【文档说明】《2023年高考数学一轮总复习考点探究与题型突破（新高考专用）》第35讲 等差数列及其前n项和（解析版）.docx，共(17)页，1.275 MB，由envi的店铺上传

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第35讲等差数列及其前n项和1.等差数列的概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数).(2)等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是

最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b.2.等差数列的通项公式与前n项和公式(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.(2)前n项和公式：Sn＝na1＋n（n－1）d2＝n（a1＋an）2.3.

等差数列的性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md

的等差数列.(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.(5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Snn也为等差数列.➢考点1等差数列的基本运算[名师点睛]1.等差数列的通项公式及前n项和公式

共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法

.[典例]1．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）记nS为等差数列na的前n项和.若12443SSS=+，55a=，则10a=（）A．3B．7C．11D．15【答案】D【分析】利用等差数列通项和求和公式可构造不等式组求得1,ad，由等差数列通项公式可求得结果.【详解】设等差数列

na的公差为d，由1245435SSSa=+=得：()()111143222345aadadad=++++=，解得：132ad=−=，101931815aad=+=−+=.故选：D.2．（2

022·山东威海·三模）等差数列na的前n项和为nS，若394,18aS==，则公差d=()A．1B．1−C．2D．2−【答案】B【分析】根据等差数列通项公式和前n项和公式列出关于1a和d的方程组求解即可．【详解】由题可知1112469819182adadad+==

=−+=．故选：B．3．（2022·山东泰安·模拟预测）若等差数列na满足8926aa−=，则它的前13项和为（）A．110B．78C．55D．45【答案】B【分析】根据等差数列的通项公式及前n项和公式即可求解.【详解】设等差数列

na的首项为1a，公差为d，则因为8926aa−=，所以()()112786adad+−+=，即166ad+=.所以()()13111313113136136782Sadad−=+=+==.故选：B.4．（2022·浙江·杭师大附中模拟预测）等差数列n

a的前n项和为nS，547,29,198nnaaS−===，则n=（）A．10B．11C．12D．13【答案】B【详解】因为()()15422nnnnaanaaS−++==，又547,29,198nnaaS−===，所以18198n=，所以11n=，故选：B．[举一反三]1．（2022·海南海口

·二模）设公差不为0的等差数列na的前n项和为nS，已知()9353mSaaa=++，则m=（）A．9B．8C．7D．6【答案】C【详解】因为()9353mSaaa=++，又959Sa=，所以()53593maaaa=++，所以3553maaaa++=，即352maaa+=，设等差数列

na的公差为d，则1112(1)2(4)adamdad+++−=+，所以(+1)8mdd=，又0d，所以18m+=，所以7m=．故选：C.2．（2022·浙江·海宁中学模拟预测）设等差数列na的前n项和为nS，若数列21nSn+也是等差数列，则其首项与公差的比1ad=（）A

．43B．32C．23D．34【答案】D【详解】设等差数列()11naadn=+−，则()11.2ndSnann=+−因为数列21nSn+也是等差数列，所以()1122121ndnannSknbnn+−==+++，则()221

2222ddnanknkbnb+−=+++，所以122220dkdakbb=−=+=，，即有122dad−=，解得13.4ad=故选：D．3．（2022·江苏淮安·模拟预测）已知等差数列(na}的前n项和为nS，若7800S

S，，则1ad的取值范围是（）A．()3,−+B．()7,3,2−−−+C．7,32−−D．7,2−−【答案】C【详解】由题意可得()17747702aaSa+==，则40a，

因为()()188458402aaSaa+==+，可得450aa+，则540aa−，设等差数列na的公差为d，则540daa=−，由题意可得4145130270aadaaad=++=+，可得1732ad−−.即1ad的取值范围是7,32

−−.故选：C.4．（2022·湖北武汉·模拟预测）设公差不为零的等差数列na的前n项和为nS，452aa=，则74SS=（）A．74B．-1C．1D．54【答案】C【详解】解：在等差数列na中，5462aaa=+，452

aa=，故60a=，又6572aaa=+，故75aa=−，则745674SSaaaS=+++=，故741SS=.故选：C.5．（多选）（2022·福建·模拟预测）已知等差数列na的前n项和为2212nannS+=，公差为d，则（）A．11a=

