【文档说明】《2023年高考数学一轮总复习考点探究与题型突破（新高考专用）》第04讲 一元二次不等式及其解法（解析版）.docx，共(18)页，1.048 MB，由envi的店铺上传

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第4讲一元二次不等式及其解法1．一元一次不等式ax>b(a≠0)的解集(1)当a>0时，解集为xx>ba．(2)当a<0时，解集为xx<ba．2．三个“二次”间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个相异实根x1，x2(x1<x2)有两个相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x>x2或x<x1}xx≠－b2aRax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x

2}∅∅常用结论1．分式不等式的解法(1)f（x）g（x）>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)．(2)f（x）g（x）≥0(≤0)⇔f（x）g（x）≥0（≤0），g（x）≠0.2．两个恒成立的充要条件(1)一元二次不等式ax2

＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔a>0，b2－4ac<0.(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔a<0，b2－4ac<0.➢考点1一元二次不等式的解法[名师点睛]

(1)解一元二次不等式的方法和步骤(2)解含参数的一元二次不等式的步骤①二次项若含有参数应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的一元二次不等式；②判断一元二次不等式所对应的方程实根的个数，即讨论判别式Δ与0的关系；③确

定方程无实根或有两个相同实根时，可直接写出解集；确定方程有两个相异实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集．[典例]1．（2021·湖南·衡阳市田家炳实验中学高一阶段练习）不等式2210xx−−解集为（）A．{

x|1<x<2}B．{x|－2<x<1}C．{x|x>2或x<1}D．112xx−【答案】D【解析】∵2210xx−−，∴112x−，∴不等式2210xx−−解集为112xx−．故选：D.2．（2021·四川省叙

永第一中学校高三阶段练习）解下列关于x的不等式：(1)231x−；(2)()22120axax+−−（0a）.【解】(1)由231x−，得2301x−−，即5301xx−−则(53)(1)0xx−−且1x，解得：5(,1)[,)3−+

(2)当12a=−时，原不等式1(1)(2)02xx−−+，解的{|2}xx−；当12a−时，原不等式(1)(2)0axx−+，又12a−所以解集为1(,2)(,)a−−+；当102a−时，因为12a−所以解集为1(,)(2,)a−−+.综

上有，12a=−时，解集为{|2}xx−；12a−时，解集为1(,2)(,)a−−+；102a−时，解集为1(,)(2,)a−−+.[举一反三]1．（2022·浙江宁波·二模）已知集合2230Axxx=−−，15Bx

x=，则AB=（）A．(1,3−B．)1,3C．(1,5−D．(3,5【答案】B【解析】由题意，2230{|13}Axxxxx=−−=−，故{|13}15{|13}ABxxxxxx=−=，故选：B2．（2022·全国·模拟

预测）设集合402xAxx−=+，27100Bxxx=−+，则()RAB=ð（）A．22xx−B．22xx−C．4xx或5xD．2xx或5x【答案】B【解析】由不等式402xx−+，解得2x−或4x

，所以{|2Axx=−或4}x，又由不等式27100xx−+，解得2x或5x≥，所以{|2Bxx=或5}x³，可得R{|24}Axx=−ð，所以()RAB=ð22xx−.故选：B.3．

（2021·福建省长汀县第一中学高三阶段练习）解关于x的不等式：2(1)(23)20(1)axaxa+−++−.【解】当a＋1=0即a＝-1时，原不等式变为－x＋2<0，即x>2.当a>-1时，原不等式可转化为()1201xxa−−+，∴方程()1201xxa−−=+

的根为1,21a+.若-1<a<12−，则11a+>2，解得2<x<11a+；若a＝12−，则11a+＝2，解得x∈∅；若a>12−，则11a+<2，解得11a+<x<2.综上，当a>12−时，原不等式的解集为{x|11a+<x<2}；当a＝12−时，原不等式的

