【文档说明】《八年级数学上册期末复习全程检测通关练（讲义＋试题）（湘教版）》第二章《三角形》（基础卷）（解析版）.docx，共(16)页，318.097 KB，由管理员店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-082eed58c7d5a1e45b671f94744c95df.html

以下为本文档部分文字说明：

2020-2021学年湘教版八年级上册期末真题单元冲关测卷（基础卷）第二章三角形一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1.（2020-2021·贵州·期中试卷）下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（）

A.3𝑐𝑚，5𝑐𝑚，8𝑐𝑚B.8𝑐𝑚，8𝑐𝑚，18𝑐𝑚C.10𝑐𝑚，10𝑐𝑚，10𝑐𝑚D.3𝑐𝑚，4𝑐𝑚，8𝑐𝑚【答案】C【解析】根据三角形的三边满足两边之和大于第三边来进行判断．【解答】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得𝐴，3+5=8

，不能组成三角形；𝐵，8+8<18，不能组成三角形；𝐶，10+10>10，能够组成三角形；𝐷，3+4<8，不能组成三角形．【点评】本题考查了能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形．2.（2020-2021·江西·期中试卷）下图中三角形的个

数是（）A.2个B.3个C.4个D.5个【答案】D【解析】图中的三角形有：△𝐴𝐵𝐶，△𝐵𝐶𝐷，△𝐵𝐶𝐸，△𝐴𝐵𝐸，△𝐶𝐷𝐸共5个.3.（2020-2021·安徽·期中试卷）下列

命题中，真命题有()①如果𝑎=𝑏，𝑏=𝑐，那么𝑎=𝑐；②直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离；③如果𝑎⋅𝑏=0，那么𝑎=𝑏=0；④如果𝑎=𝑏，那么𝑎3=𝑏3.A

.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【解析】将各个命题进行逐一分析求解即可.【解答】解：①如果𝑎=𝑏，𝑏=𝑐，那么𝑎=𝑐，正确，故①是真命题；2②直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离，故②为假命题；③如果𝑎⋅

𝑏=0，那么𝑎=0或𝑏=0，故③为假命题；④如果𝑎=𝑏，那么𝑎3=𝑏3，正确，故④是真命题.正确个数为2个.【点评】本题考查命题真假的判定，属于基础题.4.（2020-2021·江苏·月考试卷）一个等腰三角形的两边长分别为3𝑐𝑚和

7𝑐𝑚，则它的周长为()A.17𝑐𝑚B.15𝑐𝑚C.13𝑐𝑚D.13𝑐𝑚或17𝑐𝑚【答案】A【解析】根据已知条件和三角形三边关系可知；等腰三角形的腰长不可能为3，只能为7，然后即可求得等腰三角形的周长【解答

】解：∵等腰三角形的两边长分别为3𝑐𝑚，7𝑐𝑚，∴由三角形三边关系可知：等腰三角形的腰长不可能为3，只能为7，∴三角形的周长=7+7+3=17𝑐𝑚．【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形三边关

系等知识点的理解和掌握，难度不大，属于基础题．要求学生应熟练掌握．5.（2020-2021·安徽·月考试卷）已知直线𝑎//𝑏，𝑅𝑡△𝐵𝐶𝐷按如图所示的方式放置，点𝐶在直线𝑏上，∠𝐷𝐶𝐵=90∘，若∠𝐵=20∘，

则∠1+∠2的度数为()A.90∘B.70∘C.60∘D.45∘【答案】B【解析】如图，延长𝐵𝐷交直线𝑏于点𝑀．求出∠𝐵𝐷𝐶，再利用三角形的外角的性质以及平行线的性质解决问题即可．【解答】解：如图，延长𝐵𝐷

交直线𝑏于点𝑀.∵∠𝐷𝐶𝐵=90∘，∠𝐵=20∘，3∴∠𝐵𝐷𝐶=90∘−20∘=70∘.∵𝑎//𝑏，∴∠1=∠𝐷𝑀𝐶.∵∠𝐵𝐷𝐶=∠𝐷𝑀𝐶+∠2=∠1+∠2，∴∠1+∠2=70∘.6.（2020-2021·河北·月考试卷）下列所给的四组条件