B．1d=C．()213521nnSan−=++++−D．2222nnnSaa=+【答案】ABC【详解】取1n=，则21112aa+=，解得11a=，即A正确；由A可知，22nnnS+=，则212321dSa=−=−=，即B正确

；于是有1(1)1nann=+−=，因为22nnSan−=，且()()212113212nnnn+−+++−==，即C正确；因为()222222222nnnnnSnnaa+==+=+，即D错误.故选

：ABC6．（多选）（2022·河北衡水·二模）已知等差数列na的前n项和为2212nannS+=，公差为d，则（）A．11a=B．1d=C．2222nnnSaa=+D．()213521nnSan−=++++−【答案】ABD【详解】

解：由题意得：对于选项A：取1n=，则21112aa+=，解得11a=，即A正确；对于选项B：由A可知，22nnnS+=，则212321dSa=−=−=，即B正确；对于选项C：因为()222222222nnnnnSnnaa

+==+=+，即C错误；对于选项D：因为22nnSan−=，且()()212113212nnnn+−+++−==，即D正确.故选：ABD.7．（2022·全国·高考真题（文））记nS为等差数列na的前n项和．若32236SS=+，则公差d=_______．【答案】2【详解】

由32236SS=+可得()()123122+36aaaaa+=++，化简得31226aaa=++，即()112+226adad=++，解得2d=.故答案为：2.8．（2022·北京·101中学三模）已知等差数列na中2341,25aaa=

−+=，则20222020aa−=_______．【答案】4【详解】设公差为d，则()11112235adadad+=−+++=，解得：132ad=−=，所以2022202024aad−==故答案为：49．（2022

·重庆八中模拟预测）在等差数列na中，261028aaa++=，则数列na的前13项和为______．【答案】26【详解】解：设等差数列{}na的公差为d，因为261028aaa++=，()()()1

11+++5+2+98ddaaad=，12+6ad=，则()131113(131)13+13+6262Sadad−===，故答案为：26．10．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）记nS为等差数列na的前n项和，若10a，214aa=，则63S

S=_______．【答案】174【详解】na是等差数列，设公差为d，又214aa=，114ada+=，13da=，163165623232adSSad+=+1161533adad+==+111111645511739124aaaaaa+==+.故答案为：174

.11．（2022·山东淄博·模拟预测）设等差数列na的前n项和为nS，若13mS−=−，2mS=−，10mS+=，则m=______．【答案】4【详解】由题意得：1231mmmaSS−=−=−+=，11022mmmaSS+

+=−=+=，则等差数列的公差1211mmdaa+=−=−=，则()()11111maamdam=+−=+−=，()1122mmmSam−=+=−，解得：4m=或1m=−（舍去）.故答案为：412．（2022·河北唐山·一模）记nS是公差不为0的等差数列na的前n项和，若35a

S=，145aaa=，则na=________.【答案】3n−【详解】设等差数列na的公差为()0dd，由35145aSaaa==得：()111115425234adadaadad+=++=+

，解得：121ad==−，()213nann=−−=−.故答案为：3n−.➢考点2等差数列的判定与证明[名师点睛]1.证明数列是等差数列的主要方法：(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数.即作差法，将关于an－1的an代入an－an－1，

再化简得到定值.(2)等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)都成立.2.判定一个数列是等差数列还常用到的结论：(1)通项公式：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列.(2)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差

数列.问题的最终判定还是利用定义.[典例](2021·全国甲卷)已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①数列{an}是等差数列；②数列{Sn}是等差数列；③a2＝3a1.注：若选择不同的

组合分别解答，则按第一个解答计分.解①③⇒②.已知{an}是等差数列，a2＝3a1.设数列{an}的公差为d，则a2＝3a1＝a1＋d，得d＝2a1，所以Sn＝na1＋n（n－1）2d＝n2a1.因为数列{a

n}的各项均为正数，所以Sn＝na1，所以Sn＋1－Sn＝(n＋1)a1－na1＝a1(常数)，所以数列{Sn}是等差数列.①②⇒③.已知{an}是等差数列，{Sn}是等差数列.设数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋n（n－1）2d＝12n2d＋a1－d2n.因为数列{Sn}是等差

