【文档说明】2023-2024学年高一数学人教A版2019必修第一册同步备课试题 2.2 基本不等式（6大题型）（原卷版）.docx，共(12)页，1.244 MB，由小赞的店铺上传

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第二章一元二次函数、方程和不等式2．2基本不等式（6大题型）分层作业题型目录考查题型一：对基本不等式的理解及简单应用考查题型二：利用基本不等式比较大小考查题型三：利用基本不等式证明不等式考查题型四：利用基本不等式求最值考查题型五：利用基

本不等式求解恒成立问题考查题型六：基本不等式在实际问题中的应用考查题型一：对基本不等式的理解及简单应用1．（2023·上海静安·高一校考期中）给出下列命题中，真命题的个数为（）①已知,Rab，则22babaabab+=

成立；②已知xR且0x，则444||||||2||||4xxxxxx+=+=成立；③已知xR，则22122xx+++的最小值为2；④已知,Rab，0ab，则()2()()2bababaababab−+=−−+−−−=−成立．A．1个B．2个C．3个D．4个

2．（2023·河南郑州·高一郑州外国语学校校考期中）在古巴比伦时期的数学泥版上，有许多三角形和梯形的分割问题，涉及到不同的割线.如图，梯形ABCD中，//ABCD，且CDa=，ABb=，EF和GH为平行于底的

两条割线，其中EF为中位线，GH过对角线交点，则比较这两条割线可以直接证明的不等式为（）A．()0,02ababab+B．()20,0112ababab++C．()220,022ababab++D．()2220,0aba

bab+3．（2023·江苏·高一专题练习）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也

称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OFAB⊥，设ACa=，BCb=，则该图形可以完成的无字证明为（）A．(0,0)2ababab+B．222(0,0)ababab+C．2(0,0)abababab+

D．22(0,0)22ababab++4．（2023·全国·高一专题练习）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形ABC中，点O为斜边AB的中点，点D为

斜边AB上异于顶点的一个动点，设ADa=，BDb=，用该图形能证明的不等式为（）．A．()0,02ababab+B．()20,0abababab+C．()220,022ababab++D．()2220,0ababab+5．（2023·

全国·高一专题练习）不等式2244aa+中，等号成立的条件是（）A．4a=B．2a=C．2a=−D．2a=6．（2023·高一课时练习）现有以下结论：①函数1yxx=+的最小值是2；②若a、bR且0ab，则2baab+；③22133yxx=+++的最小值

是2；④函数()4230yxxx=−−的最小值为243−.其中，正确的有（）个A．0B．1C．2D．3考查题型二：利用基本不等式比较大小7．（2023·全国·高一专题练习）如果0ab，那么下列不等式正确的是（）A

．2ababab+B．2abaabb+C．2ababab+D．2abaabb+8．（多选题）（2023·全国·高一专题练习）若0a，0b，2ab+=，则下列不等式恒成立的是（

）A．1abB．2ab+C．222ab+D．112ab+9．（多选题）（2023·高一单元测试）已知,Rab，且0ab，则下列四个不等式中，恒成立的为（）A．222abab+B．2baab+C．2abab+2D．22222aba

b++10．（多选题）（2023·全国·高一专题练习）设a，b是正实数，则下列各式中成立的是（）A．2abab+B．2baab+C．222+abababD．22abbaba++11．（多选题）（2

023·全国·高一专题练习）已知0ba，则下列不等式正确的是（）A．2babB．11abba++C．2baab+D．2211abab++12．（多选题）（2023·全国·高一专题练习）若0,0ab，且ab¹，则（）A．2222ab

ab++B．2222abab++C．2abab+D．2abab+13．（多选题）（2023·全国·高一专题练习）若0ab，则（）A．11abB．2abbC．2abab+D．2baab+考查题型三：利用基本不等式证明不等式14．（2023·全国·高一专

题练习）已知0a，0b，0c，且1abc++=．求证：11110abcabc+++++≥．15．（2023·全国·高一专题练习）设a，b，c均为正数，且1abc++=，证明：(1)22213abc++；(

2)2221abcbca++.16．（2023·全国·高一专题练习）已知0a，0b，且1ab+=，求证：11119ab++.17．（2023·全国·高一专题练习）已知0a，0b，且2ab+=．(1)求22ab+的最小值；(2)证明

：1122ab+++．18．（2023·全国·高一专题练习）若正数a，b，c满足1abc++=.(1)求abbcca++的最大值；(2)求证：22212abcbccaab+++++.19．（2023·全国·高一专题练习）