，能作出唯一三角形的是（）A.𝐴𝐵=4𝑐𝑚，𝐵𝐶=3𝑐𝑚，𝐴𝐶=5𝑐𝑚B.𝐴𝐵=2𝑐𝑚，𝐵𝐶=6𝑐𝑚，𝐴𝐶=4𝑐𝑚C.∠𝐴=∠𝐵=∠𝐶=60∘D.𝐴𝐵=3𝑐𝑚，𝐵𝐶=5𝑐𝑚，∠𝐶=60∘【答案】A【解析】根据三

角形的三边关系定理和全等三角形的判定定理逐个判断即可．【解答】解：𝐴，符合三角形的三边关系定理，能作出唯一的三角形，故本选项符合题意；𝐵，不符合三角形的三边关系定理，不能作出三角形，故本选项不符合题意；𝐶，能作出多个等边三角形，故本选项不符合题意；𝐷，能作出多个三角形，故本选项不符

合题意.【点评】本题考查了三角形的三边关系定理和全等三角形的判定定理，能熟记定理的内容是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有𝐴𝑆𝐴，𝐴𝐴𝑆，𝑆𝐴𝑆，𝑆𝑆𝑆，三角形的任意两边之和都大于第三边．7.（202

0-2021·湖南·期中试卷）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐶的垂直平分线分别交𝐴𝐶，𝐵𝐶于点𝐷，𝐸．若△𝐴𝐵𝐶的周长为22，𝐵𝐸=4，则△𝐴𝐵𝐷的周长为（）A.14B.18C.20D.26【答案】A【解析】根据线段的垂直平分线的性质得到𝐷𝐵=𝐷�

�,𝐵𝐶=2𝐵𝐸=8，根据三角形的周长公式计算即可．【解答】解：∵𝐷𝐸是𝐵𝐶的垂直平分线，∴𝐷𝐵=𝐷𝐶，𝐵𝐶=2𝐵𝐸=8.∵△𝐴𝐵𝐶的周长为22，𝐴𝐵+𝐵𝐶+𝐴𝐶=22，𝐴𝐵+𝐴

𝐶=14，∴△𝐴𝐵𝐷的周长.=𝐴𝐷+𝐵𝐷+𝐴𝐵=𝐴𝐷+𝐶𝐷+𝐴𝐵=𝐴𝐵+𝐴𝐶=14.【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点

的距离相等是解题的关键．48.（2020-2021·四川·月考试卷）如图，已知∠𝐴=∠𝐷，𝐴𝑀=𝐷𝑁，根据下列条件不能够判定△𝐴𝐵𝑀≅△𝐷𝐶𝑁的是()A.𝐵𝑀//𝐶𝑁B.∠𝑀=∠𝑁C

.𝐵𝑀=𝐶𝑁D.𝐴𝐵=𝐶𝐷【答案】C【解析】利用全等三角形的判断方法进行求解即可.【解答】解：𝐴，因为𝐵𝑀//𝐶𝑁，所以∠𝐴𝐵𝑀=∠𝐷𝐶𝑁，又因为∠𝐴=∠𝐷，𝐴𝑀=𝐷𝑁，所以△𝐴𝐵𝑀≅△𝐷𝐶𝑁(𝐴�

�𝑆)，故𝐴选项不符合题意；𝐵，因为∠𝑀=∠𝑁，∠𝐴=∠𝐷，𝐴𝑀=𝐷𝑁，所以△𝐴𝐵𝑀≅△𝐷𝐶𝑁(𝐴𝑆𝐴)，故𝐵选项不符合题意；𝐶，𝐵𝑀=𝐶𝑁，不能判定△𝐴𝐵𝑀≅△𝐷𝐶𝑁，故𝐶选

项符合题意；𝐷，因为𝐴𝐵=𝐶𝐷，∠𝐴=∠𝐷，𝐴𝑀=𝐷𝑁，所以△𝐴𝐵𝑀≅△𝐷𝐶𝑁(𝑆𝐴𝑆)，故𝐷选项不符合题意.【点评】本题考查全等三角形的判定，属于基础题.9.（2020-2021·四川·月考试卷）如图，