数列，所以数列{Sn}的通项公式是关于n的一次函数，则a1－d2＝0，即d＝2a1，所以a2＝a1＋d＝3a1.②③⇒①.已知数列{Sn}是等差数列，a2＝3a1，所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1.设数列{Sn}的公差为d，d＞0，则S2－S1＝4a1－a1＝d，得a1＝d2，所以Sn＝

S1＋(n－1)d＝nd，所以Sn＝n2d2，所以n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2，对n＝1也适合，所以an＝2d2n－d2，所以an＋1－an＝2d2(n＋1)－d2－(2d2n－d2)＝2d2(常数)，所以数列{an}是等差数列

.[举一反三]1．（2022·江苏常州·模拟预测）已知数列na的前n项和为nS，且232nnnSa+=−．(1)若2nnnba=，求证：数列nb是等差数列；(2)求出数列na的通项公式na和前n项和nS．【解】(1)证明：由232n

nnSa+=−，得11123,22nnnSan−−−+=−．相减得1222nnnaa−−=，即11122nnnaa−=+．所以111111112222122nnnnnnnnnnnbbaaaa−−−−−−−=−=+−=，故数列nb是等差数列．(2)解：当1n=时，1131

Sa+=−，则11111,22aba===，由于数列nb是等差数列，故21nnnban==+，∴12nnna+=．∴233322nnnnnSa+=−+−=−．2．（2022·重庆市涪陵高级中学校模拟预测）已知数列na满足111=222()nnnaaanN++=+，.(

1)求证：数列2nna是等差数列，并求数列na的通项公式；(2).已知数列nna的前n项和为nS，求证：1nS.【解】(1)证明：由()1*122nnnaanN++=+，得111111222212222nnnnnnnnnnnaaaaaa++++++−+−−===.

又112122a==，故数列2nna是以1为首项，以1为公差的等差数列.故2nnan=，*Nn，故2nnan=；(2)解：由（1）得2nnan=，则11222nnnnnnan===，故数列nna是以12为首项，公比为12的等比数列，故11122111

212nnnS−==−−，又102n，故1112nnS=−，即1nS得证.➢考点3等差数列的性质及应用[名师点睛]1.项的性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q

∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.2.和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；(2)S2n－1＝(2n－1)an.(3)依次k项和成等差数列，即Sk，S2k－Sk，

S3k－S2k，…成等差数列.3.求等差数列前n项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；(2)利用公差不为零的等差数列的前n项

和Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，A≠0)为二次函数，通过二次函数的性质求最值.[典例]1．（2022·福建省德化第一中学模拟预测）设等差数列{}na的前n项和为nS，若728S=，则237aaa++的值为（）A．8B．10C．12D．14【答案】C【

分析】根据等差数列的求和公式，求得44a=，结合等差数列的性质，化简得到27433aaaa=++，即可求解.【详解】因为728S=，由等差数列的性质和求和公式得17747()7282aaSa+===，即44a=，则112374393(3)312adaaaaad=+=+==+

+.故选：C.2．（2022·辽宁·三模）若一个等差数列的前5项和为15，后5项和为145，且该数列共有31项，则这个等差数列的公差为___________.【答案】1【分析】根据题意，利用等差数列等差中项的性质即可求得3a和29a，进而求得公差.【详解】设这个等差数列为na，则12345

3515aaaaaa++++==，2728293031295145aaaaaa++++==，所以33a=，2929a=，所以公差2931293d−==−.故答案为：1.3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S5＝7，S10＝21，则S15等于()A.35B.42C.49D.

63答案B解析在等差数列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10成等差数列，即7，14，S15－21成等差数列，所以7＋(S15－21)＝2×14，解得S15＝42.4.(2020·全国Ⅱ卷)北京天坛的圜丘坛

为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块.向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A.3699块B

.3474块C.3402块D.3339块答案C解析设每一层有n环，由题可知从内到外每环之间构成公差d＝9，a1＝9的等差数列.由等差数列的性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，且(S3n－S2n)－(S2n－Sn)＝n2d，则9n2＝729，得n＝9，则三层共有扇面形石板S3

n＝S27＝27×9＋27×262×9＝3402(块).5．（2022·北京·北师大实验中学模拟预测）设等差数列na的前n项和为nS，若19a=，642aa+=，则当nS取最大值n等于（）A．4B．5C．6D．7【答案】B【分析】根据题中等式求解出等差数列的公差，进而求解