解集为∅；当-1<a<12−时，原不等式的解集为{x|2<x<11a+}.当a＝-1时，原不等式的解集为{x|x>2}.4．（2021·广东·普宁市大长陇中学高三阶段练习）已知二次函数y＝ax2+bx﹣a+2．(1)若关于x的不等式ax2+bx﹣a+2＞0的解集是{x|﹣1＜x＜3}，求实数

a，b的值；(2)若b＝2，a＞0，解关于x的不等式ax2+bx﹣a+2＞0．【解】(1)由题意知，﹣1和3是方程ax2+bx﹣a+2＝0的两根，所以132(1)3baaa−+=−−+−=，解得a＝﹣1，b＝2；(2

)当b＝2时，不等式ax2+bx﹣a+2＞0为ax2+2x﹣a+2＞0，即（ax﹣a+2）（x+1）＞0，所以()210axxa−−+，当21aa−=−即1a=时，解集为1xx−；

当21aa−−即01a时，解集为2axxa−或1x−；当21aa−−即1a时，解集为2axxa−或1x−.➢考点2一元二次不等式恒成立问题[名师点睛]1.一元二次不等式在R上恒成

立的条件(1)不等式ax2＋bx＋c≥0对任意实数x恒成立的条件是：①当a＝0时，b＝0，c≥0；②当a≠0时，a>0，Δ≤0.(2)不等式ax2＋bx＋c≤0对任意实数x恒成立的条件是：①当a＝0时，b＝0，c≤0；②当a≠0时，a<

0，Δ≤0.2.一元二次不等式在给定区间上恒成立的求解方法设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．(1)当a<0时，f(x)<0在x∈[α，β]上恒成立⇔－b2a<α，fα<0或－b2a>β，fβ<0或Δ<0.f(x)>0在x∈[α，β]

上恒成立⇔fβ>0，fα>0.(2)当a>0时，f(x)<0在x∈[α，β]上恒成立⇔fβ<0，fα<0.f(x)>0在x∈[α，β]上恒成立⇔－b2a<α，fα>0或－b2a>β，fβ>0或

Δ<0.3.转换主元法解给定参数范围问题解给定参数范围的不等式恒成立问题，若在分离参数时会遇到讨论的情况，或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值难以求出，可考虑变换思维角度，即把变量与参数交换位置，

构造以参数为变量的函数，再根据原参数的范围列式求解．[典例]1．（2022·全国·高三专题练习）不等式()()21110axax+−+−对一切实数x恒成立，则a的取值范围是（）A．15aB．51a−−C．

51a−−D．31a−−【答案】C【解析】当10a+=，即1a=−时，()()21110axax+−+−可化为10−，即不等式10−恒成立；当10a+，即1a−时，因为()()21110axax

+−+−对一切实数x恒成立，所以()()2101410aaa++++，解得51a−−；综上所述，51a−−.故选：C.2．（2021·河北·石家庄市藁城区第一中学高三开学考试）若关于x的不等式2210xax++…在[0,)+上恒成立，则实数a的取值范围为

()A．()0,+B．)1,−+C．1,1−D．)0,+【答案】B【解析】解：当0x=时，不等式10…恒成立；当0x时，由题意可得12axx−+„恒成立，由11()22fxxxxx=+=…，当且仅当1x=时，取得等号．所以22a−„，解得1a−…．综

上可得，a的取值范围是)1,−+．故选：B．3．（2022·全国·高三专题练习）已知[1a−，1]，不等式2(4)420xaxa+−+−恒成立，则x的取值范围为()A．(−，2)(3，)+B．

(−，1)(2，)+C．(−，1)(3，)+D．(1,3)【答案】C【解析】解：令()2(2)44faxaxx=−+−+，则不等式2(4)420xaxa+−+−恒成立转化为()0fa在[1,1]a−上恒成立．有(1)0(1)0ff−

，即22(2)4402440xxxxxx−−+−+−+−+，整理得：22560320xxxx−+−+，解得：1x或3x．x的取值范围为()(),13,−+．故选：C．[举一反三]1．（2022·江苏南通·模拟预测）当xR时，不等式2210xxa−−−恒成立

