【文档说明】《2023年高考数学一轮总复习考点探究与题型突破（新高考专用）》第01讲 集合的概念与运算（解析版）.docx，共(15)页，504.827 KB，由envi的店铺上传

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第1讲集合的概念与运算1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数

集实数集符号NN*(或N＋)ZQR[注意]N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*和N＋的含义是一样的，表示正整数集，不包含0.2．集合间的基本关系表示关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集

合B中(即若x∈A，则x∈B)A⊆B(或B⊇A)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中A⫋B(或B⫌A)集合相等集合A，B中元素相同A＝B3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言A∪B＝{x|x∈A或x∈B}A∩B＝{x|x∈A且x∈B}∁UA

＝{x|x∈U且x∉A}➢考点1集合的含义与表示[名师点睛]与集合元素有关问题的解题策略(1)研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义．(2)利用集合元素的限制条件求参

数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性．[典例](2022·山东模拟）(1)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为()A．9B．8C．5D．4(2)设A＝2

，3，a2－3a，a＋2a＋7，B＝{|a－2|,3}，已知4∈A且4∉B，则a的取值集合为________．[解析](1)将满足x2＋y2≤3的整数x，y全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)

，共有9个．故选A.(2)因为4∈A，即4∈2，3，a2－3a，a＋2a＋7，所以a2－3a＝4或a＋2a＋7＝4.若a2－3a＝4，则a＝－1或a＝4；若a＋2a＋7＝4，即a2＋3a＋2＝0，则a＝－1或a＝－2.由a2－3a与a＋2a＋7互异，得a≠－1.故a＝－2或a

＝4.又4∉B，即4∉{|a－2|,3}，所以|a－2|≠4，解得a≠－2且a≠6.综上所述，a的取值集合为{4}．[答案](1)A(2){4}[举一反三]1．（2022·江西·新余四中模拟预测（理））已知集合()()20Axaxxa=−−，若2A，则实数

a的取值范围为（）A．()(),12,−+B．)1,2C．()1,2D．1,2【答案】D【解析】因为2A，所以()()2220aa−−，解得12a．故选：D．2．（2022·菏泽模拟）设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝

0，ba，b，则b－a＝()A．1B．－1C．2D．－2解析：选C.因为{1，a＋b，a}＝0，ba，b，a≠0，所以a＋b＝0，则ba＝－1，所以a＝－1，b＝1.所以b－a＝2.3．(多选)（2022·广州一调）已知集合{x|mx2－2x＋1＝0}＝{n}，则

m＋n的值可能为()A．0B．12C．1D．2解析：选BD.因为集合{x|mx2－2x＋1＝0}＝{n}，所以m＝0，－2n＋1＝0或m≠0，Δ＝4－4m＝0，n＝－－22m，解得

m＝0，n＝12或m＝1，n＝1，所以m＋n＝12或m＋n＝2.故选BD.4．（2022·福建·模拟预测）设集合{2,1,1,2,3}A=−−，2|log||,ByyxxA==，则集合B元素的个数为（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】当2x=

时，y＝1；当1x=时，y＝0；当x＝3时，2log3y=．故集合B共有3个元素．故选：B.5．（2022·武汉校级月考）已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．解析：由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，则m＝1或m＝－32.当m＝1时，m＋2＝3且2m

2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m＝－32时，m＋2＝12，而2m2＋m＝3，符合题意，故m＝－32.答案：－32➢考点2集合的基本关系[名师点睛]解决有关集合间的基本关系问题的策略

(1)一般利用数轴法、Venn图法以及结构法判断两集合间的关系，如果集合中含有参数，需要对式子进行变形，有时需要进一步对参数分类讨论．(2)确定非空集合A的子集的个数，需先确定集合A中的元素的个数．(3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素满足的式子或区间端点间的关系

，常用数轴法、Venn图法．[典例](1)(2021·八省联考)已知M，N均为R的子集，且∁RM⊆N，则M∪(∁RN)＝()A．∅B．MC．ND．R(2)[2022·广东阳江月考]已知集合A＝{x|y＝4－x2}，B＝{x|a≤x≤a＋

1}，若B⊆A，则实数a的取值范围为()A．(－∞，－3]∪[2，＋∞)B．[－1，2]C．[－2，1]D．[2，＋∞)【解析】(1)因为M，N均为R的子集，且∁RM⊆N，所以N＝∁RM，所以M∪(∁RN)＝M.故