出数列的前n项和nS，最后根据nS的表达式求解出结果【详解】设公差为,d则465219412aaadd+==+==−，因此219(1)(2)102nSnnnnn=+−−=−+，所以当5n=时，nS取最大值故选：B[举一反三]1．（2022·北京东城·三模）在公差

不为零的等差数列na中，若1233++maaaa=，则m=（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】根据等差数列性质若+mnpq+=，则+mnpqaaaa+=，可得1232++3aaaa=．【详解】∵2132+aaa=，则12323++3maaaaa==∴2m=故选：B．

2．（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）设nS是等差数列na的前n项和，25a=，720a=，则8S=（）A．90B．100C．120D．200【答案】B【分析】由等差数列前n项和公式及等差数列下标和性质，即可求8S.【详解】由18818278()4()4

()4251002aaSaaaa+==+=+==.故选：B3．（2022·广东广州·二模）已知数列na是等差数列，且258aaa++=，则()19tanaa+=（）A．3B．33C．33−D．3−【答案】D【分析】利用等差数列的性质求出5a，再利用此性质结合诱导公式计算作答.【详解

】在等差数列na中，258aaa++=，则有53a=，即53a=，所以()1952tantan2tan33aaa+===−.故选：D4．（2022·北京通州·一模）设等差数列na的前n项和为nS，若3

520aa+=，则7S=（）A．60B．70C．120D．140【答案】B【分析】根据等差数列的性质可求得4a，利用等差数列前n项和公式并化简，可得答案.【详解】在等差数列na中，3520aa+=，则4422

0,10aa==，故174747()7277022aaaSa+====，故选：B5．（2022·河北石家庄·二模）等差数列na的前n项和记为nS，若220216aa+=，则2022S=（）A．3033B．4044C．6066D．8088【答案】C【分析】根据等差数列的性

质及求和公式求解即可.【详解】由等差数列na知，22021120226aaaa+=+=，所以1202222022022(101166066)2Saa==+=，故选：C6．（2022·广东佛山·模拟预测）已知等差数列na，nS是数列na的前n项和，对任意的*Nn，均有6

nSS成立，则107aa不可能的值为（）A．3B．4C．5D．6【答案】A【分析】由已知分析可得10a，公差0d，讨论当60a=时，当670,0aa，时，1a与d的关系，计算即求得107aa的取值范围,得出结果.【详解】等差数列na，对任意的*Nn

，均有6nSS成立，即6S是等差数列na的前n项和中的最小值，必有10a，公差0d，当60a=，此时56SS=，5S、6S是等差数列na的前n项和中的最小值，此时6150aad=+=，即1=5ad−，则11017944,6addaddaa+===+当67

0,0aa，此时6S是等差数列na的前n项和中的最小值，此时1650aad=+，7160aad=+，即165ad−−，则111171109931666aaaddaaaddda++===++++,则有1074aa，综合可得：1074aa分析选项可得：BCD符合

题意；故选：A7．（多选）（2022·福建泉州·模拟预测）设等差数列na的公差为d，其前n项和为nS，且15a=−，39S=−，则（）A．2d=B．2S，4S，6S为等差数列C．数列2na是等比数列D．3S是nS的最小值【答案】ACD【分析】对于A，由已知条件直接求解即可，对

于B，由等差数列的性质判断，对于C，由等比数列的定义判断即可，对于D，求出等差数的通项公式判断即可【详解】由3123239Saaaa=++==−，所以23a=−，所以212daa=−=，故A正确；由等差数列性质4234SSaa−=+，6456SSaa−=+，3456aaaa++，所以

2S，4S，6S不是等差数列，故B错误；因为1(1)52(1)27naandnn=+−=−+−=−，所以1252722422nnanan+−−==，所以数列2na是等比数列，故C正确；当270nan=−时，72n，即数列na中，1a，2a，3a均为负数，当4n时，0

na.所以3S是nS的最小值，故D正确.故选：ACD.8．（多选）（2022·湖南永州·三模）已知等差数列na是递减数列，nS为其前n项和，且78SS=，则（）A．0d＞B．80a=C．150SD．

