−，故选：A.3．52212xxyxyx−+的展开式中26xy的系数为（）A．30B．4

0C．70D．80【答案】A【分析】求出52212xxyxyx−+的展开式中含26xy的项,再求出其系数即可.【解析】因为52212xxyxyx−+的展开式中含26xy的项为3232424552212()()()()xCxyCx

yxxyx+−，所以26xy的系数为34554230CC−=.故选：A.4．()4234012341xaaxaxaxax+=++++，则01234aaaaa−+−+=（）A．1B．3C．0D．3−【答案】C【分析】根据展开式，利用赋值法取=1x−即得.【解析】因为()4

234012341xaaxaxaxax+=++++，令=1x−，可得()401234110aaaaa−+−+=−=.故选：C.5．(12)nx−的二项展开式中，奇数项的系数和为（）A．2nB．12n−C

．(1)32nn−+D．(1)32nn−−【答案】C【解析】设230123(12)nnnxaaxaxaxax−=+++++，令1x=、=1x−计算024aaa+++即可求解.【解析】设230123(12)nnnxaaxaxaxax−=+++++，令1x=可得0123(1)nnaa

aaa−=+++++，令=1x−可得01233naaaa=−+−+，两式相加可得：()024(1)32nnaaa−+=+++，所以奇数项系数之和为024(1)32nnaaa−++++=，故选：C.6．若22nxx

+的展开式有9项，则自然数n的值为（）A．7B．8C．9D．10【答案】B【分析】根据二项式展开式的项数即可得解.【解析】解：因为22nxx+的展开式共有1n+项，所以19n+=，所以8n=，故选：

B．7．关于212nxx−的展开式中共有7项，下列说法中正确的是（）A．展开式中二项式系数之和为32B．展开式中各项系数之和为1C．展开式中二项式系数最大的项为第3项D．展开式中系数最大的项为第4项【答案】B【分析】依题意可得6n=，再根据

二项式系数和为2n判断A，令1x=即可求出展开式系数和，即可判断B，根据二项式系数的特征判断C，再求出展开式系数最大值，即可判断D；【解析】解：因为二项式212nxx−的展开式中共有7项，所以6n=，选项A：所有项的二项

式系数和为6264=，故A不正确；选项B：令1x=，则612111−=，所以所有项的系数的和为1，故B正确；选项C：二项式系数最大的项为第4项，故C不正确；选项D：二项式的展开式的通项为()()666316

621C2C12rrrrrrrrTxxx−−−+=−=−，故系数为()66C12rrr−−，系数的最大项只从0,2,4,6r=中选择，当0r=时()060664C12=−，当2r=时()26240C1422−=，当4r=时()464260C12=−

，当6r=时()66601C12−=，故当2r=时系数最大，所以展开式中系数最大的项为第3项，故D不正确.故选：B8．在()nab+的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n=（）A．5B．6C．7D．8【答案】B【分析】当n为偶数时

，展开式中第12n+项二项式系数最大，当n为奇数时，展开式中第12n+和32n+项二项式系数最大.【解析】因为只有一项二项式系数最大，所以n为偶数，故142n+=，得6n=.故选：B9．二项式503(23)x+的展

开式中系数为有理数的项共有（）A．6项B．7项C．8项D．9项【答案】D【分析】由二项式的通项公式结合有理项的性质即可求解.【解析】二项式的通项250532315050C2)(3C(3)2rrrrrrrrTxx−−+==，若要

系数为有理数，则25Z2r−，Z3r，050r，且rZ，即Z2r，Z3r，易知满足条件的{0,6,12,18,24,30,36,42,48}r，故系数为有理数的项共有9项.故选：D10．在621xx+−的展开式中，除常数项外，其余各项系数的和为（）A．

63B．-517C．-217D．-177【答案】B【解析】利用赋值法令1x=求各项系数的和，再利用生成法求常数项，再求其余各项系数的和.【解析】常数项是()()()32246332221166465222111581CxCxCCxCxxx+

−+−+−=，令1x=求各项系数和，()612164+−=，则除常数项外，其余各项系数的和为64581517−=−.故选：B11．在233nxx−+的二项展开式中，533rnrnrnx−−C称为二项展开式的

第1r+项，其中r=0，1，2，3，……，n．下列关于233nxx−+的命题中，不正确的一项是（）A．若8n=，则二项展开式中系数最大的项是1426383xC．B．已知0x，若9n=，则二项展开式中第2项不大于第3项