△𝐴𝐵𝐷≅△𝐴𝐶𝐸，点𝐵和点𝐶是一对对应顶点，𝐴𝐵=8𝑐𝑚，𝐵𝐷=7𝑐𝑚，𝐴𝐷=6𝑐𝑚，则𝐵𝐸的长是()A.1𝑐𝑚B.2𝑐𝑚C.4𝑐𝑚D.6𝑐𝑚【答案】B【解析】根据全等三角形的性质

求出𝐴𝐸=𝐴𝐷=6𝑐𝑚，代入𝐵𝐸=𝐴𝐵−𝐴𝐸求出即可．5【解答】解：∵△𝐴𝐵𝐷≅△𝐴𝐶𝐸，点𝐵和点𝐶是一对对应顶点，𝐴𝐷=6𝑐𝑚，∴𝐴𝐸=𝐴𝐷=6𝑐𝑚，∵𝐴𝐵=8𝑐𝑚，∴𝐵𝐸=𝐴𝐵−𝐴𝐸=8−6=

2𝑐𝑚.【点评】本题考查了全等三角形的性质的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．10.如图，已知∠1=∠2，𝐴𝐶=𝐴𝐷，要使△𝐴𝐵𝐶≅△𝐴𝐸𝐷，还需添加一个条件，那么在①𝐴𝐵=𝐴𝐸，②𝐵𝐶=𝐸𝐷，③

∠𝐶=∠𝐷，④∠𝐵=∠𝐸，这四个关系中可以选择的是()A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④【答案】C【解析】由∠1=∠2结合等式的性质可得∠𝐶𝐴𝐵=∠𝐷𝐴𝐸，再利用全等三角形的判定定理分别进行分析即可．【解答】解：∵∠1=∠2，∴∠1+∠𝐸𝐴𝐵=∠2+∠�

�𝐴𝐵，即∠𝐶𝐴𝐵=∠𝐷𝐴𝐸.①加上条件𝐴𝐵=𝐴𝐸，可利用𝑆𝐴𝑆判定△𝐴𝐵𝐶≅△𝐴𝐸𝐷；②加上𝐵𝐶=𝐸𝐷，不能判定△𝐴𝐵𝐶≅△𝐴𝐸𝐷；③加上∠𝐶=∠𝐷，可利用𝐴𝑆𝐴判

定△𝐴𝐵𝐶≅△𝐴𝐸𝐷；④加上∠𝐵=∠𝐸，可利用𝐴𝐴𝑆判定△𝐴𝐵𝐶≅△𝐴𝐸𝐷.【点评】此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：𝑆𝑆𝑆、𝑆𝐴𝑆、𝐴𝑆𝐴、�

�𝐴𝑆、𝐻𝐿．注意：𝐴𝐴𝐴、𝑆𝑆𝐴不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）11.（2020-2021·江西·期中试卷）已知等腰

三角形的两边长是5和12，则它的周长是________．【答案】29【解析】题目给出等腰三角形有两条边长为5和12，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要6应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：当腰为5时，

5+5=10<12，不能构成三角形，因此这种情况不成立，当腰为12时，5+12>12>12−5，能构成三角形，此时等腰三角形的周长为5+12+12=29．故答案为：29．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题

目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去，难度适中．12.（2020-2021·浙江·期末试卷）将命题：“对顶角相等”改写成“如果

⋯⋯那么⋯⋯”的形式：________.【答案】如果两个角是对顶角，那么它们相等【解析】命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在“那么”的后面．【解答】解：题设为：对顶角，结论为：相等，故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么它们相等.故答案为

：如果两个角是对顶角，那么它们相等．【点评】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．13.（2020-2021·湖南·月考试卷）已知一个等腰三角形的一个底

角为40∘，则它的顶角等于________．【答案】100∘【解析】已知给出了一个底角为40∘，利用三角形的内角和定理：三角形的内角和为180∘即可解本题．【解答】解：因为其底角为40∘，所以其顶角=180∘−40∘×2=100∘．【点评

