【文档说明】《2023年高考数学一轮总复习考点探究与题型突破（新高考专用）》第05讲 基本不等式（原卷版）.docx，共(10)页，368.733 KB，由envi的店铺上传

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第5讲基本不等式1．基本不等式：ab≤a＋b2(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当时取等号．(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数．2．利用基本不等式求最值已知x≥0

，y≥0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当时，x＋y有最小值是．(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当时，xy有最大值是．(简记：和定积最大)常用结论几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(

a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(2)ab≤a＋b22(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(3)a2＋b22≥a＋b22(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(4)ba＋ab≥2(a，b同号)

，当且仅当a＝b时取等号．➢考点1利用基本不等式求最值[名师点睛]1.通过配凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为

基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标；(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．2.常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为

1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；(4)利用基本不等式求解最值．3.消元法求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问

题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．但应注意保留元的范围．[典例]1.（2022·河北·高三阶段练习）已知实数a，b满足条件336abab++=，则22ab+的最小值为（）A．8B．6C．4D．22．（2022·湖南湖南·二模）函数()

122yxxx=+−+的最小值为（）A．3B．2C．1D．03．（多选）（2022·河北石家庄·二模）设正实数m，n满足2mn+=，则下列说法正确的是（）A．11mn+上的最小值为2B．mn的最大值为1C．mn

+的最大值为4D．22mn+的最小值为544.[2021河南平顶山模拟]若对于任意x>0，不等式xx2＋3x＋1≤a恒成立，则实数a的取值范围为()A．15，＋∞B．15，＋∞C．－∞，15D．－∞

，15[举一反三]1．（2022·山西·怀仁市第一中学校二模（文））函数413313yxxx=−+的最小值为（）A．8B．7C．6D．52．（2022·安徽·高三阶段练习（文））已知0x，0y，22xy+=，则

12xy+的最小值是（）A．1B．2C．4D．63．（2022·全国·模拟预测）已知a，b为非负数，且满足26ab+=，则()()2214ab++的最大值为（）A．40B．1674C．42D．16944．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知正实数a，b满足220aba+−

=，则4ab+的最小值是（）A．2B．422−C．432−D．65．（多选）（2022·河北保定·一模）下面描述正确的是（）A．已知0a，0b，且1ab+=，则22loglog2ab+−B．函数()lgfxx=，若0ab

，且()()fafb=，则2+ab的最小值是22C．已知()1210,012xyxxy+=++，则3xy+的最小值为222+D．已知()22200,0xyxyxyxy+−−−+=，则xy的最小值为7126．（多选）（2022·重庆八中高三阶段练习）设001

abab+=，，，则下列不等式中一定成立的是（）A．114ab+B．2212ab+C．116+++abD．10b+7．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高三阶段练习）已知a，b为正实数，且2ab+=，则2221ab

ab+++的最小值为____________，此时=a____________．8．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）已知1xy，则()41xyxyxyy−+++−的最小值为___________.9．（2022·天津·大港一中高三阶段练习）设0m

n，那么()41mmnn+−的最小值是___________.10．（2022·天津河北·一模）已知0a，0b，且1ab+=，则11abab+++的最大值为__________.11．（2022·全国·高三专题练习）已知0,0,0,233xyzxyz

++=，求222111()(2)(3)462xyzyzx+++++的最小值；➢考点2利用基本不等式证明不等式[名师点睛]证明不等式时，可依据待求证式两端的式子结构，合理选择重要不等式及其变形不等式来证．先局部运用基本不等式，然后利用不等式的性质，通过不等式相

加(有时相乘)综合推出要求证的不等式，这种证明方法在证明轮换对称不等式时具有一定的普遍性．[典例]（2022·全国·高三专题练习）已知,,abc都是正数，求证：(1)()()24ababcabc++；(2)若1abc++=，则11192abbcca+++++.[举

一反三]1．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（文））已知a，b，c为正数.(1)求24aa+的最小值；(2)求证：bcacababcabc++++.2．（2022·陕西·西安工业大学附中高三阶段练习（文））已知0,0ab.(1)若2ab+=，求14