设非负实数,,xyz满足2xyz++=，求证：2222221xyyzzxxyz+++20．（2023·全国·高一专题练习）已知0a，0b，试比较+ab与abba+的大小；考查题型四：利用基本不等式求最值21．（2023·全国·高一专题练习）函数()()5202yxx

x=−的最大值是．22．（2023·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）已知a、b大于0，3ab+=，则ab的最大值是．23．（2023·全国·高一专题练习）若0a，0b，412abab=++，则ab的取值范围是.24．（2023·全国·高一专题练

习）已知实数0x，0y，则4xyxyx++的最小值是.25．（2023·全国·高一专题练习）当2x时，42xx++的最小值为.26．（2023·全国·高一课堂例题）函数f（x）＝2232xx++＋1的最小值为．2

7．（2023·全国·高一专题练习）若正数,ab满足4ab=，则ab+的最小值是．28．（2023·江苏淮安·高一统考期末）已知a，b为正实数，满足(3)(2)6abab++=，则89ab+的最小值为．29．（2023·全国·

高一专题练习）函数()2322xxyxx++=−的最小值为．30．（2023·全国·高一专题练习）已知正实数m，n满足184+=mn，则8+mn的最小值为.31．（2023·福建泉州·高一统考期中）已知两个正实数x，y满足1xy

+=，则4yxxy+的最小值是．32．（2023·天津滨海新·高一校考期中）已知0,0xy，且212+=xy，则3xy+的最小值为．考查题型五：利用基本不等式求解恒成立问题33．（2023·高一课时练习）若不等式210xax−+对一切0x恒成立，则a的取值范围是．34．（2

023·高一单元测试）已知对任意xa，不等式227xxa+−恒成立，则实数a的最小值为．35．（2023·全国·高一专题练习）已知0x，0y且3xy+=，若1222axyyx+−−恒成立，则实数a的范围是．36．（2023·全国·高一课堂例题）设0x，0y，不等式xyaxy

++恒成立，则a的最小值为．37．（2023·全国·高一专题练习）当1x时，不等式11xax+−恒成立，则a的取值范围是．38．（2023·全国·高一专题练习）若关于x的不等式4142xax+−对任意2x恒成立，则正实数a的取值集合为．考查题型

六：基本不等式在实际问题中的应用39．（2023·江苏扬州·高一校考阶段练习）已知a、b、c、d为正实数，利用平均不等式证明（1）（2）并指出等号成立条件，然后解（3）中的实际问题．(1)请根据基本不等式()2,ababa

b++R，证明：44abcdabcd+++；(2)请利用（1）的结论，证明：33abcabc++；(3)如图，将边长为0.5米的正方形硬纸板，在它的四个角各减去一个小正方形后，折成一个

无盖纸盒．如果要使制作的盒子容积最大，那么剪去的小正方形的边长应为多少米?40．（2023·广东深圳·高一校考阶段练习）为加强“疫情防控”，某校决定在学校门口借助一侧原有墙体，建造一间墙高为4米，底面积为

32平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园应急室，由于此应急室后背靠墙，无需建造费用，某公司给出的报价为：应急室正面和侧面报价均为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，设应急室的左右两侧的长度均为x米()16x，公司整体报价为y元.(1)试求y关于x的函数解析式；(2)公司应如何设计应

急室正面和两侧的长度，可以使学校的建造费用最低，并求出此最低费用.41．（2023·四川成都·高一中和中学校考开学考试）为了加强“平安校园”建设，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的

长方体形状的校园警务室.由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元.设屋子的左右两面墙的长度均为x米(36)x.(1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队

报价最低？并求出最低报价；(2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为1800(1)axx+元(0)a，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围.42．（2023·高一课时练习）某农场有一废弃的羊圈，留有一面旧墙长12m，现

准备在该地区重新建一个羊圈.平面图为矩形，面积为2112m，预计：修复1m旧墙的费用是建造1m新墙费用的25%；拆去1m旧墙用以改造建成1m新墙的费用是建造1m新墙的50%；为安装圈门，要在围墙的适当处留出1m的空缺.试问：这里建造羊圈的

围墙应怎样利用旧墙，才能使所需的总费用最少？43．（2023·北京通州·高一统考期中）从2008年开始的十年间，中国高速铁路迅猛发展，已经建成“四纵四横”网络，“八纵八横”格局正在构建.到2018年，中国高速铁路新里程已超过两万五千千米，铸就了一张新的“