选B.(2)集合A＝{x|y＝4－x2}＝{x|－2≤x≤2}，因为B⊆A，所以有a≥－2，a＋1≤2，所以－2≤a≤1.【答案】(1)B(2)C[举一反三]1.（2022·广东广州·一模）已知集合11Axx=−Z，02Bxx=，则AB的子集个数为（）A．2B．3C

．4D．6【答案】C【解析】由题可知1,0,1A=−，所有0,1AB=，所有其子集分别是,1,0,0,1，所有共有4个子集，故选：C2．[2022·湖北武汉摸底]已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条

件A⊆C⊆B的集合C的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：选D求解一元二次方程，得A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}＝{x|(x－1)(x－2)＝0，x∈R}＝{1,2}，易知B＝{x|0<x<5，x∈N}＝{1,2,3,4}．因为A⊆C⊆B，所以根据子集的定义，集合C必

须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，原题即求集合{3,4}的子集个数，即有22＝4个，故选D.3．（2022·山东·潍坊一中模拟预测）已知集合M，N是全集U的两个非空子集，且()UMNð，则（）A．MN=B．MNC．NMD．()UNMU=ð

【答案】A【解析】UNð表示集合N的补集，因为()UMNð，所以MN=．故选：A4.[2021·湖南长沙长郡中学适应性考试]已知集合A＝{x∈Z|x≥a}，集合B＝{x∈Z|2x≤4}．若A∩B只有4个子集，则实数a

的取值范围是()A．(－2，－1]B．[－2，－1]C．[0,1]D．(0,1][答案]D[解析]本题考查根据集合的子集个数求参数的取值．集合A＝{x∈Z|x≥a}，集合B＝{x∈Z|2x≤4}＝{x∈Z|x≤2}，故A∩B＝{x∈Z|a≤x≤2}．因为A∩B只

有4个子集，所以A∩B中元素只能有2个，即A∩B＝{1,2}，所以0<a≤1，故选D.5．[2022·吉林辽源五校期末联考]已知集合M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是________．

解析：由题易得M＝{a}．因为M∩N＝N，所以N⊆M，所以N＝∅或N＝M，所以a＝0或a＝±1.答案：0或1或－1➢考点3集合的基本运算[名师点睛]利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法(1)与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取

到．(2)若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．[典例]1.(1)（2021·全国·高考真题）设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}UAB===，则()UAB=

ð（）A．{3}B．{1,6}C．{5,6}D．{1,3}【答案】B【解析】由题设可得U1,5,6B=ð，故()U1,6AB=ð，故选：B.(2)(多选)[2022·湖南长沙模拟]已知全集U＝R，集合M＝{x|－3≤x<4}，N＝{x|x2－2x－8≤0}

，则()A．M∪N＝{x|－3≤x<4}B．M∩N＝{x|－2≤x<4}C．(∁UM)∪N＝(－∞，－3)∪[－2，＋∞)D．M∩(∁UN)＝(－3，－2)【解析】(1)方法一：由题意，得A∪B＝{－1，0

，1，2}，所以∁U(A∪B)＝{－2，3}，故选A.方法二：因为2∈B，所以2∈A∪B，所以2∉∁U(A∪B)，故排除B，D；又0∈A，所以0∈A∪B，所以0∉∁U(A∪B)，故排除C，故选A.(2)由x2－2x－8≤0，得－2≤x≤4，所以N＝{

x|－2≤x≤4}，则M∪N＝{x|－3≤x≤4}，A错误；M∩N＝{x|－2≤x<4}，B正确；由于∁UM＝(－∞，－3)∪[4，＋∞)，故(∁UM)∪N＝(－∞，－3)∪[－2，＋∞)，C正确；由于∁UN＝(－∞，－2)∪(4，＋∞)，故M∩(∁UN)＝[－3，－2)，D错误．故选BC.

