【文档说明】《2023年高考数学一轮总复习考点探究与题型突破（新高考专用）》第03讲 相等关系与不等关系（解析版）.docx，共(9)页，385.051 KB，由envi的店铺上传

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第3讲相等关系与不等关系1．实数大小与运算性质之间的关系a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b．2．等式的性质(1)对称性：若a＝b，则b＝a．(2)传递性：若a＝b，b＝c，则a＝c．(3)可加性：若a＝b，则a＋c＝

b＋c．(4)可乘性：若a＝b，则ac＝bc；若a＝b，c＝d，则ac＝bd．3.不等式的性质性质性质内容注意对称性a>b⇔b<a；a<b⇔b>a可逆传递性a>b，b>c⇒a>c；a<b，b<c⇒a<c同向可加性a>b⇔a＋c>b＋c可逆可乘性a>b

，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bcc的符号同向可加性a>b，c>d⇒a＋c>b＋d同向同向同正可乘性a>b>0，c>d>0⇒ac>bd同向，同正可乘方性a>b>0，n∈N*⇒an>bn同正可开方性a>b

>0，n∈N，n≥2⇒na>nb同正➢考点1比较大小[名师点睛]比较两个数(式)大小的方法[典例]1.（2022·湖南·高三周练）若1ab，比较1aa−与1bb−的大小．【解】1aa−-1bb−=(1)(1)(1)(1)(

1)(1)abbabaabab−−−−=−−−−,因为1ab，故10a−，10b−，0ba−，故0(1)(1)baab−−−，即1aa−1bb−.2.（2021·江苏·高三专题复习）设x，y为正数

，比较11xy+与1xy+的大小.【解】因为,xy为整数，则101xyxxyy++=且10xy+，由22(2)()441xyxyxyxyxyxyxyxyxy++===+，当且仅当xy=时，等号成立，所以41xyxyxy++，所以111yxxy++.[举一反三]1．（202

2·重庆·模拟预测）若10,,,babbaxabeybaezbaee=+=+=+，则（）A．xzyB．zxyC．zyxD．yzx【答案】A【解析】∵baxabeybae=+=+，，bzbae=+，∴()abyzaee−=−又0e1ab，＞

，∴abee＞∴yz＞()()()()1bbzxbaabeabe−=−+−=−−，又01babe，＞∴zx＞综上：xzy故选：A2.（2022·重庆市育才中学模拟预测）（多选）若a＞b＞0＞c，则()A．ccabB．bcbaca

−−C．ccabD．2acbc−−【答案】ABD【解析】A：()ccbacabab−−=，∵0abc，0,0,0abbac−，()0bacab−，ccab，故A正确；B：()()()()()abcb

acbacbcbacaacaaca−−−−−−==−−−，∵0abc，∴0,0,0,0acabac−−，()0,()bacbcbacaaca−−−−，故B正确；C：,0cyxc=时，y在()0,+单调递减，∵,ccabab，故C错误；

D：∵a＞b＞0＞c，∴－c＞0，∴()2acbcbcbc−−=+−−，∵a≠b，故等号取不到，故2acbc−−，故D正确.故选：ABD.3.比较()()213aa+−与()()62745aa−++的大小．【解】()()()

()2221362745(253)(253)60aaaaaaaa+−−−++=−−−−+=−,()()213aa+−<()()62745aa−++.4．已知：a、bR+，且ab，比较abbaabab与的大小.【

解】∵a、bR+，∴0abab，0baab作商：()()()()()ababababbaababaaaabbabbb−−===（*）(1)若a>b>0，则1ab，a-b>0，()1abab−，此时abbaabab成立；(2)若b>a>0，则01ab，a-b<0，()1ab

ab−，此时abbaabab成立.综上，abbaabab总成立.5．（2021·全国·高三专题练习（文））已知0abc，比较abcabc与()3abcabc++的大小【解】()3333333333abacbcabacbcbacacbabcabcabcaababcbcc

abc−−−−−−−−−+++++==,1,03aabb−31abab−同理31acac−，31bcbc−,从而()31abcabcabcabc++，即abcabc>()3abcabc++.

➢考点2不等式的性质[名师点睛](1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他

知识，比如对数函数、指数函数的性质等．[典例](1)已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是()A．若ab＞1，则a＞bB．若ac＞bc，则a＞bC．若a3＞b3且ab＜0，则1a＞1bD．若a2＞b2且ab＞0，则1a＜1b(2)(多选)下列命题为真命题的是()A．若a>b>0，则ac2>

bc2B．若a<b<0，则a2>ab>b2C．若a>b>0且c<0，则ca2>cb2D．若a>b且1a>1b，则ab<0【解析】(1)A中，只有b＞0时正确，故A错误；B中，当c＜0时，a＜b，故B错误；C中，若a3＞b3，ab＜0，则a＞0＞b，所以1a＞1b，故C正确；

D中，当a＜0，b＜0时，1a＜1b不成立，故D错误．综上所述，故选C.(2)当c＝0时，不等式不成立，所以A命题是假命题；a<b，a<0⇒a2>ab，a<b，b<0⇒ab>b2，所以a2>ab>b2，所以B命题是真命题；

a>b>0⇒a2>b2>0⇒0<1a2<1b2，因为c<0，所以ca2>cb2，所以C命题是真命题；1a>1b⇒1a－1b>0⇒b－aab>0，因为a>b，所以b－a<0，ab<0，所以D命题是真命题，故选