国家名片”.京津城际高铁丛北京南站到天津站全长约为120千米.假设高铁每小时的运输成本（单位：万元）由可变部分和固定部分组成；可变部分与平均速度x（千米/时）（200300x）的平方成正比，比例系数为0.0005；固定部分为a万元（0a）.设高速

列车在该线路上单程运行一次的总费用为()fx.(1)把高速列车在该线路上单程运行一次的总费用()fx表示成速度x（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；(2)当高速列车在该线路上运行的平均速度是多少时，单程运

行一次总费用最小？44．（2023·湖北武汉·高一校联考阶段练习）菏泽市某高中为了更好的开展高一社团活动，现要设计如图的一张矩形宣传海报，该海报含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为232000cm，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的

中缝空白的宽度为5cm.(1)怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸（单位：cm），能使整个矩形海报面积最小，并求最小值；(2)如果要求矩形栏目的宽度不小于高度的1.6倍，那么怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸（单位：cm），能使整个矩形海报面积最小，并求最小值.45

．（2023·福建福州·高一校考开学考试）用232m的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为2m，则车厢的最大容积是．1．（2023·全国·高一专题练习）若正数x，y满足35xyxy+=，则34xy+的最小值是（）A．2B．3C．4D．52．（2023·全国·高一专题练习）设

,mn为正数，且2mn+=，则11mn+的最小值为（）A．2B．12C．4D．323．（2023·全国·高一专题练习）已知1,0,0xyyx+=，则121xxy++的最小值为（）A．54B．0C．1D．224．（2023·辽宁葫芦

岛·高一校考期末）设00ab，，且22ab+=，则11ab+（）A．有最小值为2B．有最小值为223+C．有最小值为322+D．无最小值5．（2023·新疆·高一校联考期末）设0,4xxyy+=，则32zxy=++的最小值为（）A．431−B．432+

C．421+D．66．（2023·浙江宁波·高一校联考期中）若正实数,ab满足22ab+=，则下列说法错误的是（）A．ab的最大值为12B．22ab+的最小值为45C．+ab的最大值为2D．11ab+的最

小值为322+7．（2023·全国·高一课堂例题）当01x时，141xx+−的最小值为（）A．8B．9C．10D．128．（2023·江苏盐城·高一统考期中）已知正实数a、b满足4111abb+=++，则21ab++的最小值为（）A．6B．8C．10D．99．（多选题）（2023·全国·高一

专题练习）下列四个命题中，是真命题的是（）A．xR，且0x，12xx+B．0xR，使得20012xx+C．若0x，0y，2222xyxyxy++D．当13x时，不等式240xmx−+恒成立，则实数m的取值范围是4m10．（多选题）（202

3·全国·高一专题练习）设正实数a，b满足1ab+=，则（）A．11ab+有最大值4B．ab有最大值12C．+ab有最大值2D．22ab+有最小值1211．（多选题）（2023·吉林白城·高一校考期中）下列结论正确的是（）A．当0x时

，1121xx+++B．当0x时，12xx+C．1xx+的最小值为2D．22122xx+++的最小值为212．（多选题）（2023·高一单元测试）设正实数a，b满足1ab+=，则（）A．11ab+的最小值为4B．ab的最

大值为12C．+ab的最大值为2D．22ab+的最小值为1213．（2023·高一单元测试）已知正数x，y，z满足2221xyz++=，则12zsxyz+=的最小值为．14．（2023·全国·高一课堂例题）若正实数,xy满足()29xxy+=，则5xy的最大值为.15．（2023·云南

保山·高一校联考阶段练习）已知0a，0b，21ab+=，则212baab++的最小值为.16．（2023·天津北辰·高一校考阶段练习）已知0,0ab，则()2aabab++的最大值为17．（2023·全国·高一专题练习）（1）当3x时，求函数83yxx=+−的最

小值；（2）当32x时，求函数823yxx=+−的最大值；（3）当1x−时，求函数2231xxyx++=+的最小值；（4）当1x−时，求函数22231xxyx++=+的最大值；（5）设1x−，求函数()()521xxyx++=+的值域．（6）①当32x时，求

函数2244341xyx−=+的最大值；②求函数22134xyx+=+的最大值；18．（2023·海南·高一校考期中）已知0x，0y，且211xy+=，若222xymm++恒成立，求实数m的取值范围.19．（2023·高一单元测试）某公司决定对旗下的某商品进行一次评估，该

商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略调整，并提

高定价到x元．公司拟投入21(600)6x−万元．作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入5x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价．