，则实数a的取值范围是（）A．(,2−−B．(),2−−C．(,0−D．(),0−【答案】A【解析】由题意，当xR时，不等式2210xxa−−−恒成立，故2(2)4(1)0a=−++解得2a−，故实数a的取值范围是(,2−−故选：A2．（2022·全国·高三专题练习

）已知aR，“2210axax+−对xR恒成立”的一个充要条件是（）A．10a−B．10a−C．10a−D．10a−【答案】B【解析】当0a=时，221=10axax+−−，对xR恒成立；当0a时，若2210axax+−，对xR恒成立，则必须有2

0(2)4(1)0aaa−−，解之得10a−，综上，a的取值范围为10a−.故“2210axax+−对xR恒成立”的一个充要条件是10a−，故选：B3．（2022·全国·高三专题练习）若不等式224(2)30axax−+−+（）

＞的解集为R，则实数a的取值范围是（）A．1124，B．1124，C．()1124−+，，D．(1124−+，，【答案】B【解析】∵不等式224(2)30axax−+−+（）＞的解集为R，当

a-2＝0，即a＝2时，不等式为3>0恒成立，故a＝2符合题意；当a﹣2≠0，即a≠2时，不等式224(2)30axax−+−+（）＞的解集为R，则()()220Δ424230aaa−=−−−，解得1124a，综合①②可得，实数a的取值范

围是1124，．故选：B．4．（2022·全国·高三专题练习）不等式225732axxax+−−对一切()1,0a−恒成立，则实数x的取值范围是（）A．(1,4,2−−+B．(),41,−−−+C．()4,1−−D．1

4,2−【答案】A【解析】令()()227532=−+−+faaxxx，对一切()1,0a−均大于0恒成立，所以()()22270175320−−=−−+−+xfxxx，或()227005320−=−+xfxx，或22705320−=−+x

xx，解得4x−或7x，172x，或7x=，综上，实数x的取值范围是4x−，或12x.故选：A.5．（2022·全国·高三专题练习）若对任意的2[1,0],2420xxxm−−+++恒成立，则m的取值范围是（）A．[4,)+

B．[2,)+C．(,4]−D．(,2]−【答案】A【解析】解：因为对任意的2[1,0],2420xxxm−−+++恒成立，所以对任意的2[1,0],242xmxx−−−恒成立，因为当[1,0]

x−，()22142,4yx=−−−，所以()2max2424mxx−−=，[1,0]x−，即m的取值范围是[4,)+故选：A6．（2021·江苏常州·高三阶段练习）已知函数2()1fx

xax=−−，当0,3x时，()5fx恒成立，则实数a的取值范围为__________.【答案】[1,4]【解析】2|()|5515fxxax−−−„，①当0x=时，aR；②当0x时，2|()|5515fxxax−−−„64xaxxx−

+，min44242xx+=+=，max6321xx−=−=，14a，综上所述：14a.故答案为：1,4.7．（2022·浙江·高三专题练习）若关于x的不等式3231012xkxxx−+−对任意的()0,2x恒成

立，则实数k的取值范围为____________．【答案】0,1【解析】由题意知：2302kxxx+−，即22−kxx对任意的()0,2x恒成立，0k当()0,2x，3231012xkxxx−+−得：23321

0kxxxx+−−，即200+21xkx−对任意的()0,2x恒成立，即210210=2xkxxx−−对任意的()0,2x恒成立，令()102fxxx=−，()fx在()0,2x上单减，所以()()21fxf=，所以1k01k.故答案为：0

,18．（2021·重庆市涪陵高级中学校高三阶段练习）设函数2()1fxmxmx=−−．(1)若对于一切实数x，()0fx恒成立，求实数m的取值范围；(2)若对于1,3x，()5fxm−+恒成立，求实数m的取值范围.【解】

(1)解：由已知，210mxmx−−对于一切实数x恒成立，当0m=时，10−恒成立,符合题意，当0m时，只需20Δ40mmm=+，解得40m−，综上所述，m的取值范围是(4−，0]；(2)解：由已知，215mxmxm−−−+对[1x，3]恒成立，即