】此题主要考查了学生的三角形的内角和定理：三角形的内角和为180∘．利用三角形的内角和求角度是一种很重要的方法，要熟练掌握．14.（2020-2021·贵州·期中试卷）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的中线，𝐵𝐸是△𝐴𝐵𝐷中�

�𝐷边上的中线，若△𝐴𝐵𝐶的面积是36，则△𝐴𝐵𝐸的面积是________．7【答案】9【解析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，求出面积比，即可解答．【解答】解：∵𝐴𝐷是𝐵𝐶上的中线，∴𝑆△𝐴𝐵𝐷=𝑆△𝐴𝐶𝐷=

12𝑆△𝐴𝐵𝐶，∵𝐵𝐸是△𝐴𝐵𝐷中𝐴𝐷边上的中线，∴𝑆△𝐴𝐵𝐸=𝑆△𝐵𝐸𝐷=12𝑆△𝐴𝐵𝐷，∴𝑆△𝐴𝐵𝐸=14𝑆△𝐴𝐵𝐶，∵△𝐴𝐵𝐶的面积是36，∴𝑆△𝐴𝐵𝐸=14

×36=9．【点评】本题主要考查了三角形面积的求法，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，是解答本题的关键．15.（2020-2021·江苏·月考试卷）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=90∘，∠𝐵=22.5

∘，𝐷𝐸垂直平分𝐴𝐵交𝐵𝐶于点𝐸，𝐸𝐶=1，则三角形𝐴𝐶𝐸的面积为________．【答案】12【解析】利用线段垂直平分线的性质得到𝐸𝐴＝𝐸𝐵，则根据等腰三角形的性质得到∠𝐸𝐴𝐵＝∠𝐵＝22.5∘，根据三角形外角性质得到∠𝐴𝐸𝐶＝45∘，所以△

𝐴𝐶𝐸为等腰直角三角形，从而得到三角形𝐴𝐶𝐸的面积．【解答】解：∵𝐷𝐸垂直平分𝐴𝐵交𝐵𝐶于点𝐸，∴𝐸𝐴=𝐸𝐵，∴∠𝐸𝐴𝐵=∠𝐵=22.5∘，∴∠𝐴𝐸𝐶=∠𝐸𝐴𝐵+∠𝐵=45∘，∵∠𝐶=90∘，∴△𝐴𝐶𝐸为等腰直角三角形

，∴𝐶𝐴=𝐶𝐸=1，∴三角形𝐴𝐶𝐸的面积=12×1×1=12．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．816.（2020-2021·湖北·期中试卷）如图，若△𝐴𝐵𝐶≅△𝐴𝐷𝐸，∠𝐸𝐴𝐶=3

5∘，则∠𝐵𝐴𝐷=________度．【答案】35【解析】由全等三角形的性质知：对应角∠𝐶𝐴𝐵＝∠𝐸𝐴𝐷相等，再从上图中找出等量关系：∠𝐵𝐴𝐷＝∠𝐶𝐴𝐵−∠𝐸𝐴𝐵＝∠𝐸𝐴𝐶．【解答】解：∵△𝐴𝐵𝐶≅

△𝐴𝐷𝐸，∴∠𝐶𝐴𝐵=∠𝐸𝐴𝐷，∵∠𝐸𝐴𝐶=∠𝐶𝐴𝐵−∠𝐸𝐴𝐵，∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐸𝐴𝐷−∠𝐸𝐴𝐵，∴∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐸𝐴𝐶，∴∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐸𝐴𝐶=35∘．故答案为：35.【点评】本题主要考查的

是全等三角形的性质：对应角相等，仔细读图，利用图形上的关系做题时比较好的一种方法．17.（2020-2021·湖南·月考试卷）如图，已知𝐴𝐶=𝐴𝐸，∠1=∠2，要使△𝐴𝐵𝐶≅△𝐴𝐷𝐸，还需添加的条件是________.（只需填一个）【答案】�

