【文档说明】《2023年高考数学一轮总复习考点探究与题型突破（新高考专用）》第05讲 基本不等式（解析版）.docx，共(19)页，871.590 KB，由envi的店铺上传

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第5讲基本不等式1．基本不等式：ab≤a＋b2(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．(3)其中a＋b2称为正数a，b的算术平均数，ab称为正数a，b的几何平均数．2．利用基本不等式求最值已知x

≥0，y≥0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p．(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是s24．(简记：和定积最大)常用结论几个重要

的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(2)ab≤a＋b22(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(3)a2＋b22≥a＋b22(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(4)ba＋ab≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．➢考点

1利用基本不等式求最值[名师点睛]1.通过配凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以配凑出和

或积的定值为目标；(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．2.常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；(4)利用基本不等式求解最值．3.消元法求最值的方法

消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．但应注意保留元的范围．[典例]1.（2022·河北·高三阶段练习）已知实数a，b满足条件3

36abab++=，则22ab+的最小值为（）A．8B．6C．4D．2【答案】D【解析】因为33623ababab+++=，当且仅当33ab=，即ab=时取等号，所以643abab++，所以24ab+，2ab+，()222122abab++=，当且仅当1ab==时等号成立，所以22ab

+的最小值为2故选：D.2．（2022·湖南湖南·二模）函数()122yxxx=+−+的最小值为（）A．3B．2C．1D．0【答案】D【解析】因为2x−，所以20x+，102x+，利用基本不等式可得()111222220222xxxxxx+=++−

+−=+++，当且仅当122xx+=+即1x=−时等号成立.故选：D.3．（多选）（2022·河北石家庄·二模）设正实数m，n满足2mn+=，则下列说法正确的是（）A．11mn+上的最小值为2B．mn的最大值为1C．mn+的最大值为4D．22mn+的最小值为54【答案】AB【解析】

∵0,0,2mnmn+=，∴()11111112222222nmnmmnmnmnmnmn+=++=+++=，当且仅当nmmn=，即1mn==时等号成立，故A正确；22mnmn+=，∴1mn，当

且仅当1mn==时，等号成立，故B正确；()()()22224mnmn++=，()22mnmn++=，当且仅当1mn==时等号成立，最大值为2，故C错误；()22222mnmn++=，当且仅当1mn==时等号成立，故D错误．故选：AB4.[2021河南平顶

山模拟]若对于任意x>0，不等式xx2＋3x＋1≤a恒成立，则实数a的取值范围为()A．15，＋∞B．15，＋∞C．－∞，15D．－∞，15[答案]A[解析]由x>0，xx2＋3x＋1＝1x＋1x＋3，令t＝x＋1x，则t≥2x·1x＝2，当且仅当x

＝1时，t取得最小值2.xx2＋3x＋1取得最大值15，所以对于任意的x>0，不等式xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a≥15.[举一反三]1．（2022·山西·怀仁市第一中学校二模（文））函数413313yxxx=−+的最小值为（）A．8B．7C

．6D．5【答案】D【解析】因为13x，所以3x－1>0，所以()()444331123115313131yxxxxxx=+=−++−+=−−−，当且仅当43131xx−=−，即x=1时等号成立，故函数413313yxxx=−+的最小值

为5．故选：D．2．（2022·安徽·高三阶段练习（文））已知0x，0y，22xy+=，则12xy+的最小值是（）A．1B．2C．4D．6【答案】C【解析】解：因为0x，0y，22xy+=，所以()121121414222424222yxyxxyxyxyxyxy+

=++=++++=，当且仅当4yxxy=，即12x=，1y=时取等号；故选：C3．（2022·全国·模拟预测）已知a，b为非负数，且满足26ab+=，则()()2214

ab++的最大值为（）A．40B．1674C．42D．1694【答案】D【解析】()()222222222214444444ababababababab++=+++=++−++()()()22222362ababab=++−=+−，又21129

02()2222ababab+==，当且仅当3,32ab==时取“=”，则22916936(2)36(2)24ab+−+−=，所以当3,32ab==时，()()2214ab++的最大值为1694.故选：D4．（2

