【文档说明】《2023年高考数学一轮总复习考点探究与题型突破（新高考专用）》第04讲 一元二次不等式及其解法（原卷版）.docx，共(10)页，563.126 KB，由envi的店铺上传

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第4讲一元二次不等式及其解法1．一元一次不等式ax>b(a≠0)的解集(1)当a>0时，解集为xx>ba．(2)当a<0时，解集为xx<ba．2．三个“二次”间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝a

x2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个相异实根x1，x2(x1<x2)有两个相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x>x2或x<x1}xx≠－b2aRax2＋b

x＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅常用结论1．分式不等式的解法(1)f（x）g（x）>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)．(2)f（x）g（x）≥0(≤0)⇔f（x）g（x）≥0（≤0），g（x）≠0.2．两个

恒成立的充要条件(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔a>0，b2－4ac<0.(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔a<0，b2－4ac<0.➢考点1一元二次不等式的解法[名

师点睛](1)解一元二次不等式的方法和步骤(2)解含参数的一元二次不等式的步骤①二次项若含有参数应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的一元二次不等式；②判断一元二次不等式所对应的方程实根的个数，即

讨论判别式Δ与0的关系；③确定方程无实根或有两个相同实根时，可直接写出解集；确定方程有两个相异实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集．[典例]1．（2021·湖南·衡阳市田家炳实验中学高一阶段练习）不等式

2210xx−−解集为（）A．{x|1<x<2}B．{x|－2<x<1}C．{x|x>2或x<1}D．112xx−2．（2021·四川省叙永第一中学校高三阶段练习）解下列关于x的不等式：(1)231x

−；(2)()22120axax+−−（0a）.[举一反三]1．（2022·浙江宁波·二模）已知集合2230Axxx=−−，15Bxx=，则AB=（）A．(1,3−B．)1,3C．(1,5−D．(3,52．（20

22·全国·模拟预测）设集合402xAxx−=+，27100Bxxx=−+，则()RAB=ð（）A．22xx−B．22xx−C．4xx或5xD．2xx或5x3．（2021·福建省长汀县第一中学高三阶段练习）

解关于x的不等式：2(1)(23)20(1)axaxa+−++−.4．（2021·广东·普宁市大长陇中学高三阶段练习）已知二次函数y＝ax2+bx﹣a+2．(1)若关于x的不等式ax2+bx﹣a+2＞0的解集是{x|﹣1＜x＜3}，求实

数a，b的值；(2)若b＝2，a＞0，解关于x的不等式ax2+bx﹣a+2＞0．➢考点2一元二次不等式恒成立问题[名师点睛]1.一元二次不等式在R上恒成立的条件(1)不等式ax2＋bx＋c≥0对任意实数x恒成立的条件是：①

当a＝0时，b＝0，c≥0；②当a≠0时，a>0，Δ≤0.(2)不等式ax2＋bx＋c≤0对任意实数x恒成立的条件是：①当a＝0时，b＝0，c≤0；②当a≠0时，a<0，Δ≤0.2.一元二次不等式在给定区间上恒成立的求解

方法设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．(1)当a<0时，f(x)<0在x∈[α，β]上恒成立⇔－b2a<α，fα<0或－b2a>β，fβ<0或Δ<0.f(x)>0在x∈[α，β]上恒成立⇔fβ>0，fα>0.(2)当a>0时，f(x)<0在x∈[α，β]上

恒成立⇔fβ<0，fα<0.f(x)>0在x∈[α，β]上恒成立⇔－b2a<α，fα>0或－b2a>β，fβ>0或Δ<0.3.转换主元法解给定参数范围问题解给定参数范围的不等

式恒成立问题，若在分离参数时会遇到讨论的情况，或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值难以求出，可考虑变换思维角度，即把变量与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，再根据原参数的范围列式求解．[典例]1．（2022·全国·高三专题练习）不等式()()21110

axax+−+−对一切实数x恒成立，则a的取值范围是（）A．15aB．51a−−C．51a−−D．31a−−2．（2021·河北·石家庄市藁城区第一中学高三开学考试）若关于x的不等式2210xax++…在[0,)+上恒成立，

则实数a的取值范围为()A．()0,+B．)1,−+C．1,1−D．)0,+3．（2022·全国·高三专题练习）已知[1a−，1]，不等式2(4)420xaxa+−+−恒成立，则x的取值范围为()A．(−，2)(3，)+B．(−，1)(2，

)+C．(−，1)(3，)+D．(1,3)[举一反三]1．（2022·江苏南通·模拟预测）当xR时，不等式2210xxa−−−恒成立，则实数a的取值范围是（）A．(,2−−B．(),2−−C．(,0−