�𝐵=𝐴𝐷（答案不唯一，∠𝐶=∠𝐸等）【解析】要使△𝐴𝐵𝐶≅△𝐴𝐷𝐸，还需添加的条件是𝐴𝐵=𝐴𝐷.理由如下：∵∠1=∠2，∴∠1+∠𝐷𝐴𝐶=∠2+∠𝐷𝐴𝐶，∴∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐷𝐴�

�.在△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐸中，.{𝐴𝐵=𝐴𝐷，∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐷𝐴𝐸，𝐴𝐶=𝐴𝐸，∴△𝐴𝐵𝐶≅△𝐴𝐷𝐸(𝑆𝐴𝑆).9【点评】本题考查了全等三角形的判定的应用，能正确运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有

𝑆𝐴𝑆，𝐴𝑆𝐴，𝐴𝐴𝑆，𝑆𝑆𝑆．18.（2020-2021·安徽·月考试卷）在△𝐴𝐵𝐶中，若𝐴𝐵=8，𝐴𝐶=6，则𝐵𝐶边上的中线𝐴𝐷的取值范围是________．【答案】1<𝐴𝐷<7【解析】延长𝐴𝐷至𝐸，使𝐷𝐸＝

𝐴𝐷，连接𝐶𝐸．根据𝑆𝐴𝑆证明△𝐴𝐵𝐷≅△𝐸𝐶𝐷，得𝐶𝐸＝𝐴𝐵，再根据三角形的三边关系即可求解．【解答】解：如图，延长𝐴𝐷至𝐸，使𝐷𝐸=𝐴𝐷，连接𝐵𝐸，

在△𝐴𝐶𝐷和△𝐸𝐵𝐷中，.{𝐴𝐷=𝐸𝐷，∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐸𝐷𝐵，𝐶𝐷=𝐵𝐷，∴△𝐴𝐶𝐷≅△𝐸𝐵𝐷(𝑆𝐴𝑆)，∴𝐴𝐶=𝐸𝐵．在△𝐴𝐵𝐸中，𝐴𝐵−𝐸𝐵<𝐴𝐸<𝐴𝐵+𝐵𝐸，即2<2𝐴𝐷<14，故1<

𝐴𝐷<7．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系．注意：倍长中线是常见的辅助线之一．三、解答题（共8小题，满分66分）19.（2020-2021·安徽·期中试卷）已知：如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠

𝐴𝐶𝐵=90∘，𝐴𝐸是角平分线，𝐶𝐷是高，𝐴𝐸、𝐶𝐷相交于点𝐹．10(1)若∠𝐷𝐶𝐵=48∘，求∠𝐶𝐸𝐹的度数．(2)求证：∠𝐶𝐸𝐹=∠𝐶𝐹𝐸.(1)解：∵𝐶𝐷是高，∠𝐷𝐶𝐵=48∘，∴∠𝐵=42

∘．∵∠𝐴𝐶𝐵=90∘，∴∠𝐵𝐴𝐶=48∘．∵𝐴𝐸是角平分线，∴∠𝐵𝐴𝐸=12∠𝐵𝐴𝐶=24∘，∴∠𝐶𝐸𝐹=∠𝐵+∠𝐵𝐴𝐸=42∘+24∘=66∘．(2)证明：∵∠𝐴𝐶𝐵

=90∘,𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，∴∠𝐵+∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐴𝐶𝐷+∠𝐵𝐴𝐶=90∘，∴∠𝐵=∠𝐴𝐶𝐷．∵𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，∴∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐶𝐴𝐸．∵∠𝐶𝐸𝐹是△𝐴𝐵𝐸的外

角，∠𝐶𝐹𝐸是△𝐴𝐶𝐹的外角，∴∠𝐶𝐸𝐹=∠𝐵+∠𝐵𝐴𝐸，∠𝐶𝐹𝐸=∠𝐴𝐶𝐷+∠𝐶𝐴𝐸．∴∠𝐶𝐸𝐹=∠𝐶𝐹𝐸．20.（2020-2021·广西·月考试卷）如图所示，河岸的同侧有𝐴，𝐵两个村庄，两村委会决定在小河边建一座