022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知正实数a，b满足220aba+−=，则4ab+的最小值是（）A．2B．422−C．432−D．6【答案】B【解析】由220aba+−=，得22ab=+，所以()()ab

bbbbbb+=+=++−+−=−+++888422222422222…，当且仅当,abbb==+++28222，即,ab==−22222取等号.故选：B.5．（多选）（2022·河北保定·一模）下面描述正确的是（）A．已

知0a，0b，且1ab+=，则22loglog2ab+−B．函数()lgfxx=，若0ab，且()()fafb=，则2+ab的最小值是22C．已知()1210,012xyxxy+=++，则3xy+的最小值为222+D．已知()22200,0x

yxyxyxy+−−−+=，则xy的最小值为712【答案】AC【解析】对于选项A，∵0a，0b，1ab+=，∴12abab=+，∴14ab，当且仅当12ab==时取等号，∴22221loglogloglog24abab+==−，∴A正确；对于选项B：因为1ab=，所以22a

baa+=+，又01a，所以由对勾函数的单调性可知函数()2=+haaa在()0,1上单调递减，所以()()3,ha+，即23+ab，故B不正确；对于选项C，根据题意，已知()()3121xyxxy+=+++−，则()()()211221

233221212xxyxxyxxyxxy++++++=+++++++，当且仅当()21212++=++xxyxxy，即2,12==xy时，等号成立，所以3222xy++，故C正确；对于选项D

，()()2222032xyxyxyxyxyxy+−−−+=+−+=−，令0xyt+=，所以214tt−−，所以1732412xyxy−−，此时1,2712xyxy+==无解，所以选项D不正确，故选：AC．6．（多选）（2022·重庆八中高三阶段练习）设001aba

b+=，，，则下列不等式中一定成立的是（）A．114ab+B．2212ab+C．116+++abD．10b+【答案】AB【解析】对于A：因为001abab+=，，，所以()111111224babaabab

ababab+=++=++++=，当且仅当baab=，即12ab==时取等号，所以114ab+成立.故A正确；对于B：因为001abab+=，，，所以2124abab+=，当且仅当12ab==时取等号.所以()22212122a

bababab+=+−=−成立.故B正确；对于C：因为001abab+=，，，所以()()113ab+++=，所以()()()()311211abab=+++++.记11uab=+++，则0u，所以2

11211336uabab=+++++++=，所以06u，即116ab+++.故C错误；对于D：因为0,b所以10+b.故D错误.故选：AB7．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高三阶段练习）已知a，b为正实数，且2ab+=，则2221abab+++的最小值为___

_________，此时=a____________．【答案】632−6223+【解析】a,b为正实数,且2ab+=,222221111abbaabab+−++=++++2111abab=++−++2111ab=+++()()1211131abab

=+++++()2111331baab+=++++()1622132233+++=当且仅当()2112baabab+=++=即632a=−，324b=−时取“=”故答案为:

632,−6223+8．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）已知1xy，则()41xyxyxyy−+++−的最小值为___________.【答案】9【解析】()()()()41414411911xyxyxyxyxyxyyxyxy−+−+

++=++=−++++−−−≥，当且仅当32xy==时等号成立，取等条件满足1xy，所以()41xyxyxyy−+++−的最小值为9.故答案为：99．（2022·天津·大港一中高三阶段练习）设0mn，那么()41m

mnn+−的最小值是___________.【答案】8【解析】解：0mnQ，所以()()2224mnnmmnn−+−=，当且仅当mnn−=，即2mn=时取等号；所以214()mnnm−

，所以()()4242222444281144mmmmmnnmmm++−+==，当且仅当2244mm=，即1m=时取等号，所以()481mmnn+−，当且仅当1m=、12n=时取等号；故答案为：810．（2022·天津河北·一模）已知0a

，0b，且1ab+=，则11abab+++的最大值为__________.【答案】23【解析】1111111111211111111abababababab+−+−+=+=−+−=−+++++++++.因为0a，0

b，且1ab+=，所以()1111111111311ababab+=++++++++()111111142222231131133babaabab++++=+++=+=