11+++ab的最小值；(2)求证：2222(1)++++abababab.3．（2022·河南开封·二模（文））已知,,Rabc+，且abc=1.(1)求证：222111abcabc++++≥；(2)若a=b

+c，求a的最小值.4．（2022·全国·高三专题练习）已知正数a，b，c满足3abc++=．(1)求abc的最大值；(2)证明：3333abbccaabc++．➢考点3基本不等式中的恒成立问题[名师点睛]1．已知不等式恒成立求参数范围的一般方法是分离参数法，且有a>f(x

)恒成立⇔a>f(x)max，a<f(x)恒成立⇔a<f(x)min.2．求最值时要注意其中变量的条件，有些不能用基本不等式的问题可考虑利用函数的单调性．[典例]1．（2022·全国·高三专题练习）若对任意220,1xxaxx++恒

成立，则实数a的取值范围是（）A．[1,)−+B．[3,)+C．2,3+D．(,1]−2．（2022·全国·高三专题练习）设,abc，nN，且2110nabbcac+−−−恒

成立，则n的最大值是（）A．2B．3C．4D．5[举一反三]1．（2021·重庆梁平·高三阶段练习）已知正实数a，b满足191ab+=，若不等式2418abxxm+−++−对任意的实数x恒成立，则实数m的取值范围是（）A．

)3,+B．(,3−C．(,6−D．)6,+2．（2021·浙江·模拟预测）对任意正实数,ab不等式2(1)2abababab+−++恒成立，则（）A．实数有最小值1B．实数有最大值1C．实数有

最小值12D．实数有最大值123．（多选）（2022·全国·高三专题练习）当0x，0y，Rm时，2222yxmmkxy+−++恒成立，则k的取值可能是（）A．2−B．1−C．1D．24．（2022·全国·高三专题练习）不等式22221122xyyza

axyz++−++≤对任意正数x，y，z恒成立，则a的最大值是__________．5．（2021·重庆一中高三阶段练习）已知对任意正实数x，y，恒有()2222xyaxxyy+−+≤，则实数a的最小值是___________.6．（2022·全国·高三专题练习）若不等

式()22xxyaxy++对一切正实数,xy恒成立，则实数a的最小值为_____．➢考点4基本不等式与其他专题综合[名师点睛]有关函数最值的实际问题的解题技巧1．根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数

的最值．2．解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．3．在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．[典例]1．（2022·安徽安庆·二模（文））若函数()41sin2cos33fxxxax=−+在(),−+内单调递增，则实数a的取值范围是_____

______.2.[2021湖北鄂东南联考]方程(x2018＋1)(1＋x2＋x4＋…＋x2016)＝2018x2017的实数解的个数为________．3．（2022·广东·高三阶段练习）在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的

位置起脚射门对球门的威胁是不同的，出球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高.如图为室内5人制足球场示意图，设球场（矩形）长BC大约为40米，宽AB大约为20米，球门长PQ大约为4米.在某场比赛中有一位球员欲在边线BC上某点M处射门（假设球贴地直线运行），为使得张角PMQ最大，

则BM大约为（）（精确到1米）A．8米B．9米C．10米D．11米[举一反三]1．（2022·北京·101中学高三阶段练习）已知某产品的总成本C（单位：元）与年产量Q（单位：件）之间的关系为23300010CQ=+．设该产品年产量为Q时的平均成本为f（Q）（单位：元/件），则f

（Q）的最小值是（）A．30B．60C．900D．18002．（多选）（2022·重庆·模拟预测）已知ABC为锐角三角形，且sinsinsinABC=，则下列结论中正确的是（）A．tantantantanBCBC+=B．tantantantantantanABCAB

C=++C．41tan3AD．tantantanABC的最小值为43．（2021·全国·高三专题练习）如图，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角

线MN过点C，已知4AB=，3AD=，那么当BM=_______时，矩形花坛的AMPN面积最小，最小面积为______.