的实数x的取值范围是35403x．C．若10n=，则二项展开式中的常数项是44103C．D．若27n=，则二项展开式中x的幂指数是负数的项一共有12项．【答案】D【分析】A选项：根据系数最大列不等式，解不等式

即可；B选项：根据题意列不等式，然后分01x和1x两种情况解不等式即可；C选项：令51003r−=，解方程即可；D选项：令52703r−，解不等式即可.【解析】A选项：令8178881988C3C3C3C3rrrrrrrr−+−−−−

，解得5944r，所以2r=，所以A正确；B选项：22171827339933xxCC，整理可得5343x，当01x时，不等式恒成立；当1x时，解得35413x，所以35403x，故B正确；C选项：令51003r−=，解得6r=，所以常数项

为610644101033−=CC，故C正确；D选项：令52703r−，解得815r，所以r可取17,18,27，共11项，故D错.故选：D.12．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所

示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（）A．222234510CCCC165++++=B．在第2022行中第1011个数最大C．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数D．第34行中第15个数与第16个数之比为2：3【答

案】C【分析】A选项由11CCCmmmnnn−++=及22222322234510334510CCCCCCCCC1++++=+++++−即可判断；B选项由二项式系数的增减性即可判断；C选项由11CCCmmmnn

n−++=及6767CC=即可判断；D选项直接计算比值即可判断.【解析】由11CCCmmmnnn−++=可得22222322234510334510CCCCCCCCC1++++=+++++−32223445

101111109CCCC1C11164321=++++−=−=−=，故A错误；第2022行中第1011个数为1010101120222022CC，故B错误；666766767678778889CCCCCCCCC++=++=+=，故C正确；第34行中第15个数

与第16个数之比为14153434343321343320C:C:15:203:4141311514131===，故D错误.故选：C.二、多选题13．已知二项式33nxx−

的展开式中各项系数的和为128−,则下列结论正确的是（）A．8n=B．展开式中二项式系数和为128C．展开式中x项的系数为21D．展开式中有3项有理项【答案】BD【分析】根据各项系数的和为128−,令1x=即可得7n=,可得选项A错误,二项式

系数和即0177777CCC2128+++==,即可判断选项B的正误,根据二项式定理写出通项,使x的幂次为1,解得项数,即可得选项C的正误,使通项中x的幂次为有理数即可判断选项D的正误.【解析】解:由题可得,不妨令1x=,得(13)128n−=−,所以7n=,故选项A错误;展开式中二项式

系数和为0177777CCC2128+++==,故选项B正确;展开式的通项公式为()()747331773C()1C30,1,2,,,7rrrrrrrrTxxrx−−+=−=−=,令7413r−=,解得1r=,

展开式中x项的系数为117C321−=−,故选项C错误;展开式的通项公式为()()747331773C()1C30,1,2,,,7rrrrrrrrTxxrx−−+=−=−=,当1,4,7r=时,1rT+为有理项,故选项D正确.故选:BD14．已知24

234560123456(21)(1)xxaaxaxaxaxaxax−+=++++++，则（）A．64a=B．14a=−C．12345615aaaaaa+++++=D．135246aaaaaa++++【答案】AC【分析】对AB，根据二项式公式求解

对应项的系数求解即可；对CD，利用赋值法分别求0a与123456aaaaaa+++++和123456aaaaaa−+−+−判断即可.【解析】对A，6a为展开式中最高次项系数，只能由()()2421,1xx−+展开式的最高次项相乘，故为24

214=，即64a=，故A正确；对B，()()()()24422114411xxxxx−+=−++，故4114411C0a=−+=，故B错误；对C，令1x=，则()()2401234562111aaaaaaa−+=++++++，即012345

616aaaaaaa++++++=，令0x=，则()24011a−=，即01a=.故12345615aaaaaa+++++=，故C正确；对D，令1x=−，则()()24012345621110aaaaaaa−−−+=−+−+−+=，结合

C，01a=，故1234561aaaaaa−+−+−=...①又12345615aaaaaa+++++=...②，①+②可得()135216aaa++=，故1358aaa++=，4267aaa++=，故135246aaaaaa++++，故D错误.故选：AC15．若()102100

121021xaaxaxax−=++++，xR，则（）A．2180a=B．10012103aaaa++++=C．12101aaa+++=D．31012231012222aaaa++++=−【答案】ABD【分析】根据给定

条件，利用二项式定理及赋值法逐项分析、计算判断作答.【解析】因101021001210(12)(21)xxaaxaxax−=−=++++，则22210C(2)180a=−=，A正确；()1012x−展开式

