【文档说明】2023-2024学年高一数学苏教版2019必修第二册同步备课试题 9.2.3向量的数量积 Word版含解析.docx，共(8)页，237.955 KB，由小赞的店铺上传

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课时跟踪检测（五）9.2.3向量的数量积基础练1．[多选]下列说法正确的是()A．向量b在向量a上的投影是向量B．若a·b<0，则a与b的夹角θ的范围是π2，πC．(a·b)·c＝a·(b·c)D．a·b＝0，则a⊥b解析：选AB对于选项A，根据投影向量的定义，故A正确；对于选项

B，∵a·b＝|a||b|cosθ<0，则cosθ<0，又∵0≤θ≤π，∴θ∈π2，π，故B正确；对于选项C，∵(a·b)·c与c是共线向量，a·(b·c)与a是共线向量，故(a·b)·c≠a·(b·c)，故C错误

；对于选项D，a·b＝0⇒a⊥b或a＝0或b＝0，故D错误．故选A、B.2．已知|a|＝3，|b|＝23，a与b的夹角是120°，则a·b等于()A．3B．－3C．－33D．33解析：选B由数量积的定义，得a·b＝|a||b|cos120°＝3×23×－12＝－3.故选

B.3．已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝()A．4B．3C．2D．0解析：选Ba·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－a·b.∵|a|＝1，a·b＝－1，∴原式＝2×12＋1＝3.故选B.4．设e1和e2是

互相垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，则a·b等于()A．－2B．－1C．1D．2解析：选B因为|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，所以a·b＝(3e1＋2e2)·(－3e1＋4e2)＝－9|e1|2＋8|e2|2＋6e1·e2＝－9×

12＋8×12＋6×0＝－1.故选B.5．已知|a|＝3，|b|＝2，且a，b的夹角为60°，如果(3a＋5b)⊥(ma－b)，那么m的值为()A.3223B.2342C.2942D.4223解析：选C由题意知(3a＋5b)·(ma

－b)＝0，即3ma2＋(5m－3)a·b－5b2＝0,3m×32＋(5m－3)×3×2cos60°－5×22＝0，解得m＝2942.故选C.6．已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在向量b方向上的投影向量为________．解析：∵a·b＝|a||b|cosθ＝12，

又|b|＝5，∴|a|cosθ＝125，b|b|＝b5，即a在b方向上的投影向量为1225b.答案：1225b7．已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－5b，则cos〈a，c〉＝________.解析：由题

意，得cos〈a，c〉＝a·(2a－5b)|a||2a－5b|＝2a2－5a·b|a|·|2a－5b|2＝21×4＋5＝23.答案：238．已知向量a，b，其中|a|＝3，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则向量a和b的夹

角是________，a·(a＋b)＝________.解析：由题意，设向量a，b的夹角为θ.因为|a|＝3，|b|＝2，且(a－b)⊥a，所以(a－b)·a＝|a|2－a·b＝|a|2－|a||b|cosθ＝3－23·c

osθ＝0，解得cosθ＝32.又因为0≤θ≤π，所以θ＝π6.则a·(a＋b)＝|a|2＋|a||b|·cosθ＝3＋23×32＝6.答案：π669．已知向量a，b的夹角为30°，且|a|＝3，|b|＝1，求向量p＝a＋b与q＝a－b的夹角θ的余弦值．解：p·q＝

(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝3－1＝2.∵|p|＝|a＋b|＝a2＋2a·b＋b2＝3＋23cos30°＋1＝7，|q|＝|a－b|＝a2－2a·b＋b2＝3－23cos30°＋1＝1，∴cosθ＝p·q|p||q|＝27×1＝277.10．已

知|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为π3，若向量2a＋kb与a＋b垂直，求实数k的值．解：a·b＝|a||b|cosπ3＝2×1×12＝1.因为2a＋kb与a＋b垂直，所以(2a＋kb)·(a＋b)＝0.所以2a2＋2a·b＋ka·b＋kb2＝0.所以2×22＋2＋k＋k＝0.