2(1)6mxx−+对[1x，3]恒成立，22131()024xxx−+=−+，261mxx−+对[1x，3]恒成立，令2()1gxxx=−+，则只需min6()mgx即可，而()gx在[1x，3]上是单调递增函数，()[

1gx，7]，66[,6]()7gx，67m，所以m的取值范围是6(,)7−.➢考点3一元二次方程根的分布问题[名师点睛]1.设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两实根为x1，x2，且x1≤x2，k为常数，则一元二次

方程根和k的分布(即x1，x2相对于k的位置)有以下若干定理．定理1：x1<k<x2(即一个根小于k，一个根大于k)⇔af(k)<0.定理2：k<x1≤x2(即两根都大于k)⇔Δ＝b2－4ac≥0，afk>0，－b

2a>k.定理3：x1≤x2<k(即两根都小于k)⇔Δ＝b2－4ac≥0，afk>0，－b2a<k.2.一元二次不等式在实数范围内有解的求解方法(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0在实数范围内有解⇒a>0，

b，c∈R或a<0，Δ＝b2－4ac>0.(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0在实数范围内有解⇒a>0，Δ＝b2—4ac>0或a<0，b，c∈R.3.在区间内有解，可以参变分离为a>f(x)或a<f(x)的形式，转化为a>f(x)min或

a<f(x)max；也可以通过对立命题转化为在区间内无解，从而转化为恒成立问题.[典例]1．（2022·重庆一中高三阶段练习）若方程240xax−++=的两实根中一个小于1−，另一个大于2，则a的取值范围是（）A．()0,3B．0,3

C．()3,0−D．(,1)(3,)−+【答案】A【解析】因为方程24=0xax−++有两根，一个大于2,另一个小于1−，所以函数()24fxxax=−++有两零点，一个大于2，另一个小于1−，由二次函数的图像可知，()()2010ff−，即:()

()2222401140aa−++−−+−+解得:0<<3a故选:A.2．（2022·全国·高三专题练习）若不等式220xxm−−在1,22x上有解，则实数m的取值范围是（）A．)1,−+

B．()1,−+C．34−+D．()0,+【答案】B【解析】因为不等式220xxm−−在1,22x上有解，所以不等式22mxx−在1,22x上有解，令()22211txxx=−=−−，则min1t=−，所以1m

−，所以实数m的取值范围是()1,−+故选：B3．（2022·上海·高三专题练习）已知,aZ关于x的一元二次不等式260xxa−+的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是（）A．13B．18C．21D．2

6【答案】C【解析】设2()6fxxxa=−+，其图象为开口向上，对称轴为3x=的抛物线，根据题意可得，3640a=−，解得9a，因为()0fx解集中有且仅有3个整数，结合二次函数的对称性可得(2)0(1)0ff，即4120160aa−+−+

，解得58a，又,aZ所以a=6，7，8，所以符合题意的a的值之和6+7+8=21.故选：C[举一反三]1．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三开学考试（理））关于x的方程2(2)60xmxm+−+−=的两根都大于2，则m的取值范围是（）A．(,25)

(25,)−−+B．(6,25]−−C．(6,2)(25,)−−+D．(,2)−−【答案】B【解析】解：∵关于x的方程2(2)60xmxm+−+−=的两根都大于2，令2()(2)6fxxmxm

=+−+−，可得2(2)4(6)0222(2)42(2)60mmmfmm=−−−−−=+−+−，即252526mmmm−−−或，求得625m−−，故选：B.2．（2022·全国·高三专题

练习）已知关于x的不等式2240axxa−+在(0,2]上有解，则实数a的取值范围是（）A．1,2−B．1,2+C．(,2)−D．(2,)+【答案】A【解析】2(]0,x时，不等式可化为222

44xaxxx=++；令2()4fxxx=+，则max21()224afx==，当且仅当2x=时，等号成立，综上所述，实数a的取值范围是1,2−．故选：A．3．（2022·江苏·高三专题练习）已知关于x的不等式210xax−