【答案】(1)A(2)BC2.(1)(2020·高考全国卷Ⅰ)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a＝()A．－4B．－2C．2D．4(2)[2022·湖南六校联考]集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}

，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为()A．0B．1C．2D．4【解析】(1)方法一：易知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x≤－a2}，因为A∩B＝{x|－2≤x≤1}，所以－a2＝1，解

得a＝－2.故选B.方法二：由题意得A＝{x|－2≤x≤2}．若a＝－4，则B＝{x|x≤2}，又A＝{x|－2≤x≤2}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤2}，不满足题意，排除A；若a＝－2，则B＝{x|x

≤1}，又A＝{x|－2≤x≤2}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤1}，满足题意；若a＝2，则B＝{x|x≤－1}，又A＝{x|－2≤x≤2}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤－1}，不满足题意，排除C；若

a＝4，则B＝{x|x≤－2}，又A＝{x|－2≤x≤2}，所以A∩B＝{x|x＝－2}，不满足题意．故选B.(2)根据集合并集的概念，可知{a，a2}＝{4，16}，故a＝4.【答案】(1)B(2)D[举一反三]1．（2022·河北石家庄·二模）已知集合{3,2,1,0,1}A=−−−，301x

BxZx+=−，则AB=（）A．[3,1)−B．[3,1]−C．{3,2,1,0,1}−−−D．{2,1,0}−−【答案】D【解析】因为30311xxx+−−，所以2,1,0B=−−，而{3,2,1,0,1}A=−−−，所以AB

={2,1,0}−−，故选：D2．[2022·华南师范大学附属中学月考]已知集合A＝{x|x<3}，B＝{x|x>a}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围为()A．[3，＋∞)B．(3，＋∞)C．(－∞，3)D．(－∞，3]解析：选C因为A∩B≠∅，所以结合数轴可知实

数a的取值范围是a<3，故选C.3．(2020·高考全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为()A．2B．3C．4D．6解析：选C.由题意得，A∩B＝{(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)}，所以A∩B中元素的个数

为4，选C.4．（2022·重庆·二模）已知集合21,3,5,6,7,8,9,14480ABxxx==−+∣„，则下图中阴影部分表示的集合为（）A．1,3,5,7,9B．1,3,5,9C．1,3,5D．1,3,9【答案】B【解析】由图可知，图中阴影部分表示(

)RABð，由214480xx−+，得68x，所以68Bxx=，所以R6Bxx=ð或8x，因为1,3,5,6,7,8,9A=，所以()R1,3,5,9AB=ð，故选：B5

．（2021·全国·高考真题（理））已知集合21,Sssnn==+Z，41,Tttnn==+Z，则ST?（）A．B．SC．TD．Z【答案】C【解析】任取tT，则()41221tnn=+=+，其中nZ，所以，tS，故T

S，因此，STT=.故选：C.6.[2021·豫北名校联考]设集合A＝{x|x2＋2x－3>0}，集合B＝{x|x2－2ax－1≤0，a>0}，若A∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是()A．0，34B．

34，43C．34，＋∞D．(1，＋∞)[答案]B[解析]A＝{x|x2＋2x－3>0}＝{x|x>1或x<－3}，设函数f(x)＝x2－2ax－1，因为函数f(x)＝x2－2ax－1图象的对称轴为直线x＝a(a>0)，f(0)＝－1<0，根据对称性可知，若A∩B中恰有一

个整数，则这个整数为2，所以有f(2)≤0，f(3)>0，即4－4a－1≤0，9－6a－1>0，所以a≥34，a<43，即34≤a<43.故选B.7.（2020·浙江·高考真题）设集合S，T，SN*，TN*，S，

T中至少有两个元素，且S，T满足：①对于任意x，yS，若x≠y，都有xyT②对于任意x，yT，若x<y，则yxS；下列命题正确的是（）A．若S有4个元素，则S∪T有7个元素B．若S有4个元素，则S∪T有6个元素C．若S有3个元素，则

S∪T有5个元素D．若S有3个元素，则S∪T有4个元素【答案】A【解析】首先利用排除法：若取1,2,4S=，则2,4,8T=，此时1,2,4,8ST=，包含4个元素，排除选项C；若取2,4,8S=，则8,16,32T=，此时2,4,8,16,32ST=，包含5个元素，排除选