的通项()110C2iiiTx+=−，N,10ii，当i为奇数时，0ia，当i为偶数时，0ia，则101001210012310[12(1)]3aaaaaaaaa++++=−+−++=−−=，B正确；01a=，而1001210

(121)1aaaa++++=−=，则12100aaa+++=，C不正确；01a=，而1031012023101(12)022222aaaaa+++++=−=，则31012231012222aaaa++++=−，D正确

.故选：ABD16．若()2021232020202101232020202123xaaxaxaxaxax−=++++++，则正确的是（）A．02a=B．202113520192021152aaaaa−−+++++=C．20

2101220215aaaa++++=D．20213202020211223202020211222222aaaaa+++++=【答案】BC【分析】利用二项式定理，结合赋值法逐项分析计算作答.【解析】依题意，令()20212320

202021012320202021()23fxxaaxaxaxaxax=−=++++++，20210(0)2af==，A不正确；2021012320202021(1)(1)1faaaaaa=++++++=−=−，20210123

20202021(1)5faaaaaa−=−+−++−=，则202113520192021(1)(1)1225aaaaaff−−=−−+++++=，B正确；显然20na，210,N,1010nann+，则20210122021012320202021(1)5faa

aaaaaaaa++++=−+−++−==−，C正确；320202021320202021121200232020202123202020212222222222aaaaaaaaaaaa+++++=++++++−2021202120211

1()2()222f=−−=，D不正确.故选：BC三、填空题17．在6(23)++abc展开式中，含32abc的项的系数是___________.【答案】720【分析】根据乘法分配律以及组合数的计算求得正确答案.【解析】根据乘法分配律可知，含32abc的项的系数是：()3221631CC2

C3720=.故答案为：72018．在1nxx−的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含2x项的系数为___________【答案】70【分析】先由二项式系数最大确定n,再由通项公式求含2x项的系数即可.【解析】由只有第5项的二项式系数最大可得：8n=.∴通项公式(

)38821881C1CrrrrrrrTxxx−−+=−=−，令3822r−=，解得4r=.∴展开式中含2x项的系数为()4481C=70−.故答案为：70.19．已知()()565432643210511xxaxaxaxaxaxaxa+−=++++++，则5a的

值为______．【答案】4−【分析】利用二项式展开式的通项进行求解即可.【解析】()51x−的展开式通项为515C(1)rrrrTx−+=−，所以11005551C(1)1C(1)514a=−+−=−+=−，故答案为：4−20．已知集合

2019,12,6,10,5,1,0,1,8,15H=−−−，记集合H的非空子集为1M、2M、L、1023M，且记每个子集中各元素的乘积依次为1m、2m、L、1023m，则121023mmm+++的值为___________.【答案】1−【分析】构造函数()()()

()()()()()()()201912610511815fxxxxxxxxxxx=+++−−−+++，设该函数展开式中所有项系数之和为T，则1210231mmmT+++=−，利用赋值法可求得结果.【解

析】设集合H的十个元素分别为1a、2a、L、10a.1210121391012389101210121023maaaaaaaaaaaaaaaammaa=+++++++++++++++.设函数()()()()()()()()()()201912610511815fxxxx

xxxxxxx=+++−−−+++展开式中所有项系数之和为T，则1210231mmmT+++=−，因为()10Tf==，所以11T−=−．故答案为：1−.【点睛】关键点点睛：本题主要考查的集合子集的判定，构造函数求解，属于难题．本题的关键是根

据二项定理的推导过程构造出函数()()()()()()()()()()201912610511815fxxxxxxxxxxx=+++−−−+++，这种转化思想是本题的难点．四、解答题21．在二项式()923xy−的展开式中，求：(1)二项式系数之和；(2

)各项系数之和；【答案】(1)512(2)1−【分析】（1）利用展开式的二项式系数和可求得结果；（2）令1xy==可求得展开式各项系数之和.(1)解：由题意可知，展开式的二项式系数之和为92512=.(2)解：由题意可知，

展开式的各项系数之和为()9231−=−.22．已知二项式(12)nx+的展开式中共有11项.(1)求展开式的第3项的二项式系数；(2)求展开式中含2x的项.【答案】(1)45(2)23360x【分析】（1）先根据项数求出n，再求解第3项的二项式系数；（2