++++，当且仅当11111baabab++=+++=即12ab==时取等.所以114222111133ababab+=−+−=++++.，即11abab+++的最大值为23.故答案为：23.11．（2022·全国·高三专题练习）已知0,0,0,233xy

zxyz++=，求222111()(2)(3)462xyzyzx+++++的最小值；【答案】274【解析】由222111[()(2)(3)]462xyzyzx+++++222(111)++2111[()1(2)1(3)1]4

62xyzyzx+++++2111[(23)()]462xyzyzx=+++++21232323[3()]623xyzxyzxyzxyz++++++=+++212332[3(3)]62323yxzxzyxyxzyz=+++++++2381(3)24+=.所以222111()(2

)(3)462xyzyzx+++++≥274，当且仅当231xyz===时等号成立，综上，222111()(2)(3)462xyzyzx+++++的最小值为274.➢考点2利用基本不等式证明不等式[名师点睛]证明不等

式时，可依据待求证式两端的式子结构，合理选择重要不等式及其变形不等式来证．先局部运用基本不等式，然后利用不等式的性质，通过不等式相加(有时相乘)综合推出要求证的不等式，这种证明方法在证明轮换对称不等式时具有一定的普遍性．

[典例]（2022·全国·高三专题练习）已知,,abc都是正数，求证：(1)()()24ababcabc++；(2)若1abc++=，则11192abbcca+++++.【解】(1)()()2222244ababcabcabacabbcabc++−=+++−()()()()2222222

2baaccabbccbacabc=−++−+=−+−，∵,,abc都是正数，∴()()220bacabc−+−，当且仅当“abc==”时等号成立，∴()()24ababcabc++.(2)()()()11111112abbccaabbccaabbcca++=+++++++

++++++132abbcbccacaabbcabcabcabca++++++=++++++++++++132222abbcbccacaabbcabcabcabca+++++++++++++++()1

9322222=+++=，当且仅当“13abc===”时等号成立，∴11192abbcca+++++.[举一反三]1．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（文））已知a，b，c为正数.(1)求24aa+的最小值；(2)求证：bcaca

babcabc++++.【解】(1)因为24aa+32244=332222aaaaaa++=，当且仅当“2a=”时等号成立，所以当2a=时，24aa+的最小值为3.(2)因为22bcacbcaccabab+=，同理2acaba

bc+，2bcabbac+，所以三式相加得22()bcacababcabc++++，所以bcacababcabc++++，当且仅当“abc==”时等号成立2．（2022·陕西·西安工业大学附中高三阶段练习（文））已知0,0ab.(1)若2ab+=，求1411

+++ab的最小值；(2)求证：2222(1)++++abababab.【解】(1)因为0,0ab，所以10,10ab++，又2ab+=，所以1++14ab+=，所以14114114(1)19

()[(1)(1)][5](54)1141141144baabababab+++=++++=+++=++++++当且仅当14(1)112baabab++=+++=，即1353ab==时取

等号，所以1411+++ab的最小值为94.(2)因为22222abaab+①，222abab+②，22222abbab+③，所以，由①②③，同向不等式相加可得：222222222222ababababab++++，当且仅当abab==，即1ab==时取等号.

即2222(1)++++abababab成立.3．（2022·河南开封·二模（文））已知,,Rabc+，且abc=1.(1)求证：222111abcabc++++≥；(2)若a=b+c，求a的最小值.【解】(1)111abcabcabcbcacababcabc++=+

+=++222222222222bcacababc+++++=++，当且仅当1abc===时等号成立.(2)依题意,,Rabc+，11,abcbca==，所以122abcbca=+=，当且仅当bc=时等号成立.所以23322,2aa

，所以a的最小值为232，此时23222abc===.4．（2022·全国·高三专题练习）已知正数a，b，c满足3abc++=．(1)求abc的最大值；(2)证明：3333abbccaabc++．【解】(1)由33abcabc++

，当且仅当abc==时，取得等号．又3abc++=，所以3313abc=．故当且仅当1abc===时，abc取得最大值1．(2)证明：要证3333abbccaabc++，需证2223abccab++．因为()222222abcabcabccabcabcab+++++

=+++++()22222226abcabc++=++=，即2223abccab++，当且仅当1abc===时取得等号．故3333abbccaabc++．➢考点3基本不等式中的恒成立问题[名师点睛]1．已知不等式恒成立求参数范围的一般方法是