D．(),0−2．（2022·全国·高三专题练习）已知aR，“2210axax+−对xR恒成立”的一个充要条件是（）A．10a−B．10a−C．10a−D．10a−3．（2022·全国·高三专题练习）若不等式224(2)30axax−+−+（）＞的解

集为R，则实数a的取值范围是（）A．1124，B．1124，C．()1124−+，，D．(1124−+，，4．（2022·全国·高三专题练习）不等式225732axxax+−

−对一切()1,0a−恒成立，则实数x的取值范围是（）A．(1,4,2−−+B．(),41,−−−+C．()4,1−−D．14,2−5．（2022·全国·高三专题练习）若对任意的2[1,0

],2420xxxm−−+++恒成立，则m的取值范围是（）A．[4,)+B．[2,)+C．(,4]−D．(,2]−6．（2021·江苏常州·高三阶段练习）已知函数2()1fxxax=−−，当0,3x时，()5fx恒成立，则实数a的取

值范围为__________.7．（2022·浙江·高三专题练习）若关于x的不等式3231012xkxxx−+−对任意的()0,2x恒成立，则实数k的取值范围为____________．8．（2021·重庆市涪陵高级中学校高三阶段练习

）设函数2()1fxmxmx=−−．(1)若对于一切实数x，()0fx恒成立，求实数m的取值范围；(2)若对于1,3x，()5fxm−+恒成立，求实数m的取值范围.➢考点3一元二次方程根的分布问题[名师点睛]1.设一元二次方程

ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两实根为x1，x2，且x1≤x2，k为常数，则一元二次方程根和k的分布(即x1，x2相对于k的位置)有以下若干定理．定理1：x1<k<x2(即一个根小于k，一个根大于k)⇔af(k)<0.定理2：k<x1≤x2(即两根都大于k)⇔

Δ＝b2－4ac≥0，afk>0，－b2a>k.定理3：x1≤x2<k(即两根都小于k)⇔Δ＝b2－4ac≥0，afk>0，－b2a<k.2.一元二次不等式在实数范围内有解的求解方法(1)一元二次不等式ax2＋bx

＋c>0在实数范围内有解⇒a>0，b，c∈R或a<0，Δ＝b2－4ac>0.(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0在实数范围内有解⇒a>0，Δ＝b2—4ac>0或a<0，b，c∈R.

3.在区间内有解，可以参变分离为a>f(x)或a<f(x)的形式，转化为a>f(x)min或a<f(x)max；也可以通过对立命题转化为在区间内无解，从而转化为恒成立问题.[典例]1．（2022·重庆一中高三阶段练

习）若方程240xax−++=的两实根中一个小于1−，另一个大于2，则a的取值范围是（）A．()0,3B．0,3C．()3,0−D．(,1)(3,)−+2．（2022·全国·高三专题练习）若不等式220xxm−−在1,22x上有解，则实数m的取值范围是（）A

．)1,−+B．()1,−+C．34−+D．()0,+3．（2022·上海·高三专题练习）已知,aZ关于x的一元二次不等式260xxa−+的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条

件的a的值之和是（）A．13B．18C．21D．26[举一反三]1．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三开学考试（理））关于x的方程2(2)60xmxm+−+−=的两根都大于2，则m的取值范围是（）A．(,25)(25,)−−+B．(6

,25]−−C．(6,2)(25,)−−+D．(,2)−−2．（2022·全国·高三专题练习）已知关于x的不等式2240axxa−+在(0,2]上有解，则实数a的取值范围是（）A．1,2−

B．1,2+C．(,2)−D．(2,)+3．（2022·江苏·高三专题练习）已知关于x的不等式210xax−+在区间[1,2]上有解，则实数a的取值范围为（）A．2aB．2aC．52aD．52a4．（2022·全国·高三专题练习）若关于x的不等式2420

xxa−−−在区间(1，4)内有解，则实数a的取值范围是（）A．(,2)−−B．(,2−−C．(6,)−+D．(,6)−−5．（2022·全国·高三专题练习）已知关于x的不等式210xax−+在区间[1,2]上有解，则实数a的取值范围为_______

6．（2022·全国·高三专题练习）若关于x的不等式2210axx++有实数解，则a的取值范围是_____．7．（2022·全国·高三专题练习）若一元二次方程2(1)30mxmx−++=的两个实根都大于1−，则m的取值范围____8．（2022·全国·高三专题练

习）设函数()21fxmxmx=−−，若对于任意的13{|}xxx，()4fxm−+恒成立，则实数m的取值范围为_____.9．（2021·江苏·仪征市第二中学高三阶段练习）已知函数2()(23)6()fxaxaxaR=−++．（1）当1a=时，求函数()yfx=的零点；

（2）解关于x的不等式()0(0)fxa；（3）当1a=时，函数()(5)3fxmxm−+++„在[2,2]−有解，求实数m的取值范围．