7S、8S均为nS的最大值【答案】BD【分析】根据等差数列的性质以及其前n项和的性质，逐个选项进行判断即可求解【详解】因为等差数列na是递减数列，所以，10nnaa+−，所以，0d，故A错误；因为78SS=，所以8870aSS=−=，故B正确；因为(

)115158151502aaSa+===，故C错误；因为由题意得，789000aaa=，所以，*78()nSSSnN=，故D正确；故选：BD9．（2022·湖南·模拟预测）设nS是等差数列na

的前n项和，481,4aS=−=，则nS的最小值为______________．【答案】4【分析】根据已知条件可以求出首项和公差，从而求出nS，通过nS的表达式即可判断【详解】解析：设等差数列na的公差为d．由题意可知11318284adad+=−

+=解得1103ad=−=，则na的前n项和()211323222nnndSnann−=+=−，而函数()232322fxxx=−的零点为0x=和233x=，故当n接近0或233时，nS取得最小值．又17810,7,4SSS===，所以当8n=时，nS的最小值为

4．故答案为：410．（2022·广东·模拟预测）已知na和nb均为等差数列，若12456,9abab==+=，则78ab+的值是__________.【答案】6【分析】利用等差数列的性质计算即可得解.【详解】解：因为

na和nb均为等差数列，所以1742852,2aaabbb+=+=，所以()1728452aabbab+++=+，即781229ab++=，所以786ab+=.故答案为：6.11．（2022·重庆八中模拟

预测）在等差数列na中，1714aa+=，当222345aaa++取得最小值时，2022a=______.【答案】7【分析】根据等差中项的性质得到47a=，把222345aaa++化为关于公差的关系式，进而得到0d=时

取得最小值，进而求出答案.【详解】由题意得：174214aaa+==，则47a=；()()22222223454442147aaaadaadd++=−+++=+，所以：当0d=时，222345aaa++取得最小值.此时()202244202247aada=+−==故答案为：712．（2022·湖

北·宜昌市夷陵中学模拟预测）写出一个数列na的通项公式，使得这个数列的前n项和在5n=时取最大值，na=_____.【答案】5n−（答案不唯一）【分析】可以利用等差数列的前n项和公式和二次函数的性质求解即可.【详解】对于等差

数列na=5n−，其前n项和()()()1459222nnnaannnnS++−−===，由二次函数的性质可知，数列前n项和在5n=或4n=时取到最大值，故答案为：5n−（答案不唯一）13．（2021·全国·高考真题）记nS是公差不为0的等差数列na的前n项和，若35244,aS

aaS==．（1）求数列na的通项公式na；（2）求使nnSa成立的n的最小值．【解】(1)由等差数列的性质可得：535Sa=，则：3335,0aaa==，设等差数列的公差为d，从而有：()()22433aaadadd=−+=−，()()()41234333322Saaaaadada

add=+++=−+−+++=−，从而：22dd−=−，由于公差不为零，故：2d=，数列的通项公式为：()3326naandn=+−=−.(2)由数列的通项公式可得：1264a=−=−，则：()()214252nnnSnnn−=−+=−，则不等式nnSa即：2526nnn−

−，整理可得：()()160nn−−，解得：1n或6n，又n为正整数，故n的最小值为7.14．（2022·重庆·三模）公差非零的等差数列na的前n项和为nS，若4a是3a，7a的等比中项，832S=．(1)求10S；(2)数列nb为

等差数列，113ba=，数列nb的公差为4−，数列nb的前n项和为nT，nT是否存在最大或者最小值？如果存在求出最大或者最小值，如果不存在请说明理由．【解】(1)记等差数列na的公差为()dd0，由题知()()()21111

263878322adadadad++=++=，整理得21132278dadad=−+=因为0d所以可解得13,2ad=−=所以101109103090602Sad=+=−+=(2)由（1）可知113312221ba==−+=因为数列nb的公差为4−，所以2(1

)21(4)2232nnnTnnn−=+−=−+因为2()223fxxx=−+的对称轴为234x=，所以当6n=时，nT有最大值262623666T=−+=