BCD.【答案】(1)C(2)BCD[举一反三]1．（2021·辽宁·东北育才学校一模）若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式恒成立的是（）A．1a<1bB．a2>b2C．21ac+>21bc+D．a|c|>b|c|【答案】C【解析】当a=1，b=-2时，

满足a>b，但11ab，a2<b2，排除A，B；因211c+>0，a>b，由不等式性质得2211abcc++，C正确；当c=0时，a|c|>b|c|不成立，排除D，故选：C2．（2022·安徽黄山·二模（文））

设实数a、b满足ab，则下列不等式一定成立的是（）A．22abB．11bbaa++C．22acbcD．332ab−+【答案】D【解析】对于A：当2a=，4b=−时不成立，故A错误；对于B：当12a=−，1b=−，所以2ba=，101ba+=+，即11bbaa++，故C错误；

对于C：当0c=时不成立，故C错误；对于D：因为ab，所以330ab，又30b−，所以33332332bbabbb−−−++=（等号成立的条件是0b=），故D正确.故选：D.3．（多选）（2021·福建三明·模拟预测）已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确

的是（）A．若a>b，c>d，则a-d>b-cB．若a>b，c>d则ac>bdC．若ab>0，bc-ad>0，则cdabD．若a>b，c>d>0，则abdc【答案】AC【解析】解：由不等式性质逐项分析：A选项：由cd，故cd−−，根据不等式同向相加的原则adb

c−−，故A正确B选项：若0ab，0cd则acbd，故B错误；C选项：0ab，0bcad−，则0bcadab−，化简得0cdab−，故C正确；D选项：1a=−，2b=−，2c=，1d=则1abdc==−，故D错误.故选：AC4．（多选

）（2021·山东潍坊·模拟预测）16世纪英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若0abab且，则下列结论成立的是（）A．33abB．11abC．aabbD．23ab【答案】AC【解析】解：对于A，由ab，可得33a

b，故A正确；对于B，由ab，当0ab时，可得11ba，故B错误；对于C，由ab，当0ab时，可得||0aa，||0bb，可得||||aabb，当0a，0b时，可得||||aabb，当0ab

时，||||ab，可得||||aabb，故C正确；对于D，当3a=−，2b=−时，ab，3211223389ab−−====，故D错误．故选：AC．5.设a>b>0，m>0，n>0，则ba，ab，b＋ma＋m，a＋nb＋n由小到大的顺序是____________________．[答案

]ba<b＋ma＋m<a＋nb＋n<ab[解析]∵ba－b＋ma＋m＝ba＋m－ab＋maa＋m＝mb－aaa＋m<0，∴ba<b＋ma＋m<1.∵a＋nb＋n－ab＝ba＋n－ab＋nbb＋n＝nb－abb＋n<0，∴1<a＋nb＋n<ab.∴ba<b＋ma＋m<a＋nb＋n<ab

.➢考点3不等式性质的应用[名师点睛]利用待定系数法求代数式的取值范围已知M1<f1(a，b)<N1，M2<f2(a，b)<N2，求g(a，b)的取值范围．(1)设g(a，b)＝pf1(a，b)＋qf2(a，b)；(2)根据恒等变

形求得待定系数p，q；(3)再根据不等式的同向可加性即可求得g(a，b)的取值范围．[典例]已知－1<x<4，2<y<3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________．【解析】因为－1<x<4，2<y<3，所以－3<－y

<－2，所以－4<x－y<2.由－1<x<4，2<y<3，得－3<3x<12，4<2y<6，所以1<3x＋2y<18.【答案】(－4，2)(1，18)[举一反三]1．若6<a<10，a2≤b≤2a，c＝a＋b，则c的取值范围是()A．[9，18]B．(15，30)C．[

9，30]D．(9，30)解析：选D.因为a2≤b≤2a，所以3a2≤a＋b≤3a，即3a2≤c≤3a，因为6<a<10，所以9<c<30.故选D.2.（多选）（2022·山东·模拟预测）已知实数x，y满足322,124

,xyxy−+−−则（）A．x的取值范围为(1,2)−B．y的取值范围为(2,1)−C．xy+的取值范围为()3,3−D．xy−的取值范围为(1,3)−【答案】ABD【解析】因为124xy−−，所以2428xy−−.因为3

22xy−+，所以5510x−，则12x−，故A正确；因为322xy−+，所以6244xy−+.因为124xy−−，所以421xy−−+，所以1055y−，所以21y−，故B正确

；因为322124xyxy−+−−，，所以9361142,2555555xyxy−+−−（）（），则22xy−+，故C错误；因为322124xyxy−+−−，，所以213331222555555xyxy−−+−−（）

，（），则13xy−−，故D正确.故选：ABD.3.（2022·全国·江西科技学院附属中学模拟预测（文））已知实数x、y满足223xy−+，220xy−−，则34xy−的取值范围为______．【答案】[7,2]−【解析】解：设34(2

)(2)xymxynxy−=++−，则2324mnmn+=−=−，解得12mn=−=，所以34(2)xyxy−=−++2(2)xy−，因为223xy−+，220xy−−，所以3(2)2xy−−+，42(2)0xy−−

，所以7342xy−−，故答案为：[7,2]−.4．[2021·东北三省四市联考]已知角α，β满足－π2<α－β<π2，0<α＋β<π，求3α－β的取值范围．[解]结合题意可知，3α－β＝2(α－β)＋(α＋β)，且2(α－β)∈(－π，π)，(α＋β)∈(0，π)，由不等式的

性质可知3α－β的取值范围是(－π，2π)．