自来水加工厂向两村庄输送自来水，为了节约开支，加工厂建在何处所需铺设的管道最短？请用尺规在所给的图中作出加工厂的位置．11【答案】解：如图，作点𝐴关于𝑙的对称点𝐶，连接𝐵𝐶，与𝑙相交于点𝑃，点𝑃为加工厂的位置.21.（2020-2021·河北·月考

试卷）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐴=36∘，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶交𝐴𝐶于点𝐷，点𝐸是𝐴𝐵的中点，连结𝐷𝐸.(1)求证：△𝐴𝐵𝐷是等腰三角形；(2)求∠𝐵𝐷𝐸

的度数．【解析】(1)根据等腰三角形的性质和三角形内角和得出∠𝐷𝐵𝐶=36∘，进而根据等腰三角形的判定解答即可；(2)根据等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可．【解答】(1)证明：∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐴=36∘，∴∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐶=72∘．∵𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，∴

∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐷𝐵𝐶=36∘，∠𝐴=36∘，12∴𝐵𝐷=𝐴𝐷，即△𝐴𝐵𝐷是等腰三角形.(2)解：∵由(1)知𝐴𝐷=𝐵𝐷，且点𝐸是𝐴𝐵的中点，∴𝐴𝐸=𝐸𝐵，∴𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，∴∠𝐷𝐸𝐵=90∘，∴∠𝐵𝐷�

�=90∘−36∘=54∘．【点评】此题考查等腰三角形的判定和性质，关键是据等腰三角形的性质和三角形内角和得出∠𝐷𝐵𝐶=36∘解答．22.（2020-2021·河北·月考试卷）如图，△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷

⊥𝐵𝐶，𝐸𝐹垂直平分𝐴𝐶，交𝐴𝐶于点𝐹，交𝐵𝐶于点𝐸，且𝐵𝐷=𝐷𝐸.(1)若∠𝐵𝐴𝐸=40∘，求∠𝐶的度数；(2)若△𝐴𝐵𝐶周长为20𝑐𝑚，𝐴𝐶=8𝑐𝑚，求

𝐷𝐶长．【解析】（1）∵𝐴𝐷垂直平分𝐵𝐸，𝐸𝐹垂直平分𝐴𝐶，∴𝐴𝐵=𝐴𝐸=𝐸𝐶，∴∠𝐶=∠𝐶𝐴𝐸，∵∠𝐵𝐴𝐸=40∘，∴∠𝐴𝐸𝐷=70∘，∴∠𝐶=12∠𝐴𝐸𝐷=35∘.（2）∵△𝐴𝐵𝐶周长20𝑐𝑚，𝐴𝐶=8�

�𝑚，∴𝐴𝐵+𝐵𝐸+𝐸𝐶=12𝑐𝑚，∴即2𝐷𝐸+2𝐸𝐶=12𝑐𝑚，∴𝐷𝐸+𝐸𝐶=𝐷𝐶=6𝑐𝑚.【解答】解：(1)∵𝐴𝐷垂直平分𝐵𝐸，𝐸𝐹垂直平分𝐴𝐶，∴𝐴𝐵=𝐴𝐸=𝐸𝐶，∴∠𝐶=∠𝐶𝐴𝐸.∵∠𝐵

𝐴𝐸=40∘，∴∠𝐴𝐸𝐷=70∘，13∴∠𝐶=12∠𝐴𝐸𝐷=35∘.(2)∵△𝐴𝐵𝐶周长为20𝑐𝑚，𝐴𝐶=8𝑐𝑚，∴𝐴𝐵+𝐵𝐸+𝐸𝐶=12𝑐𝑚，∴即2𝐷𝐸+2𝐸𝐶=12�

�𝑚，∴𝐷𝐸+𝐸𝐶=𝐷𝐶=6𝑐𝑚.23.（2020-2021·福建·月考试卷）如图，点𝐵，𝐹，𝐶，𝐸在直线𝑙上(𝐹，𝐶之间不能直接测量)，点𝐴，𝐷在𝑙异侧，测得𝐴𝐵=𝐷𝐸，𝐴𝐵//𝐷�

�，∠𝐴=∠𝐷．(1)求证：△𝐴𝐵𝐶≅△𝐷𝐸𝐹；(2)若𝐵𝐸=10𝑚，𝐵𝐹=3𝑚，求𝐹𝐶的长度．【解析】（1）由平行线的性质得到∠𝐴𝐵𝐶＝∠𝐷𝐸𝐹，再根据𝐴

𝑆𝐴证明△𝐴𝐵𝐶≅△𝐷𝐸𝐹即可；（2）由全等三角形的性质得到𝐵𝐶＝𝐸𝐹，从而有𝐵𝐹=𝐸𝐶，即可得到结论．【解答】(1)证明：∵𝐴𝐵//𝐷𝐸，∴∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐷𝐸𝐹．在△𝐴𝐵�

�和△𝐷𝐸𝐹中，∵∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐷𝐸𝐹，𝐴𝐵=𝐷𝐸，∠𝐴=∠𝐷，∴△𝐴𝐵𝐶≅△𝐷𝐸𝐹．(2)解：∵△𝐴𝐵𝐶≅△𝐷𝐸𝐹，∴𝐵𝐶=𝐸𝐹，∴𝐵𝐹+𝐹𝐶=𝐸𝐶+𝐹𝐶，

∴𝐵𝐹=𝐸𝐶．∵𝐵𝐸=10𝑐𝑚，𝐵𝐹=3𝑐𝑚，∴𝐹𝐶=10−3−3=4(𝑐𝑚)．24.（2020-2021·江西·月考试卷）在复习课上，老师布置了一道思考题：如图所示，点𝑀，𝑁分别在等边△𝐴𝐵𝐶的𝐵𝐶，𝐶𝐴边上，且𝐵𝑀=𝐶𝑁，𝐴

𝑀，𝐵𝑁交于点𝑄．14(1)求证：∠𝐵𝑄𝑀=60∘；(2)若将题中“𝐵𝑀=𝐶𝑁”与“∠𝐵𝑄𝑀=60∘”的位置交换，得到的是否仍是真命题，并说明理由．(1)证明：∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，∴𝐴�

�=𝐵𝐶，∠𝐴𝐵𝑀=∠𝐶=60∘．在△𝐴𝐵𝑀和△𝐵𝐶𝑁中，.{𝐵𝑀=𝐶𝑁,∠𝐴𝐵𝑀=∠𝐶,𝐴𝐵=𝐵𝐶,∴△𝐴𝐵𝑀≅△𝐵𝐶𝑁(𝑆𝐴𝑆)，∴∠𝐵𝐴𝑀=∠𝐶𝐵𝑁．∵∠𝑄𝐵𝐴+∠𝐶𝐵𝑁=∠𝐶𝐵𝐴=60∘

，∴∠𝑄𝐵𝐴+∠𝐵𝐴𝑀=60∘，∴∠𝐵𝑄𝑀=60∘．(2)解：是真命题．理由如下：∵∠𝐵𝑄𝑀=60∘，∴∠𝑄𝐵𝐴+∠𝐵𝐴𝑀=60∘．∵∠𝑄𝐵𝐴+∠𝐶𝐵𝑁=60∘，∴∠𝐵𝐴𝑀=∠𝐶𝐵𝑁．在△𝐴𝐵𝑀和△𝐵�

�𝑁中，.{∠𝐴𝐵𝑀=∠𝐵𝐶𝑁,𝐴𝐵=𝐴𝐶,∠𝐵𝐴𝑀=∠𝐶𝐵𝑁,∴△𝐴𝐵𝑀≅△𝐵𝐶𝑁(𝐴𝑆𝐴)，∴𝐵𝑀=𝐶𝑁，∴得到的是真命题．25.（2020-2021·贵州·月考试卷）如图：已

知△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，点𝐷是𝐴𝐵上一点，点𝐹是𝐵𝐶延长线上一点，𝐷𝐹交𝐴𝐶于点𝐸，且𝐷𝐸=𝐸𝐹．15(1)任意写出两种常见的辅助线作法：(2)求证：𝐴𝐷=𝐶𝐹．(1)解：作平行线法、连接法、