）利用通项公式求解含2x的项.（1）因为二项式(12)nx+的展开式中共有11项，所以10n=，所以展开式的第3项的二项式系数为21045C=.（2）10(12)x+的展开式的通项公式为()21101022kkkkkkTCxCx+==；令22k=可得4k=，所以展开式

中含2x的项为442251023360TCxx==.23．已知2naxx+（nN）的展开式中前3项的二项式系数之和等于29．(1)求n的值；(2)若展开式中x的一次项的系数为56，求实数a的值．【答

案】(1)7n=；(2)8a=.【分析】（1）由题设有01229nnnCCC++=，结合组合数公式整理成关于n的一元二次方程求解即可.（2）由（1）写出二项式展开式通项，进而判断含x的项，结合其系数列方程求a的值．(1)由题设，01229nnnCCC++=，整理得2560nn+−=，

解得8n=−（舍）或7n=；(2)由（1）知：二项式展开式通项为()51472722177kkkkkkkTCaxxaCx−+−−−+==，当6k=时为含x的项，故756a=，解得8a=.24．已知()20121nnnxaaxaxa

x+=++++，其中R．(1)若8n=，71024a=，求的值；(2)若1=−，2022n=，求0242022aaaa++++的值．【答案】(1)2(2)20212【分析】（1）结合二项式的展开式的通项公式得()188CCrrrrrrTx

x+==，令7r=即可求出结果；（2）构造()()20222202201220221fxxaaxaxax=−=++++，分别求出()1f和()1f−的值，进而可求出结果.(1)8n=，()880181xaaxax+=+++，()188CCrrr

rrrTxx+==，令7r=，得77778C81024a===，∴2=．(2)若1=−，2022n=，记()()20222202201220221fxxaaxaxax=−=++++，()()202201220221110faaaa=++++=−=，()()20

222022012320221112faaaaa−=−+−++=+=，∴()()202220210220221102222ffaaa+−++++===25．已知412nxx+（n为正整数）的二

项展开式中.(1)若024CCC256nnn+++=，求所有项的系数之和；(2)若012CCC821nnn++=，求展开式中的有理项的个数；(3)若30n=，求系数最大的项.【答案】(1)932(2)11(3)101011301C2T=

【分析】（1）由题意求出9n=，令9412xx+中1x=，即可得出答案.（2）求出40n=，写出40412xx+的通项，要使展开式为有理项，则310Z4r−，求解即可；（3）设二项式展开式第1r+项的系数最大，求出40412xx+的通项

，则11303011303011CC2211CC22rrrrrrrr−−++，解不等式即可得出答案.【解析】（1）因为0123CCCCC2nnnnnnn

+++++=，而0241351CCCCCC2nnnnnnn−+++=+++=，所以122569nn−==.所以令9412xx+中1x=，则所有项的系数之和为：9913122+=.（

2）若012CCC821nnn++=，则()118212nnn−++=，()()40410nn−+=，解得：40n=.则40412xx+的通项为：()34010441404011CC22rrrrrr

rTxxx−−+==，其中0,1,2,3,,40r，要使展开式为有理项，则310Z4r−，则0,4,8,12,16,20,24,28,32,36,40r=，故展开式中的有理项的个数为11.（3）

若30n=，则30412xx+的通项为：()30330441303011CC22rrrrrrrTxxx−−+==，则设二项式展开式第1r+项的系数最大，则11303011303011CC2211CC22rr

rrrrrr−−++，得()()()()()()1130!130!1!30!21!31!230!130!1!30!21!29!2rrrrrrrrrrrr−+−−−−+−

，化简得：()11231113021rrrr−−+，解得：283133r.因为rZ，则10r=，所以系数最大的项为101011301C2T=.26．若()82801281mxaaxaxax+=++++，

其中356a=−.(1)求m的值；(2)求128aaa+++；(3)求()()22024681357aaaaaaaaa++++−+++.【答案】(1)1−(2)1−(3)0【分析】（1）由()81mx+展开式的通项求解即可；（2）令0x=与1x=即可求解；（3）令=1x−并结合（2）即可

求解得【解析】（1）()81mx+的展开式的通项为()8188C1CrrrrrrrTmxmx−+==，所以3338C56am==−，所以31m=−，解得1m=−；（2）由（1）知()82801281xaaxaxax−

=++++，令0x=，可得01a=，令1x=，可得()80128110aaaa++++=−=，所以1281aaa+++=−L；（3）令=1x−，可得()8012811256aaaa−+−+=+=，由（2）知()80128110aa

aa++++=−=，所以()()22024681357aaaaaaaaa++++−+++()()0128012802560aaaaaaaa==++++−+−+=27．将100()ab+的二项展开式中的二项式系数依次列为：012100100100100100C,