分离参数法，且有a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max，a<f(x)恒成立⇔a<f(x)min.2．求最值时要注意其中变量的条件，有些不能用基本不等式的问题可考虑利用函数的单调性．[典例]1．（2022·全国·高三专题练习）若对任意2

20,1xxaxx++恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[1,)−+B．[3,)+C．2,3+D．(,1]−【答案】C【解析】解：因为0x，所以222221131121xxxxxx

x==+++++，当且仅当1xx=即1x=时取等号，因为221xaxx++恒成立，所以23a，即2,3a+；故选：C2．（2022·全国·高三专题练习）设,abc，nN，且2110nabbcac+−−

−恒成立，则n的最大值是（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【解析】解：2110nabbcac+−−−等价于2110()acnabbc+−−−，()110110()acabbcabbcabbc+−=+−+−−−−−

10()111121011210bcabbcababbcabbc−−−−=+++=+−−−−故得到211210,nnN+则n的最大值是4.故选：C.[举一反三]1．（2021·重庆梁平·高三阶段练习）已

知正实数a，b满足191ab+=，若不等式2418abxxm+−++−对任意的实数x恒成立，则实数m的取值范围是（）A．)3,+B．(,3−C．(,6−D．)6,+【答案】D【解析】因为0a，0b，191ab+=，所

以()19991010216aaabababababbb+=++=+++=，当且仅当9baab=，即4a=，12b=时取等号．由题意，得241186xxm−++−，即242xxm−−−对任意的实数x恒成立，又()2242266xxx−−=−−−，

所以6m−−，即6m．故选：D．2．（2021·浙江·模拟预测）对任意正实数,ab不等式2(1)2abababab+−++恒成立，则（）A．实数有最小值1B．实数有最大值1C．实数有最小值12D．实数有最大值12【答案】C【解析】2(1)2ababa

bab+−++，故222abababababab+−−++，()()22022ababababab−+−=++，当ab=时，不等式恒成立；当ab¹时，2222()2abababababababab−+=++−+，22212()4ababab

ab=+，ab=时等号成立，ab¹，故22212()4abababab=+，故12.故选：C.3．（多选）（2022·全国·高三专题练习）当0x，0y，Rm时，2222yxmmkxy+−++恒成立

，则k的取值可能是（）A．2−B．1−C．1D．2【答案】AB【解析】因为0x，0y，所以222222yxyxxyxy+=，当且仅当2xy=时，等号成立．因为()222111mmkmkk−++=

−−+++．若2222yxmmkxy+−++恒成立，则12k+，解得1k．故选：AB.4．（2022·全国·高三专题练习）不等式22221122xyyzaaxyz++−++≤对任意正数x，y，z恒成立，则a的最大值是_________

_．【答案】1【解析】因为222222212222xyyzxyyzxyyzxyzxyyzxyyz+++==++++++≤，当xyz==时取等号，所以2222xyyzxyz+++的最大值是12，即211122aa+−≥，解得112a−，所以a的最大值是1．故答案为：

15．（2021·重庆一中高三阶段练习）已知对任意正实数x，y，恒有()2222xyaxxyy+−+≤，则实数a的最小值是___________.【答案】2【解析】解：因为0,0xy，则()2220xxyyxyxy−

+=−+，则()2222xyaxxyy+−+≤，即2222xyaxxyy+−+≤，又22222211xyxyxxyyxy+=−+−+，因为222xyxy+，所以22112xyxy−+，所以22121xyxy−

+，即22222xyxxyy+−+，当且仅当xy=时，取等号，所以2222max2xyxxyy+=−+，所以2a，即实数a的最小值是2.故答案为：2.6．（2022·全国·高三专题练习）若不等式()22xxyaxy

++对一切正实数,xy恒成立，则实数a的最小值为_____．【答案】2【解析】()()22222=22xxyaxyxxyxxyxy++++++，当且仅当=2xy时取等号，0,0xy0xy+()

22xxyaxy++max22xxyaxy++22222xxyxyxyxy++=++max22=2xxyaxy++，a的最小值为2故答案为：2➢考点4基本不等式与其他专题综合[名师

点睛]有关函数最值的实际问题的解题技巧1．根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值．2．解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．3．在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．[典例]1．（2022·安徽安