所以k＝－5.拓展练1．如图，e1，e2为互相垂直的两个单位向量，则|a＋b|＝()A．20B.10C．25D.15解析：选C由题意，知a＝－12e1－72e2，b＝－32e1－12e2，所以a＋b＝－2e1－4e2，所以|a＋b|＝

(－2e1－4e2)2＝4|e1|2＋16e1·e2＋16|e2|2＝20＝25.故选C.2．已知向量a，b满足|a|＝1，a⊥b，则向量a－2b在向量a方向上的投影向量为()A．aB．1C．－1D．－a解析：选A设θ为向量a－2

b与向量a的夹角，则向量a－2b在向量a方向上的投影向量为|a－2b|cosθa|a|.又cosθ＝(a－2b)·a|a－2b||a|＝a2－2a·b|a－2b||a|＝1|a－2b|，故|a－2b|cosθa|a|＝|a－2b

|·1|a－2b|a|a|＝a.故选A.3．定义：|a×b|＝|a||b|sinθ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于()A．8B．－8C．8或－8D．6解析：选Acosθ＝a·b|a||b|＝－62×5＝－

35，∵θ∈[0，π]，∴sinθ＝45.∴|a×b|＝2×5×45＝8.故选A.4.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的中点，则EF―→·FG―→＋GH―→·HE―→＝()A.32B．－32

C.34D．－34解析：选A易知四边形EFGH为平行四边形，连接HF(图略)，取HF的中点为O，则EF―→·FG―→＝EF―→·EH―→＝(EO―→－OH―→)·(EO―→＋OH―→)＝EO―→2－OH―→2＝1－122＝34，GH―→·HE―→

＝GH―→·GF―→＝GO―→2－OH―→2＝1－122＝34，因此EF―→·FG―→＋GH―→·HE―→＝32.故选A.5．已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.解析：法一：易知|a＋2b|＝|a

|2＋4a·b＋4|b|2＝4＋4×2×1×12＋4＝23.法二：(数形结合法)由|a|＝|2b|＝2，知以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a＋2b|＝|OC―→|.又∠AOB＝6

0°，所以|a＋2b|＝23.答案：236．若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b且c⊥a，则向量a与b的夹角为________．解析：由c⊥a得，a·c＝0，所以a·c＝a·(a＋b)＝0，即a2＋a

·b＝0.设向量a与b的夹角为θ，则cosθ＝a·b|a||b|＝－a2|a||b|＝－12，所以向量a与b的夹角θ＝120°.答案：120°7．已知a，b是非零向量，t为实数，设u＝a＋tb.(1)当|u|取最小值时，求实数t的值；

(2)当|u|取最小值时，向量b与u是否垂直？解：(1)|u|2＝|a＋tb|2＝(a＋tb)·(a＋tb)＝|b|2t2＋2(a·b)t＋|a|2＝|b|2t＋a·b|b|22＋|a|2

－(a·b)2|b|2.∵b是非零向量，∴|b|≠0，∴当t＝－a·b|b|2时，|u|＝|a＋tb|的值最小．(2)∵b·(a＋tb)＝a·b＋t|b|2＝a·b＋－a·b|b|2·|b|2＝a·b－a·b＝0，∴b⊥(a＋tb)，即b⊥u.培优练如图，扇形AOB的弧的中点为M

，动点C，D分别在OA，OB上，且OC＝BD，OA＝1，∠AOB＝120°.(1)若点D是线段OB靠近点O的四分之一分点，用OA―→，OB―→表示向量MC―→；(2)求MC―→·MD―→的取值范围．解：(1)由已知可得OC―→＝34OA―→，MC―→＝OC―→－OM―→，易

得OAMB是菱形，则OM―→＝OA―→＋OB―→，所以MC―→＝OC―→－OM―→＝34OA―→－(OA―→＋OB―→)＝－14OA―→－OB―→.(2)易知∠DMC＝60°，且|MC―→|＝|MD―→|，那么只需求MC的最大值与最小值即可．当MC⊥OA时，MC最小，此时MC＝32，

则MC―→·MD―→＝32×32×cos60°＝38.当MC与MO重合时，MC最大，此时MC＝1，则MC―→·MD―→＝cos60°＝12.所以MC―→·MD―→的取值范围为38，12.