+在区间[1,2]上有解，则实数a的取值范围为（）A．2aB．2aC．52aD．52a【答案】D【解析】由题意得：关于x的不等式210xax−+在区间[1,2]上有解，等价于不等式1axx+在区间[1,2]上有解，设()1fxxx=+，则函数()1fxxx=+

在[1,2]上单调递增，所以()()(152)2fffx=，所以实数a的取值范围为52a，故选：D.4．（2022·全国·高三专题练习）若关于x的不等式2420xxa−−−在区间(1，4)内有解，则实数a的取值范围是（）A．(,2)−−B．(,2−−C．(6,)−+D．(,6)−

−【答案】A【解析】不等式等价于存在()1,4x，使242axx−−成立，即()2max42axx−−设()224226yxxx=−−=−−当()1,4x时，)6,2y−−所以2a−.故选：A5．（2022·

全国·高三专题练习）已知关于x的不等式210xax−+在区间[1,2]上有解，则实数a的取值范围为_______【答案】52−，【解析】解：由题意得：关于x的不等式210xax−+在区间[1,2]上有解，等价于不等式1axx+在区间[1

,2]上有解，设1()fxxx=+，则函数1()fxxx=+在1,2上单调递增，所以5(1)()(2)2ffxf=，所以实数a的取值范围为52−，.6．（2022·全国·高三专题练习）若关于x的不等式2210axx

++有实数解，则a的取值范围是_____．【答案】(),1−【解析】当0a=时，不等式为210x+有实数解，所以0a=符合题意；当0a时，不等式对应的二次函数开口向下，所以不等式2210axx+

+有实数解，符合题意；当0a时，要使不等式2210axx++有实数解，则需满足440=−a，可得1a，所以01a，综上所述：a的取值范围是(),1−，故答案为：(),1−.7．（2022·全国·高三专题练

习）若一元二次方程2(1)30mxmx−++=的两个实根都大于1−，则m的取值范围____【答案】2m−或526m+.【解析】由题意得应满足0,11,20,(1)0mmmmf+−−解得：2m−或526

m+.故答案为：2m−或526m+.8．（2022·全国·高三专题练习）设函数()21fxmxmx=−−，若对于任意的13{|}xxx，()4fxm−+恒成立，则实数m的取值范围为_____.【答案】57m【解析】若对于任意的13

{|}xxx，()4fxm−+恒成立，即可知：250mxmxm−+−在13{|}xxx上恒成立，令()25gxmxmxm=−+−，当0m=时，50−恒成立，当0m时，对称轴为12x=.当0m时，有()gx开口向下且在1,3上单调递减，在1

,3上()()max150gxgm==−，得5m，故有0m.当0m时，有()gx开口向上且在1,3上单调递增，在1,3上()()max3750gxgm==−，∴507m，综上，实数m的取值范围为57m，故答案为：57m9．（2021·江苏·仪

征市第二中学高三阶段练习）已知函数2()(23)6()fxaxaxaR=−++．（1）当1a=时，求函数()yfx=的零点；（2）解关于x的不等式()0(0)fxa；（3）当1a=时，函数()(

5)3fxmxm−+++„在[2,2]−有解，求实数m的取值范围．【解】解：（1）当1a=时，2()56(2)(3)fxxxxx=−+=−−，所以函数()yfx=的零点为2，3.（2）由2()(23)60fxaxax=−++可得(3)(2)0axx−−，当302a时

，解得32xa；当32a=时，x不存在，不等式的解集为；当32a时，解得32xa.综上，当302a时，不等式的解集3{|2}xxa，当32a=时，不等式的解集，当32a时，不等式的解集3{2}xxa.（3）1a=时，()(5)3fx

mxm−+++„在[2,2]−有解，即230xmxm++−„在[2,2]−有解，因为23yxmxm=++−的开口向上，对称轴2mx=−，①22m−−„即4m…，2x=−时，函数取得最小值4230mm−+−„即73m…，4m….②222m−−即44m−时，当2mx=−取得最小值

，此时2304mm−+−„，解得24m„.③当22m−…即4m−„时，当2x=时取得最小值，此时4230mm++−„，解得7m−„，综上，2m…或7m−„．