C,C,,C.(1)依据二顶式定理，将100()ab+展开，并求证：0112100100100100100100CCCC2++++=；(2)研究所列二项式系数的单调性，并求证：其最大值为50100C.【答案】(1)1

000100199100100100100100()CCCabaabb+=+++，证明见解析；(2)答案见解析．【分析】（1）由二项式定理得展开式，在展开式中令1ab==可证结论成立；（2）用作差法可得出二项式系数的单调性，从而得出最大值．

【解析】（1）由已知1000100199100100100100100()CCCabaabb+=+++，令1ab==得10001121001001001001002CCCC=++++；（2）1100100100!100!100!992CC(1)!(99)!!(1

00)!!(99)!(1)(100)kkkkkkkkkkk+−−=−=+−−−+−，0,1,,99k=，当9920k−，49.5k，即49k时，1100100CCkk+−0，1100100CCkk+，当9920k−，即50k时，1100100C

Ckk+−0，1100100CCkk+，所以012100100100100100C,C,C,,C中，从0100C到50100C递增，从50100C到100100C递减，所以50100C是最大值．28．已知

67017(4)(72)xxaaxax+−=+++．在以下A，B，C三问中任选两问作答，若三问都分别作答，则按前两问作答计分，作答时，请在答题卷上标明所选两问的题号．（A）求5a；（B）求()5017logaaa+++；（C）设67m=，证明

：2712744484aaam+++=−．【答案】答案不唯一，具体见解析【分析】选A利用二项式展开写出所有含5x的项即可算出结果；选B，利用赋值法1x=时，可得70175aaa+++=进而求得结果；选C，分别令0x=，4x=即可得出证明

.【解析】选A解：因为554245664C7(2)C7(2)6384a=−+−=．选B解：令1x=，得67017(41)(72)5aaa+++=+−=，则()5017log7aaa+++=．选C证明：令0x=，得60474am==；令4x=，得7

601744(44)(1)8aaa+++=+−=．故2712744484aaam+++=−．29．在()201222121221DDDDDDnrrnnnnnnnnnnxxxxxxx−−++=+++++++中，

把012212D,D,D,,D,,D,Drnnnnnnnn−称为三项式的系数．(1)当2n=时，写出三项式的系数的值；(2)类比(),,1nabnn+N的二项式展开式(杨辉三角)的规律，当14n时，写出三项式的(杨辉三角)数字表，并求出,1nnN时

的0122DDDDnnnnn++++；(3)求00112233202220222022202220222022202220222022202220222022DCDCDCDCDC−+−++（用组合数表示）．【答案】(1)

342220122212321D,D,D,D,D=====(2)答案见解析(3)6742022C【分析】（1）由2n=代入可得答案；（2）类比(),,1nabnn+N，结合0122,,,DDDD,nnnnn可写出三项式的(杨辉三角)数字表，令1x=可得0122DDD

Dnnnnn++++的值；（3）由()()()202220224044404422202220220220111DDD++−=+++xxxxx()20222022202120201202220222022202

22202221CCCCC−++−+xxxx得2022x的系数为33202220222022202220222022202220222022202220200122202122DCDCDCDCDC−++−+，

转化为求()202231−x展开式中2022x的系数可得答案.【解析】（1）因为()2223411232xxxxxx++=++++，所以342220122212321D,D,D,D,D=====；（2）当14n

时，三项式的(杨辉三角)数字表如下，令1x=，可得()2012212111DDDD3DD−++=+++++++=nnrnnnnnnnn；（3）()()()202220224043404340444044202220222021220222020222211DDDDD++

−=+++++xxxxxxx()2022202220212020120222022202220222202221CCCCC−++−+xxxx，其中2022x的系数为33202220222022202220222022202220222

022202220200122202122DCDCDCDCDC−++−+，又()()()20222022220223111++−=−xxxx，而二项式()202231−x的通项()()20223120221C−+−=rrrrxT，由()320222022−=r解得1348r=，所以2022x的系数

为134867420222022CC=，由代数式恒成立得33202220221348674200202220222022202220222022022202220222022202201122222DCDCDCDCDCCC=−+++=−.【点睛】关键点点睛：解题的关键点是类比

(),,1nabnn+N的二项式展开式(杨辉三角)的规律和结合二项式定理解题，考查了学生的运算能力、转化能力。