项D；若取2,4,8,16S=，则8,16,32,64,128T=，此时2,4,8,16,32,64,128ST=，包含7个元素，排除选项B；下面来说明选项A的正确性：设集合1234,,,Spppp=，且1234pppp，*1234,,,ppppN，则1224ppp

p，且1224,ppppT，则41pSp，同理42pSp，43pSp，32pSp，31pSp，21pSp，若11p=，则22p，则332ppp，故322ppp=即232pp=，又444231ppppp，故442232ppppp==，所以342pp=，故232221,,

,Sppp=，此时522,pTpT，故42pS，矛盾，舍.若12p，则32311ppppp，故322111,pppppp==即323121,pppp==，又44441231ppppppp，故4413

31ppppp==，所以441pp=，故2341111,,,Spppp=，此时3456711111,,,,pppppT.若qT，则31qSp，故131,1,2,3,4iqpip==，故31

,1,2,3,4iqpi+==，即3456711111,,,,qppppp，故3456711111,,,,pppppT=，此时234456711111111,,,,,,,STpppppppp=即ST中有7个元素.故A正确.故

选：A.➢考点4集合中的创新问题[名师点睛]1.首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是解决新定义型问题的关键所在；2.集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是解决新定义集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中

发现可以使用集合性质的一些信息，在关键之处用好集合的性质。[典例]1.（2022·北京房山·一模）已知U是非实数集，若非空集合A1，A2满足以下三个条件，则称（A1，A2）为集合U的一种真分拆，并规定（A1，A

2）与（A2，A1）为集合U的同一种真分拆①A1∩A2=0②A1A2=U③(1,2)iAi=的元素个数不是iA中的元素.则集合U={1，2，3，4，5，6}的真分拆的种数是（）A．5B．6C．10D．15【答案】A【解析】解：由题意，集合U={1，2，3，4，5，6

}的真分拆有125,1,2,3,4,6AA==；121,4,2,3,5,6AA==；123,4,1,2,5,6AA==；124,5,1,2,3,6AA==；124,6,1,2,3

,5AA==，共5种，故选：A.2.[2022·广东六校联考]已知集合A0＝{x|0<x<1}．给定一个函数y＝f(x)，定义集合An＝{y|y＝f(x)，x∈An－1}，若An∩An－1＝∅对任意的x∈N*成立，则称该函

数具有性质“∅”．(1)具有性质“∅”的一个一次函数的解析式可以是________．(2)给出下列函数：①y＝1x；②y＝x2＋1；③y＝cosπ2x＋2.其中具有性质“∅”的函数的序号是________．[解析](1)答案不唯一，合理即可．示例：对于解析式y＝x＋1，因

为A0＝{x|0<x<1}，所以A1＝{x|1<x<2}，A2＝{x|2<x<3}，…，显然符合An∩An－1＝∅.故具有性质“∅”的一个一次函数的解析式可以是y＝x＋1.(2)对于①，A0＝{x|0<x<1}，A1＝

{x|x>1}，A2＝{x|0<x<1}，…，依次循环下去，符合An∩An－1＝∅.对于②，A0＝{x|0<x<1}，A1＝{x|1<x<2}，A2＝{x|2<x<5}，A3＝{x|5<x<26}，…，根据函数y＝x2＋1的单调性得相邻两个集合不会有交集，符合An∩An－1＝∅.对于③，A0

＝{x|0<x<1}，A1＝{x|2<x<3}，A2＝{x|1<x<2}，A3＝{x|1<x<2}，不符合An∩An－1＝∅.所以具有性质“∅”的函数的序号是①②.[答案](1)y＝x＋1(2)①②3.[2022·河北保定质检]

现有100名携带药品出国的旅游者，其中75人带有感冒药，80人带有胃药，那么对既带感冒药又带胃药的人数统计中，下列说法正确的是()A．最多人数是55B．最少人数是55C．最少人数是75D．最多人数是80解析：选B设100名携带

药品出国的旅游者组成全集I，其中带感冒药的人组成集合A，带胃药的人组成集合B.设所携带药品既非感冒药又非胃药的人数为x，则0≤x≤20.设以上两种药都带的人数为y.由图可知，x＋card(A)＋card(B)－y＝100.∴x＋75＋80－y＝100，∴y＝5

5＋x.∵0≤x≤20，∴55≤y≤75，故最少人数是55.[举一反三]1．（2022·湖南·雅礼中学一模）已知集合22(,)|1,,AxyxyxyZ=+，(,)|2,2,,BxyxyxyZ=，定义集合1