庆·二模（文））若函数()41sin2cos33fxxxax=−+在(),−+内单调递增，则实数a的取值范围是___________.【答案】4242[,]33−【解析】因函数()fx在(),−+内单调递增，则Rx，42()cos2sin033fxxax=−−

，即42sincos233axx−，整理得242sinsin33axx+，当sin0x=时，则203成立，Ra，当sin0x时，42sin33sinaxx+，而42214sin(2sin)233sin3sin3xxxx

+=+，当且仅当12sinsinxx=，即2sin2x=时取“=”，则有423a，当sin0x时，42sin33sinaxx+，而42214sin[(2sin)]233sin3sin3xxxx+=−−+−−，当且仅当12s

insinxx−=−，即2sin2x=−时取“=”，则有423a−，综上得，424233a−所以实数a的取值范围是4242[,]33−.故答案为：4242,33−2.[2021湖北鄂东南联考]方程(x2018＋1)(1＋x2＋x4＋…＋x2016)＝2018x201

7的实数解的个数为________．[答案]1[解析]由题意知x>0，∴(x2018＋1)(1＋x2＋x4＋…＋x2016)≥2x2018·1×12(21·x2016＋2x2·x2014＋…＋2x2016·1)＝2018x2017，当且仅当x＝1时等号成立

，因此实数解的个数为1.3．（2022·广东·高三阶段练习）在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的，出球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高.如图为室内5人制足球场示意图，设球场（矩形）长BC大约为

40米，宽AB大约为20米，球门长PQ大约为4米.在某场比赛中有一位球员欲在边线BC上某点M处射门（假设球贴地直线运行），为使得张角PMQ最大，则BM大约为（）（精确到1米）A．8米B．9米C．10

米D．11米【答案】C【解析】由题意知，8,12PBQB==，设,,PMBQMBBMx===，则812tan,tanxx==，所以()21284441tantan1289696962612xxxPMQxxxxxxx−=−====+++，当且仅当96xx=，即96

x=时取等号，又因为9610，所以BM大约为10米.故选：C.[举一反三]1．（2022·北京·101中学高三阶段练习）已知某产品的总成本C（单位：元）与年产量Q（单位：件）之间的关系为23300010CQ=+．设该产品年产量为Q时的平

均成本为f（Q）（单位：元/件），则f（Q）的最小值是（）A．30B．60C．900D．1800【答案】B【解析】23300010()QCfQQQ+==3300010QQ=+3300022306010QQ==，

当且仅当3300010QQ=，即当100Q=时等号成立.所以f（Q）的最小值是60.故选：B.2．（多选）（2022·重庆·模拟预测）已知ABC为锐角三角形，且sinsinsinABC=，则下列结论中正确的是（）A．tantantantanBCBC+=B．tantanta

ntantantanABCABC=++C．41tan3AD．tantantanABC的最小值为4【答案】ABC【解析】解：因为()sinsinsincossincossinsinABCBCCBBC=+=+=，两边同除coscosBC

得tantantantanBCBC+=，故A正确；由均值不等式tantantantan2tantanBCBCBC+=解得tantan4BC当且仅当tantan2BC==时取等号，()tantantantan1tantanBCABCBC+=−+=−−，所以

tantantantantantanABCABC++=，故B正确；tantan1tan1tantan1tantan1BCABCBC==+−−，由tantan4BC，所以110tantan13BC−，所以得31tan1ta1ntan14ABC=+−，故C

正确；22tantan1tantan12tantant1tatnt1antnananaABCBCBCBBCC==−++−−，由tantan13BC−且1yxx=+在)3,+上单调递增，所以tantantanABC的最小值为163，故D错误．故选：ABC3．（2021·全国·高

三专题练习）如图，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，已知4AB=，3AD=，那么当BM=_______时，矩形花坛的AMPN面积最小，最小面积为______.【答案】448【解析】解：设BMx=，则34xxAN=+，则

123ANx=+，则()12484843324232448AMPNSxxxxxx=++=+++=…，当且仅当483xx=，即4x=时等号成立，故矩形花坛的AMPN面积最小值为48．即当4BM=时，矩形花坛的AMPN面积最小，最小面积为

48.故答案为：4；48.