延长法、截取法等．(2)证明：过点𝐷作𝐷𝐺//𝐵𝐶交𝐴𝐶于点𝐺，∵𝐷𝐺//𝐵𝐶，△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，∴∠𝐴𝐷𝐺=∠𝐵=∠𝐴=60∘，∠𝐷𝐺𝐸=∠𝐹𝐶𝐸，∠𝐺𝐷𝐸=∠𝐹，∴△�

�𝐷𝐺是等边三角形，∴𝐷𝐺=𝐴𝐷.又∵𝐷𝐸=𝐸𝐹，∴△𝐷𝐺𝐸≅△𝐹𝐶𝐸，∴𝐶𝐹=𝐷𝐺=𝐴𝐷．26.（2020-2021·江西·月考试卷）如图1，𝐴𝐵=7𝑐𝑚，𝐴𝐶⊥𝐴𝐵，𝐵𝐷⊥𝐴𝐵垂足分别

为𝐴，𝐵，𝐴𝐶=5𝑐𝑚，点𝑃在线段𝐴𝐵上以2𝑐𝑚/𝑠的速度由点𝐴向点𝐵运动，同时点𝑄在射线𝐵𝐷上运动．它们运动的时间为𝑡(𝑠)（当点𝑃运动结束时，点𝑄运动随之结束）．16(1)若点𝑄的运动速度与点𝑃的运动速度相等，当𝑡=1时，△𝐴𝐶𝑃与△�

�𝑃𝑄是否全等，并判断此时线段𝑃𝐶和线段𝑃𝑄的位置关系，请分别说明理由；(2)如图2，若“𝐴𝐶⊥𝐴𝐵，𝐵𝐷⊥𝐴𝐷”改为“∠𝐶𝐴𝐵=∠𝐷𝐵𝐴”，点𝑄的运动速度为𝑥𝑐𝑚/𝑠，其他条件不变，当点𝑃，𝑄运动到何处时有△𝐴

𝐶𝑃与以𝐵，𝑃，𝑄为顶点的三角形全等，求出相应的𝑥的值．解：(1)△𝐴𝐶𝑃≅△𝐵𝑃𝑄，𝑃𝐶⊥𝑃𝑄．理由：∵𝐴𝐶⊥𝐴𝐵，𝐵𝐷⊥𝐴𝐵，∴∠𝐴=∠𝐵=90∘，∵当𝑡=1时，𝐴𝑃=𝐵𝑄=2𝑐𝑚，∴𝐵𝑃=𝐴𝐵−

𝐴𝑃=5𝑐𝑚，∴𝐵𝑃=𝐴𝐶，∴△𝐴𝐶𝑃≅△𝐵𝑃𝑄(𝑆𝐴𝑆)，∴∠𝐶=∠𝐵𝑃𝑄，∵∠𝐶+∠𝐴𝑃𝐶=90∘，∴∠𝐴𝑃𝐶+∠𝐵𝑃𝑄=90∘，∴∠𝐶𝑃𝑄=90∘，∴𝑃

𝐶⊥𝑃𝑄．(2)①若△𝐴𝐶𝑃≅△𝐵𝑃𝑄，则𝐴𝐶=𝐵𝑃，𝐴𝑃=𝐵𝑄，可得5=7−2𝑡，2𝑡=𝑥𝑡，解得𝑥=2，𝑡=1，此时，𝐴𝑃=𝐵𝑄=2.②若△𝐴𝐶𝑃≅△𝐵𝑄𝑃，则𝐴�

�=𝐵𝑄，𝐴𝑃=𝐵𝑃，可得5=𝑥𝑡，2𝑡=7−2𝑡，解得𝑥=207，𝑡=74，此时𝐴𝑃=72，𝐵𝑄=5．综上所述，当𝐴𝑃=𝐵𝑄=2时，△𝐴𝐶𝑃与△𝐵𝑃𝑄全等，𝑥

的值为2；当𝐴𝑃=72，𝐵𝑄=5时，△𝐴𝐶𝑃与△𝐵𝑄𝑃全等，𝑥的值为207．