2121122(,)|(,),(,)ABxxyyxyAxyB=++，则AB中元素的个数为A．77B．49C．45D．30【答案】C【解析】因为集合，所以集合中有5个元素（即5个点），即图中圆中的整点，

集合中有25个元素（即25个点）：即图中正方形中的整点，集合的元素可看作正方形中的整点（除去四个顶点），即个．2．[2021·四川成都联考]已知集合A＝{1,2,3,4,5,6}的所有三个元素的子集记为B1，B2，B3，…，Bk，k∈N*.记bi为集合Bi(i＝1,2,3

，…，k)中的最大元素，则b1＋b2＋b3＋…＋bk＝()A．45B．105C．150D．210[答案]B[解析]本题考查集合的新定义问题．集合A的含有3个元素的子集共有C36＝20个，所以k＝20.在集合Bi(i＝1,2,3，…，k)中，最大元素为3的

集合有C22＝1个；最大元素为4的集合有C23＝3个；最大元素为5的集合有C24＝6个；最大元素为6的集合有C25＝10个，所以b1＋b2＋b3＋…＋bk＝3×1＋4×3＋5×6＋6×10＝105.故选B.3．[多选][2022·湘赣皖十五校第一次联考]已

知集合M，N都是非空集合U的子集，令集合S＝{x|x恰好属于M，N中的一个}，下列说法正确的是()A．若S＝N，则M＝∅B．若S＝∅，则M＝NC．若S⊆M，则M⊆ND．∃M，N，使得S＝(∁UM)∪(∁UN)[答案]ABD

[解析]本题考查Venn图．用Venn图表示，集合S为如图1中的阴影部分，对于A选项，若S＝N，利用S的Venn图观察，则有M∩N＝∅，M＝∅，故A选项正确；对于B选项，若S＝∅，则M＝N，故B选项正确；对于

C选项，反例：如图集合S为如图2中的阴影部分，N⊆M，故C选项错误；对于D选项，例如U＝{1,2,3,4}，M＝{1,2,3}，N＝{4}，S＝{x|x恰好属于M，N中的一个}＝{1,2,3,4}＝U，而(∁UM)∪(∁UN)＝{4}∪{1,2，3

}＝{1,2,3,4}＝S，故D选项正确，故选ABD.图1图24．[2022·湖北华大新联盟考试]中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：今有物，不知其数．三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二．问：物几何？现有如下表示：已知A＝

{x|x＝3n＋2，n∈N*}，B＝{x|x＝5n＋3，n∈N*}，C＝{x|x＝7n＋2，n∈N*}，若x∈(A∩B∩C)，则整数x的最小值为()A．128B．127C．37D．23解析：选D∵求整数的最小值，∴先将23代入检验，满足A，B，C三个集合，故选D.5．[

2022·山东省实验中学第二次诊断]若集合{a，b，c，d}＝{1,2,3,4}，且下列四个关系：①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4有且只有一个是正确的．请写出满足上述条件的一个有序数组(a，b，c，d)＝________，符合条件的全部有序数组(a，b，c，d)的个数是_

_______．解析：显然①不可能正确，否则①②都正确；若②正确，则a＝2，b＝3，c＝1，d＝4或a＝3，b＝2，c＝1，d＝4.若③正确，则a＝3，b＝1，c＝2，d＝4.若

④正确，则a＝2，b＝1，c＝4，d＝3或a＝3，b＝1，c＝4，d＝2或a＝4，b＝1，c＝3，d＝2.所以符合条件的数组共6个．答案：(3,2,1,4)(填一个正确的即可)66．[2022

·山东潍坊重点高中联考]已知U＝{a1，a2，a3，a4}，集合A是集合U中的两个元素所组成的集合，且同时满足下列三个条件：①若a1∈A，则a2∈A；②若a3∉A，则a2∉A；③若a3∈A，则a4∉A.求集合A.解：假设a1∈A，则a2∈A.又若a3∉A，则a2∉A，∴a3∈A，与集合A中有且

仅有两个元素不符，∴假设不成立，∴a1∉A.假设a4∈A，则a3∉A，则a2∉A，且a1∉A，与集合A中有且仅有两个元素不符，∴假设不成立，∴a4∉A.故集合A＝{a2，a3}，经检验知符合题意．